residu dan kutub (analisis variabel kompleks

24
N(z 0 , r) Z 0 r z 0 Compiled By: Pramudjono Residu dan Kutub . z o . z 1 . z 3 z 2 z 4 .z n . zi

Upload: marihot-tp

Post on 10-Aug-2015

148 views

Category:

Education


6 download

TRANSCRIPT

N(z0, r)

Z0

r

z0

Compiled By: Pramudjono

Residu dan Kutub .z

o

.z1

.z3

z

2

z

4

.z

n

.zi

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Sebelum sampai pada Residu kita lihat titik singular terasingDefinisi Titik Singular TerasingTitik singular terasing z0 dari fungsi f(z) adalah merupakan titik singular terasing jika terdapat r > 0 sehingga f(z) analitik di 0 << r.

Dengan kata lain titik singular z merupakan titik singular terasing bila terdapat sekitar N(z0, r) sehingga pada sekitar tersebut tidak terdapat titik singular lain.

N(z0, r)

Z0 satu-satunya

titik singular f di N(Z0, r)

r

z0

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Contoh-contoh Titik Singular Terasing;

(1). z = 0 titik singular terasing dari f(z) = z

1

(2). z = + kπ, k k = 0, 1, 2, ... titik singular terasing dari f(z) = sec z.

2

Contoh-contoh titik singular tak terasing;

(1). Fungsi f(z) = cosecz

mempunyai tak hingga banyak titik

singular yaitu z = 0, z = k = 1, 2, ... k

1

Titik z = 0 merupakan titik singular tak terasing f(z),

z = merupakan titik singular tak terasing f(z). k

1

(2). Titik z = 0 bukan titik singular terasing fungsi ln z, bila z0 titik singular fungsi f(z) = ln z maka ada r > 0 sehingga f(z) analitik di 0

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

jadi f(z) dapat diekspansikan dalam deret Laurent sebagai berikut:

00 )()(

n

nn zzazf

1 0 )(nn

n

zz

b

untuk 0 < < r0zz

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

DEFINISI RESIDU

Bila z0 titik singular fungsi f(z) dan ekspansi Laurent

fungsi

00 )()(

n

nn zzazf

1 0 )(nn

n

zz

b

maka koefisien dari yaitu b1 disebut

residu f dititik singular terasing z0. Notasi residu f

titik singular terasing z0 adalah Res (f, z0 ).

10 zz

Karena dalam deret Laurent b1 =

dengan C lintasan tertutup tunggal arah positif

yang mengelilingi z0 dan berada di daerah

C

dzzfi

)(.2

1

0 < < r0zz maka residu f dititik singular z0

bernilai sama dengan Res (f, z0 ) C

dzzfi

)(.2

1

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Contoh Residu dan Penggunaannya:

1. Misalkan f(z) = maka residu f dititik singular 0

yaitu Res (f, 0) = 1. z

1

00 zzsehingga Res (f,0) =

C

dzzfi

)(.2

1

C

dzzi

1

.2

1

Jadi C

idzz

.21

Bila C : arah positif maka C lintasan

tertutup tunggal yang mengelilingi 0 dan berada

1z

2. Misalkan g(z) = , maka Res (g, 0) = 0. 2

1

zBila C : arah positif maka

Res (g,0) =

3z

C

dzzgi

)(.2

1

C

dzzi

1

.2

1

Jadi 00..212

C

idzz

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

3. Misalkan h(z) = maka untuk mencari

residu f dititik singular z = 2 adalah sebagai berikut; 32

z

e z

Ekspansikan e-z dalam pangkat (z – 2), yaitu

e-z = e-2 .e-(z-2) = e-2 sehingga

0 !

21

n

nn

n

z

32

z

e z

0

32

!

