2

BAB 2KINEMATIKA GELOMBANGAlam semesta ini dipenuhi berbagai jenis gelombang baik yang termasuk gelombang mekanik maupun elektromgnetik. Contohnya, gelombang gempa (seismik), gelombang permukaan air, gelombang bunyi, gelombang elektromagnetik diantaranya gelombang TV, gelombang radio, gelombang mikro, cahaya tampak, ultra violet, dan sinar X. Selain itu juga ada gelombang gempa bumi dan gelombang otak yang kesemuanya hanya sebagian kecil dari contoh-contoh gelombang yang ada di permukaan bumi.

Perbedaan antara gelombang dan getaran adalah bahwa gelombang merupakan getaran yang merambat melalui medium tertentu, atau gelombang bergerak dalam ruangan, sedangkan getaran tidak merambat atau terlokalisasi. Sebagai contoh adalah gelombang bunyi di udara yang berasal dari getaran pita suara manusia. Suara manusia terjadi karena adanya getaran pita suara di tenggorokan. Tetapi gelombang bunyi dihasilkan oleh getaran pita suara yang merambat melalui udara (merupakan medium bagi gelombang bunyi). Oleh karena itu jika kita berbicara tentang gelombang harus membahas juga tentang medium bagi gelombang tersebut. Untuk getaran, variabel waktu (t) merupakan satu-satunya variabel bebas, artinya jika ditetapkan suatu harga t, maka akan diperoleh nilai sesaat pada besaran getaran. Untuk gelombang, selain variabel waktu (t), kita mempunyai variabel bebas lain, yaitu koordinat x.

Dalam bab kinematika gelombang ini kita akan mempelajari tentang terjadinya gelombang, persamaan gelombang, gelombang sinusoidal, dan nonsinusoidal serta superposisi gelombang. Sebelum mempelajari bab ini sebaiknya kita sudah memahami lebih dahulu segala sesuatu yang berkaitan dengan getaran.2.1. Terjadinya Gelombang Transversal

Jika sebuah massa digantungkan pada suatu pegas kemudian pegas tersebut ditarik atau ditekan dan kemudian dilepaskan, maka akan terjadi getaran. Apabila gesekan diabaikan, maka sistem pegas massa ini akan terus bergetar. Jika sebuah tali yang ringan diikatkan pada massa, maka tali akan ikut bergetar bersama massa. Pada saat yang bersamaan terbentuk pola gelombang yang merambat sepanjang tali, dengan periode tertentu.

Gambar 2.1 berikut menunjukkan keadaan tali pada saat t = 0 sampai dengan t = T (satu periode), atau ketika getaran yang merambat tersebut difoto pada saat-saat tertentu, sebuah titik bergerak naik turun pada tali walaupun gelombang tali bergerak dari kiri ke kanan.

t = 0

abcdefgt = T/4t = T/2

t = 3T/4

t = TGambar 2.1. Gelombang mekanik pada tali oleh sistem pegas massa

Gelombang yang merambat pada tali yang disebabkan oleh getaran massa pada Gambar 2.1 merupakan salah satu contoh dari gelombang mekanik. Pada Gambar 2.1. tampak bahwa semua titik dalam medium tali bergerak naik turun, dan gelombang tali merambat dari kiri ke kanan. Pada saat t = 0, semua titik masih dalam keadaan setimbang. Pada saat t = T/4, titik a bergerak keatas, sedangkan titik yang lain masih diam. Pada t = T/2, titik a sudah turun dan berada dalam posisi setimbang, titik b berada di posisi atas, sedangkan titik yang lain masih diam. Pada t = 3T/4, titik a berada di posisi bawah, titik b kembali pada posisi setimbang dan titik c berada di atas, sedangkan titik yang lain masih diam. Pada saat t = T (satu periode), titik a kembali pada kedudukan setimbang, titik b berada di bawah, titik c berada pada posisi setimbang dan titik d sedang berada pada posisi atas, sedangkan titik yang lain masih diam. Demikian seterusnya, gerakan semua titik dalam medium tali dari waktu ke waktu berikutnya. Dapat kita lihat, bahwa pada saat t = T (satu periode), maka gelombang sudah menempuh jarak sepanjang satu panjang gelombang () atau sama dengan panjang satu bukit gelombang ditambah satu lembah gelombang. Dengan kata lain, panjang gelombang adalah jarak yang ditempuh oleh gelombang selama satu periode.Jika cepat rambat gelombang atau jarak yang ditempuh oleh gelombang tiap satuan waktu dinyatakan dengan cw , maka hubungan antara cw, dan T adalah

