BAB 3APLIKASI TURUNAN

3.1 Maksimum dan Minimum

Nilai Ekstrim

1. Apakah 𝑓(𝑥) memiliki nilai maksimum dan minimum pada 𝑆?

2. Jika ya, di manakah nilai maksimum dan minimum tersebut dicapai?

3. Jika ya, berapakah nilai maksimum dan minimum?

DefinisiMisalkan 𝑆, domain dari 𝑓 memuat titik 𝑐.i. 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di 𝑆.ii. 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di 𝑆.iii. 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum atau

minimumiv. fungsi yang ingin dimaksimumkan atau minimumkan disebut fungsi objektif.

Eksistensi Nilai Ekstrim

TeoremaJika 𝑓 fungsi kontinu pada selang tutup [𝑎, 𝑏], maka 𝑓 memiliki nilai maksimum dan minimum pada selang tersebut.

Di Mana Nilai Ektrim Terjadi?

Teorema Titik KritisMisalkan 𝑓 terdefinisi pada selang 𝐼 yang memuat titik 𝑐. Jika 𝑓(𝑐) adalah nilaiektrim, maka 𝑐 adalah titik kritis, yaitu salah satu darii. titik ujung selang dari 𝐼, atauii. titik stasioner dari 𝑓, yaitu titik 𝑐 di mana 𝑓′ 𝑐 = 0, atauiii. titik singular dari 𝑓 yaitu titik 𝑐 di mana 𝑓′ 𝑐 tidak ada.

Menemukan Nilai Ekstrim dari Fungsi 𝑓 pada Selang 𝐼

1. Tentukan semua titik kritis 𝑓 pada 𝐼.2. Evaluasi nilai 𝑓 pada semua titik kritis. Nilai terbesar adalah nilai

maksimum, nilai terkecil adalah nilai minimum.

Contoh1. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi 𝑓 𝑥 = −2𝑥3 + 3𝑥2

pada [−1

2, 2].

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 cos 𝑥pada [−𝜋, 2𝜋].

3. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥2/3 pada [−1,2].

3.2 Kemonotonan dan Kecekungan

Naik dan TurunDefinisiMisalkan 𝑓 terdefinisi pada selang 𝐼.i. 𝑓 dikatakan naik pada 𝐼, jika untuk setiap bilangan 𝑥1 dan 𝑥2

di 𝐼, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 ,ii. 𝑓 dikatakan turun pada 𝐼, jika untuk setiap bilangan 𝑥1 dan

𝑥2 di 𝐼, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 ,iii. 𝑓 dikatakan monoton pada 𝐼, jika 𝑓 naik atau turun.

Teorema KemonotonanMisalkan 𝑓 kontinu pada selang 𝐼 dan memiliki turunan di setiaptitik di dalam selang 𝐼. i. Jika 𝑓′ 𝑥 > 0 di setiap titik di dalam selang 𝐼, maka 𝑓 naik

pada 𝐼,ii. Jika 𝑓′ 𝑥 < 0 di setiap titik di dalam selang 𝐼, maka 𝑓 turun

pada 𝐼.

Contoh

Tentukan selang di mana fungsi berikut naik atau turun.

1. ℎ 𝑧 =𝑧4

4−

4𝑧3

6

2. 𝑓 𝑥 =𝑥−1

𝑥2

Kecekungan

DefinisiMisalkan 𝑓 memiliki turunan di selang buka 𝐼. i. 𝑓 dikatakan cekung ke atas pada 𝐼 jika 𝑓′ naik pada 𝐼,ii. 𝑓 dikatakan cekung ke bawah pada 𝐼 jika 𝑓′ turun pada 𝐼.

Teorema KecekunganMisalkan 𝑓 dapat diturunkan dua kali di selang buka 𝐼.

i. Jika 𝑓"(𝑥) > 0 untuk setiap 𝑥 pada 𝐼, maka 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼,ii. Jika 𝑓" 𝑥 < 0 untuk setiap 𝑥 pada 𝐼, maka 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼.

Contoh.Tentukan selang di mana fungsi berikut cekung ke atas atau ke bawah.

