APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI

Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari fungsi-fungsi ekonomiyang

merupakan fungsi primitif (fungsi asal) dari fungsi marginalnya. Mencari fungsi biaya

total dari fungsi biaya marginal, fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal,

fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan

marginal serta fungsi kapital dari fungsi investasi.

Fungsi Biaya Total (C)

Fungsi biaya total merupakan integral dari biaya marginalnya, dan sebaliknya

biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total.

Fungsi Penerimaan Total (R)

Fungsi penerimaan total merupakan integral dari penerimaan marginalnya, dan

sebaliknya penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan

total.

Fungsi Konsumsi (C)

Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (MPC), dan

sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi.

Fungsi Tabungan (S)

Fungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (MPS), dan

sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan.

Fungsi Model (K)

C=∫ MC dq

R=∫ MC dq

C=∫ MPC dy

S=∫ MPS dy

Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital merupakan

integral dari (aliran) investasi bersih (I) dan sebaliknya investasi bersih merupakan

turunan pertama dari fungsi kapital.

Agar lebih jelas bagaimana fungsi asal dapat di dapat melalui integrasi fungsi

marginalnya, di bawah ini diberikan beberapa contoh. Untuk dapat membedakan

konsumsi (C), biaya total (C) dengan tetapan/konstanta integrasi (C), khusus dalam

integrasi biaya marginal dan konsumsi marginal, maka tetapan integrasi di simbolkan

dengan K.

Contoh 8.1

Biaya Marginal di tunjukkan oleh MC=150-80q+10q2. Biaya tetapnya adalah 134.

Carilah fungsi biaya totalnya, fungsi biaya rata-rata dan fungsi biaya variabelnya.

Penyelesaian

Fungsi biaya total,

C = ∫ MC dq

= (150 - 80q + 10q2)dq

¿150q−40q 2+ 103

(0)3+k

(K = Konstanta Integrasi)

Bila q = 0 dimasukkan ke dalam fungsi C = f(q) tersebut, didapat biaya tetap (FC)

sebagai berikut :

FC=150 (0 )+40¿

134 = K = FC

Jadi, fungsi biaya totalnya adalah :

Kt=∫ I(t) dt

C=150q−40q2+103

(q )3+134

Fungsi biaya rata-ratanya

AC=Cq

=150q−40q2+10

3(q)3+134

q=150q−40 q2+

103

(q)3+134q

Fungsi biaya variabel

VC = C – FC

¿(150q−40q2+ 103

(q )3+134)−134

¿150q−40q2+ 103

(q )3

Contoh 8.2

Penerimaan marginal di tunjukkan oleh MR = 20 – 4q

(q = kuantitas barang)

Tentukanlah :

(a) Fungsi penerimaan total

(b) Fungsi permintaan

Penyelesaian

(a) Fungsi penerimaan total

R = ∫ MR dq

= ∫ (20 – 4q) dq

= 20q – 2q2 + C

Bila q = 0, maka R = 0. Selanjutnya nilai C (konstanta Integrasi) dicari dengan

memasukkan q = 0 dan R = 0 ke dalam persamaandi atas akan di dapat nilai C

sebagai berikut :

R = 20 q – 2q2 + C

0 = 20 (0) – 2 (0)2 + C

C = 0

Jadi, fungsi penerimaan totalnya adala :

R = f(q)

= 20q – 2q2

(b) Fungsi permintaaan

R = q.p → p= Rq=20q−2q2

q

p=20−2q→q=−12p+10

Jadi, fungsi permintaannya adalah q =q=−12p+10

Contoh 8-3

Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah 0,8. Bila pendapatan nol (y = 0) maka besarnya konsumsi adalah 50.

Tentukanlah besar konsumsinya.

Penyelesaian

C = ∫ MPC dy

= ∫ 0,8 dy

= ∫ 0,8 y + K

Selanjutnya di cari terlebih dahulu nilai K (Konstanta Integrasi) degan memasukkan y = 0 dan C (konsumsi) = 50, ke dalam persamaan di atas akan di dapat K sebagai berikut :

C = 0,8 y + K

50 = 0,8 (0) + K

K = 50

Jadi, fungsi konsumsinya

C = f(y)

= 0,8 y + K

= 0,8 y + 50

Contoh 8-4

Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah MPC =

0,6+ 0,1

√ y. Apabila pendapatan nol (y = 0), konsumsinya sebesar 10.

Tentukanlah fungsi konsumsinya C = f(y).

Penyelesaian

Fungsi konsumsinya

C = ∫ MPC dy

¿ ∫ (0,6+ 0,1

√ y)

¿(0,6+0,1 y−1

2 )dy

¿0,6 y+ 0,1

−12

+1. y

−12

+1+K

¿0,6 y+ 0,1

12

. y12+K

¿0,6 y+0,2√ y+K

Selanjutnya di cari terlebih dahulu ilai (K=Konstanta Integrasi) dengan memasukkan y = 0 dan C (konsumsi) = 10 ke dalam persamaan di atasdi dapat K sebagai berikut :

C=0,6 y+0,2√ y+K

10=0,6(0)+0,2√0+K

K=10

Jadi, fungsi konsumsinya,

C = f (y)

C=0,6 y+0,2√ y+K

C=0,6 y+0,2√ y+10

Contoh 8-5

Hasrat marginal untuk menabung, MPS = 0,25

Bila pendapatan nasional 100, terjadi tabungan negatif sebesar 10.

