Chapter 2

TURUNAN

2.1 Dua Masalah dengan Satu Tema

Garis Singgung (Euclid)

Garis singgung adalah garis yang menyentuh kurvahanya pada 1 titik.

- Euclid (323 – 285 BC)

Garis Singgung (Archimedes)

Garis singgung pada suatu kurva di titik P adalah garis yang dapatmengaproksimasi kurva dengan paling baik di sekitar P.

- Archimedes (227 – 212 BC)

Definisi Garis Singgung

Garis singgung pada kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) adalah garis yang melalui 𝑃 dengan gradien

𝑚𝑡𝑎𝑛 = limℎ→0

𝑚𝑠𝑒𝑐 = limℎ→0

𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐)

ℎjika limit tersebut ada dan bukan ∞ atau −∞.

Contoh

1. Carilah gradien garis singgung pada 𝑦 = 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 𝑥 + 2 di

titik dengan koordinat-𝑥 −1,1

2, 2,3.

2. Carilah persamaan garis singgung pada 𝑦 =1

𝑥di 2,

1

2.

Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat

Objek 𝑃 jatuh dalam keadaan hampa udara. Percobaan menunjukkan bahwa jikaobjek tidak diberikan kecepatan awal, 𝑃 jatuh dengan jarak 16𝑡2 kaki dalam 𝑡detik.

Kecepatan rata-rata dari 𝑃 dalam selang [1,2] adalah 16 2 2−16

2−1= 48.

Kecepatan rata-rata dari 𝑃 dalam selang [1,1.5] adalah 16 1.5 2−16

1.5−1= 40.

Kecepatan rata-rata dari 𝑃 dalam selang [1,1.1] adalah 16 1.1 2−16

1.1−1= 33.6.

Kecepatan rata-rata dari 𝑃 dalam selang [1,1.01] adalah 16 1.01 2−16

1.01−1= 32.16.

Definisi. Kecepatan Sesaat

Jika suatu objek bergerak sepanjang sumbu koordinat dengan fungsi posisi 𝑓(𝑡), maka kecepatan sesaat pada saat 𝑐 adalah

𝑣 = limℎ→0

𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐)

ℎjika limit tersebut ada dan bukan ∞ atau −∞.

Contoh

Suatu objek, yang pada awalnya tidak bergerak, jatuh karena gravitasi.

a. Tentukan kecepatan sesaat pada 𝑡 = 3.8 detik.

b. Berapa lama yang diperlukan aga objek tersebut mencapaikecepatan sesaat 112 kaki per detik?

2.2 Turunan

TurunanDefinisi. Turunan

Turunan dari suatu fungsi 𝑓 adalah fungsi lain 𝑓′ yang nilainya di sebarang 𝑥 adalah

limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

Jika limit tersebut ada, kita katakan 𝑓 dapat diturunkan di 𝑥. Proses pencarianturunan disebut penurunan dan bagian dari Kalkulus yang berhubungan denganturunan disebut Kalkulus Diferensial.

Contoh.

1. Misalkan 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 7𝑥. Carilah 𝑓′ 4 .

2. Tentukan 𝐹′ 𝑥 jika 𝐹 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ≥ 0.

Bentuk Lain dari Turunan

Contoh. Limit berikut menyatakan turunan. Dari fungsi apa dan pada titik mana?

a. limℎ→0

4+ℎ 2−16

ℎ

b. lim𝑥→3

2

𝑥−2

3

𝑥−3

Dapat DiturunkanMengakibatkan Kekontinuan

Teorema.

Jika 𝑓’(𝑐) ada maka 𝑓 kontinu di 𝑐.

Bukti?

Konvers dari Teorema di atas tidak benar.

Fungsi kontinu tidak dapat diturunkan pada titik di mana grafik fungsi memiliki ujungtajam.

Notasi Leibniz

Perubahan dalam 𝑥 dinotasikan dengan ∆𝑥. Sejalan dengan perubahandalam 𝑥, terdapat juga perubahan dalam 𝑦, ∆𝑦.

Grafik Tungsi Turunan

Turunan 𝑓′(𝑥) memberikan graien dari garis singgung pada 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik𝑥.

Contoh.Diberikan grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥), sketsa grafik 𝑦 = 𝑓′(𝑥)

2.3 Aturan Turunan

Turunan adalah Operator

Tiga notasi untuk turunan:

𝑓′(𝑥) atau 𝐷𝑥𝑓(𝑥) atau 𝑑𝑦

𝑑𝑥

Aturan Konstan dan Pangkat

Teorema. Aturan Fungsi Konstan

Jika 𝑓 𝑥 = 𝑘, dengan 𝑘 konstanta, maka 𝑓’(𝑥) = 0.𝐷𝑥 𝑘 = 0.

