BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Persediaan

Yang dinamakan persediaan adalah semua produk dan material yang digunakan di

dalam proses produksi dan distribusi, seperti bahan mentah, komponen produk setengah

jadi dan produk jadi yang belum menjadi pendapatan.

Persediaan menyebabkan tertahannya modal, menggunakan ruang penyimpanan,

membutuhkan penanganan, mengalami deteriorisasi, menjadi usang atau kadarluarsa,

menimbukan pajak, membutuhkan asuransi, dapat dicuri dan terkadang hilang. Lebih

jauh lagi, persediaan seringkali harus menanggung akibat dari manajemen yang tidak

efisien dan berantakan termasuk peramalan yang buruk. Penjadwalan yang tidak

terencana dan perhatian yang tidak cukup terhadap proses setup dan order. Pada kasus

seperti itu persediaan akan menyebabkan bertambahnya biaya dan produktivitas tanpa

menambah pendapatan bersih. Ini merupakan suatu kewajiban ( utang ) terlepas apakah

ia disertakan atau tidak dalam neraca keuangan.

Tidak tersedianya persediaan dalam jumlah yang cukup, dapat menghentikan proses

produksi. Kurangnya komponen part akan menghentikan proses perakitan. Suatu alat

yang mahal bisa saja terhenti karena ketiadaaan komponen pengganti yang sama sekali

tidak mahal. Ketersediaan item yang tepat pada waktu yang tepat dan di tempat yang

tepat akan mendukung tujuan organisasi dalam pelayanan konsumen, produktivitas,

keuntungan dan tingkat pengembalian investasi. Hal ini benar dalam bidang manufaktur,

wholesale, retail, perawatan kesehatan dan organisasi pendidikan. Ukuran performansi

7

dan produktivitas mungkin berbeda antara satu organisasi dengan organisasi lain, akan

tetapi pada dasarnya mereka semua membutuhkan manajemen persediaan yang baik.

Menurut Sipper, Daniel, Bulfin ( 1997 , p206 ) persediaan adalah kuantitas dari

komoditas yang di kontrol oleh perusahaan. Disimpan sewaktu – waktu agar dapat

memenuhi permintaan masa depan

Menurut Roger G Schoeder ( 2000, p304 ) Persediaan adalah stok dari suatu material

yang digunakan untuk memudahkan produksi dan memenuhi persediaan pelanggan.

2.2 Tujuan Persediaan

Persediaan muncul dikarenakan permintaan dan pasokan bahan baku sulit untuk

disamakan. Dan untuk menyamakan pasokan serta permintaan membutuhkan waktu

yang cukup lama karena banyak faktor – faktor yang mempengaruhi penyamaan ini.

Faktor – faktor tersebut seperti waktu, ekonomi, sesuatu yang tak terduga seperti force

majure serta banyak lagi. Richard B Chase memamparkan bahwa tujuan dari persediaan

adalah sebagai berikut

1. Variasi dalam permintaan produk

Apabila persediaan suatu produk dapat diketahui dangan pasti akan

dimungkinkan untuk memproduksi sesuai dengan jumlah permintaan. Tetapi

biasanya permintaan tidak dapat diketahui dengan pasti. Oleh karenanya

persediaan pengaman / persediaan cadangan dibutuhkan untuk dapat

memenuhi variasi permintaan.

2. Fleksibilitas dalam penjadwalan produksi.

Stok dalam persediaan mengurangi tekanan terhadap sistem produksi untuk

mengeluarkan barang secepat mungkin. Ini menyebabkan waktu tenggat yang

8

lebih lama, yang akan memperbolehkan perencanaan produksi untuk

merencanakan produksi dengan aliran yang lebih baik

3. Untuk menyediakan persediaan pengaman untuk mengantisipasi adanya

variasi tenggat waktu pengiriman bahan mentah.

4. Memberikan keuntungan Untuk dapat mengetahui jumlah pembelian yang

ekonomis.

2.3 Fungsi persediaan

Persediaan berfungsi untuk :

1. Working stock ( Lot size stock ) merupakan persediaan yang dibutuhkan

dan diadakan dalam mendukung kebutuhan terhadap barang sehingga

pemesanan dapat dilakukan dalam bentuk lot size dibandingkan dengan

ukuran dasar yang dibutuhkan. Lot Size mempunyai manfaat untuk

mengurangi atau meminimalisaikan biaya pemesanan dan simpan,

mendapatkan diskon pemesanan kuantitas dan biaya pengiriman

2. Stok Pengaman ( Fluctuation Stock ) merupakan persediaan yang

diadakan dalam mengantisipasi ketidakpastian penyediaan dan

permintaan. Stock pengaman pada umumnya dipakai selama waktu

kedatangan barang yang telah dipesan sehingga tidak terjadi kekurangan

barang

3. Anticipation Stock ( Stabilization Stock ) merupakan persediaan yang

diadakan sehubungan dengan permintaan yang bersifat musiman, tidak

menentu atau kurangnya kapasitas produksi.

9

4. Pipeline stock ( work in process ) merupakan persediaan yang ada dalam

perjalanan yang membutuhkan waktu dari penerimaan barang pada saat

masuk, pengiriman bahan dalam proses produksi, pengiriman barang

sampai ke outputnya. Secara external pipeline stock dapat digambarkan

persediaan dalam perjalanan di truk, kapal atau alat angkut lainnya.