1. ℎ 𝑧 =𝑧4

4−

4𝑧3

6

2. 𝑓 𝑥 =𝑥−1

𝑥2

Contoh Lain

1. Sebuah agen berita melaporkan bahwa pada September 2016 tingkatpengangguran di Asia Timur selalu bertambah dengan laju yang juga bertambah. Di pihak lain, harga makanan memang naik, tapi dengan lajuyang lebih lambat dari sebelumnya.

Maknai pernyataan ini dengan menggunakan kemonotanan dan kecekungan.

2. Kopi dituangkan dengan laju 4 ml per detik ke dalam sebuahgelas seperti ditunjukkan oleh gambar di samping. Jari-jaripermukaan adalah 3.5 cm, jari-jari alas adalah 3 cm, dan tinggigelas adalah 5 cm. Daya tampung gelas ini adalah 0.17 l. Tentukan tinggi ℎ sebagai fungsi dari 𝑡, dan sketsalah grafikfungsi ℎ(t) dari 𝑡=0 sampai gelas tersebut penuh.

Titik Belok

Misalkan 𝑓 kontinu di 𝑐. (c, 𝑓 𝑐 ) disebut titik belok dari grafik 𝑓 jikaterjadi perubahan kecekungan dari 𝑓 di sebelah kiri dan kanan dari 𝑐.

Titik-titik di mana 𝑓′′ 𝑐 = 0 atau 𝑓′′ 𝑐 tidak ada adalah calon titikbelok.

Contoh

Tentukan titik belok dari fungsi berikut.

1. ℎ 𝑧 =𝑧4

4−

4𝑧3

6

2. 𝑓 𝑥 =𝑥−1

𝑥2

Tunjukkan bahwa pernyataan berikut benar.

1. Fungsi kuadrat tidak memiliki titik belok.

2. Suatu fungsi pangkat tiga selalu memiliki satu titik belok.

3.3 Ekstrim Lokal danEkstrim pada Selang Buka

Ekstrim Global vs Ekstrim Lokal

DefinisiMisalkan 𝑆, domain dari 𝑓 memuat titik 𝑐.i. 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal dari 𝑓 jika terdapat selang (𝑎, 𝑏) yang memuat 𝑐 sehingga 𝑓(𝑐)

adalah nilai maksimum dari 𝑓 pada (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆.ii. 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal dari 𝑓 jika terdapat selang (𝑎, 𝑏) yang memuat 𝑐 sehingga 𝑓(𝑐)

adalah nilai minimum dari 𝑓 pada (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆. iii. 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim lokal dari 𝑓 jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum atau minimum lokal.

Di Mana Nilai Ekstrim Lokal Terjadi?

Uji Turunan PertamaMisalkan 𝑓 kontinu pada selang buka (𝑎, 𝑏) yang memuat titik stasioner atau singular 𝑐. i. Jika 𝑓′ 𝑥 > 0 di setiap titik 𝑥 dalam (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′ 𝑥 < 0 di setiap titik 𝑥 dalam (𝑐, 𝑏) , maka 𝑓(𝑐)

adalah nilai maksimum lokal dari 𝑓.ii. Jika 𝑓′ 𝑥 < 0 di setiap titik 𝑥 dalam (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′ 𝑥 > 0 di setiap titik 𝑥 dalam (𝑐, 𝑏) , maka 𝑓(𝑐)

adalah nilai minimum lokal dari 𝑓.iii. Jika 𝑓′ 𝑥 memili tanda yang sama di sebelah kiri dan kanan 𝑐, maka 𝑓(𝑐) bukanlah nilai ekstrim lokal

dari 𝑓.

Uji Turunan Kedua

Contoh.

Tentukan nilai ekstrim lokal dari 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 2/3 on −𝜋

6,2𝜋

3.

Uji Turunan KeduaMisalkan 𝑓′ dan 𝑓" ada di setiap titik dalam selang buka (𝑎, 𝑏)yang memuat titik stasioner 𝑐. i. Jika 𝑓" 𝑥 < 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal dari 𝑓.ii. Jika 𝑓" 𝑥 > 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal dari 𝑓.

Ekstrim pada Selang Buka

Contoh.

Carilah (jika ada) nilai maksimum dan minimum dari fungsi berikut.

1. 𝐺 𝑝 =1

𝑝(1−𝑝)on (0,1).