21

n

nn

n

ze

Jadi koefisien adalah 12 z

!2

21 32 nz

Sehingga Res(h,2) = !2

1 22

1

Latihan :

Carilah Res (f, 0), bila f(z) = sin dan hitunglah 2

1

zC

dzzf )( bila C : arah positif. 1z

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Teorema:Bila di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, fungsi f analitik kecuali pada titik-titik singular di dalam C yang banyaknya berhingga maka titik-titik singular tersebut merupakan titik-titik singular terasing f.Bukti:

.z

o

.z

1 .z

3

z2

z4

.zn

.zi

Teorema Residu Cauchy:Jika f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, kecuali di titik-titik singular yang banyaknya berhingga di dalam C maka sidzzf

C

Re2)(

dimana sRe jumlah semua residu di dalam C.

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Bukti:Menurut teorema titik singular hingga, untuk setiap singular zk kita dapat membuat lingkaran Гk dengan pusat zk dengan arah positif, terletak di dalam C dan tidak saling berpotongan.

Menurut Teorema perluasan Cauchy-Goursat

C

dzzf )( 0

)( dzzf 1

)( dzzf 2

)( dzzf 3

)( dzzf

= 2πi Res (f, z0) +2πi Res (f, z1) +2πi Res (f, z2) +2πi

Res (f, z3)

= 2πi 3

0

),(Re kzfs

si Re.2

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Contoh Penggunaan Teorema Residu Cauchy

1. Bila C: | z | = 2 arah positif, hitunglah

C

dzzz

z

)1(

23

Jawab:

Titik-titik singular dari f(z) = adalah z1 = 0 dan z2 = -1 keduanya terletak di dalam C, Jadi:

)1(

23

zz

z

C

dzzf )( si Re.2

Untuk titik singular z1 = 0

)1(

23)(

zz

zzf )

1

1)(2

3(

zz

= (1 –z + z2 – z3 + ...))2

3(z

z

2 + 1 –z + z2 – z3 + ...

Jadi Res (f,0) = 2Untuk titik singular z2 = -1

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

z

2)1(1

1

z2( 1 + (1+z) + (1+z)2 + ...)

Sehingga f(z) = )1(

23

zz

z)1

1)(2

3(

zz

= (3 -2(1 + (1+z) + (1+z)2 + ...))1

1

z

1

1

z

- 2 – 2(z+1) - …

Jadi Res (f,-1) = 1

C

dzzf )( si Re.2 12.2 i

C

idzzf .6)(

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

KUTUB

Misalkan z0 titik singular terasing dari fungsi f(z),

Ekspansi Laurent dapat disajikan,

00 )(

n

nn zza

1 0 )(nn

n

zz

b

00 )(

n

nn zza

1

0 ).(n

nn zzb

0 < < r, dimana disebut bagian

utama fungsi pada kitar titik singular terasing

z0. Bagian utama fungsi f ini biasa berupa deret tak

hingga, bisa juga berupa deret hingga.

0zz

1

0 ).(n

nn zzb

0 < < r dengan bm ≠ 0. Jika m = 1 maka z0

dinamakan kutub tingkat satu atau kutub tunggal

0zz

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Definisi Kutub:

Jika bagian utama fungsi f pada kitar titik singular terasing z0 hanya berupa satu suku saja, maka z0 dinamakan kutub fungsi f. Jadi kalau z0 kutub fungsi f maka ekspansi Laurent fungsi f pada kitar z0, terdapat m bulat positif sehingga koefisien Laurent bm ≠ 0 dan bj =0 untuk semua j > m. Dalam hal ini z0 dinamakan kutub tingkat m fungsi f. Dengan demikian kalau z0 kutub tingkat m fungsi f, maka terdapat r > 0 sehingga f(z) =

mm

zz

bzf

0

)(

1

0

1m

m

zz

b

0

1...zz

b

0

0 )(n

nn zza

0 < < r dengan bm ≠ 0. Jika m = 1 maka z0

dinamakan kutub tingkat satu atau kutub tunggal.