Teorema. Aturan Fungsi Identitas

Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥, maka 𝑓’(𝑥) = 1.𝐷𝑥 𝑥 = 1.

Teorema. Aturan pangkat

Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛, dengan 𝑛 bilangan bulat positif, maka 𝑓’(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1.𝐷𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1.

𝐷𝑥 adalah Operator Linear

Teorema. Aturan Perkalian Konstan

Jika 𝑘 konstanta dan 𝑓 memiliki turunan, maka𝐷𝑥 𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘𝐷𝑥 𝑓(𝑥) .

Teorema. Aturan Penjumlahan

Jika 𝑓 dan 𝑔 memiliki turunan, maka𝐷𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) + 𝐷𝑥 𝑔(𝑥) .

Contoh. Carilah turunan dari 4𝑥6 − 2𝑥4 + 6𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 101.

Aturan Perkalian dan Pembagian

Apakah turunan dari hasil kali merupakan hasil kali dari turunan?

Teorema. Aturan Perkalian

Jika 𝑓 dan 𝑔 memiliki turunan, maka𝐷𝑥 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝐷𝑥 𝑔(𝑥) .

Teorema. Aturan Pembagian

Jika 𝑓 dan 𝑔 memiliki turunan, dengan 𝑔(𝑥) ≠ 0, maka

𝐷𝑥𝑓 𝑥

𝑔(𝑥)=𝐷𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝐷𝑥 𝑔(𝑥) .

𝑔2(𝑥)

Contoh

1. Tentukan 𝐷𝑥 3𝑥2 − 5 6𝑥4 + 2𝑥

2. Tentukan 𝐷𝑥𝑦 if 𝑦 =2

𝑥4+1+

3

𝑥

3. Tunjukkan 𝐷𝑥 𝑥−𝑛 = −𝑛𝑥−𝑛−1

2.4 Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan sin 𝑥 dan cos 𝑥

Teorema.

𝐷𝑥 sin 𝑥 = cos 𝑥 dan 𝐷𝑥 cos 𝑥 = −sin 𝑥

Contoh.

1. Tentukan 𝐷𝑥 𝑥2 sin 𝑥 .

2. Tentukan persamaan garis singgung pada grafik 𝑦 = 3 sin 𝑥 di titik𝜋, 0 .

Turunan Fungsi Trigonometri Lainnya

Teorema.

Untuk setiap x di domain fungsi,

𝐷𝑥 tan 𝑥 = sec2𝑥 𝐷𝑥 cot 𝑥 = − csc2𝑥

𝐷𝑥 sec 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥 𝐷𝑥 csc 𝑥 = − csc 𝑥 cot 𝑥

Contoh.

1. Tentukan 𝐷𝑥 𝑥𝑛 tan 𝑥 .

2. Tentukan semua titik di grafik 𝑦 = sin2 𝑥 yang garis singgungnyahorisontal.

2.5 Aturan Rantai

Turunan Fungsi Komposisi

Teorema. Aturan Rantai

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥). Jika 𝑔 dapat diturunkan di 𝑥 dan 𝑓dapat diturunkan di 𝑢 = 𝑔(𝑥), maka fungsi komposisi 𝑓°𝑔, yang didefinisikan oleh 𝑓°𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 , juga dapat diturunkan di 𝑥, dan

𝐷𝑥[𝑓 𝑔 𝑥 ] = 𝑓′(𝑔 𝑥 )𝑔′(𝑥)

atau𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Contoh

1. Jika 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 160, tentukan 𝐷𝑥𝑦.

2. Tentukan 𝐷𝑡𝑡3−2𝑡+1

𝑡4+3

13

.

3. Tentukan 𝐹′(𝑦), dengan 𝐹 𝑦 = 𝑦 sin 𝑦2 .

4. Tentukan 𝐷𝑥 sin cos 𝑥2 .

2.6 Turunan Tingkat Tinggi

Notasi Turunan

Contoh.

Jika 𝑦 = sin 2𝑥,

tentukan𝑑12𝑦

𝑑𝑥12.

Contoh

1. Tentukan 𝑑3

𝑑𝑥3(sin 𝑥3).

2. Tunjukkan 𝐷𝑥𝑛 𝑥𝑛 = 𝑛!

3. Carilah formula untuk 𝐷𝑥𝑛 1

𝑥.

4. Suatu objek bergerak sepanjang lintasan horizontal menurutformula 𝑠 = 𝑡2 +

16

𝑡, 𝑡 > 0.

a. Tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t.b. Kapankah objek akan bergerak ke kanan? Ke kiri?c. Kapankah percepatannya negatif?d. Gambarkan diagram yang menggambarkan pergerkan objek.

