1

BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI

(Jangka waktu : 9 sesi)

Sesi 1

Sudut Positif dan Sudut Negatif

Contoh

Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu

berada.

(a) 30˚ (c) 590˚

(b) 3

4𝜋 rad. (d) −

7

3𝜋 rad.

Penyelesaian

(a)

(b)

2

(c)

(d)

Sinus, Kosinus, dan Tangen

c b

a

𝜃

sin 𝜃 =𝑏

𝑐

kos 𝜃 =𝑎

𝑐

tan 𝜃 =sin 𝜃

kos 𝜃=

𝑏

𝑎

3

Contoh

Jika tan 𝜃 =12

5, dengan 180° < 𝜃 < 360°, tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai sin 𝜃 dan

kos 𝜃.

Penyelesaian

Sesi 2

Sekan, Kosekan, dan Kotangen

c b

a

𝜃

sek 𝜃 =1

kos 𝜃=

𝑐

𝑎

kosek 𝜃 =1

sin 𝜃=

𝑐

𝑏

kot 𝜃 =1

tan 𝜃=

𝑎

𝑏

4

Contoh

Diberi 𝜃 ialah sudut refleks dengan sek 𝜃 =5

4. Tanpa menggunakan jadual atau kalkulator,

nilaikan

(a) kot 𝜃

(b) kosek θ

(c) sin 𝜃 + kos 𝜃

Penyelesaian

5

SUDUT PELENGKAP

sin 𝜃 = kos(90 − 𝜃)

kos 𝜃 = sin(90 − 𝜃)

tan 𝜃 = kot(90 − 𝜃)

sek 𝜃 = kosek(90 − 𝜃)

kosek 𝜃 = sek(90 − 𝜃)

kot 𝜃 = tan(90 − 𝜃)

SUDUT NEGATIF

sin(−𝜃) = − sin 𝜃

kos(−𝜃) = kos 𝜃

tan(−𝜃) = − tan 𝜃

SUKUAN SETARA

[Sukuan II]

sin 𝜃 = sin(180° − 𝜃)

kos 𝜃 = − kos(180° − 𝜃)

tan 𝜃 = − tan(180° − 𝜃)

[Sukuan III]

sin 𝜃 = −sin(𝜃 − 180°)

kos 𝜃 = − kos(𝜃 − 180°)

tan 𝜃 = tan(𝜃 − 180°)

[Sukuan IV]

sin 𝜃 = −sin(360° − 𝜃)

kos 𝜃 = kos(360° − 𝜃)

tan 𝜃 = − tan(360° − 𝜃)

6

Sesi 3

Sudut-Sudut Khas 𝟑𝟎°, 𝟒𝟓° 𝐝𝐚𝐧 𝟔𝟎°

Contoh

Tanpa menggunakan buku sifir atau kalkulator, cari nilai bagi

(a) sin 225°

(b) sek 660°

(c) sin 150° + kot(−150°)

2

1

ξ3

30°

60°

ξ2

45°

1

1

sin 30° =1

2 sin 60° =

ξ3

2

kos 30° =ξ3

2 kos 30° =

1

2

tan 30° =1

ξ3 tan 60° = ξ3

sin 45° =1

ξ2

kos 45° =1

ξ2

tan 45° = 1

7

Penyelesaian

(a)

(b)

(c)

8

Sesi 4

Menyelesaikan persamaan trigonometri

Contoh 1

Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.

(a) kos 𝑥 = −0.9063

(b) sin 2𝑥 = 0.6691

(c) ξ2 sin 𝑥 = 1

(d) kosek𝑥

2=

2

ξ3

(e) 2 tan (1

2𝑥 + 60°) + 3 = 1

Penyelesaian

(a)

(b)

(c)

9

(d)

(e)

Contoh 2

Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°.

