persamaan garis | phibeta 1000, soal dan solusi persamaan garis, simak ui rumus jarak dua titik:...

1 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI

PERSAMAAN GARIS

1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009

Diketahui adalah garis l yang dinyatakan oleh det( ) 0A dimana

1 1 2

1

2 1 3

A x y

, persamaan garis

yang sejajar l dan melalui titik (3,4) adalah....

A. 7 0x y C. 1 0x y E. 1 0x y

B. 7 0x y D. 1 0x y

Solusi: [A]

1 1 2

det( ) 1 3 2 2 4 1 3 0

2 1 3

A x y y x y x

1 0x y

Gradien garis 1 0x y adalah 1m .

Dua garis sejajar mempunyai gradien sama, sehingga persamaan garis yang sejajar l dan

melalui titik (3,4) adalah

4 1 3y x

7 0x y


Diketahui 2 1

3 3P

, 1 2

1 0Q

, dan determinan dari matriks PQ adalah k. Jika garis

2 4x y dan 3 2 5x y

berpotongan di titik A, maka persamaan garis yang melalui A dengan

gradien sebesar k adalah....

A. 6 20 0x y C. 3 2 4 0x y E. 6 16 0x y

B. 2 3 6 0x y D. 6 16 0x y

Solusi: [E]

2 1 1 2

3 3 1 0PQ

6 3 0 2 6m PQ P Q

2 4x y 2 4y x 2 4 3 2 5y x x y

3 2 2 4 5x x

8 5x

3x


2 4 2 3 4 2y x

Titik 3, 2A .

Jadi, persamaan garis yang melalui A dengan gradien sebesar k adalah

2 6 3y x

6 16 0x y

3. SIMAK UI Matematika IPA 944, 2009

Diketahui determinan dari hasil perkalian matriks A dengan matriks B merupakan gradien garis g

dengan 1 2

0 1A

dan 0 2

1 1B

. Garis g melalui titik potong antara garis 3x y dengan

garis 3 1x y , maka persamaan garis g adalah....

A. 3 0y x C. 6 0y x E. 2 3 0y x

B. 2 0y x D. 2 4 0y x

Solusi: [B]

1 2 0 2

0 1 1 1AB

1 0 0 2 2gm AB A B

3x y .... (1)

3 1x y .... (2)

Persamaan (1) + Persamaan (2) menghasilkan:

4 4x 1x

1 3y

2y

Titik potongnya adalah 1, 2

Persamaan garis g adalah

2 2 1y x

2 0y x


Persamaan garis lurus yang dinyatakan dengan

1

1 2 1 0

1 3 2

y x

memenuhi sifat-sifat....

(1) memotong sumbu x di titik 1,0

(3) melalui 1, 2

(2) memiliki gradien 1 (4) tegak lurus garis 1 0x y

Solusi: [E]

1

1 2 1 0

1 3 2

y x

4 3 2 3 2 0y x x y

1 0x y

(1) Garis 1 0x y memotong sumbu X jika 0y , sehingga

0 1 0x

1x


Garis tersebut memotong sumbu x di titik 1,0 . (Benar)

(2) Garis 1 0x y memiliki gradien 1. (Benar)

(3) 1,2 1 0x y

1 2 1 0 (pernyataan bernilai benar)

Garis 1 0x y melalui 1, 2

(4) Gradien garis 1 0x y adalah 1 1m dan gradien garis 1 0x y adalah 2 1m .

Karenanya 1 2 1m m , sehingga pernyataan garis 1 0x y tegak lurus garis 1 0x y

adalah benar.

Semua pernyataan benar.


Diberikan sepasang persamaan 2 3 13x y dan 3 2x y b dengan 1 100b , dan b bilangan

bulat. Misalkan 2n x y , dengan x dan y adalah solusi dari persamaan di atas, yang berupa

bilangan bulat, maka nilai n yang memenuhi adalah....

