MAKALAH

ANALISIS KOMPLEKS

“DERET PANGKAT KOMPLEKS”

OLEH

ABUBAKAR LAMAROBAKARIEL ANDRESON RIWU

MARLEN FRANSNURULHUDA ARYANI

THEODORA Y. MEKARIA

PROGRAM STUDY PENDIDIKAN MATEMATIKAJURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS NUSA CENDANA

2013

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena penulis dapat menyelesaikan Makalah ini. Penyusunan Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Analisis Kompleks tentang Deret pangkat Kompleks.

Selain itu tujuan dari penyusunan Makalah ini juga untuk menambah

wawasan tentang Deret pangkat komlpeks secara meluas.

Akhirnya Penulis menyadari bahwa Makalah ini sangat jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, penulis menerima kritik dan saran agar penyusunan Makalah selanjutnya menjadi lebih baik. Untuk itu saya mengucapkan banyak terima kasih dan semoga makalah ini bermanfaat bagi para pembaca.

Kupang, 23 mei 2013

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Analisis kompleks adalah salah satu mata kuliah di program studi pendidikan

matematika. Dalam mata kuliah ini dipelajari segala sesuatu yang berhubungan

dengan bilangan kompleks baik itu operasi-operasi yang berlaku, fungsi kompleks

dan lain-lain. Diantaranya juga dipelajari Deret Pangkat kompleks. Untuk lebih

memahami Deret Pangkat kompleks beserta teorema dan aturan yang berlaku

dalam Deret Pangkat kompleks itu sendiri maka dosen memberikan tugas

pembuatan makalah mengenai Deret Pangkat Kompleks. Oleh sebab itu penulis

membuat makalah ini untuk lebih memahami mengenai Deret Pangkat kompleks

sekaligus menyelesaikan tugas dari dosen.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang maka dibuat rumusan masalah sebagai berikut:

- Apa itu Deret Pangkat dan Barisan kompleks?

- Apa saja teorema dan aturan yang berlaku dalam Deret Pangkat kompleks?

C. Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk

mengetahui apa itu Deret Pangkat dan Barisan kompleks beserta teorema dan

aturan yang berlaku dalam Deret Pangkat kompleks.

BAB II

ISI

2.1 Baris dan Deret Kompleks.

Seperti halnya dalam bilangan riil, dalam bilangan kompleks juga dikenal

istilah barisan dan deret kompleks serta sifat-sifat kekonvergenannya. Hal penting

dalam bab ini yaitu setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret

Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent). Sebelumnya, perlu pengertian barisan dan

deret bilangan kompleks, deret pangkat, dan jari-jari kekonvergenanan.

1 Barisan dan Deret Bilangan Kompleks

1.1 Barisan Bilangan Kompleks

Barisan bilangan kompleks :

merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif

n dengan suatu bilangan kompleks.

Notasi barisan bilangan kompleks :

⟨ zn⟩ atau { zn }={ z1 , z2 , z3 ,…, zn }, n ≥ 1 .

Kekonvergenan

Barisan Barisan

⟨ zn⟩ konvergen jika ada z∈C sehingga limn→∞

zn=z.

Jika ∀ ε>0 , ∃ n0∈N sehingga |zn−z|<ε

untuk n ≥ n0 .

Contoh 1

Tunjukkan barisan zn=−2+

(−1)n

n2, n=1 , 2, …

konvergen ke -2.

Penyelesaian :

limn→∞

zn=limn→ ∞

−2+(−1)n

n2={lim

n→∞−2−

1

n2=−2 , n=ganjil

limn→∞

−2+ 1

n2=−2 , n=genap

Jadi limn→∞

zn=−2.

Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlaku beberapa

teorema berikut.

Teorema 1Jika zn=xn+i yn dengan xn∈ℜdan yn∈ℜ , maka

⟨ zn⟩

konvergen ke z=a+i b jika dan hanya jika ⟨ xn⟩ konvergen ke a

dan ⟨ yn⟩ konvergen ke b .

Teorema 2Jika

⟨ zn⟩ dan ⟨wn⟩ berturut-turut konvergen ke z dan w , dan c

konstanta kompleks, maka

1.⟨ zn+wn ⟩

konvergen ke z+w .

2.⟨c zn ⟩

konvergen ke c z .

3.⟨ zn wn⟩ konvergen ke z w .

4.

⟨ 1zn

⟩ konvergen ke

1z asalkan zn≠0 dan z≠0 untuk

setiap n . □

1.2 Deret Bilangan Kompleks

Diberikan deret bilangan kompleks ∑n=1

∞

zn dengan suku-suku deret yaitu z1 , z2 , z3 , ….