(a) 3 sin 𝜃 kos 𝜃 = sin 𝜃

(b) 2 kot 𝜃 = − tan(−𝜃)

(c) 4 tan 𝜃 − kot 𝜃 + 3 = 0

Penyelesaian

(a)

10

(b)

(c)

11

Sesi 5

Melakar graf fungsi trigonometri

𝑦 = sin 𝑥

• 𝑦 = sin 𝑥 ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau 2𝜋 radian.

• Nilai maksimum bagi sin 𝑥 ialah 1 apabila 𝑥 = . . . , −270° , 90° , 450°, …

• Nilai minimum bagi sin 𝑥 ialah -1 apabila 𝑥 = . . . , −450°, −90°, 270°, …

• Amplitud = 1

𝑦 = kos 𝑥

• 𝑦 = kos 𝑥 ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau 2𝜋 radian.

• Nilai maksimum bagi kos 𝑥 ialah 1 apabila 𝑥 = . . . , −360° , 0° , 360°, …

• Nilai minimum bagi sin 𝑥 ialah -1 apabila 𝑥 = . . . , −180°, 180°, 540°, …

• Amplitud = 1

Amplitud

Kala

𝑦 = sin 𝑥

-2

-1

0

1

2

-450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360 450

Kala

Amplitud𝑦 = kos 𝑥

12

𝑦 = tan 𝑥

• 𝑦 = tan 𝑥 ialah satu fungsi berkala dengan kala 180° atau 𝜋 radian.

• 𝑦 = tan 𝑥 adalah tak tertakrif apabila 𝑥 = . . . , −270°, −90°, 90°, 270°, … Maka, 𝑦 = tan 𝑥

tidak mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum.

• Graf bagi 𝑦 = tan 𝑥 menghampiri garis-garis menegak 𝑥 = −270° , 𝑥 = −90°, 𝑥 = 90°, 𝑥 =

270° dan sebagainya. Garis-garis menegak iu dikenali sebagai asimptot.

Contoh 1

Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut bagi 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.

(a) 𝑦 = 3 sin 2𝑥

(b) 𝑦 = 3 kos 𝑥 + 1

(c) 𝑦 = |kos 2𝑥|

Asimptot

Kala

𝑦 = tan 𝑥

−360° −180° 360° 180° 0

y

x

13

Penyelesaian

(a)

(b)

14

(c)

Contoh 2

Lakarkan graf bagi 𝑦 = −2 tan 𝑥 bagi 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.

Penyelesaian

15

Contoh 3

Lakarkan graf bagi 𝑦 = 2 |sin3

2𝑥| bagi 0° ≤ 𝑥 ≤ 𝜋.

Penyelesaian

Sesi 6

Bilangan penyelesaian persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf

Contoh (SPM 2011)

(a) Lakarkan graf bagi 𝑦 = −3 sin3

2𝑥 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 [4 markah]

(b) Seterusnya< dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi 𝜋

𝑥+ 3 sin

3

2𝑥 = 0 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋. Nyatakan bilangan

penyelesaian itu. [3 markah]

16

Penyelesaian

(a)

(b)

17

Identiti Asas

Pembuktian

Contoh

Buktikan

(a) tan 𝑥

sin 𝑥= sek 𝑥

(b) sin 𝑦 kos 𝑦 tan 𝑦 = 1 − kos2𝑦

(c) tan 𝜃 + kot θ = sek 𝜃 kosek 𝜃

Penyelesaian

(a)

b c

a

𝜃

sin2 𝐴 + kos 2A = 1

1 + kot2A = kosek2𝐴

1+tan2𝐴 = sek2𝐴

18

(b)

(c)

Sesi 7

Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas

Contoh 1

Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua sudut antara 0° dan 360° .

(a) tan2 𝑥 + sek2𝑥 = 3 tan 𝑥

(b) 2kosek2𝑦 = kot 𝑦 + 3

(c) 3 sin2 𝜃 + 5kos 𝜃 + 5 = 0

Penyelesaian

(a)

19

(b)

(c)

Contoh 2

Tunjukkan bahawa 2sek2𝐴 =1

1−sin 𝐴+

1

1+sin 𝐴.