(1) 4 (2) 3 (3) 1 (4) 2

Solusi: [-]

2 3 13x y .... (1)

3 2x y b .... (2)

2 Persamaan (1) + 3 Persamaan (2) menghasilkan

13 26 3x b

3

213

x b

3

2 2 3 1313

x b x y

3

2 2 3 1313

b y

3 6

3 2 2 13 913 13

y b b

2

313

y b

Perhatikan dari 1 100b yang menyebabkan nilai-nilai x dan y merupakan bilangan bulat

adalah 26,39,52,65,78,dan91b . Tetapi yang menyebabkan 2n x y , dengan n bilangan bulat

hanya untuk 26b , sehingga 3

26 2 813

x dan 2

26 3 113

y .

2 8 1 9n x y

9 3n 3atau 3n n

Hanya pernyataan (2) yang benar. Jadi, tidak ada pilihan opsinya.


Segitiga OAB adalah segitiga sama kaki (OA = OB). Titik O merupakan titik asal, dan B terletak

di sumbu X positif. Jika koordinat titik 3, 4A , maka koordinat titik berat segitiga OAB adalah....

A. 4 8

,3 3

B. 4 2

,3 3

C. 2 8

,3 3

D. 8 4

,3 3

E. 8 2

,3 3

Solusi: [D]


Rumus Jarak Dua Titik:

Jarak dari titik 1 1,x y ke titik 2 2,x y dirumuskan sebagai 2 2

2 1 2 1d x x y y

2 2

3 0 4 0 5OA

Segitiga OAB adalah segitiga sama kaki dengan 5OA OB .

Koordinat 5,0B .

Koordinat titik berat segitiga OAB adalah ,Z ZZ x y .

1 1 8

0 3 53 3 3

Z O A Bx x x x

1 1 4

0 4 03 3 3

Z O A By y y y

Jadi, koordinat titik berat segitiga OAB adalah 8 4

,3 3

Z

.


Pada suatu penangkaran terdapat burung pipit dan burung dara. Ketika 5 burung pipit dilepaskan,

jumlah burung dara dua kali burung pipit yang tersisa. Kemudian, ketika 25 ekor burung dara

dilepaskan, burung pipit yang tersisa adalah 3 kali burung dara yang tersisa. Jumlah burung pipit

semula adalah....

A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 E. 40

Solusi: [A]

Misalnya banyak burung pipit dan dara masing-masing adalah p dan d ekor.

Ketika 5 burung pipit dilepaskan, jumlah burung dara dua kali burung pipit yang tersisa:

2 5 2 10d p p .... (1)

Ketika 25 ekor burung dara dilepaskan, burung pipit yang tersisa adalah 3 kali burung dara yang

tersisa:

5 3 25p d .... (2)

Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh:

5 3 2 10 25p p 5 6 30 75p p

5 100p

20p

Jadi, jumlah burung pipit semula adalah 20 ekor.


Kurva I memuat titik-titik ,x y sehingga 1x u , 2 3y u , u bilangan real. Kurva II

memuat titik-titik ,x y dengan 2 2x v , 4 1y v , v bilangan real. Banyaknya titik yang

terletak pada kurva I sekaligus kurva II adalah...

A. 0 B. 3 C. 10 D. E. tidakdapatditentukan

Solusi: [D]

1 2 3u x y u

2 1 3 2 5y x x .... (I)

2 2 4 1v x y v

2 2 1 2 5y x x .... (II)

Persamaan kuarva I dan II sama, berarti kedua kurva ini berimpit.

Y

X

O

4

5,0B

3, 4A

,Z ZZ x y

C

D E


Jadi, banyaknya titik yang terletak pada kurva I sekaligus kurva II adalah .


Titik pada garis 3 10y x yang terdekat dengan titik 3,8

adalah titik P. Jarak titik P dan

3,8 adalah....

A. 11

10 B.

11 10

10 C.

91

10 D.

91 10

10 E.

121 10

10

Solusi: [B]

Jarak dari titik 1 1,x y ke garis 0ax by c adalah

1 1

2 2

ax by cd

a b

.

