1. Bilangan Kompleks

1. BILANGAN KOMPLEKS

Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh karena itu, perlu suatu jenis bilangan baru yang disebut bilangan kompleks. Pengertian bilangan kompleks, bidang kompleks dan sifat aljabar bilangan kompleks yang diuraikan dalam bab ini diharapkan dapat menjadi dasar untuk mempelajari bab-bab selanjutnya. Oleh karena itu, setelah membaca Bab I, mahasiswa diharapkan dapat

mengerti definisi bilangan kompleks. mengerti sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan

kompleks. menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub,

eksponen, pangkat dan akar.

1

1. Bilangan Kompleks

1.1 Pengertian Bilangan KompleksMengapa perlu bilangan kompleks ?

mempunyai penyelesaian dengan . tidak mempunyai penyelesaian jika .

Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga mempunyai penyelesaian. Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem bilangan yaitu bilangan kompleks.

Definisi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z : merupakan pasangan berurut dengan

. Ditulis : . merupakan bilangan yang berbentuk dengan

dan . Ditulis : .

Jika maka = bagian riil z,

= bagian imajiner z, = satuan imajiner dan .

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu1. = himpunan bilangan kompleks = .

2. Jika dan maka z dinamakan bilangan imajiner murni.

3. Jika dan maka z merupakan bilangan riil.4. Kesamaan bilangan kompleks. Misalkan dan .

jika dan hanya jika dan .

Contoh 1 a.

dan .

b.

2

1. Bilangan Kompleks

dan . □□

1.2 Bidang KompleksBilangan kompleks merupakan pasangan berurut , sehingga

secara geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks (bidang xy), dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y (sumbu imajinair). Selain itu, bilangan kompleks juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik . y (sumbu imajinair)

•

O x (sumbu riil)

Gambar 1. Bidang kompleks

1.3 Operasi AljabarOperasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada

bilangan riil.

Operasi Aljabar pada bilangan kompleks

Misalkan dan .a. Penjumlahan : b. Pengurangan : c. Perkalian :

d. Pembagian :

Perlu diperhatikan :1. ( negatif z ).

Jika maka .

2. ( kebalikan z )

3

1. Bilangan Kompleks

Jika maka .

Sifat Operasi Aljabar

a. Hukum komutatif

b. Hukum asosiatif

c. Hukum distributif

d. Elemen netral dalam penjumlahan ( )

e. Elemen netral dalam perkalian ( )

1.4 Modulus dan Bilangan Kompleks SekawanPenyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk

mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.

Definisi modulus (nilai mutlak)

Modulus (nilai mutlak) didefinisikan sebagai bilangan riil non negatif dan ditulis sebagai

Modulus z = = .

Secara geometri, menyatakan jarak antara titik dan titik asal.Misalkan dan . Jarak antara dan didefinisikan dengan .

Selanjutnya, persamaan menyatakan bilangan kompleks z yang bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat dan jari-jari R. Definisi bilangan kompleks

Bilangan kompleks sekawan dari didefinisikan sebagai bilangan kompleks .

4

1. Bilangan Kompleks

sekawanSecara geometri, bilangan kompleks sekawan dinyatakan dengan titik dan merupakan pencerminan titik terhadap sumbu riil.

Contoh 2 a. .b. menyatakan lingkaran dengan pusat

dan jari-jari .c. Jika maka . □□

Sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k. ,

l.

m. Pertidaksamaan Segitiga :

n.

o.

p. .

1.5 Bentuk Kutub Bentuk kutub

Bilangan kompleks dapat disajikan dalam koordinat kutub . Misalkan dan

5

1. Bilangan Kompleks

bilangan kompleks

maka dapat dinyatakan dalam bentuk kutub

dengan r = modulus (nilai mutlak) = = .

= argumen dari z = = .

y • z = x+ iy r θ x

Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan (sesuai

dengan kuadran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama (principal value) dari

ditulis dengan adalah tunggal.

Jelas, . Perlu diperhatikan bahwa :

Operasi aljabar bentuk kutub dan sifat argumen

Misalkan dan dengan .a. Perkalian

.

b. Pembagian

.

.

c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu

.

.

6

1. Bilangan Kompleks

Contoh 3

Diketahui . Tentukan bentuk kutub dari z dan .

Penyelesaian :Menggunakan sifat argumen diperoleh :

.

. □□

Selain dalam bentuk umum dan bentuk kutub , bilangan

kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.

Bentuk eksponen

Bentuk eksponen bilangan kompleks yaitu dengan dinamakan rumus Euler.

Operasi aljabar bentuk eksponen

Misalkan dan .

a. Perkalian

b. Pembagian

c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu

Bentuk pangkat

Misalkan , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada

bilangan riil diperoleh

,

Rumus Moivre

Jika , maka bentuk pangkat di atas menjadi , atau

, . Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk

yang disebut Rumus Moivre .

7

1. Bilangan Kompleks

1.6 Bentuk Akar

Bentuk akar

Misalkan , akar pangkat n dari bilangan kompleks ditulis

atau . Jika diberikan bilangan kompleks dan n bilangan bulat

positif, maka diperoleh n buah akar untuk yaitu

, .

Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n

beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari .

Contoh 4

Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut

dalam bidang kompleks.

Penyelesaian :

Misalkan , maka dan ,

,

Sehingga diperoleh

.

.

.

y 2

x . □□

8

1. Bilangan Kompleks

RingkasanBilangan kompleks mempunyai bentuk kutub , dan bentuk eksponen , dengan .

Soal-soal

1. Tentukan , , dan untuk

a. b.

2. Tuliskan bilangan kompleks berikut dalam bentuk kutub, tentukan juga .

a. c.

b. d.

3. Buktikan .

4. Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut

dalam bidang kompleks.

9