bab 4 (temu 7)

20
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL === BENTUK KANONIK DAN BENTUK BAKU === Bentuk Kanonik yaitu “Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang lengkap”. Bentuk Baku yaitu “Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang tidak lengkap”. SOP (Sum of Product) atau yang diistilahkan dengan jumlah dari hasil perkalian. POS (Product of Sum) atau yang diistilahkan dengan perkalian dari hasil penjumlahan. Untuk mendapatkan ekspresi Boolean, yang diperhatikan hanyalah “keluaran yang bernilai 1”. Suku-suku bentuk SOP disebut minterm . Untuk mendapatkan ekspresi Boolean, yang diperhatikan hanyalah “keluaran yang bernilai 0”. Suku-suku bentuk POS disebut maxterm . Menggunakan Tabel Kebenaran Tabel kebenaran adalah tabel yang memuat semua kemungkinan atau kombinasi masukan serta keluaran dari kombinasi tersebut. Secara umum tabel kebenaran yang memiliki “n” buah masukan mempunyai “2 n ” kombinasi masukan yang mungkin, jika kondisi keluaran yang diharapkan dari rangkaian logika diberikan untuk semua kemungkinan kondisi masukan, maka hasilnya dapat diperlihatkan dalam tabel kebenaran. Contoh: 1. 1) Buatlah ekspresi Boolean dalam bentuk SOP dan POS dari tabel kebenaran ini. A B C Y 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 1

Upload: adi-iskandar

Post on 17-Feb-2016

254 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

gff

TRANSCRIPT

Page 1: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

=== BENTUK KANONIK DAN BENTUK BAKU ===

Bentuk Kanonik yaitu “Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang lengkap”.

Bentuk Baku yaitu “Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang tidak lengkap”.

SOP (Sum of Product) atau yang diistilahkan dengan jumlah dari hasil perkalian.POS (Product of Sum) atau yang diistilahkan dengan perkalian dari hasil penjumlahan.

Untuk mendapatkan ekspresi Boolean, yang diperhatikan hanyalah “keluaran yang bernilai 1”. Suku-suku bentuk SOP disebut minterm.Untuk mendapatkan ekspresi Boolean, yang diperhatikan hanyalah “keluaran yang bernilai 0”. Suku-suku bentuk POS disebut maxterm.

Menggunakan Tabel KebenaranTabel kebenaran adalah tabel yang memuat semua kemungkinan atau kombinasi masukan serta keluaran dari kombinasi tersebut.Secara umum tabel kebenaran yang memiliki “n” buah masukan mempunyai “2n” kombinasi masukan yang mungkin, jika kondisi keluaran yang diharapkan dari rangkaian logika diberikan untuk semua kemungkinan kondisi masukan, maka hasilnya dapat diperlihatkan dalam tabel kebenaran.Contoh:1. 1) Buatlah ekspresi Boolean dalam bentuk SOP dan POS dari tabel kebenaran ini.

A B C Y00001111

00110011

01010101

01010101

Penyelesaian: a) Dalam bentuk SOP, maka yang dilihat adalah Y = 1.

A B C Y00001111

00110011

01010101

01010101

Y = ( ) + ( ) + ( ) + ( )

Y = y1 + y3 + y5 + y7

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 1

CBA ..CBA ..

CBA ..CBA ..

Page 2: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

Y = y (1,3,5,7)b) Dalam bentuk POS, maka yang dilihat adalah Y = 0.

A

B C Y

00001111

00110011

01010101

01010101

Y = ( ) . ( ) . ( ) . ( )

Y = y0 . y2 . y4 . y6

Y = y (0,2,4,6)

Jadi Y = y (1,3,5,7) = y (0,2,4,6)

2. Buatlah suatu rangkaian gerbang logika sederhana sebagai alat pengamanan lemari untuk menyimpan dokumen penting pada suatu BANK yang mempunyai 3 buah kunci pembuka, lemari tersebut dapat dibuka bila minimal oleh 2 orang direktur yang memiliki kunci pembuka.

Pernyelesaian:Dari soal menunjukkan bahwa lemari akan terbuka jika minimal 2 orang dari 3 orang yang ada (dapat menggunakan SOP).a) Masukan (nilai “0” berarti tidak ada orang sedang nilai “1” berarti ada orang).b) Keluaran (nilai “0” berarti pintu tertutup sedang nilai “1” berarti pintu terbuka).Tabel kebenarannya:

A B C Y00001111

00110011

01010101

00010111

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 2

CBA

CBA

CBA

CBA

CBA ..

