bilangan kompleks
DESCRIPTION
bilangan kompleks matematika teknikTRANSCRIPT
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd
fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx
cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc
vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc
vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
hjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbn
mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert
yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas
dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz
Bilangan Kompleks
Tugas Matematika Teknik
ISTN Desember 2012
Nurhafiz Firdaus (09310003)
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
BILANGAN KOMPLEKS
13.1 Bilangan Kompleks dan Plan Kompleks
Fungsi kompleks (bersifat exponen, trigonometric, hiperbolic, dan fungsi
logaritmis). Ini menyamaratakan fungsi umum dari kalkulus. Solusi untuk persamaan x2
= -1
or x2
β l0x + 40 = 0. Kita dapat mengawali pengenalan bilangan kompleks dengan definisi ,
bahwa bilangan kompleks z adalah jika (x,y) dari bilangan real x dan y, dapat ditulis
z = (x,y)
dimana x adalah real dan y adalah imaginer dari z,
x = Re z, y = lm z
dari definisi dua bilangan kompleks adalah suatu persamaan jika dan hanya jika semua
persamaan real parts sama dengan imaginer part. (0,1) disebut unit imaginer dan dinotasikan
dengan i.
i = (0,1)
penjumlahan dari dua bilangan kompleks z1 = (x1,y1) dan z2 = (x2,y2) ialah
z1 + z2 = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
Perkaliannya ialah
z1 z2 = (x1,y1) (x2,y2) = (x1 x2 - y1 y2 , x1y2 + x2y1)
Dengan ketentuan, dua definisi
(x1, 0) + (x2, 0) β (x1 + x2, 0)
Dan
(x1, 0)(x2, 0) = (x1 x2, 0)
Untuk bilangan real x1 x2 . karena bilangan kompleks βluasβ maka bilangan real dapat
ditulis
(x, 0) = x dengan cara yang sama, (0, y) = iy
Karena dari definisi dari multiplication maka kita dapatkan
Iy = (0,1)y = (0,1)(y,0) = (0. y β 1 . 0, 0 . 0 + 1.y) = (0,y)
Secara bersamaan kita dapatkan penjumlahan (x,y) = (x,0) + (0, y) = x+ iy;
Secara praktis bilangan kompleks z = (x,y) dapat ditulis
z = x+ iy
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
Atau z = x +yi,
i2 = -1
Karena dari definisi perkalian, i2 = ii = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1.
Untuk penjumlahan standar didapat
(x1 + i,y1) + (x2 + i,y2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
Untuk perkalian menggunakan notasi standar dan menggunakan i2 = -1
(x1+ iy1) (x2+ iy2) = x1x2 + ix1 y2+iy1y2+i2y1y2
= (x1x2 β y1y2) + i(x1y2 + x2y1)
Complex Plane
Ini adalah aljabar,penyajian geometris dari kompleks angka seperti titik pada naik pesawat
terbang. Ini dari kepentingan hebat praktis. Ide adalah sangat sederhana dan alami. Kita
memilih dua koordinate tegaklurus axes, poros-x horisontal. dipanggil poros nyata, dan
poros-y vertikal, dipanggil poros imajiner. Pada keduanya kampak kita pilih satuan panjang
yang sama (Ara. 315). Ini dipanggil satu sistem mengkoordinir Cartesian
Complex Conjugate Numbers
Kompleks conjugate αΊ bilangan kompleks z = x + iy di definisikan oleh
αΊ = x- iy
Ini diperoleh secara geometris dengan mencerminkan titik z pada poros nyata figure di bawah
ini untuk z = 5 + 2i dan conjugate αΊ = 5 β 2i
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
Hubung kompleks adalah penting sebab ini mengijinkan kita untuk menukarkan dari
kompleks ke real.dari multiplication z αΊ = x2 + y
2 dan z + αΊ = 2x, z - αΊ = 2iy kita lihat dari real
part x dan maginary part y (not iy), z = x +iy
Re z = x = 1/2 (x + αΊ), im z = y = 1/2i (z- αΊ)
Jika z adalah real z = x maka z = αΊ dari deinisi of αΊ dan conversely dengan conjugate,kita
dapat
π§1 + π§2 = π§ 1 + π§ 2 , π§1 + π§2 = π§ 1 + π§ 2
π§1π§2 = π§ 1π§ 2 π§1
π§2 =
π§1
π§2
13.2 Polar Form dari Bilangan Kompleks. Powers and Roots
Kompleks plan menjadi lebih berguna dan memberikan pengertian yang mendalam
ke perhitungan operasi untuk bilangan kompleks di samping xy koordinat juga termasuk
dalam koordinat polar r, ΞΈ di definisi oleh
x= r cos ΞΈ , y= r sin ΞΈ
kita lihat z = x +iy disebut dengan polar form
z= r(cos ΞΈ + I sin ΞΈ)
r kita sebut dengan absolute value atau modulus z dan di notasikan
|z| = r = π₯2 + π¦2 = π§αΊ
Geometri |z| adalah jarak dari titik z dari figure 320,sama dengan |z1- z2| adalah jarak diantara
z1 dan z2 figur 321.
