bab i bilangan kompleks 1. pengertian dan bentuk …contoh soal : ubahlah kedalam bentuk kutub dan...
TRANSCRIPT
1
BAB I
BILANGAN KOMPLEKS
1. Pengertian dan Bentuk Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah gabungan dari bilangan riil dan bilangan imajiner.
Bilangan imajener adalah akar kuadrat dari suatu bilangan negatif. Contoh √−1 = 𝑖,
jika kita akan menghitung √−4 = √4 × −1 = √4 × √−1 = 2𝑖
Bentuk penulisan bilangan kompleks ada 3 yaitu :
a. Bentuk Rectanguler
b. Bentuk Kutub
c. Bentuk Eksponensial
Untuk lebih jelasnya tentang masing- masing penulisan bilangan kompleks tersebut
dapat dilihat pada penjelasan gambar dibawah ini.
Bentuk Rectanguler : 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, dengan a sebagai real nya dan b sebagai
imajenernya
Bentuk Polar : 𝒛 = 𝒓 (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽) atau
𝒛 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽) dengan 𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (𝒃
𝒂)
Bentuk Eksponen : i
erz
Bilangan kompleks pada masing-masing kuadran, sehingga jika ditulis kedalam
bentuk kutub pada masing-masing nilai 𝜃 yang berbeda pada setiap kuadran.
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2
𝜃 = tan−1 (𝑏
𝑎)
𝑎 = 𝑟 cos 𝜃
𝑏 = 𝑟 sin 𝜃 𝑏
𝑎
2
Contoh soal :
Ubahlah kedalam bentuk kutub dan eksponensial dari suatu bilangan kompleks 𝑧 =
2 + 2𝑖 z=-2+2i
Jawab: Diketahui nilai a=2 dan nilai b=2
Bentuk Kutub √22 + 22 = √4 + 4 = √8 = 2√2
Mecari nilai 𝜃 = tan−1 (2
2) = tan−1 1 = 45°
Karena nilai a nya positif dan nilai b nya posotif maka bentuk
bilangan kompleks tersebut berada di kuadran 1 sehingga
penulisan bentuk kutubnya adalah 𝑧 = 2√2 (cos 45° + 𝑖 sin 45°)
Bentuk
Eksponen
ierz sehingga penulisannya menjadi 𝒛 = 𝟐√𝟐 𝒆𝟒𝟓° 𝒊 atau kita
dapat merubah sudutnya menjadi kedalam bentuk π dengan cara
membaginya dengan 1800 sehingga menjadi (450/1800)π sehingga
menjadi 1
4𝜋. Jadi penulisannya menjadi 𝒛 = 𝟐√𝟐 𝒆
𝟏
𝟒𝝅 𝒊
Latihan soal
1) Ubahlah bentuk rectanguler berikut menjadi bentuk kutub dan eksponen
a. 𝑧 = 3 + √3 𝑖
b. 𝑧 = −3 + √3 𝑖
c. 𝑧 = −3 − √3 𝑖
d. 𝑧 = 3 − √3 𝑖
e. 𝑧 = 3 + 4𝑖
f. 𝑧 = −3 + 4𝑖
g. 𝑧 = −3 − 4𝑖
h. 𝑧 = 3 − 4𝑖
Kuadran 1 Kuadran 2
Kuadran 3 Kuadran 4
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑧 = −𝑎 + 𝑏𝑖
𝑧 = −𝑎 − 𝑏𝑖 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖
3
2) Ubahlah bentuk kutub berikut menjadi bentuk rectanguler dan eksponen
a. 𝒛 = 𝟐√𝟑 (𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎𝟎 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝟎𝟎)
b. 𝒛 = 𝟐√𝟑 (𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟓𝟎𝟎 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟓𝟎𝟎)
c. 𝒛 = 𝟐√𝟑 (𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟏𝟎𝟎 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝟏𝟎𝟎)
d. 𝒛 = 𝟐√𝟑 (𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝟑𝟎𝟎)
2. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks Bentuk Rectanguler
Misalkan 111 iyxz dan 222 iyxz .
a. Penjumlahan : 212121 yyixxzz
b. Pengurangan : 212121 yyixxzz
c. Perkalian :
12212121
221121
yxyxiyyxx
iyxiyxzz
d. Pembagian :
0, 22
2
2
2
2112
2
2
2
2
21211
21
2
1
z
yx
yxyxi
yx
yyxxzz
z
z
3. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks Bentuk Kutub
Misalkan 1111 sincos irz dan 2222 sincos irz
dengan 22112211 arg,arg,, zzzrzr .
a. Perkalian
2121
212121
cos
cos
zz
rrzz
2121 argargarg zzzz
b. Pembagian 02 z
21
2
1
21
2
1
2
1 coscos z
z
r
r
z
z.
21
2
1 argargarg zzz
z .
4
c. Invers sebarang bilangan kompleks i
erz yaitu
cos111
rzz .
zz
arg1
arg .
4. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks Bentuk Eksponen
Misalkan 111
ierz dan 2
22
ierz .
a. Perkalian
)( 21
2121
2121
ierr
ie
ierrzz
b. Pembagian
)( 21
2
1
2
1
ie
r
r
z
z
c. Invers sebarang bilangan kompleks i
erz yaitu
i
erz
z
111
Contoh Soal
1. Diketahui 𝑧1 = 2 + 5𝑖 dan 𝑧2 = 3 + 4𝑖 Tentukanlah :
a. 𝑧1 + 𝑧2
b. 𝑧1 − 𝑧2
c. 𝑧1 × 𝑧2
d. 𝑧1: 𝑧2
2. Diketahui 𝑧1 = 2(𝑐𝑜𝑠30° + 𝑖 𝑠𝑖𝑛30°) dan 𝑧2 = 3(𝑐𝑜𝑠60° + 𝑖 𝑠𝑖𝑛60°) Tentukanlah :
a. 𝑧1 + 𝑧2
b. 𝑧1 − 𝑧2
c. 𝑧1 × 𝑧2
d. 𝑧1: 𝑧2
3. Diketahui 𝑧1 = 4𝑒𝑖 30°an 𝑧2 = 5𝑒𝑖 60° Tentukanlah :
a. 𝑧1 + 𝑧2
b. 𝑧1 − 𝑧2
c. 𝑧1 × 𝑧2
d. 𝑧1: 𝑧2
5
BAB II
NOTASI SIGMA
Secara umum, pengertian notasi sigma adalah sebagai berikut.