2. ℎ 𝜃 = sin 𝜃 on 0,2𝜋 .

3.5 Grafik Fungsi Dengan Kalkulus

Mensketsa Grafik Fungsi

Langkah 1: Analisa Pre-Kalkulus

a) Tentukan domain dan range dari fungsi.

b) Uji kesimetrian.

c) Tentukan titik potong.

Langkah 2: Analisa Kalkulus

a) Gunakan turunan pertama untuk menemukan titik kritis dan selang kemonotonan.

b) Uji titik kritis untuk menentukan nilai ekstrim lokal.

c) Gunakan turunan kedua untuk menentukan selang kecekungan dan titik belok.

d) Carilah asimtot.

Langkah 3: Plot beberapa titik

Langkah 4: Sketsa grafik fungsi

Contoh1. Sketsa grafik fungsi berikut.

a) 𝐹 𝑠 = 𝑠4 − 2𝑠2 − 3

b) 𝑤 𝑧 =𝑧2+1

𝑧

2. Sketsa grafik fungsi 𝑓 yang memiliki sifat berikut:a) 𝑓 kontinu di mana-mana;b) 𝑓 −3 = 1;c) 𝑓′ 𝑥 < 0 for 𝑥 < −3, 𝑓′ 𝑥 > 0 for 𝑥 > −3, and 𝑓" 𝑥 < 0 for 𝑥 ≠ −3.

3. Misalkan 𝑓 fungsi kontinu dengan 𝑓 −3 = 𝑓 0 = 2. Jika graf 𝑦 = 𝑓′ 𝑥seperti pada gambar berikut, sketsalah suatu grafik untuk 𝑦 = 𝑓(𝑥).

3.4 Pemodelan Matematika

Langkah Pemecahan Masalah Optimasi

Langkah 1. Ilustrasikan masalah dan definisikan variabel.

Langkah 2. Buat formula untuk fungsi objektif 𝑄 yang akandimaksimum/minimumkan dalam variable di Langkah 1.

Langkah 3. Gunakan informasi dalam masalah untukmengeliminasi variabel lain sehingga 𝑄 merupakan fungsi satuvariabel.

Langkah 4. Tentukan semua titik kritis.

Langkah 5. Tentukan nilai maksimum dan minimum.

Contoh

1. Bilangan apa yang akarnya melebihi kelipatan delapan bilanganpaling besar?

2. Tentukan titik pada parabola 𝑦 = 𝑥2 yang terdekat ke titik 0,5 .

3. Seorang petani akan memagari dua kendang dengan bentuk yang persis sama, yang setiap kandangnya memiliki luas 900 meter persegi, seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Tentukan 𝑥 dan 𝑦supaya diperoleh pagar yang minimum.

Contoh Lain

4. Suatu kerucut tegak dimasukkan ke dalam kerucut tegak lain, sedemikiansehingga kedua kerucut memiliki sumbu pusat yang sama dan puncak darikerucut dalam menyentuh alas dari kerucut luar. Berapakah rasio dari tinggikedua kerucut tersebut agar kerucut dalam memiliki volume maksimum?

5. Pada Pk. 7.00 suatu kapal terletak 60 kilometer di sebelah Timur dari kapalkedua. Jika kapal pertama berlayar ke Barat dengan laju 20 km/jam dan kapalkedua berlayar ke Tenggara dengan laju 30 km/jam, kapankah kedua kapal ituakan berjarak terdekat?

6. Sebuah kawat dengan panjang 100 cm dipotong menjadi 2 bagian: satu bagiandibentuk menjadi persegi, dan bagian yang lain dibentuk menjadi segitiga samasisi. Di mana kawat tersebut dipotong agar

a) jumlah luas kedua bangun minimum? b) jumlah luas kedua bangun maximum?

(Diperbolehkan tidak terjadi pemotongan)

3.6 Teorema Nilai Rata-Rata untuk Turunan

TNR untuk Turunan

Jika 𝑓 fungsi kontinu dalam selang tutup [𝑎, 𝑏] dan memiliki turunan di (𝑎, 𝑏), maka terdapat paling sedikit satu bilangan 𝑐 di (𝑎, 𝑏) sehingga

𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎= 𝑓′(𝑐)

atau𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑐)(𝑏 − 𝑎)

Ilustrasi

Tentukan apakah TNR untuk Turunan berlaku pada fungsi berikut dalamselang yang diberikan. Jika ya, tentukan semua nilai c yang mungkin, jika tidak, berikan alasan.