CBA ..CBA ..

CBA ..

Page 3: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

Y = ( ) + ( ) + ( ) + ( )

Y = y3 + y5 + y6 + y7

Y = y (3,5, 6,7)

Gambar rangkaian logikanya:

Bentuk KanonikBeberapa bentuk kanonik fungsi Boolean 3 masukan variabel:a). Y = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) SOP (outputnya “1”)b). Y = ( ) . ( ) . ( ) . ( ) POS (“0”)

Contoh:1). Nyatakan fungsi Boolean Y (x, y, z) = ( x + ) . ( + z ) dalam bentuk kanonik

SOP dan POS.Penyelesaian:a) Diambil suku ( x + ) yang artinya jika nilai masukan 0 1 -, maka Y = 0

(POS)

x y z Y

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 3

A B C

CBA ..

CBA ..

CBA ..

CBA ..

Y = ()+()+()+()

Page 4: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

00001111

00110011

01010101

00

b) Diambil suku ( + z ) yang artinya jika nilai masukan - 1 0, maka Y = 0 (POS)

Semua suku telah dimasukan ke tabel kebenaran, nilai Y (keluaran) yang belum terisi akan berharga 1, sehingga tabel kebenarannya menjadi:

Berdasarkan tabel kebenaran, maka:Bentuk SOP-nya (minterm) adalah Y (A, B, C) = y (0, 1, 4, 5, 7)Bentuk POS-nya (maxterm) adalah Y (A, B, C) = y (2, 3, 6)

2). Buatlah tabel kebenaran dari fungsi berikut ini: Y = ( + A + AB )Penyelesaian:a) Diambil suku AB yang artinya jika nilai masukan 1 1 0, maka Y = 1

(SOP)

A B C Y

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta

x y z Y00001111

00110011

01010101

00

0

A B C Y00001111

00110011

01010101

11001101

4

Page 5: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

00001111

00110011

01010101

1

b) Diambil suku A yang artinya jika nilai masukan 1 0 -, maka Y = 1

A B C Y00001111

00110011

01010101

111

c) Diambil suku yang artinya jika nilai masukan 0 - -, maka Y = 1

Semua suku telah dimasukan ke tabel kebenaran, nilai Y (keluaran) yang belum terisi akan berharga 1, sehingga tabel kebenarannya menjadi:

Berdasarkan tabel kebenaran, maka:Bentuk SOP-nya (minterm) adalah Y (A, B, C) = y (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)Bentuk POS-nya (maxterm) adalah Y (A, B, C) = y ( 7 )

Konversi Antar Bentuk KanonikApabila f ( x, y, z ) = ( 1, 2, 5, 7 ) dan f ’ adalah fungsi komplemen dari f, makaf ‘ ( x, y, z ) = ( 0, 3, 4, 6 ) = y0 + y3 + y4 + y6.Dengan menggunakan hukum De Morgan, maka diperoleh fungsi f dalam bentuk POS sebagai berikut:

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta

A B C Y00001111

00110011

01010101

11111110

A B C Y00001111

00110011

01010101

11111110

5

Page 6: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

f ( x, y, z ) = (f ‘( x, y, z ))’ = (y0 + y3 + y4 + y6 )’ = y0’ y3’ y4’ y6’ = (x’y’z’)’ (x’y z)’ (x y’z’)’ (x y z’)’

= ( x + y + z ) ( x + y’ + z’ ) ( x’ + y + z’ ) ( x’ + y’ + z ) = y0 y3 y4 y6

= y ( 0, 3, 4, 6 )Jadi f ( x, y, z ) = y ( 1, 2, 5, 7 ) = y ( 0, 3, 4, 6 )

Contoh: Nyatakan fungsi dibawah ini.a) f ( x, y, z ) = y ( 0, 2, 4, 5 ) dalam bentuk SOP.b) g ( w, x, y, z ) = y ( 1, 2, 5, 6, 10, 15 ) dalam bentuk POS.