Sedangkan secara internal, merupakan proses menuggu diproses dan

dipindahkan

5. Decoupling stock, merupakan persediaan yang memungkinkan

perusahaan dapat memenuhi permintaan pelanggan tanpa tergantung pada

supplier

6. Physics stock, merupakan persediaan barang yang diadakan dalam bentuk

pajangan untuk mendorong pembelian dan stock ini bersifat sebagai

seorang sales yang berdiam diri

2.4 Model persediaan

Berdasarkan sifat permintaan, maka model permintaan dapat diklasifikasikan

sebagai berikut :

1. Model persediaan statis deterministik, yaitu model persediaan yang

komponen permintaannya bersifat deterministik ( jumlah permintaan

pada horizon waktu pengamatan diketahui ) dan independen terhadap

waktu.

2. Model persediaan dinamis deterministik, yaitu model persediaan yang

komponen permintaannya bersifat deterministik tetapi dependen terhadap

waktu.

10

3. Model persediaan statis probabilistik, yaitu model persediaan yang

komponen permintaannya merupakan variable acak dengan suatu

distribusi tetapi independen terhadap waktu.

4. Model persediaan dinamis probabilistik, yaitu model persediaan yang

komponen permintaannya merupakan variabel acak dengan suatu

distribusi dan dependen terhadap waktu.

Pada praktek dalam dunia nyata model persediaan yang bersifat statis derministik

sangat sulit untuk di implementasikan. Karena tingkat permintaan selalu pasti selalu

tidak tepat. Dan bila tingkat permintaan di ketahui secara pasti maka peramalan yang

dilakukan pasti akan 100 % benar.

2.5 Biaya persediaan

Biaya adalah hal yang krusisal dalam manajemen keputusan persediaan pada

semua level meskipun memang masih ada hal – hal lain yang juga sering menjadi

kriteria pengambilan keputusan dalam permasalahan persediaan. Menurut Siagian

(1987, p17) biaya persediaan dibagi menjadi empat kategori. kategori itu adalah:

1. Biaya pembelian ( ordering cost ) adalah biaya yang dikeluarkan

berkenaan dengan pembelian bahan baku. Biaya yang terjadi dapat

sepertik biaya untuk mempersiapkan pembelian, biaya pemilihan vendor,

biaya penulisan pesanan, biaya untuk menghitung kuantitas pemesanan,

biaya untuk perawatan sistem komputerisasi yang digunakan, dan biaya –

biaya lainya yang berhubungan dengan biaya pemesanan

2. Biaya Pemesanan, biaya ini berhubungan dengan biaya yang diperlukan

untuk membuat produk yang berbeda – beda. Produk yang berbeda –

11

beda membutuhkan meterial yang berbeda, setup dan penggunaan

peralatan yang berbeda.

3. Biaya penyimpanan ( Holding cost ), biaya yang termasuk dalam kategori

ini adalah biaya untuk fasilitas penyimpanan, penangan meterial,

asuransi, pencurian, kerusakan, keusangan, deprisiasi, pajak, biaya modal

( opportunity cost of capital yaitu alternatif pendapatan atas dana yang di

investasikan dalam persediaan )

4. Biaya kehabisan / kekurangan bahan ( shortage cost ), dari semua biaya –

biaya yang berhubungan dengan tingkat persediaan, biaya kekurangan

bahan adalah yang paling sulit untuk diperkirakan. Biaya ini timbul

bilamana persediaan tidak mencukupi adanya permintaan bahan. Biaya –

biaya yang termasuk ketegori biaya ini adalah kehilangan penjualan,

kehilangan langganan, biaya ekspedisi, selisih harga, terganggunya

operasi, tambahan pengeluaran kegiatan manajerial dan sebagainya

Dari biaya – biaya diatas bisa didapatkan total biaya dimana ditunjukan pada

gambar 2.1 dibawah ini

12

Gambar 2.1. Grafik total biaya

Sumber:Bernard W Taylor III, Introduction to management Science (2002,p711)

2.6 Persediaan multi – item

Banyak perusahaan melakukan pemesanan terhadap beberapa item secara

bersamaan, tidak secara individual. Hal ini disebabkan pada kondisi tertentu pemesanan

yang dilakukan secara bersama – sama akan memberi banyak keuntungan. Seperti

pemesanan cukup dilakukan sekali dalam suatu periode waktu tertentu untuk semua

barang yang dibutuhkan. Dengan mengoptimalkan periode waktu pemesanan tersebut

maka akan didapatkan frekuensi pemesanan sedikit mungkin sehingga diperoleh biaya

total pemesanan serendah mungkin. Dengan periode pemesanan yang optimal seperti itu,

pemesanan menjadi tidak bertele-tele sehingga proses penanganan, pemeriksaan,

dokumentasi, administrasi menjadi lebih sederhana dan menghemat sumber daya. Juga,

dengan melakukan pemesanan secara bersama – sama ada kemungkinan untuk

Shortage Cost

Order Cost

Carrying cost

Q

Biaya total

Biaya

Biaya minimum

Qopt 0

13

menghemat biaya pengiriman, karena sesuatu yang umum bahwa akan lebih murah

untuk mengirim satu lot besar dari pada beberapa lot kecil.

Pada permasalahan persediaan multi item, hal yang harus diputuskan

adalah kapan pemesanan dilakukan, barang – barang apa saja yang dilibatkan di dalam

pemesanan tersebut, dan dengan jumlah berapa barang – barang tersebut dipesan.