0zz

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Contoh-contoh kutub:

1. Bila f(z) = maka ekspansi Laurent f(z)

adalah f(z) =

3

cos1

z

z

...!8!6!42

1 53

zzz

z

Jadi titik singular z = 0 merupakan kutub

tunggal fungsi f(z) = 3

cos1

z

z

2. Fungsi g(z) = mempunyai dua titik

singular yaitu, z = 1 dan z = 0

2)1(

1

zz

Ekspansi g di sekitar z = 1, 0 < < 1 adalah ekspansi Laurent f(z) adalah:

0zz

p

n

nn znz

zg1

1)1(.)1(11)( ...)1(3

11

zzz

Ekspansi g di sekitar z = 1, 0 < < 1 adalah ekspansi Laurent f(z) adalah:

0zz

p

n

nzz

zg0

2

1)( ...1

11 22

zzzz

Jadi z = 0 merupakan kutub tingkat dua fungsi g(z).

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Catatan:Titik-titik singular terasing f(z) yang buka merupakan titik kutub disebut titik singular terasing esensial.

0zz

Teorema Residu Kutub tingkat m

Jika z0 kutub tingkat m fungsi f maka terdapat

sekitar 0 < < r, r > 0 sehingga fungsi f

dapat dituliskan sebagai f(z) dengan

ψ(z) analitik di 0 < < r, ψ(z) ≠ 0 dan

Res (f, z0 ) =

0zz

mzz

z

)(

)(

0

)!1(

)( 0)1(

m

zm

Kebalikan Teorema Residu Kutub tingkat m

Jika fungsi f(z) dapat dituliskan sebagai dengan

ψ(z) analitik di z0 dan ψ(z) ≠ 0 maka z0 merupakan

kutub tingkat m dari f dan Res (f, z0 ) =

mzz

z

)(

)(

0

)!1(

)( 0)1(

m

zm

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Penggunaan teorema residu-kutub dan kebalikan:

1. f(z) = dapat ditulis sebagai f(z)=

dengan ψ(z) = analitik di z = 0 dan

ψ(0) = maka menurut kebalikan

teorema residu kutub z = 0 merupakan kutub

tingkat 1 atau kutub tunggal fungsi f(z).

2)3(

cos

zzz

z

z)(

2)3(

cos

zz

2)3(

1

0

9

1

2. fungsi f(z) dapat juga dituliskan sebagai

dengan analitik di z = 3 dan

maka menurut kebalikan teorema residu kutub

z = 3 merupakan kutub tingkat 2 dan

Res (f, 3 ) =

2)3(

)(

zz

z

zz

cos)( 0

3

3cos)3(

9

3cos3sin3

!1

)3(1

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Teorema Residu Kutub Tunggal

Jika z0 kutub tunggal fungsi f , maka Res (f, z0 ) =

0

limzz (z –z0) f(z)

Contoh Penggunaan Teorema Residu Kutub Tunggal;1. Pada contoh kutub telah ditunjukkan bahwa z = 1

merupakan kutub tunggal dari g(z) 2)1(

1

zz=

1

1maka Res (g, 1) = 1

limz 2)1(

1

zz(z –1) = = -1

2. Pada contoh penggunaan teorema residu-kutub telah

ditunjukkan bawa z = 0 merupakan kutub tunggal dari

= 2)3(

cos

zzz

f(z) maka Res (f, 0) 0limz 2)3(

cos

zz

2)3(

1

9

1

=

= =

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Teorema Titik Singular Fungsi Hasil Bagi

0 maka z0 Jika f dan g analitik di z0 dan f(z0 )

g

f jika dan hanya jika merupakan titik singular terasing

g(z0 ) = 0

Teorema Kutub Tunggal Fungsi Hasil Bagi

Jika f dan g analitik di z0 dan f(z0 ) 0, g(z0 ) = 0 dan g’(z0 ) 0, maka z0 adalah kutub tunggal dari

g

f

(dan Res )('

)z(

0

0

zg

f, z0 ) =

g

f

Teorema Kutub Tingkat m Fungsi Hasil Bagi

Jika f dan g analitik di z0 dan f(z0 ) 0, g(z0 ) = g’(z0 )= ...