Penyelesaian:a) f ( x, y, z ) = y ( 1, 3, 6, 7 ).b) g ( w, x, y, z ) = y ( 0, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14 )

Bentuk BakuBeberapa bentuk baku fungsi Boolean 3 variabel:a). Y = ( ) + ( ) + ( ) (Bentuk baku dalam bentuk SOP)b). Y = ( ) . ( ) . ( ) (Bentuk baku dalam bentuk POS)

=== PETA KARNAUGH (K-MAP) ===

Peta Karnaugh adalah metode untuk menyederhanakan rangkaian logika.Peta Karnaugh (K-map) mirip dengan tabel kebenaran yang menampilkan keluaran persamaan Boolean untuk tiap kemungkinan kombinasi variabel masukkan, menentukan jumlah sel identik dengan mencari jumlah kombinasi sebuah tabel kebenaran.

1. Variabel yang mempunyai 2n kotak (n adalah banyaknya masukkan), dimana dalam kotak-kotak atau sel-sel tersebut merupakan kombinasi masukkan yang terjadi.Misal: a). 2 variabel masukkan membutuhkan 22 atau 4 sel (kombinasi yang terjadi).

b). 3 variabel masukkan membutuhkan 23 atau 8 sel (kombinasi yang terjadi).c). dan seterusnya.

Contoh berbagai variabel pada Peta Karnaugh:

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 6

abcd

4-InputFunction

3-InputFunction

abc

y y

ab 00 01 11 10

0 1

c ab 00 01 11 10 cd

00

01

11

10

Karnaugh Map ab 00 01 11 10

1ya

b & a b y

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Truth table

Page 7: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

2. Peta Karnaugh dapat digunakan untuk:a). Menyederhanakan rangkaian (miniaturisasi).b). Merancang rangkaian.

Langkah-Langkah Penyederhanaan Peta Karnaugh1). Masukan keluaran sesuai dengan nomor minterm atau maxterm.2). Untuk penyederhanaan, kelompokkan yang minterm bernilai 1 untuk SOP atau

maxterm yang bernilai 0 untuk POS.3). Setiap kelompok harus berkelipatan 2n yaitu: 2, 4, 8, 16, dan seterusnya.4). Usahakan mencari kelompok terbesar terlebih dahulu, lalu mencari kelompok yang

lebih kecil.

Peta Karnaugh Dengan 2 Variabel Masukan (22 = 4)Aturannya yaitu:a. Dalam masing-masing kotak kombinasi yang terjadi adalah AND GATE.b. Antar kotak mempunyai hubungan OR GATE.

0 1

000

“0”

10

“2”

0 1 00 01 11 10 0 10 0 2 0 00 101 1 3 “0” “1” “3” “2” 1 01 11

101

“1”

11

“3”

Contoh:a). Dari gerbang OR.

Persamaan keluaran dapat ditulis sebagai berikut:X = A + B = 1

= A ( B + ) + B ( A + ) = AB + A + AB + B = AB + A + B

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 7

AB

AB

AB

AB

B

A X = A+B = AB

0

1

AB 10

1

11

0

1

AB 10

AB 1

11

0

1

AB 10

1

1

Page 8: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

b). Dari gerbang EX-OR.

Untuk X = + AB Untuk X = + B + AB

1). Aturan miniaturisasi untuk 2 variabel masukan.Bila 4 kotak dari K-Map terisi bernilai “1” semua, maka persamaan tersebut adalah 1 (X = 1).X = + A + B + AB = ( + B ) + A ( + B ) = + A = 1

2). Pernyataan persamaan Bokan dari 2 kotak yang berdekatan (bukan bersilangan), dapat disederhanakan dari 2 komponen menjadi satu kombinasi persamaan Bokan.

X = + B = ( + B ) =

X = + A = ( A + ) =

X = B+ AB = B ( A + ) = B

Contoh: Perhatikan peta disamping berikut ini, fungsi yang diplotialah: Z = f (A,B) = A +AB

Penyelesaian:Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 8

B

A X = B + A

0

1

AB 10

11

10

1

AB 10

1

1

0

1

AB 10

1

1

BB

A

0

1

AB 10

AB 1

11

B

B

AA

0

1

AB 10

1

1

Page 9: Bab 4 (temu 7)

ABC

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

Dari lingkaran di atas, terlihat bahwa semua nilai 1 berada bagian A, Karenanya keluaran berupa A dan nilai B hilang. Dengan simplifikasi aljabar, dapat juga ditemukan penyederhanaan persamaan di atas sebagai berikut: Z = A +AB = A( +B) = A.