Konsep prinsip dasar di belakang keputusan tersebut adalah apakah biaya marjinal

untuk memasukan suatu barang pada suatu pemesanan lebih kecil dari biaya marjinal

jika barang tersebut dipesan belakangan secara individual. Persediaan multi item

membutuhkan keputusan yang fokus pada :

1. Nilai agregat pemesanan

2. Jumlah pemesanan untuk tiap item

3. Interval pemesanan untuk masing – masing barang dalam setiap

kelompok

4. Waktu pemesanan barang ( order release )

Ada 2 jenis permasalahan pemesanan multi item yaitu, permasalahan ( P ) yaitu

permasalahan ( P ) yang mengalami penyesuaian pada faktor koreksi ∆(k) dan

permasalahan ( Pc ) yaitu permasalahan persediaan multi item dimana kriteria

keputusannya adalah total ongkos rata – rata yang minimal. Total ongkos rata – rata itu

sendiri merupakan penjumlahan rata – rata ongkos individu dengan rata – rata ongkos

mayor. Asumsi – asumsi yang digunakan pada kedua permasalahan tersebut adalah

sebagai berikut :

1. Permintaan untuk setiap item diketahui dan konstan

2. Tidak ada shortage.

3. Tingkat pemesanan item tidak terbatas ( infinite )

14

4. Adanya horizon yang tidak waktu yang terbatas.

Variabel – variabel yang dilibatkan dalam pengembalian keputusan pada kedua

masalah persediaan multi item tersebut dinotasikan sebagai berikut :

S : Biaya pemesanan Mayor,

si : Biaya pemesanan minor item i,

n : Banyaknya barang,

Di : Permintaan untuk barang i tiap satu satuan waktu,

hi : Biaya simpan per unit barang per satuan waktu,

T : Siklus waktu dasar,

ki : Frekuensi pemesanan untuk barang i.

V(FP) : Biaya rata – rata pemesanan kembali.

T(R) : waktu rata – rata pemesanan kembali.

2.6.1 Permasalahan ( Pc )

Menurut R.E Wildeman, J. B. G Frenk dan R. Dekker dalam jurnalnya yang

berjudul An Efficient Optimal Solution Method for the Joint Replenishment Problem

(1996, p434), permasalahan Pc adalah salah satu bentuk permasalahan persediaan multi

item dimana kriteria keputusannya adalah total ongkos rata – rata yang minimal. Total

ongkos rata – rata itu sendiri merupakan penjumlahan rata – rata ongkos individu dengan

rata – rata ongkos mayor. Rata – rata ongkos individu terdiri dari rata – rata ongkos

pesan minor barang i dan rata – rata ongkos simpan barang i. Ongkos pesan minor

didefinisikan sebagai ongkos yang dikenakan untuk setiap item yang dilibatkan dalam

suatu pemesanan. Jika diketahui bahwa si menotasikan ongkos pesan minor, Di

menotasikan permintaan terhadap item i tiap satu satuan waktu, hi menotasikan ongkos

15

simpan i tiap satuan waktu, ki monotasikan frekuensi pemesanan item i, dan T

menotasikan siklus waktu dasar dan фi( kiT ) merupakan notasi biaya rata – rata

individual barang i pada pemesanan yang dilakukan setiap ki.T ( merupakan siklus

pemesanan item i ) satuan waktu maka diperoleh persamaan sebagai berikut :

фi( kiT ) = Tk

s

i

i +2

ii Dh kiT (1)

Permasalahan Pc mencoba memperhitungkan apa yang disebut sebagai empty

replenishment yang dideskripsikan sebagai suatu keadaan dimana dalam waktu – waktu

tertentu sama sekali tidak terjadi pemesanan. Hal ini terjadi jika frekuensi terkecil ki

lebih besar dari 1. Sebagai contoh, jika ada 2 barang, dimana k1 = 2 dan k2 = 3,

pemesanan akan terjadi pada 2T, 4T, 6T, 9T, dan seterusnya, sedangkan pada T,5T,7T

dan seterusnya tidak terjadi pemesanan. Akibatnya persamaan (1) menjadi tidak akurat.

Oleh karenanya perlu dilakukan penyesuaian terhadap formulasi biaya rata individual

фi(kiT)). Faktor penyesuaian ini dinotasikan dengan ∆(k) dan dirumuskan oleh J. S

Dagpunar dalam jurnalnya yang berjudul Formulation of a Multi Item Single Supplier

Inventory Problem (1982, p285 - 286) sebagai berikut :

∑∑=⊂

−

=

+−=Δ}||},,...,1{:{

11

1

1 ),...,()1()(in

i

n

i

i kklcmkααα

αα ( 2 )

Dimana lcm(kα1, ..., kαi) menyatakan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan

bulat kα1, ..., kαi.