Dibaca “jumlah ak untuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah ak untuk k =1 sampai dengan
k = n”
Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan.
1. ∑ 1
𝑛
𝑘=1
= 𝑛 6. ∑ 𝐶
𝑛
𝑖=1
= 𝑛. 𝐶
2. ∑ 𝐶. 𝑓(𝑘)
𝑏
𝑘=𝑎
= 𝐶 ∑ 𝑓(𝑘)
𝑏
𝑘=𝑎
7. ∑ 𝑖
𝑛
𝑖=1
=𝑛(𝑛 + 1)
2
3. ∑(𝑓(𝑘) ± 𝑔(𝑘))
𝑏
𝑘=𝑎
= ∑ 𝑓(𝑘) ± ∑ 𝑔(𝑘)
𝑏
𝑘=𝑎
𝑏
𝑘=𝑎
8. ∑ 𝑖2
𝑛
𝑖=1
=𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
4. ∑ 𝑓(𝑘) + ∑ 𝑓(𝑘)
𝑛
𝑘=𝑚
𝑚−1
𝑘=1
= ∑ 𝑓(𝑘)
𝑛
𝑘=1
9. ∑ 𝑖3
𝑛
𝑖=1
= (𝑛(𝑛 + 1)
2)
2
5. ∑ 𝑓(𝑘)
𝑛
𝑘=𝑚
= ∑ 𝑓(𝑘 − 𝑝)
𝑛+𝑝
𝑘=𝑚+𝑝
Contoh soal
1. Nyatakan dalam bentuk penjumlahan
5
1
)1(k
kk
Jawab:
Cara 1
5
1
)1(k
kk = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) + 5(5 + 1)
= 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + 5 6
= 2 + 6 + 12 + 20 + 30 = 70
Cara 2
5
1
)1(k
kk
5
1
2 )(k
kk =
5
1
5
1
2
k k
kk
∑ 𝑘2 =
5
𝑘=1
5(5 + 1)(2.5 + 1)
6=
5(6)(11)
6= 55
∑ 𝑘 =
5
𝑘=1
5(5 + 1)
2=
5(6)
2= 15
Jadi hasilnya adalah 55+15 = 70
2. Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma.
a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10
n
k
nnk aaaaaa1
1321 ......
6
b. 5
4
4
3
3
2
2
1
c. ab5 + a
2b
4 + a
3b
3 + a
4b
2
Jawab:
a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 ×1 + 2 ×2 + 2 ×3 + 2 ×4 + 2 ×5
= 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) =
5
1
2k
k
b. 5
4
4
3
3
2
2
1 = (–1)
11
1
+ (–1)
2
12
2
+ (–1)
3
13
3
+ (–1)
4
14
4
=
4
1 1.)1(
k
k
k
k
c. ab5 + a
2b
4 + a
3b
3 + a
4b
2= a
1b
16 + a
2b
26 + a
3b
36 + a
4b
46=
4
1
6
k
kkba
Soal-soal
1. ∑ 𝑘2
13
𝑘=7
11. ∑(8𝑖 − 7)
54
𝑖=1
2. ∑𝑘 − 2
3
10
𝑘=4
12. ∑(2𝑘2 − 1)
5
𝑘=1
3. ∑ 2𝑘 + 3
8
𝑘=3
13. ∑(−1)𝑘2𝑘
5
𝑘=1
4.
Buktikan bahwa
∑(2𝑛 − 7) = ∑(2𝑛 − 9)
10
𝑛=5
11
𝑛=6
14. ∑(2𝑛 + 1)
4
𝑛=1
5.
Buktikan bahwa
∑(𝑝 + 4)2 = 96 + 8 ∑ 𝑝 + ∑ 𝑝
6
𝑝=1
6
𝑝=1
6
𝑝=1
15. ∑
𝑘(𝑘 + 1)
2
4
𝑘=1
6. ∑(𝑖2 − 𝑖 − 2)
20
𝑖=1
16. ∑(𝑛3 − 𝑛2)
4
𝑛=1
7. ∑ 𝑖(𝑖 + 1)(𝑖 + 2)
30
𝑖=1
17. ∑(𝑘 − 1)𝑘
6
𝑖=1
8. ∑(𝑖 + 1)(𝑖 + 2)
10
100
𝑖=1
18.
4
1
2 )4(k
kk
9. ∑(3𝑖 − 2)
8
𝑖=4
19.
Buktikan bahwa
nkkkn
k
n
k
n
k
16164)42(11
2
1
2
10. ∑(2𝑖 + 4)
10
𝑖=1
20.
4
0
)23(k
k
7
BAB III
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Barisan aritmatika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu
bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan
dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U1) dilambangkan dengan a.
Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b, dengan b = Un – Un – 1
Contoh Soal :
Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!
b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?
Jawab :
a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.