Contoh:Perhatikan ekspresi Z = f (A,B) = +A + B yang diplot di Peta Karnaugh ini.

Penyelesaian:Pasangan 1 dikelompokkan seperti gambar di atas, dan jawaban diperoleh dengan melihat nilai 1 yang masuk ke kelompok lingkaran yang menyebabkan nilai A dan B hilang.Hasil dari penyederhanaan persamaan di atas ialah: Z = + .

Peta Karnaugh Dengan 3 Variabel Masukan (23 = 8)

Aturannya yaitu:a. Seluruh kotak (8 kotak) dapat disederhanakan dengan F = 1.b. 4 kotak dapat disederhanakan dari 3 variabel menjadi 1 variabel.c. 2 kotak dapat disederhanakan dari 3 variabel menjadi 2 variabel.

Dari 2 buah peta Karnaugh di atas dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut:

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta

00 01 11 10

0000

“0”

010

“2”

110

“6”

100

“4”

1001

“1”

011

“3”

111

“7”

101

“5”

9

0

1

AB 10

1

1

1

F = A + BC = A(B+ ) + BC (A+ ) = AB + A + ABC + BC = AB (C+ ) + A (C+ ) + ABC + BC = ABC + AB + A C + A + ABC + BC

Jadi F = ABC + AB + A C + A + BC

C

0

1

AB 00 01 11 10

CC

AABB B AC

BC

BA

C

0

1

AB 00 01 11 10

1

111

F = A + A C + ABC + BC = A + AC + BC

C

0

1

AB 00 01 11 10

1

111 CC

AA

BB BAC

BC

BA

Page 10: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

Contoh:Sederhanakan persamaan menggunakan Peta Karnaugh dari soal berikut:1. Z = f (A,B,C) = + B + AB + AC2. Z = f (A,B,C) = B + B + BC + A

Penyelesaian:1. Z = f (A,B,C) = + B + AB + AC

Menggunakan aturan simplifikasi, hasil persamaan yang telah disederhanakan ialah: B.

2. Z = f (A,B,C) = B + B + BC + A

Menggunakan aturan simplifikasi, hasil persamaan yang disederhanakan ialah: B+A .

Peta Karnaugh Dengan 4 Variabel Masukan (24 = 16)Aturannya yaitu:a. Seluruh kotak (16 kotak) dapat disederhanakan dengan F = 1.b. 8 kotak dapat disederhanakan dari 4 variabel menjadi 1 variabel.c. 4 kotak dapat disederhanakan dari 4 variabel menjadi 2 variabel.d. 2 kotak dapat disederhanakan dari 4 variabel menjadi 3 variabel.

Pengelompokan Minterm

1). Pengelompokan dua-an (n = 1), yang perlu diperhatikan adalah variabel yang tidak berubah.

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 10

C

0

1

1

1

1

1

1

AB 00 01 11 10

CD

00

01

11

10

AB 00 01 11 10

0000 “0”

0010 “2”

0011 “3”

0001 “1”

0100 “4”

0110 “6”

0111 “7”

0101 “5”

1100“12”

1110“14”

1111“15”

1101“13”

1000 “8”

1010 “10”

1011 “11”

1001 “9”

CD

AB AA

D

D

D

BB B

C

C

1 1

1 1

1

1

DCDC

CDDC

DCADCA

CBA

Page 11: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

2). Pengelompokan empat-an (n = 2), yang perlu diperhatikan adalah variabel yang tidak berubah.

3). Pengelompokan delapan-an (n = 3), yang perlu diperhatikan adalah variabel yang tidak berubah.

4). Pengelompokan enam belas-an (n = 4), yang perlu diperhatikan adalah variabel yang tidak berubah.

Peristiwa Tumpang Tindih (Overleaping)

a). Tanpa tumpang tindih

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 11

1

1 1 1

1

1

DCDC

CDDC BA

DA 1 1

1

1

1

1

DCDC

CDDC

A

1

1

1

1

1

1

1

1

DCDC

CDDC

C 1

1

1

1

DCDC

CDDC

1),,,( DCBAf

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

BA 1

1 1

1

1

DCDC

CDDC

1

DBA DBADBA

1

1 1

1

1

DCDC

CDDC

1

1

1 1

1

1

1

B

Page 12: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

b). Dengan tumpang tindih

Dari gambar-gambar di atas nampak bahwa dengan menggunakan peristiwa tumpang tindih persamaan menjadi lebih sederhana.