Misalkan,

S1=z1 merupakan jumlah suku pertama

S2=z1+z2 merupakan jumlah dua suku pertama

S3=z1+z2+z3 merupakan jumlah tiga suku pertama

⋮

Sn=z1+z2+…+zn merupakan jumlah n suku pertama

Bilangan S menyatakan jumlah deret di atas apabila limn→∞

Sn=S. Jadi deret

∑n=1

∞

zn

konvergen ke S jika dan hanya jika limn→∞

Sn=S, dan ditulis

∑n=1

∞

zn=S.

Teorema 3

Diberikan deret bilangan kompleks ∑n=1

∞

zn dengan zn=xn+i yn , xn

dan yn bilangan riil, maka berlaku sifat-sifat berikut :

1.∑n=1

∞

zn konvergen ⇔

∑n=1

∞

xn dan

∑n=1

∞

yn konvergen.

2.∑n=1

∞

zn konvergen ⇒

limn→∞

zn=0.

3.∑n=1

∞

zn konvergen terdapat bilangan riil M sehingga

|zn|≤M ,∀ n ∈N.

4.∑n=1

∞

|zn| konvergen ⇒

∑n=1

∞

zn konvergen .

Seperti dalam deret bilangan riil, kekonvergenan deret ∑n=1

∞

zn dapat diuji dengan

beberapa uji kekonvergenan berikut.

1.∑n=1

∞

zn konvergen ⇒

limn→∞

zn=0.

limn→∞

zn≠0 ⇒

∑n=1

∞

zn divergen.

2.∑n=1

∞

|zn| konvergen ⇒

∑n=1

∞

zn konvergen mutlak.

∑n=1

∞

zn konvergen dan

∑n=1

∞

|zn| divergen ⇒

∑n=1

∞

zn konvergen bersyarat.

3.∑n=1

∞

zn konvergen mutlak ⇒

∑n=1

∞

zn konvergen.

4. Uji Banding

zn≤bn dan ∑n=1

∞

bn konvergen ⇒

∑n=1

∞

zn konvergen.

an≤zn dan ∑n=1

∞

an divergen ⇒

∑n=1

∞

zn divergen.

5. Ratio Test

lim

n←∞|zn+1

zn

|=L ⇒

{ L<1 , ∑n=1

∞

zn konvergen mutlak

L>1 , ∑n=1

∞zn divergen

L=1 , uji gagal

6. Root Test

lim

n←∞

n√ | zn|=L ⇒

{ L<1 , ∑n=1

∞

zn konvergen mutlak

L>1 , ∑n=1

∞zn divergen

L=1 , uji gagal

7. Deret Geometri

Bentuk umum : ∑n=1

∞

qn=1+q+q2+⋯

Jika | q |<1 maka deret konvergen.

Jika | q |≥1 maka deret divergen.

8. Deret p

Bentuk umum : ∑n=1

∞ 1

np=1+ 1

2p+ 1

3 p+⋯

Jika p<1 maka deret konvergen.

Jika p≤1 maka deret divergen.

Deret Pangkat

Bentuk

Deret PangkatDeret pangkat dalam z−z0 berbentuk :

∑n=0

∞

an (z−z0 )n=a0+a1( z−z0 )+a2( z−z0 )2+⋯

denga dengan z bilangan kompleks, z0 bilangan kompleks sebarang

yang disebut pusat deret, a0 , a1 , a2 , ⋯ konstanta kompleks yang

disebut koefisien deret.

Apabila z0=0 diperoleh bentuk khusus dari suatu deret pangkat dalam z yaitu

∑n=0

∞

an zn=a0+a1 z+a2 z2+⋯

Untuk setiap deret pangkat ∑n=0

∞

an (z−z0 )n

terdapat bilangan tunggal ρ dengan

0≤ρ≤∞ yang dinamakan jari-jari kekonvergenan deret. Sedangkan | z−z0|= ρ

disebut lingkaran kekonvergenan deret.

Teorema 4

Misal diberikan deret pangkat ∑n=0

∞

an (z−z0 )n

. Jika

limn→∞

| an||an+1 |

=ρ , dengan 0≤ρ≤∞ maka ρ adalah jari-jari

kekonvergenan.

Teorema 5

Misal diberikan deret pangkat ∑n=0

∞

an (z−z0 )n

.

Jika

limn→∞

1

|an|1

n

=ρ

, dengan 0≤ρ≤∞ maka ρ adalah jari-jari

kekonvergenan.

Sifat jari-jari kekonvergenan deret pangkat.

1. Jika ρ=0 maka deret konvergen hanya di z=z0 (pusat deret).

2. Jika 0< ρ<∞ maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap z

dengan | z−z0|<ρ

dan deret divergen untuk setiap z dengan | z−z0|>ρ

.