Sehingga, permasalahan pemesanan multi item dengan suatu faktor koreksi (

permasalahan Pc ) dirumuskan oleh :

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>∈Φ+Δ ∑

=

n

iiii TNkTk

TkSPc

1

0,:)(inf

16

2.6.2 Permasalahan ( P )

Permasalahan ( Pc ) merupakan permasalahan ( P ) yang mengalami penyesuaian

pada faktor koreksi ∆(k). S. K Goyal dalam jurnalnya yang berjudul A Note On

Formulation of the Multi-item Single Supplier Inventory Problem (1982, p 287 - 288)

mengkritisi formulasi ∆(k) yang dinyatakan oleh J.S Dagpunar (1982) dan mengajukan

pengesetan faktor koreksi sama dengan 1. Sehingga permasalahan pemesanan multi item

tanpa faktor kereksi ( permasalahan ( P )) sehingga dirumuskan sebagai berikut :

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>∈Φ+∑=

n

iiii TNkTk

TSP

10,:)(inf

2.6.3 Analisis Permasalahan (P)

Menurut R.E Wildeman, J. B. G Frenk dan R. Dekker dalam jurnalnya yang

berjudul An Efficient Optimal Solution Method for the Joint Replenishment Problem

(1996, p435), permasalahan (P) dapat dituliskan sebagai berikut

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈Φ+∑=>

n

iiii

TNkTk

TS

10:)(infinf (3)

Dan jika fungsi gi(.) adalah sebagai berikut

( ) { }Nktktg iiii ∈Φ= :)(inf: (4)

Maka permasalahan (P) dapat dituliskan sebagai berikut

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+∑=

n

ii Tg

TSP

1)(inf)(

Nilai obyektif optimal permasalahan (P) dinyatakan dengan v(P) dan nilai optimal

T dinyatakan dengan T(P).

17

Fungsi )(ktt iΦ→ pada ( )∞,0 untuk setiap { }ni ,...,1∈ dan Nk ∈ memiliki

karakteristik berikut :

1. )(ktt iΦ→ berbentuk konvex

2. )(ktt iΦ→ memiliki nilai minimum untuk kxt i

*

= yang mana *ix itu

sendiri adalah :

*ix =

ii

i

Dhs2

(5)

3. )(ktt iΦ→ merupakan fungsi menurun pada ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛k

xi*

,0 dan fungsi

menaik pada ( )∞,* kxi .

Dari gambar 2.2, dapat dengan mudah ditunjukan bahwa titik perpotongan fungsi

( )ktiΦ dengan ( )( )tki 1+Φ diberikan oleh ( )( ) 21

12 +kkDhs iii . Untuk k= 0,1,..., dan

)(kiT didefenisikan sebagai T dimana k bernilai = k, nilai )(k

iT diberikan oleh

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞

+= 12

)( kkDhs

T ii

ik

i

Jika k = 1, 2,...

Jika k = 0

(6)

18

Gambar 2.2 : Fungsi ( ).ig dengan nilai k yang berbeda – beda

Sumber:http://www.sciencedirect.com/

Oleh karenanya tiap Nk ∈ akan berada pada suatu interval [ ))1()()( ,: −= ki

ki

ki TTI .

Jelas sekali dari nomor 4 dan 5 bahwa setiap Nk ∈ , nilai kxi* berada di dalam interval

)(kiI sehingga dapat dibuktikan bahwa solusi optimal ( ){ }Nktk iii ∈Φ :,inf oleh k terjadi

bila t berada dalam interval )(kiI . Dengan ini dapat di turunkan suatu formula yang akan

ditampilkan pada lemma dibawah ini untuk mendapatkan solusi optimal ( )tki sebagai

fungsi t.

Lemma 1,

Nilai optimal ( ) Ntki ∈ untuk t > 0 diberikan oleh persamaan berikut

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−= 2

8121

21

tDhstk

ii

ii ( 7 )

19

Bukti : Seperti yang dapat diamati, untuk t > 0, suatu nilai optimal Nk ∈ adalah untuk

( )1)( −≤≤ ki

ki TtT . Oleh karenanya, secara ekivalen dengan menggunakan (6), nilai k

harus memenuhi :

( ) tkkDh

s

ii

i ≤+1

2 ( 8 )

Dan

( )kkDhs

tii

i

12

−< ( 9 )

Pertidaksamaan (8) ekivalen dengan

02

22 ≥−+

tDhs

kkii

i

Dan oleh karena k harus positif, dengan menggunakan rumus akar pada persamaan

kuadrat dapat diperoleh

2

81

21

21

tDhs

kii

i++−≥ ( 10 )

Dengan cara yang sama, dari (9) diperoleh bahwa

2

81

21

210

tDhs

kii

i++−<< ( 11 )

Dan dengan mengkombinasikan (10) dan (11) dapat dinyatakan

22

81

21

218

121

21

tDhs

ktDh

s

ii

i

ii

i ++<≤++− ( 12 )

Oleh karena akar kuadrat di kedua pertidaksamaan ini adalah sama, maka kedua

ekspresi akan tepat berselisih 1 antara yang satu dengan yang lain. Ini menandakan

20

bahwa terdapat suatu nilai integer di antara mereka atau justru keduanya yang bernilai

integer. Pada kedua kasus tersebut, dengan mengambil bilangan hasil pembulatan ke atas

dari ekspresi disebelah kiri, akan memberikan nilai k integer yang memuaskan. Oleh

karenanya untuk nilai t yang diberikan, nilai ( )tki optimal yang bersesuaian diberikan

oleh (7), dan terbuktilah lemma 1.

Oleh lemma 1, selanjutnya fungsi ( )⋅ig yang didefinisikan di (4) diberikan oleh

( ) ( )( )ttktg iii Φ=: ( 13 )

Konsekuensinya permasalahan optimasi (P) tereduksi menjadi

( )( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Φ+∑=

≥

n

tiiiT

TTkTS

0inf

Pada beberapa nilai T, tidak terjadi empty replenishments, pada kasus dimana

faktor koreksi sama dengan 1. Pada lemma berikutnya akan ditunjukan bahwa fungsi

obyektif (P) dan (Pc) adalah sama jika nilai ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +≥

21

minii

ii Dh

sST yang berarti untuk

nilai T tersebut ( )( ) 1=Δ Tk .

