residu dan kutub (analisis variabel kompleks
TRANSCRIPT
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Sebelum sampai pada Residu kita lihat titik singular terasingDefinisi Titik Singular TerasingTitik singular terasing z0 dari fungsi f(z) adalah merupakan titik singular terasing jika terdapat r > 0 sehingga f(z) analitik di 0 << r.
Dengan kata lain titik singular z merupakan titik singular terasing bila terdapat sekitar N(z0, r) sehingga pada sekitar tersebut tidak terdapat titik singular lain.
N(z0, r)
Z0 satu-satunya
titik singular f di N(Z0, r)
r
z0
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Contoh-contoh Titik Singular Terasing;
(1). z = 0 titik singular terasing dari f(z) = z
1
(2). z = + kπ, k k = 0, 1, 2, ... titik singular terasing dari f(z) = sec z.
2
Contoh-contoh titik singular tak terasing;
(1). Fungsi f(z) = cosecz
mempunyai tak hingga banyak titik
singular yaitu z = 0, z = k = 1, 2, ... k
1
Titik z = 0 merupakan titik singular tak terasing f(z),
z = merupakan titik singular tak terasing f(z). k
1
(2). Titik z = 0 bukan titik singular terasing fungsi ln z, bila z0 titik singular fungsi f(z) = ln z maka ada r > 0 sehingga f(z) analitik di 0
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
jadi f(z) dapat diekspansikan dalam deret Laurent sebagai berikut:
00 )()(
n
nn zzazf
1 0 )(nn
n
zz
b
untuk 0 < < r0zz
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
DEFINISI RESIDU
Bila z0 titik singular fungsi f(z) dan ekspansi Laurent
fungsi
00 )()(
n
nn zzazf
1 0 )(nn
n
zz
b
maka koefisien dari yaitu b1 disebut
residu f dititik singular terasing z0. Notasi residu f
titik singular terasing z0 adalah Res (f, z0 ).
10 zz
Karena dalam deret Laurent b1 =
dengan C lintasan tertutup tunggal arah positif
yang mengelilingi z0 dan berada di daerah
C
dzzfi
)(.2
1
0 < < r0zz maka residu f dititik singular z0
bernilai sama dengan Res (f, z0 ) C
dzzfi
)(.2
1
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Contoh Residu dan Penggunaannya:
1. Misalkan f(z) = maka residu f dititik singular 0
yaitu Res (f, 0) = 1. z
1
00 zzsehingga Res (f,0) =
C
dzzfi
)(.2
1
C
dzzi
1
.2
1
Jadi C
idzz
.21
Bila C : arah positif maka C lintasan
tertutup tunggal yang mengelilingi 0 dan berada
1z
2. Misalkan g(z) = , maka Res (g, 0) = 0. 2
1
zBila C : arah positif maka
Res (g,0) =
3z
C
dzzgi
)(.2
1
C
dzzi
1
.2
1
Jadi 00..212
C
idzz
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
3. Misalkan h(z) = maka untuk mencari
residu f dititik singular z = 2 adalah sebagai berikut; 32
z
e z
Ekspansikan e-z dalam pangkat (z – 2), yaitu
e-z = e-2 .e-(z-2) = e-2 sehingga
0 !
21
n
nn
n
z
32
z
e z
0
32
!
21
n
nn
n
ze
Jadi koefisien adalah 12 z
!2
21 32 nz
Sehingga Res(h,2) = !2
1 22
1
Latihan :
Carilah Res (f, 0), bila f(z) = sin dan hitunglah 2
1
zC
dzzf )( bila C : arah positif. 1z
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Teorema:Bila di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, fungsi f analitik kecuali pada titik-titik singular di dalam C yang banyaknya berhingga maka titik-titik singular tersebut merupakan titik-titik singular terasing f.Bukti:
.z
o
.z
1 .z
3
z2
z4
.zn
.zi
Teorema Residu Cauchy:Jika f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, kecuali di titik-titik singular yang banyaknya berhingga di dalam C maka sidzzf
C
Re2)(
dimana sRe jumlah semua residu di dalam C.
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Bukti:Menurut teorema titik singular hingga, untuk setiap singular zk kita dapat membuat lingkaran Гk dengan pusat zk dengan arah positif, terletak di dalam C dan tidak saling berpotongan.
Menurut Teorema perluasan Cauchy-Goursat
C
dzzf )( 0
)( dzzf 1
)( dzzf 2
)( dzzf 3
)( dzzf
= 2πi Res (f, z0) +2πi Res (f, z1) +2πi Res (f, z2) +2πi
Res (f, z3)
= 2πi 3
0
),(Re kzfs
si Re.2
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Contoh Penggunaan Teorema Residu Cauchy
1. Bila C: | z | = 2 arah positif, hitunglah
C
dzzz
z
)1(
23
Jawab:
Titik-titik singular dari f(z) = adalah z1 = 0 dan z2 = -1 keduanya terletak di dalam C, Jadi:
)1(
23
zz
z
C
dzzf )( si Re.2
Untuk titik singular z1 = 0
)1(
23)(
zz
zzf )
1
1)(2
3(
zz
= (1 –z + z2 – z3 + ...))2
3(z
z
2 + 1 –z + z2 – z3 + ...