3. Jika ρ=∞ maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap z dengan

| z−z0|<∞.

Contoh 2

Tentukan pusat dan jari-jari kekonvergenan deret ∑n=1

∞ zn

n3.

Penyelesaian :

Misal an=

1

n3 , pusat deret yaitu z0=0 .

ρ=limn→∞

| an|| an+1|

= limn→∞

|1n3

|

|1(n+1 )3

|= lim

n →∞

n3+3 n2+3 n+1

n3=1

Oleh karena itu :

deret konvergen pada | z |<1

deret divergen pada | z |>1

Apabila | z |=1 , maka |∑

n=1

∞ zn

n3|=∑

n=1

∞ | z|n

n3=∑

n=1

∞ 1n3

(merupakan

deret p dengan p>1 ), dan |∑

n=1

∞ zn

n3| konvergen . Sehingga

∑n=1

∞ zn

n3

konvergen pada | z |=1 .

Jadi, | z |=1 konvergen pada | z |≤1 dan divergen pada | z |>1 .

Deret Taylor dan MacLaurin

Suatu fungsi f ( z ) tidak dapat direpresentasikan dalam dua deret pangkat

dengan pusat deret yang sama. Apabila f ( z ) dapat dinyatakan dalam deret pangkat

dengan pusat z0 , maka deret tersebut tunggal. Setiap fungsi analitik dapat disajikan

dalam deret pangkat. Apabila f ( z ) analitik di dalam lingkaran C maka f ( z ) dapat

disajikan dalam deret Taylor atau deret MacLaurin bergantung pada pusat deretnya.

C

r0 f ( z ) analitik di dalam C

•z0

Gambar Lingkaran C dengan pusat deret z0

Deret TaylorJika f ( z ) analitik di dalam lingkaran C yang berpusat di z0 dan

berjari-jari r0 ( lihat Gambar 5.1 ), maka untuk setiap titik z di

dalam C berlaku

f ( z )=f ( z0 )+∑n=1

∞ f (n )( z0 )n! ( z−z0 )n

. (1.1)

Persamaaan (5.1) disebut deret Taylor dari f ( z ) di sekitar titik z0 .

Deret

MacLaurinJika pada persamaan (5.1), z0=0 maka untuk setiap titik z di

dalam C berlaku

f ( z )=f (0 )+∑n=1

∞ f (n )(0 )n !

zn

. (1.2)

Persamaan (5.2) disebut deret MacLaurin dari f ( z ) .

Beberapa contoh deret MacLaurin.

1. e z=1+z+ z2

2 !+ z3

3 !+⋯ = ∑

n=0

∞ zn

n ! , | z |<∞

2. sin z = z− z3

3 !+ z5

5 !−⋯= ∑

n=0

∞(−1)n z2n+1

(2n+1) ! , | z |<∞ .

3. cos z = 1− z2

2 !+ z4

4 !−⋯= ∑

n=0

∞(−1 )n z2 n

(2 n) ! , | z |<∞ .

4.

11−z

=1+z+z2+ z4+⋯ = ∑n=0

∞zn

, | z |<1 .

5.

11+ z

=1−z+z2−z3+z4−⋯ =∑n=0

∞(−1)n zn

, | z |<1 .

Contoh 3

Tentukan deret Taylor untuk f ( z )= 1

z di sekitar z0=1 .

Penyelesaian :

Titik singular f ( z ) yaitu z=0 . Dibuat lingkaran C dengan pusat

z0=1 dan jari-jari 1 (C : | z−1 |=1 ), sehingga f ( z ) analitik di

dalam C .

f ( z0 )=f (1 )=1

f ' ( z )=−1 . z−2 ⇒ f '(1 )=−1

f ''( z )=2. z−3 ⇒ f ''(1)=2

f '''( z )=−6 . z−4 ⇒ f '''(1 )=−6

⋮

Menggunakan persamaan (5.1) diperoleh deret Taylor :

f ( z )=1−( z−1)+( z−1)2−( z−1 )3+⋯ , | z−1 |<1

Cara lain : ( menggunakan deret MacLaurin )

f ( z )=1z

=11+( z−1 )

=∑n=0

∞(−1 )n( z−1 )n

=1−(z−1)+( z−1)2−( z−1 )3+⋯ , | z−1 |<1

5.4 Deret Laurent

Apabila f ( z ) tidak analitik di z0 , tetapi f ( z ) analitik untuk setiap z di dalam

annulus R2<| z−z0|<R1 , maka f ( z ) dapat diekspansi dalam deret Laurent.