Lemma 2,

Bila ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +≥

21

minii

ii Dh

sST maka fungsi obyektif dari (Pc) dan (P) adalah sama, yaitu

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈Φ+=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈Φ+Δ ∑∑

==

n

iiii

n

iiii NTkTk

TSNkTk

TkS

11

:inf:inf

21

Bukti : Katakanlah ( )⋅chp dan hp(.) secara berturut – turu adalah fungsi objektif

permasalahan (Pc) dan (P).Yaitu,

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈Φ+Δ

= ∑=

n

iiiic NkTk

TkSThp

1

:inf ,

Dan

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈Φ+=⋅ ∑=

n

iiii NkTk

TShp

1

:inf

Selanjutnya didefenisikan fungsi ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈Φ+= ∑=

n

iiii

ii

NkTkTk

STh1

:min

inf

Oleh karena ( ) ( ) 1min 1 ≤Δ≤− kTkii , maka adalah benar bahwa

( ) ( ) ( )ThpThpTh c ≤≤ (14)

Sekarang katakan *i menyatakan nilai i dimana ( ) 2

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

ii

i

DhsS

adalah minimal, yaitu

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

21

* minarg:ii

ii Dh

sSi , amati bahwa

( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈Φ+≥ ∑=

n

iiii

i

NkTkTk

STh1

:inf*

( ) ( ){ }∑∑===

∈Φ+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈Φ+=n

iiiiii

n

iiii

i

NkTkNkTkTk

S*

***

* ,11:inf:inf

22

Oleh karena menurut lemma 1 bahwa untuk ( ) 2

1

**

*min

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +

≥ii

i

DhsS

T nilai optimal

( )Tki* sama dengan 1, sehingga dapat diperoleh bahwa

( ) ( ) ( ){ } ( )ThpNkTkTTSTh

n

iiiiii

n

ii

≥∈Φ+Φ+≥ ∑∑≠== *

*

,11:inf

Untuk setiap ( ) 2

1

**

*min

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +

≥ii

ii Dh

sST . Dengan mengabungkan dengan persamaan 14

diperoleh bahwa ( ) ( ) ( )ThpThpTh c == untuk ( ) 2

1

**

*min

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +

≥ii

ii Dh

sST , dan terbuktilah

lemma 2.

2.6.4 Penyelesaian Permasalahan (P)

Menurut R.E Wildeman, J. B. G Frenk dan R. Dekker dalam jurnalnya yang

berjudul An Efficient Optimal Solution Method for the Joint Replenishment Problem

(1996, p438). Relaksasi Permasalahan (P) dengan merelaksasi konstrain Nki ∈ menjadi

1≥ik didapatkan relaksasi (R) dari masalah (P) dan dituliskan sebagai berikut

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>≥Φ+∑=

n

iiii TkTk

TSR

10,1:inf

Nilai objektif optimal (R) dinyatakan dengan ( )Rv dan T optimal dinyatakan

dengan ( )RT . Oleh karena ( )R merupakan relaksasi ( )P maka ( ) ( )RvPv ≥ . Hal ini

dapat dijelaskan sebagai berikut:

23

Dengan konstrain Nki ∈ pada ( )P maka nilai k pada ( )P harus merupakan

bilangan integer, sehingga nilai k tersebut akan mengalami pembulatan yang

menyebabkannya tidak selalu optimal. Sedangkan pada ( )R konstrain tersebut

direlaksasi menjadi 1≥ik , sehingga memungkinkan nilai k bergerak ke titik optimal.

Oleh karena fungsi ( )ktk iΦ→ memiliki karakteristik yang sama dengan fungsi

( )ktt iΦ→ (seperti yang disebutkan diatas), maka nilai k optimal juga dapat dicari

dengan cara yang sama dengan t optimal sehingga didapatkan persamaan berikut :

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

1

*

Tx

ki

(7.1)

Untuk memudahkan analisis (R) untuk mendapatkan solusi optimal T(R) pada

(R), terlebih dahulu (R) disederhanakan menjadi :

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+∑=

>Tg

TS n

i

RiT 10

inf

Dimana ( ) ( ) ( ){ }1:inf ≥Φ= iiiR

i ktktg .

Oleh karena turunan ( ) ( )⋅Rig non-negatif, kontinu dan menaik pada ( )∞,0 , maka

( ) ( )⋅Rig adalah konvex, menaik, dan dapat diturunkan secara kontinu pada ( )∞,0 . Dan

oleh karena konvex dan dapat diturunkan secara kontinu pada fungsi tSt → pada

( )∞,0 , maka fungsi objektif ( )⋅h dari (R), dimana ( ) ( ) ( )TgtSth

n

i

Ri∑

=

+=1

, adalah konvex

dan dapat diturunkan secara kontinu pada ( )∞,0 . Karena ( ) ∞=∞↑ thtlim dan

( ) ∞=↓ thi 0lim , maka dapat disimpulkan ada suatu solusi optimal unik ( ) ( )∞∈ ,0RT dan

nilai ini adalah soulusi unik dari persamaan ( ) ( ) 0:, == dttdhth .

jika *ixT ≤

jika *ixT >

24

Untuk menurunkan ( )RT secara analitik, dengan mengasumsikan

**2

* ... ni xxx ≤≤≤ , maka turunan ( )⋅'h dari fungsi ( )⋅h diberikan oleh

( )

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−

+−

−

=

∑∑

∑∑

=

=

−

=

n

i

n

ii

ii

l

i

l

li

ii

t

sSDh

t

sSDh

tS

th

12

1

12

1

2

2

2'

Dari persamaan di atas diperoleh bahwa ( ) ( ) 0'2**

1 <−= ixSxh dan maka

( ){ }0':1max: *1

* <≤≤= xhnii ada. Jika ni ≥* maka didapatkan nilai ( )RT yang

optimal untuk permasalahan (P).