(2.1)

Frekuensi gelombang adalah jumlah gelombang yang melewati sebuah titik tiap satuan waktu. Karena , maka

(2.2)Contoh gelombang yang telah dibahas di depan adalah gelombang sinusoidal (gelombang harmonis). Jika sumber getar berupa sinusoidal, maka gelombang yang dihasilkan juga berbentuk sinusoidal. Seandainya kita memegang tali kemudian menghentakkannya, maka bentuk gelombang yang terjadi adalah pulsa. Namun pulsa juga merambat sama halnya dengan perambatan gelombang sinusoidal seperti Gambar 2.2 berikut ini.

cwGambar 2.2 Perambatan gelombang pulsa

Sesungguhnya yang kita saksikan dalam kehidupan sehari-hari jauh dari keadaan gelombang sinusoidal sederhana. Gelombang-gelombang tersebut memiliki struktur yang cukup rumit. Suara manusia dapat dengan mudah disaksikan di osiloskop dengan mendekatkan mikrofon ke tenggorokan. Maka tampak pada osiloskop bentuk gelombang yang cukup rumit yang hampir tidak mendekati gelombang sinusoidal.

Tidaklah penting seberapa rumit bentuk gelombang, tetapi tetap ada jalan keluar untuk mendekati bentuk gelombang-gelombang tersebut ke dalam bentuk gelombang-gelombang sinusoidal. Prosedur ini disebut dengan analisis fourier yang akan kita pelajari dalam bab ini juga. Oleh karena itu kita dapat mendiskusikan gelombang dalam bentuk fungsi sinusiodal sederhana, cosinus atau sinus.2.2. Gelombang Sinusoidal atau Gelombang Harmonis

Jika sebuah gelombang sinusiodal dengan amplitudo A meter, frekuensi hertz, dan panjang panjang gelombang ( meter merambat ke arah sumbu x positif dengan kecepatan cw m/s, maka gerakan semua titik di sepanjang gelombang mempunyai simpangan y yang dapat dinyatakan dengan

(t = 0)

(2.3)

yang merupakan bentuk periodik dengan jarak tempuh (. Hasil pemotretan selanjutnya saat t = (, yaitu saat seluruh bentuk gelombang telah berpindah ke arah x positif sejauh cw( meter. Jika fungsi f (x) berubah kedudukan ke arah sumbu x positif sejauh a diberikan oleh persamaan f (x-a), maka persamaan yang menggambarkan bentuk gelombang saat t = ( diberikan oleh :

(2.4)

Saat t = 2( (pemotretan ketiga), persamaan bentuk gelombangnya adalah :

(2.5)

dan seterusnya, sehingga kita dapat dengan mudah membuat persamaan untuk kasus sembarang waktu t, dan sembarang posisi x dengan persamaan

(2.6)