Dengan demikian,

22

3 3 8 10 11 11 10

10103 1

d


Tiga buah garis lurus 1l , 2l , dan 3l mempunyai gradien masing-masing 2, 3, dan 4. Ketiga garis

ini memotong sumbu y di titik yang sama. Jika jumlah nilai x dari titik potong dengan sumbu x

dari ketiga garis adalah1

9, maka persamaan garis 2l

adalah....

A. 117 39 4x y C. 117 39 4x y E. 39 117 4x y

B. 117 39 4y D. 39 117 4x y

Solusi: [B]

01 1 0

1

12

2

ym x y

x

02 2 0

2

13

3

ym x y

x

03 3 0

3

14

4

ym x y

x

1 2 3

1

9x x x

0 0 0

1 1 1 1

2 3 4 9y y y

0

6 4 3 1

12 9y

0

12 4

9 13 39y

2 0

1 1 4 4

3 3 39 117x y

Persamaan garis 2l adalah

1x y

a b

bx ay ab

Y

X 3

3 10y x

O

1

10

P 3,8 d

Y

X O

00, y

1l

2l

3l


4 4 4 4

39 117 39 117x y

117 39 4x y


Jika sistem persamaan

2 1

3

ax y b

x y

dan 22 2

3 3

x y a

x y

mempunyai solusi yang sama, maka banyaknya pasangan bilangan ( , )a b adalah....

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. tak berhingga

Solusi: [C]

Karena solusi kedua system persamaan adalah sama, maka kita dapat mencari nilai x dan y dari

persamaan 3x y .... (1) dan 3 3x y .... (2)

Persamaan (2) – Persamaan (1) menghasilkan:

2 0y

0y

0 3x

3x

Penyelesainnya adalah 3,0 .

23,0 2 2x y a

22 3 0 2a 2 4a

2a

2dan 3,0 2 1a ax y b

2 3 2 0 1b

1 6b

5atau 7b b

5 3 13 3

2 2

b a by x

a a

Pasalasangan bilangan ( , )a b adalah 2,5 dan 2, 7 .

Jadi, banyaknya pasangan bilangan ( , )a b adalah 2.


Diberikan sistem persamaan berikut

3

4 6

x ky

kx y

Banyaknya bilangan bulat k sehingga sistem tersebut mempunyai solusi 1x dan 0y adalah...

A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 E. tak berhingga

Solusi: [D]

3 4 6x ky kx y

3 4 6k ky y

23 4 6k k y y

2

3 23 6 3

2 2 24

kky

k k kk


33

2y x ky

k

3 6

32 2

kx

k k

Dari soal diketahui bahwa 0y dan 1x , sehingga

0y

30

2k

2k .... (1)

Dari soal diketahui bahwa 1x , sehingga

1x

61

2k

6 20

2

k

k

40

2

k

k

2 4k .... (2)

Dari (1) (2) diperoleh 2 4k .

Karena k bilangan bulat, maka nilai k adalah 1, 0, 1, 2, 3. Jadi, banyak bilangan k adalah 5.


Himpunan semua bilangan k sehingga sistem persamaan linier:

2

3

kx y

x y

mempunyai solusi adalah....

A. 1k atau 1k B. 1 0k C. 1k D. 0k E. 2k

Solusi: [A]

Determinan koefisien:

1 1

0 01 1 1 1

atauk k

1 0 1 0atauk k

1 1atauk k


Diketahui sistem persamaan linier berikut.

13 11 700

1

x y

mx y

Agar pasangan bilangan bulat ,x y memenuhi sistem persamaan linier tersebut, banyaknya nilai

m yang memenuhi adalah....

A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 E. 6

Solusi: [E]

1 13 11 700y mx x y

13 11 1 700x mx

13 11 711m x

13 11 1 711 3 237 9 79m x


Jika 1x , 700 13 700 13 1 687y x ,sehingga 1,687

Jika 711x , 700 13 700 13 711 8543y x ,sehingga 711, 8543





Jadi, banyaknya nilai m yang memenuhi adalah 6.

15. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 1, 2015

Diketahui garis 2 2 1 0x p y sejajar dengan garis 1 6 7 0p x y . Misalkan a dan b

adalah nilai-nilai p yang memenuhi kedua persamaan tersebut dengan a b , maka nilai dari

1

57 2log ....a

b

A. 15 B. 10 C. 6 D. 3 E. 2

Solusi: [B]

1

22 2 1 0

2x p y m

p

2

11 6 7 0

6

pp x y m

Karena kedua garis tersebut sejajar, maka 1 2m m , sehingga

2 1

2 6

p

p

212 3 2p p

2 3 10 0p p

5 2 0p p

5 2p b p a

11

557 2 5 2 2log log5 10

1

5

ab


Jika solusi 2 4x y dan 5ax y selalu berada di kuadran I, maka banyak nilai a yang

merupakan bilangan bulat nonnegatif adalah ....

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Solusi: [B]

2 4x y .... (1)

5ax y .... (2)

Penjumlahan persamaan (1) dan (2) menghasilkan

2 9a x

9

2x

a

92 4

2y

a

9

2 42

ya

19 8 4

2

a

a

11 4

2

a

a


Penyelesaiannya adalah 9 11 4

,2 2

a

a a

11 4

02

a

a

3

2 24

a

Nilai-nilai a yang bulat nonnegative adalah 1, 0, 1, 2.

Jadi, banyak nilai a yang merupakan bilangan bulat nonnegatif adalah 4.


Jika titik 3, , 9, 2 ,dan 3 ,11P a Q R a membentuk segitiga PQR, dan sudut PQR = 90o , maka

luas segitiga PQR adalah ....

A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 E. 60

Solusi: [B]

Karena PQ RQ , maka 1PQ RQm m , sehingga

2 2 111

9 3 9 3

a

a

18 9 54 18a a

9 36a

4a

3, 4 , 9, 2 ,dan 12,11P Q R

2 2

9 3 2 4 36 4 2 10PQ

2 2

12 9 11 2 9 81 90 3 10QR

1 1

2 10 3 10 302 2

PQR PQ QR


Jika x ay b , 2x by a , dan 3 4x aby , maka ....a b

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 E. 10

Solusi: [B]

1

2 0

3 4

a b

b a

ab

2 2 2 24 3 2 3 8 0b a ab b a b a 2 2 2 24 3 2 3 8 0b a ab b a b a

2 2 2 23 2 4 3 8 0b ab a b b a a

2 2 23 2 4 3 8 0a b a b a a

22 2 24 4 4 3 2 3 8

2 3 2

a a a a ab

a

19. SIMAK UI Matematika Dasar Kode2, 2016

Jika 2x y a , 2x by b , dan 3 2x ay b , maka ....ab

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 E. 10

Solusi: [B]

2x y a


2 2x y a x by b

2 2y a by b

4 2y a by b

4 2b y b a

2

4

b ay

b

22

4

b ax a

b

2 4 4 2

4 4

b a ab a ab b

b b

3 2x ay b

2 23 2

4 4

ab b b aa b

b b

2 23 6 2 2 8ab b ab a b b

2 24 2 2 2ab a b b

2 2 2a b ab b

2

a b b

a b b 1dan 2b a

2ab

Solusi 2: [B]

Syarat tiga garis berpotongan di satu titik adalah

1 2

2 0

3 2

a

b b

a b

2 22 6 2 3 8 0b b a ab ab b 2 22 6 2 4 8 0b b a ab b

2 22 2 4 2 0b a ab b

2 2 2 0a b ab b

2

a b b

a b b 1dan 2b a

2ab

Semoga bermanfaat...

persamaan garis | phibeta 1000, soal dan solusi persamaan garis, simak ui rumus jarak dua titik:...

Documents