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
Ξ adalah disebut argument z dan dinotasikan dengan arg z
ΞΈ = arg z = arctan y/x (z β 0)
geometri, ΞΈ adalah sudut terarah dari positif x untuk OP d figure 320. Di sini. seperti
di kalkulus, semua sudut diukur di lingkaran dan positif yang berlawanan arah jarum jam.
Untuk z = 0 sudut ΞΈ tak tergambarkan
13.3 Multiplication and Division in Polar Form
ini membererikanβgeometriβpemahaman multiplication and division ,lihat
z1= r1(cos ΞΈ1 + I sin ΞΈ1) and z2= r2(cos ΞΈ2 + I sin ΞΈ2)
multiplication dari produk ada di
z1z2 = r1r2[(cosΞΈ1 cos ΞΈ2 - sinΞΈ1 sin ΞΈ2) +i (sinΞΈ1 cos ΞΈ2 - cosΞΈ1 sin ΞΈ2)]
ketentuan penambahan untuk cosines dan sinus
z1z2 = r1r2[cos(ΞΈ1 + ΞΈ2) + i sin(ΞΈ1 + ΞΈ2)]
Mengambil nilai mutlak timbal balik ,kita melihat nilai mutlak dari satu produk
samakan produk dari nilai mutlak dari faktor,
| z1z2| =| z1||z2|
Mengambil argumen di perlihatkan tersebut argumen dari satu produk menyamakan
penjumlahan dari argumen dari factor
Arg(z1z2)= arg z1 + argz2
Division kita mempunyai z1= (z1/z2 )z2 karenanya| z2| = | (z1/z2 )z2| = | (z1/z2 )||z2| dan oleh
division |z2|
| z1/z2 | = | z1/z2 |
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
Derivative. Analytic Function Pembahasan kita dari fungsi kompleks akan melibatkan setelan titik pada plan
kompleks. Paling penting akan sesuatu berikut
Circles and Disks. Half-Planes
Unit circle |z| = 1 bulatan umum dari jari-jari p dan pusat a. Penyamaan ini adalah
|z β a | = Ο
Complex Function
Analisa kompleks mempunyai kaitan dengan fungsi kompleks yang adalah differentiable di
beberapa daerah. Karenanya kita harus katakan pertama apa kita berarti satu kompleks
berfungsi kemudian mendefinisikan konsep dari pembatas dan terbitan di kompleks. Bahasan
ini akan serupa dengan itu di kalkulus. Meskipun demikian ini memerlukan perhatian hebat
karena ini akan memperlihatkan dasar penarik perhatian perbedaan di antara sebenarnya dan
kalkulus kompleks.
Daya ingat dari kalkulus sebenarnya berfungsi f didefinisikan pada satu set S nomor riil
(biasanya satu interval) apakah aturan yang mendapat hak itu ke tiap-tiap x pada s satu nomor
riil f ( x), dipanggil nilai dari f di x. Sekarang di kompleks, S adalah seperangkat kompleks
angka. Dan satu fungsi f didefinisikan pada s adalah aturan yang mendapat hak itu ke z pada
S satu nomor kompleks ,dipanggil vallie dari fat z Kita tulis
W = f(z)
Disini z variable S dan di sebut variable kompleks. Set S adalah di sebut domain yang
mendefinisikan f
Contoh :
W = f(z) = z2 + 3z adalah funfsi kompleks didefinisikan untuk semua z itu adalah
domain dari S adalah plan kompleks
Setelan dari semua nilai dari satu fungsi f dipanggil jangkauan f. w adalah kompleks, dan kita
tulis w = u + iv., dimana u dan v adalah nyata dan imajiner bagian, berturut-turut. Sekarang
w bergantung kepada z= x + iy. Karenanya u jadi satu fungsi kenyataan dari x dan y. dan
demikian demikian juga v. Kita tulis
W = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
Ini memperlihatkan kompleks berfungsi f ( z) pada satu pasangan dari sebenarnya berfungsi
u (x, v ) dan jengkelkan, y ), masing-masing menyesuaikan pada kedua kenyataan variabel x
dan y.