Un = a + (n – 1)b
U10 = 3 + (10 – 1)5
= 3 + 9 x 5
= 3 + 45
= 48
Un = a + (n – 1)b
= 3 + (n – 1)5
= 3 + 5n – 5
= 5n – 2
b. Misalkan Un = 198, maka berlaku :
Un = 198
5n – 2 = 198
5n = 200
n = 40
Jadi 198 adalah suku ke- 40
Deret aritmetika disebut juga deret hitung. Apabila suku-suku di dalam barisan aritmetika
dijumlahkan, maka didapat deret aritmetika. Jadi, bentuk baku deret aritmetika adalah a + (a + b) +
(a + 2b) + (a + 3b) + ... + (a + (n – 1)b). Jika jumlah n suku deret aritmetika dinyatakan dengan Sn.
Maka didapat rumus :
karena Un = a + (n – 1)b maka Sn didapat rumus Sn :
8
Contoh soal :
Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + …..
Jawab :
A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :
S20 = 10( 6 + 19.2)
= 10 ( 6 + 38)
= 10 ( 44 }
= 440
Soal-soal
1. Tentukan beda pada setiap barisan aritmetika berikut.
a. 2, 7, 12, 17,……
b. 71, 58, 45, 32,….
c. 1,- 3, -7, -11,….
d. -10, -7, -4, -1,…
2. Tulislah lima suku pertama barisan aritmetika yang diketahui salah satu suku dan bedanya
berikut ini. suku ke- 1 = 3 dan beda 6
a. U1 = 9 dan b = -4
b. U6 = 7 dan b = 4
c. U1 = 5 dan U7 = 41
d. U19 = 91 dan U91 = 19
3. Suatu barisan aritmetika diketahui U5 = 14, U8 + U11 = 55, tentukan U20
4. Suku keberapakah dari barisan aritmetika 172, 166, 160, ……… yang merupakan
bilangan positif terkecil?
5. Tentukan nilai x jika ketiga suku barisan berikut adalah barisan aritmetika:
a. 2x – 1, 5x – 3, 4x + 3
b. x – 3, x + 3, 3x
c. 3x2 + x + 1, 2x2 + x, 4x2 – 6x + 1
d. 2x2 + 1, x2, 3x2 – 7x – 1
9
6. Diantara tiap dua suku yang berurutan dari barisan aritmetika dibawah ini disisipkan 6 buah
bilangan sehingga diperoleh barisan aritmetika baru, tentukan beda dan banyaknya suku pad
barisan aritmetika tersebut!
a. 1, 50, 99, 148.
b. 3, 8, 13, ……, 58
c. 19, 12, 5, ……, 48
d. 3, 6, 9, ……, 36
7. Suku pertama dan suku kelima sebuah deret aritmetika adalah 5 dan 11. Hitunglah jumlah
20 suku pertama deret tersebut!
8. Carilah nilai x jika diketahui jumlah suku-suku deret sebagai berikut:
a. 5 + 7 + 9 + …… + x = 192
b. 4 + 11 + 18 + …… + x = 280
c. 100 + 96 + 92 + …… + x = 0
9. Seorang karyawan suatu perusahaan setiap tahun menerima tambahan gaji yang besarnya
tetap. Pada tahun ke-3 ia menerima gaji Rp. 900.000,00 tiap bulan dan pada tahun ke-5
menerima gaji Rp. 1000.000,00 tiap bulan. Tentukan :
a. Besarnya gaji yang diterima pada tahun ke-10
b. Jumlah gaji yang telah diterima selama 10 tahun
10. Dalam suatu gedung pertemuan , kursi disusun dalam beberapa baris . Baris pertama
terdiri 10 kursi , baris berikutnya bertambah 5 kursi dibandingkan dengan baris
sebelumnya. Jika pada baris terakhir terdiri 110 kursi, maka tentukan :
a. Banyaknya baris kursi dalam gedung tersebut
b. Banyaknya kursi dalam gedung tersebut
11. Berapakah hasil penjunlahan 4+7+10+...+901=...
12. Hitunglah bilangan asli antara 10-100 yang habis dibagi 6 ?
13. Diketahui dere aritmatika 1+6+11+16+....
a. Bentuk notasi sigma jumlah n
b. Rumus jika n suku pertama
c. Jumlah 25 suku pertamanya
14. Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke–n. Jika U2 + U15 + U40 = 165,
maka U19
15. Seorang penjual daging pada bulan januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg,
Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya.
Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah ….
10
BAB IV
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Barisan geometri atau sering diistilahkan “barisan ukur” adalah barisan yang memenuhi sifat
hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan.
Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku
yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).
Misalkan sobat punya sebuah deret geometri U1, U2, U3, …, Un-1, Un Maka U2/U1 =
U3/U2=U4/U3 = … Un/Un-1 = r (konstan) lalu bagaimana menetukan suku ke-n dari sebuah
barisan geometri? coba ambil contoh U3/U2 = r maka U3 = U2. r = a.r.r = ar2
U4/U3 = r maka U4 = U3. r = a.r2.r = ar3 sejalan dengan Un/Un-1 = r maka Un = Un-1. r = arn-2.r
= arn-2+1 = arn-1 jadi dari penjelasan di atas sobat bisa menyimpulkan
Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskanUn = arn-1 dengan a = suku awal dan r =
rasio barisan geomteri
Contoh soal 1
Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….
jawab :
kalau ditanya suku ke lima atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin sobat
bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau ditanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-
100 akan sangat merepotkan dan mau tidak mau harus pakai rumus di atas.
r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio
a = 1/8
Un = arn-1 = 1/8 2(10-1) = 1/8 . 29 = 2-3.29 = 26 = 64
Contoh soal 2
Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah
jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?
a = 2
r = 2
n = 1 jam/ 6 menit = 10
11
Un = arn-1
U10 = 2.210-1 = 210 = 1024 buah amoeba.
Deret geometri didefinisikan sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri.
Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan
Sn = a + ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1
r Sn = ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1 + arn (keduanya kita kurangkan)
———————————————————————————
Sn – rSn = a – arn
Sn (1-r) = a (1-rn)
𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛 − 1)
𝑟 − 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑟 > 1
𝑆𝑛 =𝑎(1 − 𝑟𝑛)
1 − 𝑟 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑟 < 1
dengan a = suku pertama dan r = rasio barisan geometri
Contoh Soal
Tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,…
Jawab
a = 1
r = 3 dan n = 6
Sn = a (1-rn)/ (1-r) = 1 (1-36) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364
Soal-soal
1. Tiga bilangan berentuk barisan geometri yang hasil kalinya adalah 1000. Jika
dijumlahkan 3 bilangan tersebut hasilnya adalah 35. Tentukan ketiga bilangan tersebut?
2. Sebuah daerah pada tahun 2008 memiliki jumlah penduduk 24 orang. Tiap tahunnya
jumlah penduduk bertambah dua kali lipatnya. Maka, jumlah penduduk pada tahun 2012
adalah...
3. Diketahui sebuah barisan geometri -192, 96, -48, 24, ... . Tentukan nilai suku ke delapan
dari barisan tersebut?
4. Pada sebuah deret geometri, rumus jumlah suku ke-n nya adalah Sn = 2n² + 4n. Tentukan
nilai suku ke-9 dari deret tersebut?
5. Diketahui sebuah barisan geometri 4p, 2q, r, ... . Maka nilai dari q² - pr adalah...
12
6. Diketahui sebuah barisan geometri a, b, c, .... Jika diketahui a x b x c = 1728 dan a + b + c
= 36, maka nilai a, b dan c adalah...
7. Jika Un suku ke-n dari sutu deret geometri dengan U1 = x1/3 dan U2 = x1/2, maka suku ke
lima dari deret tersebut adalah
8. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah a-4 dan ax. Jika
suku kedelapan adalah a52, maka berapa nilai x?
9. Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4-n. Maka jumlah tak hingga deret tersebut sama
dengan?
10. Suku-suku suatu barisan geometri takhingga adalah positif, jumlah suku U1+U2 = 45dan
U3+U4 = 20, maka berapa jumlah suku-suku dalam barisan tersebut?
11. Jika jumlah takhingga deret a + a0 + a-1 + a-2 + a-3 + … adalah 4a, maka nilai a adalah?
12. Contoh soal deret geometri selanjutnya adalah : Coba sobat hitung amati gambar bujur
sangkar di bawah. Jika gambar tersebut diteruskan berapa total jumlah luasnya?
13. Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian yang panjangnya membentuk suatu barisan geometri.
Jika tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm maka panjang
tali semula adalah?
14. Sobat hitung berjalan lurus dengan kecepatan tetap 4 km/jam selama 1 jam pertama. Pada
jam kedua kecepatan dikurangi menjadi setengahnya, demikian seterusnya, setiap jam
kecepatan mejadi setengah dari kecepatan jam sebelumnya. Berapa km jarak terjauh yang
dapat sobat hitung capai?
15. Sobat hitung punya tiga buah bilangan. Tiga buah bilangan tersebut berurutan yang
berjumlah 12 dan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika bilangan yang ketiga
ditambah 2, maka diperoleh deret geometri. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah?
13
BAB V
PERSAMAAN DIFERENSIAL YANG DAPAT DIPISAHKAN
PD yang dapat dipisahkan ini cara mengerjakannya adalah dengan persamaan fungsi y
dengan dy dan persamaan fungsi x dengan dx lalu dibuat sama dengan nol atau dapat ditulis :
𝑓(𝑦)𝑑𝑦 + 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 0
Apabila telah dikelompokan tersebut maka dapat dilakukan integrasi dengan
mengintegealkan semua komponennya yaitu :
∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 0 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶
Contoh :
1. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑒𝑥−𝑦
Jawab :
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑒𝑥−𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑒𝑥
𝑒𝑦
𝑒𝑦𝑑𝑦 = 𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑒𝑦𝑑𝑦 − 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 0
Lalu diintegralkan
∫ 𝑒𝑦𝑑𝑦 − ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = ∫ 0
𝑒𝑦 − 𝑒𝑥 = 𝐶
2. 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
𝑥𝑦
Jawab :
𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥
𝑦 𝑑𝑦 =𝑑𝑥
𝑥
𝑦 𝑑𝑦 − 1
𝑥 𝑑𝑥 = 0
Lalu diintegralkan
∫ 𝑦 𝑑𝑦 − ∫1
𝑥𝑑𝑥 = ∫ 0
1
2𝑦2 − ln 𝑥 = 𝐶
1
2𝑦2 = ln 𝑥 + 𝐶
𝑦2 = 2(ln 𝑥 + 𝐶)
𝑦 = √2(ln 𝑥 + 𝐶)
14
Soal-soal :
1. 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑦 − 1
𝑥
5. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= (1 + 𝑥)(1 + 𝑦)
2. 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑦2 + 𝑥𝑦2
𝑥2𝑦 − 𝑥2
6. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3𝑥2 − 6𝑥 + 5
3. 𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥2 + 1
𝑦 + 1
7. (1 + 𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑥𝑦 = 0
4. 𝑦 tan 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (4 + 𝑦2) 𝑠𝑒𝑐2𝑥
8. 𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦2 = 0
15
BAB VI
PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
Dikatakan eksak jika fungsi 𝑄(𝑥, 𝑦) sedemikian sehingga 𝑑𝑄
𝑑𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑎𝑛
𝑑𝑄
𝑑𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦).