Jadi Res (f,0) = 2Untuk titik singular z2 = -1
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
z
2)1(1
1
z2( 1 + (1+z) + (1+z)2 + ...)
Sehingga f(z) = )1(
23
zz
z)1
1)(2
3(
zz
= (3 -2(1 + (1+z) + (1+z)2 + ...))1
1
z
1
1
z
- 2 – 2(z+1) - …
Jadi Res (f,-1) = 1
C
dzzf )( si Re.2 12.2 i
C
idzzf .6)(
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
KUTUB
Misalkan z0 titik singular terasing dari fungsi f(z),
Ekspansi Laurent dapat disajikan,
00 )(
n
nn zza
1 0 )(nn
n
zz
b
00 )(
n
nn zza
1
0 ).(n
nn zzb
0 < < r, dimana disebut bagian
utama fungsi pada kitar titik singular terasing
z0. Bagian utama fungsi f ini biasa berupa deret tak
hingga, bisa juga berupa deret hingga.
0zz
1
0 ).(n
nn zzb
0 < < r dengan bm ≠ 0. Jika m = 1 maka z0
dinamakan kutub tingkat satu atau kutub tunggal
0zz
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Definisi Kutub:
Jika bagian utama fungsi f pada kitar titik singular terasing z0 hanya berupa satu suku saja, maka z0 dinamakan kutub fungsi f. Jadi kalau z0 kutub fungsi f maka ekspansi Laurent fungsi f pada kitar z0, terdapat m bulat positif sehingga koefisien Laurent bm ≠ 0 dan bj =0 untuk semua j > m. Dalam hal ini z0 dinamakan kutub tingkat m fungsi f. Dengan demikian kalau z0 kutub tingkat m fungsi f, maka terdapat r > 0 sehingga f(z) =
mm
zz
bzf
0
)(
1
0
1m
m
zz
b
0
1...zz
b
0
0 )(n
nn zza
0 < < r dengan bm ≠ 0. Jika m = 1 maka z0
dinamakan kutub tingkat satu atau kutub tunggal.
0zz
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Contoh-contoh kutub:
1. Bila f(z) = maka ekspansi Laurent f(z)
adalah f(z) =
3
cos1
z
z
...!8!6!42
1 53
zzz
z
Jadi titik singular z = 0 merupakan kutub
tunggal fungsi f(z) = 3
cos1
z
z
2. Fungsi g(z) = mempunyai dua titik
singular yaitu, z = 1 dan z = 0
2)1(
1
zz
Ekspansi g di sekitar z = 1, 0 < < 1 adalah ekspansi Laurent f(z) adalah:
0zz
p
n
nn znz
zg1
1)1(.)1(11)( ...)1(3
11
zzz
Ekspansi g di sekitar z = 1, 0 < < 1 adalah ekspansi Laurent f(z) adalah:
0zz
p
n
nzz
zg0
2
1)( ...1
11 22
zzzz
Jadi z = 0 merupakan kutub tingkat dua fungsi g(z).
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Catatan:Titik-titik singular terasing f(z) yang buka merupakan titik kutub disebut titik singular terasing esensial.
0zz
Teorema Residu Kutub tingkat m
Jika z0 kutub tingkat m fungsi f maka terdapat
sekitar 0 < < r, r > 0 sehingga fungsi f
dapat dituliskan sebagai f(z) dengan
ψ(z) analitik di 0 < < r, ψ(z) ≠ 0 dan
Res (f, z0 ) =
0zz
mzz
z
)(
)(
0
)!1(
)( 0)1(
m
zm
Kebalikan Teorema Residu Kutub tingkat m
Jika fungsi f(z) dapat dituliskan sebagai dengan
ψ(z) analitik di z0 dan ψ(z) ≠ 0 maka z0 merupakan
kutub tingkat m dari f dan Res (f, z0 ) =
mzz
z
)(
)(
0
)!1(
)( 0)1(
m
zm
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Penggunaan teorema residu-kutub dan kebalikan:
1. f(z) = dapat ditulis sebagai f(z)=
dengan ψ(z) = analitik di z = 0 dan
ψ(0) = maka menurut kebalikan
teorema residu kutub z = 0 merupakan kutub
tingkat 1 atau kutub tunggal fungsi f(z).