13.4 Persamaan Cauch β Riemann
Persamaan Laplaceβs
Persamaan Cauch-Riemann adalah persamaan yang paling penting dalam bab ini karna
menjadi salah satu pilar dari analisis kompleks. Disini menyediakan criteria untuk analisis
fungsi kompleks.
W = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
Secara kasar f adalah analisis domain D jika dan hanya jika turunan pertama pada u dan v
keduanya disebut persamaan Cauch-Riemann.
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
(1) ux = vy, uy = - vx
Dimana didalam D; ada ux = du/dx dan uy = du/dy (dan sama dengan v) dan biasa disebut
turunan parsial.
Theorm 1
Persamaan Cauch-Riemann
misalkan π π§ = u(x,y) + iv(x,y) didefinisikan pada beberapa himpunan pada poin z= x+iy
dan didifferensial pada z. kemudian pada turunan parsial u dan v berada dan menjadi
persamaan Cauch-Riemann.
Karenanya jika f(z) adalah analisis pada a domain D,maka turunan parsial berada dan
masuk(1) pada semua D.
Poof dengan asumsi, turunan π β² π§ pada z berada. Maka didapat
(2)
π β² π§ = limβπ§β0
π π§ + βπ§ β π(π§)
βπ§
Kita tulis βπ§ = βπ₯ + πβπ¦ kemudian π§ + βπ§ = π₯ + βπ₯ + π(π¦ + βπ¦),dan pada kondisi turunan
u dan v pada (2) didapat
(3)
π β² π§ = limβπ₯β0
π’ π₯ + βπ₯,π¦ + βπ¦ + π₯ + βπ₯,π¦ + βπ¦ β [π’ π₯,π¦ + ππ£ π₯, π¦ ]
βπ₯ + πβπ¦
// π β² π§ = limβπ₯β0π’ π₯+ βπ₯ ,π¦ β π’ π₯ ,π¦
βπ₯ + ilimβπ₯β0
π£ π₯+ βπ₯ ,π¦ β π’(π₯ ,π¦)
βπ₯
Sesuai definisi, turunan parsial u dan v terhadap x. karenanya turunan π β² π§ pada π π§ dapat ditulis
(4) π β² π§ = π’π₯ + ππ£π₯
Dengan cara yang sama
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
π β² π§ = limβπ₯β0π’ π₯ ,π¦+ βπ¦ β π’(π₯ ,π¦)
πβπ¦ + ilimβπ₯β0
π£ π₯ ,π¦+ βπ¦ β π’(π₯ ,π¦)
πβπ¦
Sejak π β² π§ berada, limit pada sisi kanan di berikan turunan parsial pada u dan v terhadap y;
1/i= -i demikian kita peroleh
(5) π β² π§ = βππ’π¦ + π£π¦
Rumus (4) dan (5) sangat praktis untuk kalkulasi turunan π β² π§ .
Theorm 2
Jika dua fungsi bilangan kontiu-real u (x,y) dan v(x,y) pada dua variable real xdan y kontinu
turunan parsial pertama pada persamaan Cauch-Riemann dibeberapa domain D, maka
fungsi kompleks π π§ = π’ π₯,π¦ + ππ£(π₯,π¦) adalah analisis di D.
Theorem 1 dan 2 sangat penting, sejak menggunakan persamaan Cauch-Riemann sekarang
kita dapat lebih mudah menyelesaikan apakah menggunakan fungsi analitik kompleks atau
tidak.
(6) (a) π’π’π₯ β π’π£π₯ = 0 (b) π’π’π¦ + π’π£π₯ = 0
(7) π’π = 1
π π£π ,
π£π = β1
π π’π
Theorm 3
Persamaan laplace
Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y) adalah analitik pada a domain D, kemudian kedua u dan v
disebut persamaan laplace
(8) β2π’ = π’π₯π₯ + π’π¦π¦ = 0
(π»2 dibaca βnabla kuadratβ) dan
(9) β2π£ = π£π₯π₯ + π£π¦π¦ = 0
Pada D dan memiliki turunan kedua pada D.