Dengan mengingat diferensial total dari fungsi 𝑄(𝑥, 𝑦), maka disimpulkan bahwa persamaan
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 adalah eksak jika dan hanya jika
𝑑𝑀
𝑑𝑦=
𝑑𝑁
𝑑𝑥
Langkah-langkah untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Eksak adalah sebagai berikut:
Langkah 1 Tulis PD dalam bentuk 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
Langkah 2 Uji ke Eksakan PD
𝑑𝑀
𝑑𝑦=
𝑑𝑁
𝑑𝑥
(Turunkan fungsi M(x,y) terhadap y dan Turunkan fungsi N(x,y) terhadap x
lalu dilihat hasilnya sama atau tidak jika sama maka dia dikatakan eksak
dan jika tidak sama maka dia tidak eksak)
Langkah 3 Jika Eksak, integralkan M(x,y) terhadap x atau N(x,y) terhadap y (pilih
salah satu) Misal kita pilih adalah M, maka:
𝑄(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)
Langkah 4 Turunkan fungsi Q terhadap y dan samakan hasilnya dengan N(x,y)
𝑁(𝑥, 𝑦) =𝑑𝑄
𝑑𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖
𝑁(𝑥, 𝑦) =𝑑
𝑑𝑦(∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥) + 𝑔′(𝑦)
Langkah 5 Integralkan 𝑔′(𝑦) untuk memperoleh 𝑔(𝑦)
Langkah 6 Tuliskan C jika diberikan kondisi awal tertentu
Contoh soal
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
(𝑥 − 2𝑦)
𝑦2 − 2𝑥 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦(0) = 3
Langkah 1 (𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑦 = −(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥
(𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑦 + (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥 = 0
16
(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑦 = 0
Langkah 2 Uji Ke Eksakan
𝑀(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 2𝑦)
𝑁(𝑥, 𝑦) = (𝑦2 − 2𝑥)
Turunkan 𝑀(𝑥, 𝑦)terhadap y dan Turunlan 𝑁(𝑥, 𝑦)terhadap x. Sehingga
diperoleh hasil
𝑑𝑀
𝑑𝑦= −2
𝑑𝑁
𝑑𝑥= −2
Langkah 3 Misalkan dipili M(x,y) untuk di integralkan
𝑄(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)
𝑄(𝑥, 𝑦) = ∫(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)
𝑄(𝑥, 𝑦) =1
2𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑔(𝑦)
Langkah 4 Turunankan 𝑄(𝑥, 𝑦) terhadap y dan disamakan dengan 𝑁(𝑥, 𝑦)
𝑁(𝑥, 𝑦) =𝑑
𝑑𝑦(∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥) + 𝑔′(𝑦)
𝑦2 − 2𝑥 =𝑑
𝑑𝑦(
1
2𝑥2 − 2𝑥𝑦) + 𝑔′(𝑦)
𝑦2 − 2𝑥 = 0 − 2𝑥 + 𝑔′(𝑦)
𝑔′(𝑦) = 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑥
𝑔′(𝑦) = 𝑦2
Langkah 5 Integralkan 𝑔′(𝑦) untuk memperolej 𝑔(𝑦)
𝑔(𝑦) = ∫ 𝑔′(𝑦)𝑑𝑦
𝑔(𝑦) = ∫ 𝑦2𝑑𝑦
𝑔(𝑦) =1
3𝑦3
Langkah 6 Penyelesaian umum dalam bentuk 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝐶
1
2𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑔(𝑦) = 𝐶
Karena hasilnya sama
maka dikatakan Eksak
17
1
2𝑥2 − 2𝑥𝑦 +
1
3𝑦3 = 𝐶
Langkah 7 Dengan kondisi awal 𝑦(0) = 3 diperoleh C=9 dari
1
2𝑥2 − 2𝑥𝑦 +
1
3𝑦3 = 𝐶
1
202 − 2(𝑜)(3) +
1
3(3)3 = 𝐶
𝐶 = 9
Langlah 8 Sehinga bentuk penyelesaiann ya adalah:
1
2𝑥2 − 2𝑥𝑦 +
1
3𝑦3 = 9
Soal-soal
1. (𝑥2 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦3 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0
2. (𝑥 + 𝑒−𝑥 sin 𝑦)𝑑𝑥 − (𝑦 + 𝑒−𝑥 cos 𝑦)𝑑𝑦 = 0
3. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
(𝑥 + 2𝑦)
𝑦2 + 2𝑥
4. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
(3𝑥2 + 4𝑥𝑦)
2𝑥2 + 2𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦(0) = 3
5. (9𝑥2 + 𝑦 − 1) 𝑑𝑥 − (4𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0
6. 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝐶𝑜𝑠 𝑦
𝑥 𝑆𝑖𝑛 𝑦 − 𝑦2
7. (𝑥𝑒𝑦 − 𝑒2𝑦)𝑑𝑦 − (𝑒𝑦 + 𝑥)𝑑𝑥 = 0
8. (𝑒𝑥 𝑆𝑖𝑛 𝑦 − 2𝑦 𝑆𝑖𝑛 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑒𝑥𝐶𝑜𝑠 𝑦 + 2 𝐶𝑜𝑠 𝑥)𝑑𝑦 = 0
9. (𝑥2 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 − (𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 1)𝑑𝑥 = 0