Lemma 3,

Dengan asusmsi bahwa **2

*1 ... nxxx ≤≤≤ , jika ( ){ }0':1max: ** <≤≤= ixhnii , maka

solusi optimal ( )RT diberikan oleh

( )∑

∑

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= *

*

1

12

i

iii

i

ii

Dh

sSRT (16)

Lemma 4 ( ) ( ) ( )RvPcvPv ≥≥

Bukti : Oleh karena untuk setiap vektor ( ) nn Nkkk ∈= ,...,1 mempunyai ( ) 1≤Δ k ,

pertidaksamaan yang pertama ( ) ( )( )PcvPv ≥ secara otomatis terbukti. Untuk

jika *ixt ≤

jika 11,*

1* −≤≤≤≤ + nlxtx ll

jika *

nxt ≥

(15)

25

membuktikan pertidaksamaan yang kedua, amati bahwa untuk setiap 0∈> , ada sebuah

vektor ( ) ( )( )∈∈∈ TkTkT n,...,, 1 yang memenuhi

( ) ( )( ) ( )( ) ∈−Φ+Δ

≥ ∑=

∈∈∈

∈n

iii TTk

TTkSPcv

1

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ∈−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

Φ+Δ

= ∑= ∈

∈∈∈

∈

∈n

i

ii Tk

TTkTkT

TkS1

Menggunakan ( )( ) ( ){ }( ) 1min −∈∈ ≥Δ TkTk ii , diperoleh bahwa ( ) ( )( ) 1≥∈Δ∈ TkTki ,

untuk setiap i, dan konsekuensinya

( ) ( )( )( )( ) ∈−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

Φ+Δ

≥ ∑= ∈

∈

∈

∈n

ii

iic k

TkTk

TTkSPv

1

1:inf

( ){ } ∈−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥Φ+≥ ∑=

>

n

iiiiT

kTkTS

101:infinf

( ) ∈−= Rv

Oleh karena 0∈> , berarti pertidaksamaan kedua dapat dibuktikan.

Lemma 5,

Jika untuk nilai optimal ( )RT dari permasalahan ( )R diperoleh ( ) *nxRT ≥ , maka

( )( )1,...,1,RT adalah solusi optimal untuk (P) dan (Pc)

Bukti : Oleh karena ( ) *nxRT ≥ adalah solusi optimal dari permasalahan (R) dan

menurut (15) bahwa skalar niki ,...,1, = yang bersesuaian bernilai sama dengan 1

sehingga ( )( )1,...,1,RT adalah juga solusi feasible untuk permasalahan (Pc) dan (P). Oleh

karena telah diperoleh bahwa ( ) ( ) ( )PvPcvRv == , menunjukan bahwa ( )( )1,...,1,RT

adalah juga sebuah solusi optimal untuk (Pc) dan (P).

26

2.6.5 Solusi yang mungkin untuk Permasalahan (P) dan (Pc)

Seperti dinyatakan diatas, untuk ( ) nRT < , maka ( )RT tersebut bisa jadi tidak

optimal untuk permasalahan (P) dan (Pc). Oleh karena nilai ik optimal untuk T(R) tidak

selalu integer, oleh karenanya ik optimal pada (R) tidak dapat diterapkan pada

permasalahan (P) dan (Pc). Akan tetapi nilai ( )( ) niRTki ,...,1, = yang didapatkan dengan

persamaan (7) merupakan solusi yang feasible untuk (P) dan (Pc). Jika nilai fungsi

obyektif (P) yang dievaluasi menurut solusi feasible tersebut dinyatakan dengan ( )FPv ,

maka kita memperoleh

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∑=

≥≥≥+=n

ii RvPcvPvRTg

RTSFPv

1

)( (17)

Jika ( )FPv cukup dekat dengan ( )Rv maka kita sudah menemukan solusi feasible

yang cukup baik untuk (P) dan (Pc). Jika ternyata tidak cukup dekat, maka akan

diterapkan prosedur optimasi global pada (P).

2.6.6 Lipschitz Optimisation

Menurut R.E Wildeman, J. B. G Frenk dan R. Dekker dalam jurnalnya yang

berjudul An Efficient Optimal Solution Method for the Joint Replenishment Problem

(1996, p440) menyatakan Lipschitz optimisation adalah metode optimisasi global yang

akan digunakan untuk permasalahan (P) dan akan efektif jika (P) adalah fungsi obyektif

yang Lipschitz. Suatu fungsi univariat dikatakan Lipschitz pada interval [ ]21 , xx dengan

konstanta Lipschitz L, jika semua [ ]12 ,, xxyx ∈ memenuhi ( ) ( ) 1212 xxLxfxf −≤− .