1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ; 1,2

2. 𝑔 𝑥 = 𝑥 ; −2,2

3. 𝑆 𝑡 = sin 𝑡 ; −𝜋, 𝜋

Menggunakan TNR untuk Turunan

Teorema

Jika 𝐹′ 𝑥 = 𝐺′(𝑥) untuk setiap x di (a,b), maka terdapat konstanta 𝐶 sehingga𝐹 𝑥 = 𝐺 𝑥 + 𝐶

Contoh

1. Gunakan TNR untuk membuktikan bahwalim𝑥→∞

𝑥 + 2 − 𝑥 = 0

2. Budi berkendara sejauh 112 km dalam 2 jam dan bersumpah bahwa dia tidakpernah melampui kecepatan 55 km per jam. Gunakan TNR untuk membuktikanbahwa Budi berbohong.

3.8 Anti Turunan

Anti Turunan

penjumlahan vs pengurangan

perkalian vs pembagian

pemangkatan vs penarikan akar

operasi kedua membatalkan operasi pertama, dan sebaliknya

Definisi

𝐹 dikatakan anti turunan dari 𝑓 pada selang 𝐼 jika 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) untuk semua𝑥 dalam 𝐼.

Contoh

Tentukan anti turunan dari fungsi 𝑓 𝑥 = 4𝑥3 pada −∞,∞ .

Notasi dan Aturan Anti Turunan

𝐴𝑥 𝑥2 =1

3𝑥3 + 𝐶 or න𝑥2𝑑𝑥 =

1

3𝑥3 + 𝐶

Aturan Lain

Contoh

1. Tentukan integral tak tentu berikut.

a. 𝑠 𝑠+1 2

𝑠𝑑𝑠.

b. 𝑡2 − 2cos 𝑡 𝑑𝑡 .

c. 3𝑦

2𝑦2+5𝑑𝑦 .

d. sin 𝑥 cos 𝑥 1 + sin 𝑥 2𝑑𝑥 .

2. Carilah 𝑓"(𝑥) 𝑑𝑥 if 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥3 + 1.

3.8 Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial

Carilah persamaan untuk kurva yang melalui titik −1,2 dan gradiengaris singgung di setiap titik pada kurva adalah 2 kali koordinat-𝑥 titiktersebut.

Suatu persamaan di mana yang tidak diketahui adalah fungsi dan melibatkan turunan (atau diferensial) dari fungsi yang tidak diketahuidisebut persamaan diferensial.

Suatu fungsi yang ketika disubstitusi ke dalam persamaanmemberikan kebenaran disebut solusi dari persamaan diferensial.

Contoh.

Tunjukkan bahwa 𝑦 = 𝐶1 sin 𝑥 + 𝐶2 cos 𝑥 adalah solusi dari𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑦 = 0.

Persamaan Diferensial Orde Satu yang Dapat DipisahPersamaan diferensial orde satu yang dapat dipisah adalah persamaanyang melibatkan hanya turunan pertama dari fungsi yang tidakdiketahui di mana variabel dapat dipisahkan, yaitu hanya terdapat satuvariabel di setiap ruas persamaan.

Contoh.

Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut.

1.𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥

𝑦; 𝑦 = 4 pada 𝑥 = 1.

2.𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝑢3 𝑡3 − 𝑡 ; 𝑢 = 4 pada 𝑡 = 0.

Contoh Lain

1. Sebuah bola dilempar ke atas dari permukaan bumi dengankecepatan awal 96 m per detik. Berapakah tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tersebut?

2. Dimulai pada Stasiun A, suatu kereta bertambah cepat sebesar 3 meter per detik per detik selama 8 detik, kemudian berjalan denganlaju tetap 𝑣𝑚 selama 100 detik, dan akhirnya melakukanpengereman untuk berhenti pada Stasiun B sebesar 4 meter per detik per detik. Tentukana) 𝑣𝑚 dan

b) jarak antara A dan B.