Deret LaurentJika f ( z ) analitik di dalam annulus

R1<| z−z0|<R2 , dan C

sebarang lintasan tertutup sederhana di dalam annulus

R1<| z−z0|<R2 yang mengelilingi z0 , maka untuk setiap z

di dalam R1<| z−z0|<R2 , f ( z ) dapat dinyatakan sebagai

f ( z )=∑

n=0

∞an ( z−z0 )n+∑

n=1

∞ bn

( z−z0 )n (1.3)

dengan

an=

12π i

∮C

f (z )( z−z0 )n+1

dz , n=0 , 1 , 2, …

bn=

12 π i

∮C

f (z )( z−z0 )−n+1

dz , n= 1 , 2 , 3 , …

Persamaan (5.2) sering ditulis dengan

f ( z )= ∑

n=−∞

∞

cn ( z−z0 )n

(1.4)

dengan cn=

12 π i

∮C

f ( z )( z− z0 )n+1

dz , n=0 , ±1 , ±2, …

Ruas kanan persamaan (1.3) dan (1.4) disebut deret Laurent

f ( z ) dalam annulus R1<| z−z0|<R2 .

Apabila f ( z ) analitik untuk | z−z0 |<R2 , maka

an=1

2 π i ∮C

f (z )( z−z0 )n+1

dz =f n ( z0 )

n !

dan bn=

12 π i

∮C

f (z )( z−z0 )−n+1

dz =0, sehingga persamaan (5.2) menjadi deret Taylor

f ( z )=∑n=0

∞ f n (z0 )n !

( z−z0 )n

. Jadi deret Taylor merupakan kejadian khusus dari deret

Laurent.

Contoh 4 Tentukan deret MacLaurin dan deret Laurent dari

f ( z )= 1

( z−1 ) ( z−2)

Penyelesaian :

f ( z )= 1( z−1 ) ( z−2)

=− 1( z−1 )

+ 1( z−2)

Titik singular f ( z ) yaitu z=1 dan z=2 .

Dibuat annulus 1<| z |<2 , sehingga dapat diperoleh deret MacLaurin

untuk | z |<1 dan deret Laurent untuk 1<| z |<2 dan | z |>2 .

a. Deret MacLaurin untuk | z |<1 .

f ( z ) analitik untuk | z |<1 , sehingga

f ( z )=−1( z−1)

+1( z−2)

=11−z

−12 [11−z

2 ]=∑

n=0

∞

zn−∑n=0

∞ zn

2n+1, | z |<1

b. Deret Laurent untuk 1<| z |<2 .

f ( z ) analitik untuk 1<| z |<2 .

f ( z )=− 1

( z−1 )+ 1

( z−2 ) .

−1z−1

=−1z [11−1

z ]=−1z [∑n=0

∞

(1z )n] , |1

z|<1

=−∑n=0

∞ 1zn+1

, 1< | z|

1z−2

=−12 [11−z

2 ]=−12 [∑n=0

∞

( z2 )

n] , | z2

|<1

=−∑n=0

∞ zn

2n+1, | z |<2

Jadi,

f ( z )=1(z−1) ( z−2 )

=−1( z−1)

+1( z−2)

=−∑n=0

∞ 1zn+1

−∑n=0

∞ zn

2n+1, 1<| z |<2 .

c. Deret Laurent untuk | z |>2 .

f ( z ) analitik untuk | z |>2 .

f ( z )=− 1

( z−1 )+ 1

( z−2 ) .

−1z−1

=−1z [11−1

z ]=−1z [∑n=0

∞

(1z )n] , |1

z|<1

=−∑n=0

∞ 1zn+1

, | z | >1

1z−2

=−1z [11−2

z ]=−1z [∑n=0

∞

(2z )

n] , |2z

|<1

=−∑n=0

∞ 2n

zn+1, | z |>2

Jadi,

f ( z )=1(z−1) ( z−2 )

=−1( z−1)

+1( z−2)

=−∑n=0

∞ 1zn+1

−∑n=0

∞ 2n

zn+1, | z|>2 .

2.2 Lingkaran kekonvergenan

Untuk membahas deret pangkat dengan bentuk ∑n=0

∞

an ( z−z0 )n maka akan lebih mudah

jika ditinjau dari deret pangkat dengan bentuk ∑n=0

∞

an zn.

Adapun teorema yang berlaku adalah :

0

Jika deret pangkat ∑n=0

∞

an zn konvergen, terdapat M >0 sedemikian sehingga |an zn|≤ M untuk semua

n=0,1,2 ,… untuk sembarang titik z dengan |z|<|z1|, dimana n=0,1 , …

karena deret ∑n=0

∞

M k n deret geometri dengan suku positif yang konvergen, maka

dengan menggunakan uji banding pada deret suku real nonnegatif terbukti bahwa deret

∑n=0

∞

|an zn| juga konvergen. Karena deret yang konvergen mutlak adalah konvergen,

maka deret ∑n=0

∞

an zn konvergen untuk semua |z|<|z1|, dan terbuktilah teorema di atas.