Tentukanlah fungsi tabungan, S = f(y) dan tentukanlah pula fungsi konsumsi C = f(y).

Penyelesaian

MPS = 0,25

S = ∫ MPS dy

= ∫ (0,25) dy

= 0,25y + K

Selanjutnya di cari terlebih dahulu nila K (konstanta Integrasi) dengan memasukkan y = 100 dan S = -10 ke dalam persamaan di atas di dapat K sebagai berikut :

S = 0,25y + K

-10 = 0,25 (100) + K

-10 = 25 + K

K = -35

Jadi, fungsi tabungannya

S = f (y)

= 0,25y + K

= 0,25y - 35

= -35 + 0,25y

Fungsi konsumsinya

Y = C + S

C = y – S

= y – (-35 + 0,25y)

= y + 35 – o,25y

= 35 + 0,75y

Jadi, fungsi konsumsinya,

C = f (y)

= 35+ 0,75y

Contoh 8- 6

Tingkat investasi bersih, l = 20 t2/5 dan stok kapital (modal) pada awal tahun,

t = 0 adalah 75 .

Tentukanlah fungsi kapitalnya

Penyelesaian

l(t) = 20 t2/5

Kt = ∫ l(t) dt = 20 ∫ t2/5 dt

¿ 20

1+25

t75+C

¿ 1007t

75+C

Selanjutnyadicari terlebih dahulu nilai C(konstantaintegrasi) dengan memasukkan

nilai t = 0 dan Kt = 75, kedalam persamaan diatas didapat nilai C sebagai berikut :

K t=1007t

75 +C

75=100

7(0 )

75 +C

75 = C

Jadi fungsi kapitalnya

Kt = f(t)

¿ 1007t

75+75

Contoh 8 – 7

Tingkat investasi bersih adalah l = 50 t2/3 dan stok kapital pada tahun pertama ( t = 1)

adalah 150.carilah fungsi kapitalya. Selanjutnya berapakah besar kapital pada tahun

ke empat.

Penyelesaian

I = 50 t2/3

Kt = ∫I(t) dt

= ∫(50t2/3) dt = 50 ∫ t2/3 dt

¿ 5023+1t

23+1

+C

¿ 5053

t53+C

¿30 t53 +C

Dicari terlebih dahulu nilai C (konstanta integrasi) dengan memasukkan t = 1 dan

Kt = 150 ke dalam persamaan di atas, didapat nilai C sebagai berikut :

Kt ¿30 t53 +C

150 = 30 (1) 5/3+C

150 = 30(1) + C

C = 120

Jadi, fungsi kapitalnya

Kt = f(t)

¿30 t53 +C

¿30 t53 +120

Besarnya capital pada tahun keempat ( t = 4)

Kt ¿30 t53 +120

¿30(4)53 +120

¿30(10.07)+120

¿422,1

Contoh 8 – 8

Biaya marginal untuk memproduksi sejenis barang

MC = 3q2 – 24q + 45

Jika untuk memproduksi 1 unit barang tersebut diperlukan biaya 44

tentukanlah :

(a) Fungsi biaya totalnya

(b) Besar biaya total, biaya rata-rata serta biaya marginal pada saat output

2 unit

Penyelesaian

(a) Fungsi biaya total, → C = ∫ (MC) dq

= ∫ (3q2 – 24q + 45) dq

= q3 – 12q2 + 45q + K

SELANJUTNYA NILAI K (KONSTANTA INTEGRASI) DICARI TERLEBIH

DAHULU DENGAN MEMASUKKAN Q = 1 DAN C (BIAYA) = 44 KE DALAM

PERSAMAAN DI ATAS DI DAPAT :

C = Q3 – 12Q2 + 45Q + K

44= (1)3 – 12(1)2 + 45(1) + K

K = 44 – 34

= 10

JADI FUNGSI BIAYA TOTALNYA

C = Q3 – 12Q2 + 45Q + K

= Q3 – 12Q2 + 45Q + 10

(b) Besarnya biaya total, bila q = 2

C = q3 – 12q2 + 45q + 10

= (2)3 – 12(2)2 + 45(2) + 10

= 60

Besarnya biaya rata-rata, bila q = 2

AC=Cq

=q3−12q2+45q+10

q=q2−12q+45+ 10

q

q=2→AC=(22 )−12 (2 )+45+102

Besarnya biaya marginal, bila q = 2

MC = 3q2- 24q +45

= 3(2)2 – 24(2) + 45

= 9