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
Proof Diferensial π’π₯ = π£π¦ terhadap x dan π’π¦ = βπ£π₯ terhadap y, maka kita dapat
(10) π’π₯π₯ = π£π¦π₯ . π’π¦π¦ = βπ£π₯π¦
13.5 Fungsi eksponensial
Kita awali dengan analisis fungsi paling penting, fungsi eksponensial kompleks
ππ§ , ππ’ππ πππ‘π’πππ exp π§.
Definisi dari ππ§pada fungsi real ππ₯ , cos y, dan sin y adalah
(1)
ππ§ = ππ₯(cos π¦ + π sinπ¦)
Definisi ini adalah fakta bahwa ππ§extend fungsi eksponensial real ππ§ pada kalkulus dan
biasanya dinamakan
(a) ππ§= ππ§ untuk rel z = x karena cos y =1 dan sin y = 0 pada saat y = 0
(b) ππ§ adalah analiti untuk semua z
(c) Turunan dari ππ§ adalah ππ§
(2)
(ππ§)β² = ππ§
ππ§ β² = ππ₯ cos π¦ π₯ + π ππ₯ sin π¦ π₯ = ππ₯ cosπ¦ + πππ₯ sinπ¦ = ππ§
Further Properties. Suatu fungsi f(z) yang analitik untuk semua z disebut fungsi
keseluruhan. Dengan demikian, ez adalah keseluruhan. Sama halnya di kalkulus fungsi
relasi.
(3)
ππ§1+π§2 = ππ§1ππ§2
Berpegang pada π§1 = π₯1 + ππ¦2. bahwasanya (1),
ππ§1ππ§2 = ππ₯1 cosπ¦1 + π sinπ¦1 ππ₯2 (cosπ¦2 + π sinπ¦2).
Sejak ππ₯1ππ₯2 = ππ§1+π§2 untuk fungsi real, pada aplikasi rumus penjumlahan untuk fungsi
sinus dan cosines kita bisa lihat
ππ§1ππ§2 = ππ₯1+π₯2 [cos π¦1 + π¦2 + π sin π¦1 + π¦2 ] = ππ§1+π§2
Seperti pernyataan. Satu kasus khusus dari (3 ) adalah z1 = x dan z2 = iy; maka
(4)
ππ§ = ππ₯πππ¦
Untuk z =iy kita dapat dari (1) dapat disebut rumus Euler
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
(5)
πππ¦ = cosπ¦ + π sinπ¦.
Karennya polar form dari bilangan kompleks, z = r(cosπ+ I sin π), sekarang dapat ditulis
(6)
π§ = ππππ
Dari (5) kita dapatkan
(7)
π2ππ = 1
Beberapa rumus penting
(8)
πππ/2 = π, πππ = β1, πβππ/2 = βπ, πβππ = β1
Beberapa konsekuensi dari (5)
(9)
πππ¦ = cosπ¦ + π sin π¦ = πππ 2π¦ + π ππ2π¦ = 1.
Ialah untuk eksponen imaginer murni pada fungsi eksponensial adalah absolute nilai 1,
sebuah hasil disarankan mengingat (9) dan (1)
(10)
ππ₯ = ππ₯ karenanya arg ππ₯ = π¦ Β± 2ππ π = 0,1,2,β¦ ,
Sejak ππ₯ = ππ₯ lihat persamaan (1) hasil ππ₯ pada polar form
Dari ππ₯ = ππ₯ β 0 pada (10) didapatkan
(11) ππ§ β 0 untuk setiap z
Periodicity dari ππdengan periode 2π π,
(12) ππ§+2ππ = ππ§ untuk setiap z
Karena semua nilai w = ππ§ bisa diasumsikan dengan asumsi horizontal strip dengan 2π
(13) -π < π¦ β€ π
Lajur tanpa batas ini dikatakan wilayah fundamental dari ex
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
13.6 Fungsi trigonometri dan hiperbolik
πππ₯ = πππ π₯ + π π ππ π₯, πβππ₯ = cos π₯ β π sin π₯
Dengan penjumlahan dan pengurangan kita peroleh untuk cosines dan sinus real
cos π₯ = 1
2 πππ₯ + πβππ₯ , sin π₯ =
1
2π πππ₯ β πβππ₯ .