27

Secara umum cara kerja metode ini adalah dengan melakukan iterasi pada variabel

T, dari T sama dengan T1 sampai dengan Tu dengan besar setiap penambahan sama

dengan Lε2 . Dengan proses iterasi tersebut, nilai fungsi obyektif yang didapatkan

tidak akan berbeda lebih dari ε terhadap nilai global minimum pada [ ]ba, .

Adapun konstanta Lipschitz diberikan oleh

∑=

+=n

iiLLoL

1 (18)

Untuk fungsi yang dapat diturunkan, konstanta Lipschitz pada sutau interval

diberikan oleh nilai turunan absolut maksimum pada interval tersebu. Oleh karena

turunan TS adalah 2TS− dan untuk interval [ ]ul TT , nilai maksimal 2TS−

diberikan pada lT , kita memperoleh

2lTSLo = (19)

Dengan prinsip yang sama diperoleh fungsi iL yang didapatkan dari nilai turunan

absolut maksimum fungsi ( ).ig yaitu

niDh

L iii ,...,1,

2== (20)

Dengan mengkombinasikan (19) dan (20) diperoleh

∑=

+=n

lii

l

DhTSL

12 2

1 (21)

2.6.7 Batas Atas dan Bawah

Menurut S.K Goyal pada jurnalnya yang berjudul Determination of Optimum

Packaging Frequency of Item Jointly Replenished (1974, p436-443) menyatakan bahwa

28

nilai optimal T(P) berada dalam interval ( )[ ]1,min * PTxii , dimana T(P1) adalah solusi

optimal dari permasalahan optimasi (P1) berikut :

( )1P ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Φ+∑=

>

n

iiT

TTS

10inf

Dapat diamati bahwa T(P1) adalah nilai optimal T ketika semua item dipesan

secara bersamaan. Sehingga dengan mudah diketahui bahwa T(P1) diberikan oleh

( )∑

∑

=

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

= n

iii

n

ii

Dh

sSPT

1

12

1

Akan tetapi M. J. G. Van Eijs dalam jurnalnya yang berjudul A Note On The Joint

Replenishment Problem Under Constant Demand (1993, p185 – 191), menyatakan

bahwa batas bawah *min ii x tidaklah tepat untuk T(P) yang optimal. Berikut ini akan

ditunjukan bahwa memecahkan (R) akan sekaligus mendapatkan batas bawah dan batas

atas untuk T(P). Batas atas yang diperoleh seringkali lebih baik dari T(P1).

Jika ( )FPv adalah nilai fungsi objektif (P) pada T(R), maka batas atas dan batas

bawah T(P) diberikan oleh nilai T dimana fungsi objektif (R) sama dengan ( )FPv . Hal

ini dipertegas oleh lemma berikut :

Lemma 6,

Jika lowT adalah nilai terkecil dan upT adalah nilai terbesar T dimana fungsi

objektif (R) dengan ( )FPv maka ( ) uplow TPTT ≤≤ .

29

Bukti : Karena fungsi objektif (R) konvex, dengan jelas didapatkan bahwa

( ) uplow TPTT ≤≤ . Konsekuensinya untuk nilai lowTT < fungsi objektif (R) lebih besar

dari ( )FPv . Karena (R) adalah relaksasi dari (P), fungsi objektif (P) juga lebih besar dari

( )FPv untuk nilai lowTT < , dengan begitu lowT adalah batas bawah T(P). Dengan cara

yang sama juga dibuktikan bahwa upTT < dengan begitu upT adalah batas atas T(P).

Perhatikan bahwa batas bawah lowT dapat ditemukan dengan membagi dua interval

( )( )RT,0 . Dengan tetap memperhatikan batas atas upT , dengan mudah dapat dicek

apakah upT lebih baik dari T(P1). Pengecekan dapat dilakukan dengan mengevaluasi

fungsi objektif (R) pada T(P1) apakah nilainya lebih kecil atau sama dengan ( )FPv . Jika

benar berarti T(P1) setidaknya sama baiknya dengan upT . Jika tidak berarti upT lebih

baik. upT dengan mudah ditemukan dengan pembagian dua pada interval ( ) ( )[ ]1, PTRT .

Biarkan lowl TT = dan ( ){ }1,min PTTT upu = , kemudian kita mempunyai

( ) [ ]ul TTPT ,∈ . Hal ini cukup menerapkan teknik optimisasi global pada interval [ ]ul TT ,

untuk mendapatkan nilai T(P).

Dari penjelasan diatas disimpulkan bahwa :

Batas bawah T diberikan oleh

( )( )RTTT lowl 21

== (22)

30

Batas atas T diberikan oleh

( ){ }1,min PTTT upu =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+= 1,

21,1minmin PTRTPTRTPT (23)

2.7 Dasar Perancangan Perangkat Lunak

Menurut Pressman (2001, p6): perangkat lunak adalah

1. Perintah (program komputer) yang bila dieksekusi akan memberikan fungsi

dan unjuk kerja seperti yang diinginkan.

2. Struktur data yang memungkinkan program memanipulasi informasi secara

proposional

3. Dokumen yang menggambarkan operasi dan kegunaan program.

Salah satu cara perancangan perangkat lunak adalah dengan menggunakan model

air terjun (waterfall model) menurut Sommerville (1996,p9). Tahap-tahap utama dalam

model air terjun dapat digambarkan dalam aktivitas dasar pengembangan seperti berikut

ini.