2)3(
cos
zzz
z
z)(
2)3(
cos
zz
2)3(
1
0
9
1
2. fungsi f(z) dapat juga dituliskan sebagai
dengan analitik di z = 3 dan
maka menurut kebalikan teorema residu kutub
z = 3 merupakan kutub tingkat 2 dan
Res (f, 3 ) =
2)3(
)(
zz
z
zz
cos)( 0
3
3cos)3(
9
3cos3sin3
!1
)3(1
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Teorema Residu Kutub Tunggal
Jika z0 kutub tunggal fungsi f , maka Res (f, z0 ) =
0
limzz (z –z0) f(z)
Contoh Penggunaan Teorema Residu Kutub Tunggal;1. Pada contoh kutub telah ditunjukkan bahwa z = 1
merupakan kutub tunggal dari g(z) 2)1(
1
zz=
1
1maka Res (g, 1) = 1
limz 2)1(
1
zz(z –1) = = -1
2. Pada contoh penggunaan teorema residu-kutub telah
ditunjukkan bawa z = 0 merupakan kutub tunggal dari
= 2)3(
cos
zzz
f(z) maka Res (f, 0) 0limz 2)3(
cos
zz
2)3(
1
9
1
=
= =
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Teorema Titik Singular Fungsi Hasil Bagi
0 maka z0 Jika f dan g analitik di z0 dan f(z0 )
g
f jika dan hanya jika merupakan titik singular terasing
g(z0 ) = 0
Teorema Kutub Tunggal Fungsi Hasil Bagi
Jika f dan g analitik di z0 dan f(z0 ) 0, g(z0 ) = 0 dan g’(z0 ) 0, maka z0 adalah kutub tunggal dari
g
f
(dan Res )('
)z(
0
0
zg
f, z0 ) =
g
f
Teorema Kutub Tingkat m Fungsi Hasil Bagi
Jika f dan g analitik di z0 dan f(z0 ) 0, g(z0 ) = g’(z0 )= ...
=g(m-1)(z0 )= 0,
g(m)(z0 ) 0, maka z0 adalah kutub tingkat m fungsi g
f
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Khusus untuk m = 2 teorema di atas mudah dirumuskan residunya. Seperti teorema berikut
Teorema Jika f dan g analitik di z0 dan f(z0 ) 0, g(z0 ) = g’(z0 ) = 0,
tetapi g’’(z0 ) 0, maka z0 adalah kutub tingkat 2 fungsi
g
fdan Res (
g
f, z0 ) =
)(''
)z('2
0
0
zg
f-
20
0)3(
0
))(''(3
)z()z(2
zg
gf
3. RESIDU di Tak Hingga
z titik singulat di z = , jika dipenuhi bahwa,
=
1
1
0lim (- f( ) zlim (-zf(z) ada, selanjutnya
0lim (- f(
1
1
)
=
zlim (-zf(z) = Res(f, ).
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Definisi:Jika fungsi f analitik atau mempunyai titik singular terasing di z = , dan jika C lingkaran besar berpusat
di 0 yang mengelilingi semua titik singular f yang terletak pada bagian hingga bidang kompleks dan yang mempunyai arah negatif, maka residu fungsi f di z = didefinisikan sebagai;
Res(f(z), z = ) = C
dzzfi
)(.2
1
Dalam definisi ini lingkaran C berarah negatif.
TeoremaJika suatu fungsi hanya mempunyai berhingga banyak titik singular, maka jumlah residu di titik-titik singular itu, termasuk residu di tak hingga adalah nol.
Contoh:
Hitunglah Res(f, ), jika f(z) = )3)(2)(1(
3
zzz
z
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Penyelesaian:Titik-titik singular f pada bagian berhingga bidang kompleks hanyalah kutub tunggal di z = 1, z = 2, dan z = 3. Jika z0 kutub tunggal menurut teorema di atas maka
0
limzz (z–z0)f(z) didapat Res(f,z0 ) =
Res(f ,1) = 2
1
Res(f,2) = -8
Res(f,3) = 132
1
Dari teorema terakhir didapat
Res (f, ) = (Res(f ,1) + Res(f,2) + Res(f,3)) = -6
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
Tugas Minggu Depan (KELOMPOK)1 (satu) Kelompok Maksimum 3 orang, dikumpulkan pada saat kuis
1. Tentukan Res(f, 4
1) dan Res(h, 1) untuk
f(z) = 4
1cos
z
zdan h(z) = 2
3
)2)(1( zz
z
0
limzz
2. Jika z0 kutub tunggal f, buktikan
Res(f,z0 ) = (z–z0)f(z)
Buktikan bahwa titik singular masing-masing fungsi di bawah ini adalah kutub. Tentukan tingkat masing-masing kutub dan residu fungsi di kutubnya.
3.
a. zz
z
2
3b. 4
sin
z
zz c. 3
21
z
e z
d. 2
3
)2( ze z
e. 4
cos
z
z
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End
4. Tentukan residu sec za dan cotg z disetiap kutubnya.
5. Hitunglah
C zz
dzz
)3()1(
)1(2
2
Jika C lingkaran berarah positif
a. 2z b. 22 z
6. Untuk C lingkaran (a) 2z , (b) 2
1 iz dan
(c) 2
1z dengan arah positif tentukan nilai
C zz
dz
)1( 33
7. Hitunglah Res(f, ), jika
a). f(z) = )3)(2)(1( 2
2
izzz
z
b). f(z) = 22
2
)3)(2)((
sin
zzz
zz
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 End