=g(m-1)(z0 )= 0,

g(m)(z0 ) 0, maka z0 adalah kutub tingkat m fungsi g

f

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Khusus untuk m = 2 teorema di atas mudah dirumuskan residunya. Seperti teorema berikut

Teorema Jika f dan g analitik di z0 dan f(z0 ) 0, g(z0 ) = g’(z0 ) = 0,

tetapi g’’(z0 ) 0, maka z0 adalah kutub tingkat 2 fungsi

g

fdan Res (

g

f, z0 ) =

)(''

)z('2

0

0

zg

f-

20

0)3(

0

))(''(3

)z()z(2

zg

gf

3. RESIDU di Tak Hingga

z titik singulat di z = , jika dipenuhi bahwa,

=

1

1

0lim (- f( ) zlim (-zf(z) ada, selanjutnya

0lim (- f(

1

1

)

=

zlim (-zf(z) = Res(f, ).

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Definisi:Jika fungsi f analitik atau mempunyai titik singular terasing di z = , dan jika C lingkaran besar berpusat

di 0 yang mengelilingi semua titik singular f yang terletak pada bagian hingga bidang kompleks dan yang mempunyai arah negatif, maka residu fungsi f di z = didefinisikan sebagai;

Res(f(z), z = ) = C

dzzfi

)(.2

1

Dalam definisi ini lingkaran C berarah negatif.

TeoremaJika suatu fungsi hanya mempunyai berhingga banyak titik singular, maka jumlah residu di titik-titik singular itu, termasuk residu di tak hingga adalah nol.

Contoh:

Hitunglah Res(f, ), jika f(z) = )3)(2)(1(

3

zzz

z

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Penyelesaian:Titik-titik singular f pada bagian berhingga bidang kompleks hanyalah kutub tunggal di z = 1, z = 2, dan z = 3. Jika z0 kutub tunggal menurut teorema di atas maka

0

limzz (z–z0)f(z) didapat Res(f,z0 ) =

Res(f ,1) = 2

1

Res(f,2) = -8

Res(f,3) = 132

1

Dari teorema terakhir didapat

Res (f, ) = (Res(f ,1) + Res(f,2) + Res(f,3)) = -6

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Tugas Minggu Depan (KELOMPOK)1 (satu) Kelompok Maksimum 3 orang, dikumpulkan pada saat kuis

1. Tentukan Res(f, 4

1) dan Res(h, 1) untuk

f(z) = 4

1cos

z

zdan h(z) = 2

3

)2)(1( zz

z

0

limzz

2. Jika z0 kutub tunggal f, buktikan

Res(f,z0 ) = (z–z0)f(z)

Buktikan bahwa titik singular masing-masing fungsi di bawah ini adalah kutub. Tentukan tingkat masing-masing kutub dan residu fungsi di kutubnya.

3.

a. zz

z

2

3b. 4

sin

z

zz c. 3

21

z

e z

d. 2

3

)2( ze z

e. 4

cos

z

z

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

4. Tentukan residu sec za dan cotg z disetiap kutubnya.

5. Hitunglah

C zz

dzz

)3()1(

)1(2

2

Jika C lingkaran berarah positif

a. 2z b. 22 z

6. Untuk C lingkaran (a) 2z , (b) 2

1 iz dan

(c) 2

1z dengan arah positif tentukan nilai

C zz

dz

)1( 33

7. Hitunglah Res(f, ), jika

a). f(z) = )3)(2)(1( 2

2

izzz

z

b). f(z) = 22

2

)3)(2)((

sin

zzz

zz

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

a. Definisi

b. Contoh

c. Teorema

d. Contoh

Residu di Tak hingga

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End

Terima Kasih, Atas Perhatian Anda

Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End