Berdasarkan pada pembuktian dan teorema diatas maka himpunan semua titik didalam suatu lingkaran yang berpusat di 0 merupakan suatu daerah kekonvergenan deret

∑n=0

∞

an zn. Lingkaran terbesar sekeliling 0 sedemikian sehingga deret ini konvergen di

setiap titik lingkaran, dinamakan lingkaran kekonvergenan deret ∑n=0

∞

an zn . menurut

teorema diatas, deret tidak mungkin konvergen di suatu titik diluar lingkaran itu, sebab jika demikian deret akan konvergen di titik yang manapun didalam lingkaran yang berpusat di 0 dan yang memulai z2 hal ini bertentangan dengan lingkaran yang pertama tadi yang mana berpusat di 0 yang terbesar sehingga deret konvergen di setiap titik di dalam lingkaran itu.Jika z diganti dengan z−z0, mudah dimengerti bahwa lingkaran kekonvergenan deret

pangkat ∑n=0

∞

an ( z−z0 )n, adalah suatu lingkaran yang berpusat di titik z0.atau dengan kata

lain dapat dijelaskan bahwa setiap deret pangkat dengan bentuk ∑n=0

∞

an ( z−z0 )n

Terdapat bilangan tunggal ρ , 0≤ ρ≤ ∞ , yang dinamakan jari-jari konvergensi deret, yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. Jika ρ=0 , maka deret pangkat konvergen hanya pada titik z=z0,yaitu pusatnya, dan divergen untuk semua z yang lain.

2. Jika 0 ≤ ρ ≤∞ , maka deret pangkat konvergen mutlak, jadi konvergen, untuk

semua z dengan |z−z0|< ρ dan divergen untuk semua z dengan |z−z0|> ρ.

3. Jika ρ=∞ , maka deret konvergen mutlak, jadi konvergen untuk setiap z

sedemikian sehingga |z−z0|<∞, yaitu untuk semua z berhingga.

Lingkaran |z−z0|=ρ dinamakan lingkaran konvergensi untuk deret pangkat

tersebut.

|z−z0|=ρ

Divergen

Untuk ke-tiga alasan yang dikemukakan di atas maka ada deret yang konvergen pada setiap titik di lingkaran konvergensinya ,ada deret yang tidak konvergen pada setiap titik tersebut, dan ada pula yang konvergen pada beberapa tetapi tidak semua titik di lingkaran konvergensinya. Maka dari kenyataan ini kita harus menggunakan teorema untuk menentukan dimana deret pangkat yang di berikan konvergen dan divergen.Teorema

Andaikan bahwa , untuk deret ∑n=0

∞

an ( z−z0 )n

limn → ∞

|an||an+1|

ada dan sama dengan ρ ,dimana 0 ≤ ρ ≤∞ .

Maka ρ adalah jari-jari konvergensi deret yang diberikan.Teorema

Andaikan bahwa , untuk deret ∑n=0

∞

an ( z−z0 )n

limn → ∞

1

|an|1n

ada dan sama dengan ρ ,dimana 0 ≤ ρ ≤∞ .

Maka ρ adalah jari-jari konvergensi deret yang diberikan.

Demikian juga mudah dipahami, bahwa jika deret pangkat negatif ∑n=0

∞

bn( z− z0 )−n

konvergen di titik z1, maka deret ini konvergen mutlak untuk semua titik z dengan │z-z0│>│z1-z0│, yakni untuk semua titik z di luar lingkaran │z-z0│=│z1-z0│. Jadi daerah kekonvergenan deret semacam ini adalah daerah eksterior suatu lingkaran yang berpusat di z0. Untuk membuktikan hal ini dapat digunakan teorema di atas

pada deret ∑n=0

∞

bnζ n

dengan ζ = 1

z−z0 .Contoh soal :

Diketahui deret pangkat ∑n=1

∞zn

n3 .

Dengan rumus pada teorema diatas kita mendapatkan bahwa

konvergen

ρ=limn→∞

|an||an+1|

=limn → ∞

1

n3

1( n+1 )3

=1

Karena pusat deret terletak pada z0=0, deret konvergen pada |z|<1 dan divergen

pada |z|>1.mengenai titik-titik pada lingkaran konvergensi, |z|=1, kita mencatat bahwa untuk sembarang titik yang demikian

∑|zn

n3|=∑ |z|n

n3 =∑ 1n3 tapi ini merupakan deret-p dengan p > 1; jadi ia konvergen.

Digabungkan dengan hasil diatas, kita melihat bahwa deret pangkat konvergen untuk |z|≤1 dan divergen untuk |z|>1.