2.7 Turunan Implisit

Fungsi Eksplisit vs Fungsi Implisit

𝑦 = tan 2𝑥 + 14𝑥2𝑦 − 3𝑦 = 𝑥3 − 1

𝑥2 + 𝑦2 = 25𝑦3 + 7𝑦 = 𝑥3

sin 𝑥𝑦 = 1

Apakah turunan 𝑦’ dari fungsi-fungsi tersebut?

Contoh

1. Tentukan 𝑑𝑦/𝑑𝑥 if 4𝑥2𝑦 − 3𝑦 = 𝑥3 − 1. Tentukan juga 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2.

2. Jika 𝑠2𝑡 + 𝑡3 = 1, tentukan 𝑑𝑠/𝑑𝑡 dan 𝑑𝑡/𝑑𝑠.

3. Sketsalah grafik lingkaran 𝑥2 + 4𝑥 + 𝑦2 + 3 = 0 dan carilah persamaan dua garis singgung yang melewati titikasal.

Aturan Pangkat (Lagi)

Teorema. Aturan pangkat

Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑟, dengan 𝑟 bilangan rasional tak nol, maka untuk 𝑥 > 0, 𝑓’(𝑥) = 𝑟𝑥𝑟−1

atau𝐷𝑥 𝑥𝑟 = 𝑟𝑥𝑟−1.

Bukti?

2.7 Laju yang Berkaitan

Contoh

1. Setiap sisi dalam suatu kubus bertambah panjang dengan laju 3 mm per detik. Seberapa cepat volume kubus tersebut bertambah pada saat sisikubus tersebut 12 mm?

2. Air dituangkan ke dalam suatu tanki berbentuk kerucut terbalik denganlaju 8 𝑚3 per menit. Jika tinggi tanki 12 m dan jari-jari lingkaranpermukaan adalah 6 m, seberapa cepat ketinggian air meningkat pada saat ketinggian air 4 m?

3. Suatu pesawat terbang ke arah Utara dengan kecepatan 640 mil per jam dan melewati suatu kota pada tengah hari. Pesawat kedua terbang keTimur dengan kecepatan 600 mil per jam juga berada di atas kota yang sama 15 menit kemudian. Jika kedua peswat tersebut terbang pada ketinggian yang sama, seberapa cepat mereka akan berpisah pada Pk. 13:15?

2.9 Turunan dan Aproksimasi

∆𝑦 dan 𝑑𝑦

Jika ∆𝑥 sangat kecil maka

∆𝑦 adalah perubahan sebenarnya pada 𝑦

𝑑𝑦 merupakan aproksimasi untuk ∆𝑦

Diferensial

Definisi. Diferensial

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) merupakan fungsi yang dapat diturunkan terhadap variabel bebas 𝑥.

∆𝑥 adalah perubahan dalam variabel bebas 𝑥.

𝑑𝑥, diferensial dari variabel bebas 𝑥, adalah sama dengan ∆𝑥.

∆𝑦 adalah perubahan sebenarnya dari 𝑦 pada saat 𝑥 berubah dari 𝑥 ke 𝑥 + ∆𝑥.

𝑑𝑦, diferensial dari variabel tak bebas 𝑦, didefinisikan sebagai 𝑑𝑦 = 𝑓’(𝑥)𝑑𝑥.

Contoh.

Tentukan 𝑑𝑦 jika

1. 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 + 1

2. 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥

3. 𝑦 = sin( 𝑥4 − 3𝑥2 + 11)

Turunan vs Diferensial

Aproksimasi

Contoh.

1. Misalkan Anda membutuhkan aproksimasi untuk 4.6 dan 8.2, tapi kalkulator Anda mati. Apa yang akan Anda lakukan?

2. Gunakan diferensial untuk mengaproksimasi pertambahan luaspermukaan gelembung sabun (yang berbentuk bola) ketika jari-jarinya bertambah dari 3 cm ke 3.025 cm.

Estimasi Galat

1. Sisi suatu kubus diukur sebagai 11.4 cm dengan kemungkinan kesalahan± 0.05 cm. Evaluasi volume kubus dan berikan estimasi kesalahan darinilai volume tersebut.

absolute error vs relative error

2. Hukum Poiseuille untuk aliran darah mengatakan bahwa volume darahyang mengalir melalui pembuluh darah sebanding dengan pangkatkeempat dari jari-jari pembuluh darah tersebut, yaitu, 𝑉 = 𝑘𝑅4. Seberapa banyak jari-jari harus bertambah agar aliran darah bertambahsebanyak 50%?

Aproksimasi Linear

𝐿 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)

Tentukan dan aproksimasi linear untuk 𝑓 𝑥 = 1 + sin 2𝑥.