Disarankan menggunakan nilai kompleks z = x + iy;
(1)
cos π§ = 1
2 πππ§ + πβππ§ , sin π§ =
1
2π πππ§ β πβππ§ .
(2)
tan π§ = sin π§
cos π§ , cot π§ =
cos π§
sin π§
Dan
(3)
sec π§ =1
cos π§ , csc π§ =
1
sin π§ .
(4)
(cos π§)β² = β sin π§ . (sin π§)β² = cos π§ . (tan π§)β² = π ππ2π§,
Etc. persamaan (1) jugamenunjukan Eulerβs formula is valid in complex:
(5)
πππ§ = cos π§ + π sin π§
Real dan Imaginer parts. Nilai absolute, periodic
(6)
π cos π§ = cos π₯ coshπ¦ β π sin π₯ sinh π¦ π sin π§ = sin π₯ coshπ¦ + π cos π₯ sinh π¦
Dan
(7)
π cos π§ 2 = πππ 2π₯ + π πππ2π¦
π sin π§ 2 = π ππ2π₯ + π πππ2π¦
Dan diberikan beberapa aplikasi pada formula
Solusi dari (1)
Cos π§ = 1
2 ππ π₯+ππ¦ + πβπ π₯+ππ¦
= 1
2πβπ¦(cos π₯ + π sin π₯) +
1
2ππ¦(cos π₯ + π sin π₯)
=1
2(ππ¦ + πβπ¦) cos π₯ β
1
2π(ππ¦ + πβπ¦) sin π₯)
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
Hasil dari (6a) dapat diselesaikan denga n kalkulus
(8)
coshπ¦ = 1
2(ππ¦ + πβπ¦), sinhπ¦ =
1
2 ππ¦ + πβπ¦ ;
(6b) diperoleh dengan cara yang sama dari (6a) dan cosh2
y = 1 + sinh2 y kita dapatkan
cos π§ 2 = πππ 2π₯ 1 + π πππ2π¦ + π ππ2π₯ π πππ2π¦
Formula umum untuk fungsi kontinu trignomrtri realuntuk bilangan kompleks.harus
mengikuti definisi. Yang telah Kita sebut pada ketentuan penjumlahan.
(9)
cos π§1 Β± π§2 = cos π§1 πππ π§2 Β± π ππ π§1 sin π§2
π ππ π§1 Β± π§2 = π πππ§1 πππ π§2 Β± sin π§2 πππ π§1 Dan formula
(10)
πππ 2π§ + π ππ2π§ = 1.
Fungsi hiperbolik
Sinus dan kosinus hiperbolik kompleks biasa didefinisikan sebagai
(11)
cosh π§ =1
2(ππ§ + πβπ§), sinh π§ =
1
2(ππ§ + πβπ§)
Dapat diartikan dengan familiar definisi sebagai variable real [lhat (8)]. Fungsi ini secara
keseluruhan merupakan turunan
(12)
(cosh π§)β² = sinh π§ , (sinh π§)β² = cosh π§,
Sama seperti kalkulus.fungsi hiperbolik lain dapat didefinisikan sebagai
(13)
tanh π§ =sinh π§
cosh π§ , coth π§ =
cosh π§
ππππ π§ .
sech π§ =1
cosh π§ , csch π§ =
1
sinh π§ .
Fungsi hiperbolik dan trigonometri kompleks saling berhubungan. Jika pada (11), kita
gantikan z dengan iz dan kita gunakan (1), maka kita dapatkan
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
(14)
cosh ππ§ = cos π§ , sinh ππ§ = π sin π§.
Dengan dara yang sama, jika pada (1) kita ganti z dengan iz dan menggunakan (11) kita bisa
melakukan kebalikannya.
(15)
cos ππ§ = cosh π§ , sin ππ§ = π sinh π§.