2.3 KONVERGENSI DERET FUNGSI

Deret fungsi adalah suatu deret yang suku-sukunya merupakan fungsi yang

didefinisikan pada domain yang sama. Jadi deret fungsi adalah:

∑n=1

∞

f n ( z ) ( z∈D ) … .. (1 )

Deret fungsi (1) dikatakan konvergen pada domain D, jika deret konvergen di setiap

titik z∈D. Karena itu deret yang konvergen pada D ini juga disebut konvergen titik

demi titik pada D.

Selanjutnya akan dibahas kekonvergenan seragam.

DEFINISI

Deret pangkat ∑ an zn dinamakan konvergensi seragam pada suatu himpunan E jika

dan hanya jika untuk sembarang ε>0 terdapat bilangan bulat M sedemikian hingga:

|∑k=0

∞

ak zk−∑k=0

n−1

ak zk|<ε , untuk semua n> M dan setiap zdi E … (2 )

Pada (2) ketaksamaan pokoknya juga dapat ditulis sebagai:

∑k=0

∞

ak zk<ε

TEOREMA-TEOREMA

Teorema 6.9

Andaikan bahwa deret pangkat ∑n=0

∞

an zn mempunyai jari-jari konvergensi ρ>0 maka

deret konvergen seragam pada dan di dalam sembarang lingkaran C>|z|, r< ρ.

Bukti

Menurut definisi konfergensi seragam, teorema itu akan terbukti jika untuk

sembarang ε>0 kita dapat menentukan bilangan bulat M sedemikian hingga

|∑k=0

∞

ak zk|<ε untuk semua n>M dan semua z sedemikian sehingga |z|≤ r

Misalkan C adalah suatu lingkaran seperti yang disebutkan oleh teorema itudan

lukislah suatu lingkaran K yang konsentris dengan C dan berjari-jari R sedemikian

hingga 0<r<R<ρ (perhatikan gambar a). misalkan α=r /Rdan perhatikan bahwa

0<α<1.

Sekarang menurut hipotesis deret itu konvergen untuk semua z sedemikian hingga

|z|=R. Maka, menurut teorema yang menyatakan “andaikan untuk deret ∑ zn, yang

diberikanuntuk n → ∞ , lim zn≠ 0. Maka deret itu divergen”, suku-sukunya menjadi

sembarang kecil dalam nilai mutlak. Khususnya, untuk n yang cukup besar dan

untuk sembarang z pada K.

|an zn|=|an|Rn<1−α (1)

Di pihak lain karena 0<α<1, kita dapat menemukan n cukup besar sedemikian

hingga untuk sembarang ε>0 yang diberikan

α n<ε (2)

Ambilah M cukup besar sedemikian sehingga (1) dan (2) akan dipenuhi bersama-

sama untuk semua n>M , kita mempunyai:

|∑k=n

n+m

ak zk|≤∑k=n

n+m

|ak||z|k≤∑

k=n

n+m

|ak|r k

¿∑k =n

n+ m

|ak|αk Rk<(1−α )∑k=n

n+m

α k

¿α n−α n+ m+1=αn (1−αm+1)<ε (1−α m+1)

Akhirnya dengan mengambil M → ∞ pada bentuk pertama dan terakhir di atas kita

mencatat bahwa α m+1 → 0 jadi

∑k=n

∞

ak zk<ε

terbukti

Teorema 6.10

Andaikan bahwa deret ∑n=0

∞

an zn mempunyai lingkaran konvergensi C dengan jari-jari

ρ>0 maka deret konvergen ke suatu fungsi f ( z ) yang kontinu pada setiap z dalam

D1(C )

Bukti

Menurut teorema 6.9., deret yang diberikan konvergen mutlak pada setiap titik z

dalam D 1 (C ) . jadi kita dapat mendefinisikan fungsi itu sebagai

f ( z )=∑n=0

∞

an zn , untuk setiap z di D 1(C)

Bahwa fungsi ini sungguh-sungguh suatu fungsi bernilai tunggal, dapat diketahui

dari kenyataan bahwa bila diberikan sembarang titik z, demikian deret itu dan

dengan demikian f ( z ), menghasilkan suatu bilangan yang berhingga dan tunggal,

oleh karena konvergen. Jadi sekarang harus ditunjukan bahwa f ( z ) kontinu pada

D 1(C)

Sekarang misalkan ζ adalah sembarang titik di D1(C ). Maka (lihat gambar b). kita

dapat menemukan suatu lingkaran K, konsentris dengan C dan berjari-jari r

sedemikian hingga 0<|ζ|<r< ρ. Sekarang, misalkan ε>0 dipilih secara sembarang.

