Bab 5MA2151 Simulasi dan Komputasi Matematika

Kesalahan Data

Data dapat kita gunakan sebagai dasar pembuatan model maupun untukmemverifikasi model yang telah kita buat.Namun demikian, terdapat berbagai sumber terjadinya kesalahan dalamdata.Beberapa contoh:• Sensor yang mengalami malfungsi sehingga memberikan data yang tidak

valid. • Keakuratan sensor tidak cukup baik untuk model.• Alat pengukur yang tidak dikalibrasi.• Kesalahan pembacaan hasil pengukuran.• Kesalahan pencatatan hasil pengukuran.

Kesalahan Model

Peneliti dapat melakukan kesalahan dalam memformulasikan suatumodel:

• Asumsi yang terlalu menyederhanakan.

• Kesalahan penentuan persamaan/pertidaksamaan.

• Tidak memahami faktor penting dalam fenomena yang dimodelkan.

Hal tersebut mengakibatkan hasil pemodelan amat jauh berbedadengan kenyataan yang terjadi.

Kesalahan Implementasi

Dapat terjadi kesalahan logika dalam mengimplementasikan model kedalam program komputer.

Pada tahun 1999, pesawat luar angkasa Mars Climate Orbiter hilangkarena Lockheed Martin Corp. membangun badan pesawat dan memprogram sistem pengontrol badan pesawat dengan menggunakansatuan Inggris seperti pon dan kaki, sementara jet pendorong yang diproduksi NASA dibangun dengan menggunakan satuan metrikseperti Newton dan meter.

Bilangan Floating Point dan Notasi EksponensialBilangan real biasa disebut floating-point dan diekspresikan dengan ekspansidesimal.

Notasi eksponensial merepresentasikan bilangan floating-point sebagai hasil kali dengan pangkat 10. Dengan 𝑎 bilangan desimal dan 𝑛 bilangan bulat, 𝒂𝒆𝒏merepresentasikan 𝑎 × 10𝑛. Bilangan bulat yang diperoleh dengan menghapustitik desimal dari 𝑎 disebut significand atau mantissa, dan 𝑛 disebut eksponen.

Bilangan ternormalisasi dalam notasi eksponensial memiliki titik desimal tepatsebelum digit tak nol pertama.

0 atau 1 digunakan untuk merepresentasikan tanda + atau –.

Contoh.

9.843600e02 bermakna 9.843600 × 102 = 984.36, dengan bilangan ternormalisasi0.98436 × 103. Dengan demikian significand adalah 98436 dan eksponen adalah 3.

Digit Significant

Digit significant dari suatu bilangan adalah semua digit setelah titikdesimal dalam notasi eksponensial yang dinormalisasi.

Contoh

Dalam 0.98436 × 103 digit significant adalah 9, 8, 4, 3, dan 6.

Dalam 003,704,000 = 0.3704 × 107 digit significant adalah 3, 7, 0, dan 4.

Presisi

Presisi dari suatu bilangan adalah banyaknya digit significant pada saat bilangandiekspresikan dalam notasi eksponensial ternormalisasi.

Magnitude dari suatu bilangan adalah 10𝑛 pada saat bilangan diekspresikan dalamnotasi eksponensial ternormalisasi.

Contoh.

0.3704 × 107 memiliki presisi 4 dan magnitude 107

Dalam C and C++, presisi dari bilangan bertipe float (sering disebut single-precision number) adalah 6 atau 7 digit, dengan magnitude di antara 10–38 sampai 1038. Sedangkan bilangan bertipe double (double-precision number) memiliki presisi 14 atau 15 dan magnitude dari 10–308 sampai 10308.

Namun demikian, tipe data double memakan memori dua kali lipat tipe data float.

Bagaimana dengan Matlab?

Galat Mutlak dan Relatif

Contoh

Misalkan suatu komputer memiliki presisi 3 dan akan melakukanpemotongan significand ke hanya 3 digit.

Pandang (0.356 × 108)(0.228 × 10–3) = (0.356)(0.228)(108)(10–3)

= 0.081168 × 105

Dinormalisasi, kita peroleh correct = 0.81168 × 104.

Karena presisi adalah 3, result = 0.811 × 104.

Galat mutlak adalah:

|correct – result| = |0.81168 × 104 – 0.811 × 104 | = 0.00068 × 104 = 6.8

Galat relative adalah:

(0.00068 × 104)/(0.81168 × 104) = 0.0008378 = 0.08378%

Galat Pembulatan

Contoh:Misalkan presisi 3.0.81168 × 104 and 0.81158 × 104 dibulatkan ke atas ke 0.812 × 104

0.81138 × 104 dibulatkan ke bawah ke 0.811 × 104.

Assignment

variable = expression

Contoh:

x = 1.0/3.0;

Galat pembulatan terjadi karena kurangnya bits untuk menyimpan keseluruhan bilanganfloating point sehingga result diaproksimasi ke bilangan terdekat yang dapatdirepresentasikan.

Overflow terjadi karena kurangnya bits untuk mengekspresikan suatu nilai dalamkomputer.

Underflow terjadi karena hasil komputasi terlalu kecil bagi komputer untukdirepresentasikan.

Galat Aritmetika

Bagaimana dengan perkalian dan pembagian?

Propagasi Galat

Melakukan loop pada bilangan floating point dapat memperbesar galatpembulatan.