13.7 Logaritma. General power
Logaritma natural dari z = x + iy dinotasikan dengan ln z dan didefinisikan sebagai inverse
dari fungsi eksponensial, yakni w = ln z didefinisikan untuk z β 0 dengan hubungan
ππ€ = π§
Jika kita set w = u + iv dan z = ππππ .menjadi
ππ€ = ππ’+ππ£ = ππππ
ππ’ = π , π£ = π
ππ’ = π diberikan u = ln r, dimana ln r adalah familiar logaritma natural real dari nilai positif
π = π§ , sehingga w = u +iv = ln z diberikan
(1)
ln π§ = ln π + ππ (π = π§ > 0,π = arg π§)
Nilai dari ln z berkoresponden ke nilai principal arg z dinotasikan oleh Ln z (Ln dengan huruf
capital L) dan disebut nilai penting dari ln z
(2)
πΏπ π§ = ln π§ + π π΄ππ π§
Sejak nilai lain dari arg z berbeda bengan perkalian integer dari 2π , nilai lain dari ln z ialah
(3)
ln π§ = πΏπ π§ Β± 2πππ (π = 1,2,β¦ )
πΏπ π§ = ln π§ + ππ (π§ ππππ πππππ‘ππ)
Dari (1) dan πln π = π untuk bil real positif r kita dapatkan
(4a)
πln π§ = π§
Seperti ekspektasi, tapi seja arg ππ₯ = π§ Β± 2ππ adalah nilai multi dari
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
(4b)
ln ππ₯ = π§ Β± 2πππ,
Hubungan dari logaritma natural kontinu untuk nilai kompleks ialah
(5)
π ln π§1π§2 = ln π§1 + ln π§2 , π ln π§1
π§2 = ln π§1 β ln π§2
Theorm 1
Analisa logaritma
Untuk setiap n = 0,Β±1, Β±2, β¦ formula (3) mendefinisikan sebuah fungsi, yang analitis,
kecuali pada 0 dan didepan bilangan real negative dan pada turunan
(6)
(ln π§)β² =1
π§ (π§ ππ’πππ 0 ππ‘ππ’ πππ ππππ πππππ‘ππ)
Proof kita lihat persamaan Cauch-Riemann , dari (1) β (3) kita dapatkan
ln π§ = ln π + π π + π = 1
2ln π₯2 + π¦2 + π arctan
π¦
π₯+ π
Dimana constanta c adalah perkalian dari 2π. Dengan definisi
π’π¦ =π₯
π₯2 + π¦2= π£π¦ =
1
1 + (π¦ π₯) 2 .1
π₯
π’π¦ =π¦
π₯2 + π¦2= βπ£π₯ = β
1
1 + (π¦ π₯) 2 βπ¦
π₯2 .
Karena berpegangan pada persamaan Cauch-Riemann maka didapat
ln π§ β² = π’π₯ + ππ£π₯ =π₯
π₯2 + π¦2+ π
1
1 + (π¦ π₯) 2 βπ¦
π₯2 =
π₯ β ππ¦
π₯2 + π¦2=
1
π§
General Powers
general power dani nilai kompleks z = x + iy didefinisikan dengan rumus
(7)
π§π = ππ ln π§ (π ππππππππ , π§ β 0)
Sejak ln z memiliki nilai tanpa batas, π§πakan berada pada nilai multi umum. Dengan nilai
tentu
Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)
Nurhafiz Firdaus (09310003)
π§π = ππ ln π§
Disebut nilai tentu dari π§π .
Jika c = n = 1, 2, β¦ , kemudian π§π adalah nilai tunggal dan identik dengan nth power dari z.
Jika c = -1, -2, β¦ , situasi semula
Jika c = 1/n, dimana n = 2,3, β¦ , maka
π§π = π§π
= π 1
π ln π§
eksponen ialah determinan dari perkalian 2πi / n dan kita memperoleh nilai n berbeda
dari nth pakukan, sesuai dengan hasil pada sec. 13.2. jika c = p / q, hasil bagi dari dua
bilangan bulat positif, keadaan adalah serupa, dan π§π hanya memiliki nilai terbatas yang
berbeda.
Dari (7) kita lihat bahwa nilai kompleks a,
(8)
ππ§ = ππ§ ln π
Kita sekarang memperkenalkan fungsi kompleks yang diperlukan pada pekerjaan praktis.
Diantaranya (ez, cos z, sin z. cosh z, sinh z ) semuanya di (sec. 13. 5 ), beberapa di
antaranya (tan z, cot z, tanh z. coth z ) analitik terkecuali pada titik tertentu, dan salah
satunya (ln z ) membagi ke dalam beberapa fungsi tanpa batas, masing-masing analitik
terkecuali pada 0 dan pada bil. negatif real.