Maka, karena deret konvergen seragam pada dan di dalam K, suatu bilangan bulat

M ada sedemikian hingga

|f ( z)−∑k=0

n

ak zk|< ε3

,untuk semua n>M dan semua z pada atau didalam K

Khususnya karena ζ adalah salah satu dari z

|∑k=0

n

ak zk−∑k=0

n

ak ζ k|< ε3

Untuk semua z yang cukup dekat ke ζ

|f ( z)−f (ζ )|≤|f ( z)−∑k=0

n

ak zk|+|∑k=0

n

ak zk−∑k=0

n

ak ζ k|+|∑k=0

n

ak ζ k−f ( ζ )|¿ ε

3+ ε

3+ ε

3=ε

Jadi definisi kontinuitas f pada ζ terpenuhi dan dipilih sembarang dari D1(C )

Teorema 6.11

Andaikan bahwa deret ∑n=0

∞

an zn mempunyai lingkaran konvergensi C dengan jari-jari

ρ>0 maka deret itu dapat diintegralkan suku demi suku sepanjang sembarang

lintasan K, yang terletak di D1(C ), ialah:

∫K

❑

(∑n=0

∞

an zn)dz=∑n=0

∞

∫K

❑

an zn dz

Bukti

Pertama, kita mencatat bahwa setiap integral pada ruas kanan kesimpulan teorema

itu ada, karena integral an zn kontinu dimana-mana dan K merupakan lintasan.

Kedua, menurut teorema 6.9. deret yang diberikan menyatakan fungsi f ( z ) yang

kontinu di D1(C ) dan oleh karena itu integral di ruas kiri pada kesimpulan teorema

itu ada.

Ketiga, menurut teorema 6.9 , deret konvergen seragam ke f ( z ). Jadi bila diberikan

ε>0 terdapat bilangan bulat M sedemikian hingga untuk semua n>M

|∑k=0

n−1

ak zk− f (z)|<ε ,untuk semua z di D 1(C)

Sekarang untuk setiap z di D1(C ), setiap n>M dan sembarang lintasan K di D1(C )

∫K

❑

(∑n=0

∞

an zn)dz=∫K

❑

f ( z ) dz

¿∫K

❑

(∑k=0

n−1

ak zk )dz+∫K

❑

(f ( z )−∑k=0

n−1

ak zk)dz (1 )

Sehubungan dengan kedua integral terakir diatas kita mempunyai

∫K

❑

(∑k=0

n−1

ak zk )dz=∫K

❑

(a0+a1 z+…+an zn−1 )dz

¿∑k=0

n−1

∫K

❑

ak zk dz (2)

Dan menurut teorema 4.5(5)

|∫K

❑ (f ( z )−∑k =0

n−1

ak zk)dz|≤ εLdimana L= panjang K (3)

Jelaslah bila ε → 0 integral di (3) menuju ke nol. Pada saat yang sama bilaε → 0 , M

dan juga n menuju ke ∞ dan oleh karena itu jumlah integral dal (2) menjadi

∑k=0

∞

∫K

❑

ak zk dz

Dengan mensubtitusikan ke (1) kita mempunyai

∫K

❑

(∑n=0

∞

an zn)dz=∑n=0

∞

∫K

❑

an zn dz

Teorema 6.12

Andaikan bahwa deret pangkat ∑n=0

∞

an zn mempunyai lingkaran konvergensi C

dengan jari-jari ρ>0, maka:

1. Deret konvergen ke suatu fungsi f (z) yang analitik diseluruh D 1(C)

2. Turunan f (z) diberikan oleh f ' ( z )=∑n=0

∞ddz

(¿an zn)¿; jadi deret dapat

didiferensialkan suku demi suku di dalam lingkaran konvergensinya .

3. Turunan deret di bagian 2 konvergen seragam ke f ' ( z ) di setiap titik pada dan di

dalam sembarang lingkaran T yang konsentris dengan C dan jari-jarinya r< ρ

Bukti

1. Menurut teorema 6.9 deret tersebut kontinu seragam ke suatu fungsi kontinu

f (z). Kita buktikan bahwa f (z) analitik pada setiap z di D1(C )

Menurut teorema 6.11

∫K

❑

(∑n=0

∞

an zn)dz=∑n=0

∞

∫K

❑

an zn dz

Untuk sembarang lintasan K di D1(C ) dan khususnya untuk sembarang K yang

sederhana dan tertutup. Tetapi jika K sederhana dan tertutup. Tetapi jika K

sederhana dan tertutup, maka setiap integral pada penjumlahan diatas sama

dengan nol, karena integran dalam setiap kejadian dimana-mana. Oleh karena

itu:

∫K

❑

f ( z )dz=0

Dan benar untuk setiap lintasan K yang sederhana dan tertutup di D1(C ), jadi

menurut teorema morera f (z) analitik pada setiap z di D1(C )

2. Sekarang kita akan membuktikan bahwa, untuk sembarang z di D1(C )

f ' ( z )=∑n=0

∞ddz

an zn

Misalkan ζ adalah sembarang titik di D1(C ). Maka karena ζ merupakan suatu

titik dalam, suatu lintasan tertutup sederhana K dapat ditemukan yang terletak

seluruhnya di D1(C ) dan sedemikian hingga ζ berada di D1(K). maka, dengan

menggunakan teorema 5.8., kita mempunyai

f ' (ζ )= 12 π i

∫K

❑ f (z)(z−ζ )2

dz

¿ 12 π i∫K

❑ [∑n=0

∞ an zn

( z−ζ )2dz ]

¿∑n=0

∞1

2π i∫K

❑ an zn

(z−ζ )2dz∗¿¿

¿∑n=0

∞ddz

anζ n

Karena ζ sembarang di D1(C ) terbuktilah pernyataan (2)

3. Kita akan menunjukan bahwa turunan deret yang baru saja diperoleh itu

konvergen seragam ke f ' ( z ) di D1(C ). Untuk tujuan ini bila diberikan ε>0

kita harus menemukan suatu bilangan bulat M sedemikian hingga untuk

semua n>M dan untuk sembarang ξ pada atau di dalam suatu lingkaran

T :|z|=r<ρ

¿

Maka misalkan K adalah lingkaran |z|=λ dengan r< λ<ρ menurut teorema

6.9 terdapat suatu bilangan bulat M sedemikian hingga untuk n>M dan untuk

suatu z pada atau di dalam K

|f ( z)−∑k=0

n−1

ak zk|<ε

Atau sama dengan

|∑k=n

∞

ak zk|<ε

Maka

¿

¿|∑k=n

∞1

2 πi∫K

❑ ak zk

( z−ξ )2dz|= 1

2 π |∫K

❑ ∑K =n

∞

ak zk

( z−ξ )2dz|

≤1

2 π

|∑K =n

∞

ak zk||z−ξ|2

L , L= panjang K

¿ 12 π

ε

( λ−r )2L

¿ (konstanta ) . ε

Dimana dalam memperoleh ketaksamaan terakhir ini, kita menggunakan kenyataan

bahwa untuk z pada K

λ=|z|>r ≥|ξ|dan|z−ξ|≥|z|−|ξ|≥ λ−r>0

karena ε sembarang, konvergensi seragamnya turunan deret telah dikukuhkan.

Teorema

Perhatikan suatu deret tak berhingga yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu

∑n=0

∞

f n ( z )

Dan andaikan bahwa deret tersebut konvergen mutlak sepanjang suatu lintasan K.

maka

∫K

❑

(∑n=0

∞

f n(z))dz=∑n=0

∞

∫K

❑

f n(z )dz

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Barisan bilangan kompleks :

merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif n

dengan suatu bilangan kompleks.

Notasi barisan bilangan kompleks :

⟨ zn⟩ atau { zn }={ z1 , z2 , z3 ,…, zn }, n ≥ 1 .

Deret pangkat dalam z−z0 berbentuk :

∑n=0

∞

an (z−z0 )n=a0+a1( z−z0 )+a2( z−z0 )2+⋯

dengan z bilangan kompleks, z0 bilangan kompleks sebarang yang disebut

pusat deret, a0 , a1 , a2 , ⋯ konstanta kompleks yang disebut koefisien

deret.

Setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret

MacLaurin atau deret Laurent) bergantung pada pusat deretnya.

Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlaku

beberapa teorema berikut.

Teorema 1Jika zn=xn+i yn dengan xn∈ℜdan yn∈ℜ , maka

⟨ zn⟩

konvergen ke z=a+i b jika dan hanya jika ⟨ xn⟩ konvergen ke a

dan ⟨ yn⟩ konvergen ke b .

Teorema 2Jika

⟨ zn⟩ dan ⟨wn⟩ berturut-turut konvergen ke z dan w , dan c

konstanta kompleks, maka

5.⟨ zn+wn ⟩

konvergen ke z+w .

6.⟨c zn ⟩

konvergen ke c z .

7.⟨ zn wn⟩ konvergen ke z w .

8.

⟨ 1zn

⟩ konvergen ke

1z asalkan zn≠0 dan z≠0 untuk

setiap n . □

DAFTAR PUSTAKA

Ekowati, C.K. 2010. Bahan Ajar Mandiri Analisis Kompleks. Kupang: Universitas Nusa Cendana

http//: diktat-ankom.pdf

Gunawan wibisono, dan John D.Paliouras. 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Penerbit : Erlangga