Jadi dapat kita lihat, bahwa simpangan merupakan fungsi f (x,t) dan dapat ditulis:

f (x,t) =

(2.7)

dengan dinamakan sudut phase gelombang. Untuk selanjutnya, kita perkenalkan suatu besaran yang didefinisikan sebagai , yang disebut bilangan gelombang, yang menyatakan banyaknya gelombang tiap satuan panjang. Satuan bilangan gelombang adalah 1/m atau m-1. Dengan demikian persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai

f(x,t) =

Pada umumnya persamaan gelombang sinus ditulis sebagai berikut

atau

(2.8)

adalah konstanta phase, yaitu sudut phase gelombang pada x = 0 dan t = 0

( cw

t = 0

x

t = (

x

cw (t = 2( 2 cw (

x

Gambar 2.3. Hasil pemotretan gelombang pada saat t = 0, dan pada saat gelombang sudah berpindah sejauh cw ( dan sejauh 2cw (

Sampai pada persamaan (2.8) kita masih membatasai diri pada persoalan gelombang tali. Gelombang semacam ini baik sekali digunakan sebagai contoh penjalaran gelombang dan sifat gelombang satu dimensi, sebab medium yang digunakan, yaitu tali, dapat dianggap mempunyai dimensi satu. Jadi tali dianggap hanya mempunyai panjang saja dan gelombang hanya dapat menjalar disepanjang tali, sehingga hanya ada satu dimensi arah penjalaran. Dengan mempelajari sifat gelombang pada tali, kita dapat mempelajari banyak sifat gelombang yang lain.

Contoh 2.1

Cepat rambat gelombang dalam tali adalah 20 m/s. Penggetar yang mempunyai frekuensi 15 hertz dikaitkan dengan ujung tali tersebut. Carilah ( dari gelombang yang muncul dalam tali. Jika amplitudonya 2,0 cm tentukan persamaan gelombang tali tersebut !

Penyelesaian

Persamaan gelombang secara umum adalah

y = A sin (kx - (t)

Panjang gelombang dapat ditentukan

Sehingga persamaan gelombang yang merambat pada tali adalah

y = 0,02 sin (4,83 x 94,25 t) meter

Gelombang dua dimensi

Gelombang pada permukaan air merupakan suatu contoh gelombang dua dimensi, karena medium gelombang ini yaitu permukaan air, mempunyai dimensi dua, yaitu panjang dan lebar. Gelombang periodik pada permukaan air dapat berupa gelombang lingkaran atau gelombang lurus. Sebuah gelombang disebut gelombang lingkaran jika muka gelombang berbentuk lingkaran dan disebut gelombang lurus jika muka gelombang berbentuk garis lurus.

Gambar 2.4. Gelombang lurus sinus menjalar pada arah

Dalam medium berdimensi dua, vektor kecepatan gelombang dinyatakan dengan vektor . Bilangan gelombang juga harus dinyatakan dengan vektor yang memenuhi hubungan

, dengansebagai frekuensi gelombang. Jadi arah sinar gelombang dapat dinyatakan oleh vektor gelombang . Pada Gambar 2.4. sudut phase gelombang di titik P sama dengan sudut phase gelombang di titik Q, karena kedua titik ini terletak pada muka gelombang yang sama. Sudut phase di titik Q adalah

dan sudut phase di titik P adalah

Selanjutnya, suatu gelombang lurus atau gelombang datar dapat kita nyatakan dengan fungsi gelombang

(2.9)

denganadalah vektor bilangan gelombang yang mempunyai besar dan mempunyai arah sama dengan arah rambat gelombang.Contoh 2.2

Suatu gelombang yang menjalar pada permukaan air mempunyai persamaan dengan dan . Tentukan panjang gelombangnya. Tentukan pula besar sudut phase dan simpangannya pada dan pada saat t = 10 detikPenyelesaian

Panjang gelombang dapat ditentukan dengan persamaan

atau

= 20 cm

Sudut phase gelombang di dan pada saat t = 10 detik, adalah

rad

Simpangannya adalah

2.3. Persamaan Diferensial Gelombang

Sudah dijelaskan di awal bahwa gelombang merupakan gejala perambatan gangguan dengan sumber gangguan berupa sistem getaran. Telah kita ketahui pula bahwa sistem getaran mempunyai fungsi yang bergantung kepada waktu, yaitu f(t), dan persamaan diferensial getaran mempunyai bentuk

Untuk persamaan gelombang haruslah ada tambahan variabel dari perambatan (dimensi ruang), sehingga persamaan gelombang dapat dinyatakan seperti persamaan (2.8).