18
BAB VII
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
𝐵𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑢𝑚𝑢𝑚 ∶ 𝑎1(𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑎2(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥+
𝑎2(𝑥)
𝑎1(𝑥) 𝑦 =
𝑏(𝑥)
𝑎1(𝑥)
𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑎2(𝑥)
𝑎1(𝑥)= 𝑃(𝑥) 𝑑𝑎𝑛
𝑏(𝑥)
𝑎1(𝑥)= 𝑄(𝑥)
𝑆𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
Langkah-langkah penyelesaian nya adalah sebagai berikut :
Langkah 1 Buat persamaan diferensial kedalam bentuk umum
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
Langkah 2 Tentukan 𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
Langkah 3 Kalikan 𝑄(𝑥) dengan 𝜇(𝑥) dan diintegralkan
∫ 𝑄(𝑥). 𝜇(𝑥) 𝑑𝑥
Langkah 4 Tentukan penyelesaian umum
𝜇(𝑥) 𝑦 = ∫ 𝑄(𝑥). 𝜇(𝑥) 𝑑𝑥
𝑦 =∫ 𝑄(𝑥). 𝜇(𝑥) 𝑑𝑥
𝜇(𝑥)
Contoh soal
Contoh 1
𝑥2𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑥𝑦 = 2
Langkah 1 𝑎1(𝑥) = 𝑥2𝑑𝑎𝑛 𝑎2(𝑥) = 𝑥 𝑠𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑏(𝑥) = 2 sehingga didapat
𝑃(𝑥) =1
𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑄(𝑥) =
2
𝑥2
Sehingga bentuk persamaan nya menjadi :
𝑑𝑦
𝑑𝑥+
1
𝑥𝑦 =
2
𝑥2
Langkah 2 Tentukan 𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
19
𝜇(𝑥) = 𝑒∫1𝑥
𝑑𝑥
𝜇(𝑥) = 𝑒ln 𝑥
𝜇(𝑥) = 𝑥
Langkah 3 Kalikan 𝑄(𝑥) dengan 𝜇(𝑥) dan diintegralkan
∫ 𝑄(𝑥). 𝜇(𝑥) 𝑑𝑥
∫2
𝑥2𝑥 𝑑𝑥
2 ∫1
𝑥 𝑑𝑥
2 ln 𝑥 + 𝐶
Langkah 4 Tentukan penyelesaian umum
𝑦 =∫ 𝑄(𝑥). 𝜇(𝑥) 𝑑𝑥
𝜇(𝑥)
𝑦 =2 ln 𝑥 + 𝐶
𝑥
Contoh 2
cos 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 sin 𝑥 = 1
Langkah 1 𝑎1(𝑥) = cos 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑎2(𝑥) = sin 𝑥 𝑠𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑏(𝑥) = 1 sehingga didapat
𝑃(𝑥) =sin 𝑥
cos 𝑥= tan 𝑥, 𝑑𝑎𝑛 𝑄(𝑥) =
1
cos 𝑥= sec 𝑥
Sehingga bentuk persamaan nya menjadi :
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 tan 𝑥 = sec 𝑥
Langkah 2 Tentukan 𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝜇(𝑥) = 𝑒∫ tan 𝑥𝑑𝑥
𝜇(𝑥) = 𝑒ln sec 𝑥
𝜇(𝑥) = sec 𝑥
Langkah 3 Kalikan 𝑄(𝑥) dengan 𝜇(𝑥) dan diintegralkan
∫ 𝑄(𝑥). 𝜇(𝑥) 𝑑𝑥
∫ sec 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥
20
∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥
tan 𝑥 + 𝐶
Langkah 4 Tentukan penyelesaian umum
𝑦 =∫ 𝑄(𝑥). 𝜇(𝑥) 𝑑𝑥
𝜇(𝑥)
𝑦 =tan 𝑥 + 𝐶
sec 𝑥
𝑦 =
sin 𝑥cos 𝑥 + 𝐶
1cos 𝑥
𝑦 = (sin 𝑥
cos 𝑥+ 𝐶) cos 𝑥
𝑦 = sin 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥
Soal-soal
1. (𝑥 + 2𝑦3)𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦
2. 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑒𝑥
3. 𝑑𝑦
𝑑𝑥+ (tan 𝑥) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥
4. 𝑥2𝑑𝑦 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = (𝑥 − 1)2𝑑𝑥
5. 2𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑦 = 𝑥 𝑒
𝑥2⁄
6. 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑦 = 2𝑥 ln 𝑥
7. 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
2𝑦
𝑥+ 𝑥3𝑒𝑥 − 1
21
BAB VIII
PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓 (
𝑦
𝑥)
Cara termudah untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Homogen dengan
mendefinisikan variabel baru yaitu 𝑧 =𝑦
𝑥 atau 𝑦 = 𝑧𝑥. Dan Persamaan Diferensial menjadi
𝑥𝑑𝑧
𝑑𝑥+ 𝑧 = 𝑓(𝑧)
Dimana ruas kiri Persamaan Diferensial ini diperoleh dengan menerapkan aturan rantai
𝑦 = 𝑧𝑥 ∶ 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑥+
𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥+ 𝑧
Dalan bentuk ini kita selallu akan memisahkan variabel-variabelnya
𝑑𝑥
𝑥=
𝑑𝑧
𝑓(𝑧) − 𝑧
Yang dengan mudah kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial ditas dengan
mengintegralkan kedua ruas.