Peristiwa Penggulungan (Rolling)

a). Penggulungan dua-an (n = 1) b). Penggulungan delapan-an (n = 3)

c). Penggulungan empat-an (n = 2)

Peristiwa Kelebihan Pengelompokan (Redundant)

Peristiwa redundant adalah pengelompokan kembali semua suku baik minterm ataupun maxterm yang sudah dikelompokkan.a). Tidak terjadi kelebihan pengelompokan

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 12

BA

1

1 1

1

1

DCDC

CDDC

1DA D

1

1 1

1

1

DCDC

CDDC

1

1

1 1

1

1

1

B

DBA

1

1

1

DCDC

CDDC 1

DCB

D

1 1

1

DCDC

CDDC 1

1 1

1 1

DB

1

1

1

DCDC

CDDC 1

DB

1

1

1 1

DB

1

1

DCDC

CDDC

1

1

1 1

1

DCDC

CDDC

1

CA 1 1

1

DCDC

CDDC

1

1

1

1

1 CB

Page 13: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

b). Terjadi kelebihan pengelompokan

Suku ini redundant : Suku ini redundant :

Contoh:1). Sederhanakan dengan K-Map tabel berikut ini:

A B C Y0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1

Penyelesaian:

2). Y (A,B,C,D) = y (0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) sederhanakan dengan K-Map:

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 13

CBA

DBA 1 1

1

DCDC

CDDC

1

CA 1 1

1

DCDC

CDDC

1

1

1

1

1CB

AB

1 1

CC

CB

1

1

Y(A, B, C) = +

Page 14: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

Penyelesaian:

3). Y(A,B,C) = + A + A C + ABC sederhanakan dengan K-Map:Penyelesaian:

Kondisi Tidak Peduli (Don’t Care)

Suatu kondisi dimana keluaran suatu rangkaian logika sembarang (“1” atau “0”) yang tidak mempengaruhi kerja dari sistem rangkaian tersebut, kondisi ini dapat menyebabkan can’t happen (keadaan tak pernah terjadi) dan juga dapat menyebabkan keadaan redundant (kelebihan suku).Langkah-langkah penyederhanaan:a). Suku-suku pada K-map berisi kondisi don’t care diberi tanda “d”.b). “d” boleh bernilai “0” atau “1”.c). “d” dipakai hanya bila menyumbang penyederhanaan.

Contoh:1). Cara kerja suatu rangkaian logika dapat dijelaskan pada tabel kebenaran berikut ini.

A B C

Y

0 0 0 d0 0 1 10 1 0 00 1 1 d1 0 0 01 0 1 1

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 14

Y(A,B,C,D) = + +

DA

C 1

1

1

1

DCDC

CDDC

1

1

1

1

1 1 1

DB

Y(A,B,C) = +

AC 1

1

CC

CB 1

1

Tentukan fungsi Boolean yang telah disederhanakan dengan:a). Tanpa memanfaatkan kondisi don’t care.b). Dengan memanfaatkan kondisi don’t care.

Page 15: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

1 1 0 11 1 1 d

Penyelesaian: a). Tanpa memanfaatkan kondisi don’t care: Y(A,B,C) = +

b). Dengan memanfaatkan kondisi don’t care: Y(A,B,C) = +

2). F(A,B,C,D) = y ( 1, 3, 7, 11, 15 ) + d ( 0, 2, 5 ), tentukan persamaan Booleannya.

3). F(A,B,C,D) = y (0,3,4,7,13) . d(1,2,5,6,9), tentukan persamaan Booleannya.

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 15

1

CC CB 1

1 CBA

CBA

1

CC 1 d d

d 1

F(A,B,C,D) = +

1

1 1

DCDC

CDDC

d

1 1

d

d

F(A,B,C,D) = + 1

1

DCDC

CDDC

d

1

1

d d

1 1 d d

Page 16: Bab 4 (temu 7)

Mata kuliah TEKNIK DIGITAL

Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 16