Untuk = 0, maka persamaan gelombang mempunyai bentuk

(2.10)persamaan tersebut adalah periodik untuk koordinat ruang x dan waktu t, sehingga persamaan diferensialnya berisi dan yang dapat dituliskan sebagai berikut

Jika

(2.11)

Persamaan (2.11) berlaku secara umum untuk segala macam gelombang bebas satu dimensi, baik gelombang transversal maupun longitudinal. Persamaan ini juga tidak bergantung pada jenis medium.Jika dinamakan diferensial parsial dan dapat dituliskan sebagai , maka

Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk gelombang satu dimensi

EMBED Equation.3

(2.12)

atau

(2.13)

Persamaan (2.12) disebut dengan persamaan gelombang dalam bentuk diferensial, yang mempunyai solusi

tanda (-) artinya gelombang merambat ke kanan, dan (+) menyatakan arah rambatnya ke kiri. Fungsi f(x - cwt) tidak selalu mempunyai bentuk sinusiodal, tetapi dapat mempunyai beberapa bentuk, misalnya pulsa, segitiga, bujursangkar dan sebagainya, atau yang disebut dengan gelombang nonsinusiodal. Sebagai contoh, marilah kita lihat persamaan gelombang yang dinyatakan dengan

dengan A = amplitudo dan a = lebar pulsa. Pada t = 0

Fungsi ini mempunyai bentuk pulsa eksponensial yang merambat kearah positif dengan cepat rambat cw, setelah t detik, pulsa menempuh jarak cw t seperti pada Gambar 2.5.

f(x,t)

A C t t =0

C t tC t xGambar 2.5. Gelombang pulsa eksponensial dilihat pada saat yang berbeda

Meskipun persamaan (2.12) diturunkan untuk kasus khusus gelombang satu dimensi yaitu f (x,t) yang merambat dalam arah x, tetapi bentuk persamaannya berlaku secara umum. Untuk gelombang tiga dimensi f (r,t) dalam koordinat Cartesius, persamaan gelombangnya adalah

(2.13a)

dengan operator del (nabla)

(2.13b)Persamaan (2.13a) mengungkapkan persamaan gelombang datar, yaitu muka gelombangnya (tempat kedudukan titik-titik yang berphase sama berupa bidang datar). Untuk gelombang bola, dengan transformasi ke koordinat bola, persamaan (2.13a) menjadi

(2.13c)Untuk tempat yang jauh dari sumber r >>, gelombang bola dapat dipandang sebagai gelombang datar, karena jari-jari muka gelombang mendekati tak hingga, sehingga muka gelombangnya mendekati bidang datar.

Contoh 2.3

Jelaskan manakah di antara fungsi-fungsi berikut ini yang mengungkapkan secara nyata sebuah gelombang merambat dan berapakah kecepatannya a.

b.

Penyelesaian

Suatu fungsi akan merupakan fungsi gelombang merambat jika memenuhi persamaan gelombang umum (Persamaan 2.12). Untuk itu marilah kita lihat apakah fungsi yang tertulis dalam soal a dan b memenuhi persamaan (2.12) a.

(2.14)

(2.15)

Dari persamaan (2.14) dan (2.15) maka dapat disimpulkan bahwa

, dengan mengingat persamaan (2.12), maka fungsi tersebut adalah menyatakan persamaan gelombang merambat, dengan kecepatan rambatnya sebesar

.

b.