Seterusnya, tanpa menggunakan jadual matematik atau kalkulator, selesaiakan persamaan

trigonometri 1

1−sin 𝐴+

1

1+sin 𝐴= 4 , untuk 0 < 𝐴 < 2𝜋.

20

Penyelesaian

Rumus penambahan

sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 kos 𝐵 + sin 𝐵 kos 𝐴

sin(𝐴 − 𝐵) = sin 𝐴 kos 𝐵 − sin 𝐵 kos 𝐴

kos(𝐴 + 𝐵) = kos 𝐴 kos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵

kos(𝐴 − 𝐵) = kos 𝐴 kos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵

tan(𝐴 + 𝐵) =tan 𝐴 + tan 𝐵

1 − tan 𝐴 tan 𝐵

tan(𝐴 − 𝐵) =tan 𝐴 − tan 𝐵

1 + tan 𝐴 tan 𝐵

21

Contoh

Tanpa menggunakan sifir matematik atau kalkulator, tunjukkan

(a) sin 255° =−ξ2(ξ3+1)

4

(b) (b)tan 15° =ξ3−1

ξ3+1

(c) sin(𝑥 − 60°) + kos(𝑥 + 60°) =1−ξ3

2(sin 𝑥 + kos 𝑥)

Penyelesaian

(a)

(b)

22

(c)

Sesi 8

Rumus Sudut Berganda

sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 kos 𝐴

kos 2𝐴 = kos2𝐴 − sin2 𝐴

= 2kos2𝐴 − 1

= 1 − 2 sin2 𝐴

tan 2𝐴 =2 tan 𝐴

1 − tan2 𝐴

Rumus Sudut Separuh

sin 𝐴 = 2 sin1

2𝐴 kos

1

2𝐴

kos 𝐴 = kos21

2𝐴 − sin2

1

2𝐴

= 2kos21

2𝐴 − 1

= 1 − 2 sin21

2𝐴

tan 𝐴 =2 tan

12 𝐴

1 − tan2 12 𝐴

23

Contoh 1

Diberi kos 𝜃 = −4

5 dan 𝜃 ialah sudut cakah. Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator,cari nilai

(a) sin 2𝜃 (c) tan 2𝜃 (e)kos1

2𝜃

(b) kos 2𝜃 (d)kos 4𝜃

Penyelesaian

(a)

(b)

(c)

24

(d)

(e)

25

Contoh 2

Diberi tan 𝑥 = 𝑝 dan x ialah sudut tirus. Cari kos 2x.

Penyelesaian

Contoh 3

Tunjukkan bahawa sin 2𝐴

1+kos 2𝐴= tan 𝐴.

Penyelesaian

26

Contoh 4

Buktikan sin 𝜃+kos 𝜃+1

sin 𝜃−kos 𝜃+1= kot

1

2𝜃.

Penyelesaian

Sesi 9

Menyelesaikan persamaan trigonometri

Contoh 1

Selesaikan setiap yang berikut untuk semua sudut diantara 0° dan 360°, termasuk kedua-duanya

(a) 5 sin 𝑥 kos 𝑥 + 2 = 0

(b) kos 2𝑦 − sin 𝑦 = 0

(c) tan 2𝜃 = 3 tan 𝜃

27

Penyelesaian

(a)

(b)

(c)

28

Contoh 2

Diberi sin(𝐵 − 𝐴) =1

2 dan sin(𝐴 + 𝐵) =

1

4, tunjukkan bahawa sin 𝐴 kos 𝐵 = −

1

8 dan

kos 𝐴 sin 𝐵 =3

8. Seterusnya, buktikan bahawa 3 tan 𝐴 kot 𝐵 + 1 = 0.

Penyelesaian