1. Analisis dan penentuan kebutuhan

Tugas, kendala dan tujuan sistem ditentukan melalui konsultasi dengan

pengguna sistem, kemudian ditentukan cara yang dapat dipahami baik oleh

pengguna maupun staf pengembang.

31

2. Desain sistem dan perangkat lunak

Proses desain sistem terbagi dalam kebutuhan perangkat keras dan perangkat

lunak. Hal ini menentukan arsitektur perangkat lunak secara keseluruhan.

Desain perangkat lunak mewakili fungsi sistem perangkat lunak dalam suatu

bentuk yang dapat ditranformasikan ke dalam satu atau lebih program yang

dapat dieksekusi.

3. Implementasi dan pengujian unit

Dalam tahap ini, desain perangkat lunak direalisasikan dalam suatu

himpunan program atau unit-unit program pengujian, mencakup kegiatan

verifikasi terhadap setiap unit sehingga memenuhi syarat spesifikasinya.

4. Integrasi dan Pengujian Sistem

Unit program secara individual diintegrasikan dan diuji sebagai satu sistem

yang lengkap untuk memastikan bahwa kebutuhan perangkat lunak telah

terpenuhi. Setelah pengujian, sistem perangkat lunak disampaikan kepada

pengguna.

5. Pengoperasian dan pemeliharaan

Secara normal, walaupun tidak perlu, tahap ini merupakan fase siklus hidup

yang terpanjang. Sistem telah terpasang dan sedang dalam penggunaan.

Pemeliharaan mencakup perbaikan kesalahan yang tidak ditemukan dalam

tahap-tahap ini sebelumnya, meningkatkan implementasi unit-unit sistem dan

mempertinggi pelayanan sistem sebagai kebutuhan baru yang ditemukan.

32

Gambar 2.3. Perancangan Perangkat Lunak Model Air Terjun

Sumber: Sommer Ville (1996,p9)

2.8 Sistem Basis Data

Dalam pengertian umum database diartikan gabungan dari elemen – elemen

data yang berhubungan dan terorganisir. Database dibagi dalam berberapa

kategori umum yaitu :

1. Paper based, merupakan database paling sederhana yang disimpan

dalam bentuk kumpulan kertas dokumen yang terorganisasi

2. Legacy Mainframe, biasa dikenal dengan database VSAM (

Virtual Storage Access Method ). Legacy Mainframe

menggunakan kapasitas mainframe untuk melakukan proses

penyimpanan dan pengaksesan data

33

3. Dbase, mengandung ISAM ( Index Sequential Access Method )

yang merupakan metode pengaksesan data secara berurutan yang

memiliki index. Pada umumnya menggunakan file terpisah untuk

setiap tabelnya.

4. RDBMS ( Relational Database Management System ) merupakan

sistem database untuk jumlah user yang besar dengan integritas

data yang lebih baik. RDMS memiliki kemampuan untuk menjaga

integritas data. Struktur perintahnya disebut dengan SQL (

Structured Language Query ).

5. Object oriented Database, menggunakan sistem objek dalam

penyimpanan data. Data disimpan bukan dalam bentuk tabel

melainkan dalam bentuk objek – objek yang terpisah.

2.9 Diagram Alir ( Flowchart )

Diagram alir adalah sebuah skema yang merepresentasikan sebuah algoritma atau

sebuah proses (http://en.wikipedia.org/wiki/Flowchart).

Adapun simbol-simbol dari diagram alir yang digunakan dalam ilmu komputer

seperti pada gambar 2.4.

34

Gambar 2.4 Simbol-simbol Diagram Alir

(http://en.wikipedia.org/wiki/Flowchart)

2.10 State Transition Diagram (STD)

State Transition Diagram mengindikasikan bagaimana sistem berjalan. STD

merepresentasikan berbagai mode dari reaksi sistem dan darimana transisi dilakukan

dari satu state ke state lain (Pressman, 2001, p429-430).

State Transition Diagram merepresentasikan reaksi dari sebuah sistem dengan

menggambarkan states tersebut dan event yang menyebabkan sistem merubah state.

Simbol untuk mulai dan selesai Simbol untuk menentukan aliran data yang dilakukan Simbol untuk langkah proses Simbol untuk input ataupun output Simbol untuk merepresentasikan sebuah kondisi atau keputusan. Biasanya berisi pertanyaan ya/tidak atau test benar/salah

35

Komponen-komponen utama dalam STD adalah :

Gambar 2.5 Komponen State Transition Diagram (Booch, 1994, p199-201)

1. State dari sebuah objek merepresentasikan hasil dari tindakan yang

dilakukan. Setiap state membutuhkan sebuah nama dan harus unik. State

berkerjasama dengan sistem secara keseluruhan. Semua state yang

mempunyai nama yang sama akan dianggap menunjuk state yang sama

(Booch, 1994, p200).

2. State Transition adalah sebuah tindakan yang memungkinkan state dalam

sebuah sistem berubah. Setiap state transition menghubungkan dua buah

state. Sebuah state bisa memiliki sebuah state transition yang menunjuk

kepada dirinya sendiri, dan sudah biasa untuk memiliki berbagai state

transition dari sebuah state yang sama, walaupun setiap transisi haruslah

unik. Hal ini dilakukan agar tidak ada keadaan yang akan memicu lebih

dari satu state transition dari sebuah state yang sama (Booch, 1994,

p201).

State

State Transition