(2.16)

(2.17)

Dari persamaan (2.16) dan (2.17), dapat disimpulkan bahwa

sehingga fungsi bukan persamaan gelombang merambat2.4. Superposisi Gelombang

Kita telah mengetahui bahwa jika suatu gelombang merambat melalui suatu titik, maka gelombang itu akan menimbulkan gangguan di titik tersebut. Gangguan ini dapat berupa besaran vektor dan dapat pula berupa besaran skalar. Gangguan yang berupa besaran vektor, misalnya kuat medan listrik dan magnet pada gelombang elektromagnetik serta simpangan elemen dawai pada gelombang transversal dalam dawai tegang. Gangguan skalar misalnya perubahan tekanan pada gelombang bunyi. Semua gangguan tersebut bergantung kepada posisi titik yang kita tinjau dan juga tergantung pada waktu (saat terjadinya gangguan).

Pada bagian ini kita akan membahas apa yang terjadi jika kita mempunyai dua atau lebih gelombang yang sejenis melalui suatu titik atau melalui deretan titik-titik dalam ruang atau yang melalui suatu daerah dalam ruang. Sebagai contoh dua gelombang bunyi yang sama-sama berada di udara.

Prinsip superposisi yaitu sifat yang menyatakan bahwa resultan gangguan di setiap titik dalam suatu medium adalah jumlah aljabar dari masing-masing gelombang yang membentuknya. Untuk pembahasan berikut ini kita batasi pada gelombang sinus.2.4.1. Superposisi dua gelombang sinus yang memiliki amplitudo sama tapi frekuensi berbeda

Kita bahas terlebih dulu dua gelombang sinus yang mempunyai amplitudo sama, tetapi mempunyai frekuensi berbeda yaitu dan ,yang keduanya merambat dalam arah positif. Dua gelombang tersebut mempunyai bilangan gelombang yang berbeda yaitu k1 dan k2. Persamaan dua gelombang tersebut adalah

, dan

Hasil penjumlahan dua gelombang adalah

(2.18)Ingat bahwa

(2.19)

maka

(2.20)

Jika dan mempunyai harga yang persis sama, demikian juga k1 dan k2, maka persamaan gelombang resultan adalah

(2.21)

Dalam persamaan (2.21) tampak bahwa gelombang resultan mempunyai amplitudo dua kali amplitudo gelombang asal.

Layangan

Jika dan mempunyai harga yang berselisih sedikit, demikian juga k1 dan k2, sehingga dapat dinyatakan bahwa

dengan berharga kecil

(2.22)demikian juga

dengan berharga kecil

(2.23)

maka persamaan gelombang resultan adalah

(2.24)

Karena

Dan

Dari persamaan (2.24) dapat dilihat bahwa gelombang resultan merupakan gelombang harmonis, yang mempunyai amplitudo

(2.25)

Amplitudo ini juga berbentuk gelombang yang merambat dengan kecepatan

(2.26)

amplitudo gelombang berbentuk amplop atau group gelombang, sehingga disebut gelombang group. Kecepatan gelombang group dinyatakan dengan

(2.27)dengan panjang gelombangnya adalah

(2.28)

Dari persamaan (2.24) kecepatan gelombang harmonis disebut kecepatan phase

(2.29)dan panjang gelombangnya adalah

(2.30)

Jika kita gambarkan masing-masing gelombang dan superposisinya ini, seperti Gambar 2.6. Pada gambar tampak bahwa hasil superposisi kedua gelombang berupa gelombang group (amplop) dengan kecepatan gelombangnya disebut kecepatan group.

Gambar 2.6. Hasil superposisi dua gelombang dengan perbedaan frekuensi yang kecil

Jika kita memotret gelombang resultan yang dinyatakan dalam persamaan (2.24) atau kita potret gelombang tersebut pada saat t = 0, maka

(2.31)

Karena k karena dan adalah panjang gelombang layangan.

Periode layangan =

(2.32)Dan frekuensi layangan adalah =

(2.33)Contoh terjadinya layangan adalah jika dua sumber gelombang bunyi yang masing-masing mempunyai frekuensi dengan beda sedikit, misal 567 Hz dan 570 Hz yang dibunyikan bersama-sama, maka akan kita dengar bunyi layangan dengan frekuensi 7 layangan per detik.