Contoh Soal
Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑦2 + 2𝑥𝑦
𝑥2
Jawab
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑦2
𝑥2+
2𝑥𝑦
𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (
𝑦
𝑥)
2
+2𝑦
𝑥
misalkan 𝑧 =𝑦
𝑥 Sehingga
menjadi
𝑥𝑑𝑧
𝑑𝑥+ 𝑧 = 𝑧2 + 2𝑧
𝑥𝑑𝑧
𝑑𝑥= 𝑧2 + 2𝑧 − 𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥 + 𝑦
𝑥
Jawab
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥
𝑥+
𝑦
𝑥
misalkan 𝑧 =𝑦
𝑥 Sehingga
menjadi
𝑥𝑑𝑧
𝑑𝑥+ 𝑧 = 1 + 𝑧
𝑥𝑑𝑧
𝑑𝑥= 1 + 𝑧 − 𝑧
𝑥𝑑𝑧
𝑑𝑥= 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥 + 3𝑦
2𝑥
Jawab
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥
2𝑥+
3𝑦
2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
2+
3𝑦
2𝑥
misalkan 𝑧 =𝑦
𝑥 Sehingga
menjadi
𝑥𝑑𝑧
𝑑𝑥+ 𝑧 =
1
2+
3
2𝑧
22
𝑥𝑑𝑧
𝑑𝑥= 𝑧2 + 𝑧
𝑥 𝑑𝑧 = (𝑧2 + 𝑧)𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑧(𝑧 + 1)=
𝑑𝑥
𝑥
Lalu kedua ruas di
integralkan
∫1
𝑧(𝑧 + 1)𝑑𝑧 = ∫
1
𝑥𝑑𝑥
… … … … … … = ln 𝑥 + 𝐶
𝑑𝑧 =1
𝑥𝑑𝑥
Lalu kedua ruas
diintegralkan
∫ 1 𝑑𝑧 = ∫1
𝑥𝑑𝑥
𝑧 = ln 𝑥 + 𝐶
Kembali lagi 𝑧 =𝑦
𝑥
𝑦
𝑥= ln 𝑥 + 𝐶
𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 + 𝐶
𝑥𝑑𝑧
𝑑𝑥=
1
2+
3
2𝑧 − 𝑧
𝑥𝑑𝑧
𝑑𝑥=
1
2+
1
2𝑧
𝑥𝑑𝑧
𝑑𝑥=
1
2(1 + 𝑧)
2𝑥 𝑑𝑧 = (1 + 𝑧) 𝑑𝑥
2
(1 + 𝑧)𝑑𝑧 =
1
𝑥𝑑𝑥
Lalu kedua ruas diintegralkan
∫2
(1 + 𝑧)𝑑𝑧 = ∫
1
𝑥𝑑𝑥
2 ∫1
(1 + 𝑧)𝑑𝑧 = ∫
1
𝑥𝑑𝑥
2 ln(1 + 𝑧) = ln 𝑥 + 𝐶
2 ln (1 +𝑦
𝑥) = ln 𝑥 + 𝐶
(1 +𝑦
𝑥)
2
= 𝑥 + 𝐶
(1 +𝑦
𝑥) (1 +
𝑦
𝑥) = 𝑥 + 𝐶
1 + 2 (𝑦
𝑥) +
𝑦2
𝑥2= 𝑥 + 𝐶
Lalu semua ruas dikalikan 𝑥2
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝑥3 + 𝐶
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 𝑥3 = 𝐶
Soal-Soal
1. 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑥2 5.
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
3𝑦2 − 𝑥2
2𝑥𝑦 9.
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥2 − 3𝑦2
2𝑥𝑦
2. 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
4𝑦 − 3𝑥
2𝑥 − 𝑦 6.
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥2 + 3𝑦2
2𝑥𝑦
3. 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥 + 3𝑦
𝑥 − 𝑦 7.
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
4𝑥 + 3𝑦
2𝑥 + 𝑦
4. 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
4𝑥2𝑦 − 𝑦3
𝑥3 − 2𝑥𝑦2 8.
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
2𝑥𝑦
𝑥2 − 3𝑦2
23
TUGAS 1
1. Ubahlah kedalam bentuk polar dan eksponensial dari bilangan kompleks Z = 3 – 6i
2. Hitunglah perkalian dan pembagian dari Z1 dengan Z2 Jika Z1 = 5 + 4i dan Z2 = 3 – 6i
3. Ubahlah kedalam bentuk polar dan eksponensial dari bilangan kompleks Z = 5 + 4i
4. Hitunglah perkalian dan pembagian dari Z1 dengan Z2 Jika Z1 = 3 – 6i dan Z2 = 5 + 4i
5. Diketahui deret aritmatika 1 + 6 + 11 + 16 + .... + 121. Tentukanlah rumus jumlah
suku ke n nya dan jumlah 25 suku pertamanya ?
TUGAS 2
1. Diketahui deret geometri 2 + 4 + 8 + 16 + .... + 2n = 510. Tentukanlah nilai n nya dan
jumlah 50 suku pertamanya ?
2. Buktikan bahwa ∑ 𝑘2 = ∑ 𝑘2 + 12 ∑ 𝑘7𝑘=1 + 2527
𝑘=113𝑘=7
3. Buktikan bahwa ∑ (2𝑘 − 7)2 = 4 ∑ 𝑘2 + 4 ∑ 𝑘6𝑘=1 + 66
𝑘=110𝑘=5
4. Hitunglah bilangan asli anatar 10 sampai 100 yang habis dibagi 6, dan menjadi deret
aritmatika. Tentukanlah :
a. Lima suku pertama deret aritmatika tersebut
b. Ada berapa suku deret tersebut
c. Jumlah 15 suku pertamanaya
5. Tiga bilangan berbentuk barisan geometri yang hasil kalinya 1.000. Jika jumlah tiga
bilangan tersebut adalah 35. Tentukanlah ketiga bilangan tersebut ?
TUGAS 3
1. Ubahlah kedalam bentuk polar dan eksponensial dari bilangan kompleks Z = 3 – 6i
2. Hitunglah perkalian dan pembagian dari Z1 dengan Z2 Jika Z1 = 8 + 2 i dan Z2 = 6 - 5 i
3. Ubahlah bentuk z =
ie
314
menjadi bentuk z = a + bi (gunakan rumus
Euler)
4. Tentukan nilai dari
a. ∑ (−2𝑖 + 3)4−2
b. ∑ (2𝑖2 + 𝑖 − 8)301
5. Diketahui deret aritmatika 1 + 6 + 11 + 16 + .... + 121. Tentukanlah rumus jumlah
suku ke n nya dan jumlah 25 suku pertamanya ?