Contoh 2.4

Dua buah gelombang sinusiodal mempunyai persamaan

dan . Tentukan

a. persamaan gelombang resultannya

b. frekuensi layangan

c. panjang gelombang layangan

Penyelesaian a. Persamaan gelombang resultannya adalah

b, Frekuensi layangan adalah

c. Panjang gelombang layangan =

Gelombang dispersif dan nondispersif

Gelombang yang diungkapkan dengan persamaan (2.13) mempunyai cepat rambat yang konstan. Grafik frekuensi sudut sebagai fungsi bilangan gelombang k ditunjukkan pada Gambar 2.7. Hubungan antara dan k disebut dengan hubungan dispersif. Gelombang dengan kecepatan konstan, tak bergantung frekuensi disebut dengan gelombang nondispersif.

Gambar 2.7. Hubungan dan k untuk gelombang nondispersifSelama merambat, gelombang nondispersif mempunyai pola yang tetap. Bila gelombang berupa pulsa, maka pulsa akan merambat tanpa mengalami deformasi, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.8.

Cw t

xGambar 2.8. Pola gelombang nondispersif

Jika kecepatan rambat gelombang tergantung pada frekuensi gelombang, maka gelombang tersebut dinamakan gelombang dispersif. Pada gelombang dispersif, hubungan antara frekuensidengan panjang gelombang k tidak linier. Kecepatan gelombang dispersif dinyatakan dengan . Gambar 2.9 menggambarkan hubungan antara frekuensidan panjang gelombang k dalam gelombang dispersif.

kGambar 2.9. Dalam gelombang dispersif, kecepatan group tidak sama

dengan kecepatan phase

Dalam medium dispersif, pulsa yang merambat mengalami perubahan bentuk, semakin lama, tinggi pulsa makin pendek dan lebar pulsa makin besar, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.10. Untuk gelombang mekanik, hampir semua medium bersifat dispersif, misal gelombang yang merambat pada tali, maka semakin lama, tinggi pulsa makin rendah dan akhirnya hilang sama sekali. Sedangkan contoh untuk gelombang nondispersif adalah gelombang elektromagnet yang merambat dalam hampa.

Hubungan kecepatan group dan kecepatan gelombang (kecepatan phase) adalah

maka

Sedangkan

(2.34)

Karena maka, sehingga persamaan (2.34) dapat dituliskan

(2.35)

Berarti kecepatan group tergantung pada panjang gelombang medium. Medium yang mempunyai sifat seperti ini disebut medium dispersif. Pada gelombang dispersif, kecepatan group tidak sama dengan kecepatan phase atau

(2.36)

CP t

P

CP CA

CA t

P

A A

x

Gambar 2.10. Dalam medium dispersif, pulsa yang merambat mengalami perubahan bentuk.

Contoh 2.5.

Suatu gelombang mempunyai hubungan -k (hubungan dispersif) yang dinyatakan dengan . a. Selidikilah apakah gelombang tersebut dispersif atau nondispersifb. Carilah kecepatan phase dan kecepatan group pada k = 100 rad/m

Penyelesaian

a. Kecepatan phase gelombang = = 1000 3x 10-2 k2

Kecepatan group =

Karena kecepatan phase kecepatan group, maka gelombang tersebut bersifat dispersif.

b.Pada saat k = 100 rad/m, kecepatan phase gelombang adalah = 700 rad/m

kecepatan group gelombang adalah = 100 rad/m

2.4.2. Superposisi dua gelombang yang mempunyai frekuensi dan amplitudo sama, tetapi phase berbedaMisal dua gelombang tersebut mempunyai persamaan masing-masing adalah

dan

Hasil superposisi kedua gelombang tersebut adalah

(2.37)Gelombang resultan adalah gelombang harmonis, yang mempunyai frekuensi sama dengan frekuensi gelombang penyusun, tetapi mempunyai amplitudo sebesar

(2.38) Jika