24
TUGAS 4
1. Diketahui deret geometri 4, -8, 16, -32,...Tentukanlah jumlah 10 suku pertamanya ?
2. Cari 𝜕𝑧
𝑥 dan
𝜕𝑧
𝑦 dari
a. 𝑥𝑧 + 2𝑥𝑦2 − 𝑦𝑧 = 8
b. f(x,y) = 4x3y5 + 2x2y3 + 3x3 + 5y4
3. Ubahlah kedalam bentuk polar dari bilangan kompleks z = -15 + 8i
4. Hitunglah perkalian dan pembagian dari Z1 dengan Z2 Jika Z1 = -2 -3 i dan Z2 = 4 - 6 i
5. Ubahlah bentuk 𝑍 = 𝑒−2+3/2𝜋𝑖 menjadi bentuk z = a + bi (gunakan rumus Euler)
TUGAS 5
1. Tentukan nilai dari
a. 5
1
12
(4 1)i i
b. 15
3
2 5i
i
2. Diketahui deret aritmatika 1 + 6 + 11 + 16 + .... + 121. Tentukanlah rumus jumlah
suku ke n nya dan jumlah 25 suku pertamanya ?
3. Diketahui deret geometri 4, -8, 16, -32,...Tentukanlah jumlah 10 suku pertamanya ?
4. Cari 𝜕𝑧
𝑥 dan
𝜕𝑧
𝑦 dari
a. 4x3y2 – 2z2y3 + 3x3 -3z4
b. f(x,y) = 4x3y2 - 2x2y3 + 3x3 -3y4
5. Nyatakan setiap bilangan kompleks berikut dalam bentuk polar 3√3 − 3𝑖
TUGAS 6
1. Hitunglah perkalian dan pembagian dari Z1 dengan Z2 Jika Z1 = 3 – 6i dan Z2= 5 + 4i
2. Ubahlah bentuk 𝑍 = 𝑒7/4𝜋𝑖 menjadi bentuk z = a + bi (gunakan rumus Euler)
3. Tentukn jumlah sigma berikut
a. 15
3
2 5i
i
b. 10
1
(4 2 )i
i i
4. Tentukan nilai U12, S40 dari barisan berikut
a. 4, -8, 16, -32,...
25
b. 40, 20, 10, 5, …
5. Cari 𝜕𝑧
𝑥 dan
𝜕𝑧
𝑦 dari
a. 𝑥𝑧 + 2𝑥𝑦2 − 𝑦𝑧 = 8
b. f(x,y) = 4x3y5 + 2x2y3 + 3x3 + 5y4
TUGAS 7
1. Selesaikanlah Persamaan Diferensial yang dapat dipisahkan berikut ini !
a. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= (1 + 𝑥)(1 + 𝑦)
b. 9𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 4𝑥 = 0
2. Selesaikanlah Persamaan Diferensial Homogen berikut ini !
a. 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥+3𝑦
2𝑥
b. 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
3𝑦2−𝑥2
2𝑥𝑦
3. Selesaikanlah Persamaan Diferensial Linier berikut ini !
a. 𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 𝑥
b. 𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 3𝑥2𝑦 = 𝑥2
4. Selesaikanlah Persamaan Diferensial Eksak berikut ini !
a. 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
3𝑥2+4𝑥𝑦
2𝑥2+2𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦(0) = 3
b. (9𝑥2 + 𝑦 − 1)𝑑𝑥 − (4𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0
5. Buktikanlah persamaan di bawah merupakan Persamaan defferensial eksak dan
tentukan solusinya!
a. (2𝑥3 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (3𝑥 + 𝑦 − 1)𝑑𝑦 = 0
b. (3𝑥2 + 4𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥2 + 2𝑦 + 10)𝑑𝑦 = 0 dengan y(0) = 3
TUGAS 8
1. Buktikanlah persamaan di bawah merupakan Persamaan defferensial Linier dan
tentukan solusinya!
a. 𝑥3𝑦 ′ + 𝑥2𝑦 = 5𝑥2 + 1 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑓(1) = 5
b. 𝑦 ′ + 3𝑥2𝑦 = 𝑥2
2. Buktikanlah persamaan di bawah merupakan Persamaan defferensial homogen dan
tentukan solusinya!
26
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
4𝑥2𝑦 − 𝑦3
𝑥3 − 2𝑥𝑦2
3. Selesaikanlah Persamaan Diferensial yang dapat dipisahkan berikut ini !
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (1 + 𝑥)(1 + 𝑦)
4. Selesaikanlah Persamaan Diferensial yang dapat dipisahkan berikut ini !
9𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 4𝑥 = 0
5. Selesaikanlah Persamaan Diferensial Homogen berikut ini !
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
3𝑦2 − 𝑥2
2𝑥𝑦
TUGAS 9
1. Selesaikanlah Persamaan Diferensial Linier berikut ini !
a. 𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 𝑥
b. 𝑦 ′ −𝑦
𝑥= 3𝑥3 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑓(1) = 3
2. Selesaikanlah Persamaan Diferensial Eksak berikut ini !
a. (6𝑥 − 𝑦2)𝑑𝑥 + (−2𝑥𝑦 − 3𝑦2)𝑑𝑦 = 0
b. (9𝑥2 + 𝑦 − 1)𝑑𝑥 − (4𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0
3. Buktikanlah persamaan di bawah merupakan Persamaan defferensial eksak dan
tentukan solusinya!
a. (𝑦2 + 6𝑥2𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 + 2𝑥2)𝑑𝑦 = 0
b. (4𝑥3𝑦3 − 2𝑦)𝑑𝑥 + (3𝑥4𝑦2 − 2𝑥 + 10)𝑑𝑦 = 0
4. Buktikanlah persamaan di bawah merupakan Persamaan defferensial Linier dan
tentukan solusinya!
𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥 + 𝑒−𝑥2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑓(0) = 2
5. Buktikanlah persamaan di bawah merupakan Persamaan defferensial homogen dan
tentukan solusinya!
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
3𝑦2 − 𝑥2
2𝑥𝑦
6. Selesaikanlah Persamaan Diferensial yang dapat dipisahkan berikut ini !
a. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= (1 + 𝑥)(1 + 𝑦)
b. 9𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 4𝑥 = 0