analisis_bab3

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami seba-

gai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya

kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan barisan bilangan real. Sebagaimana

telah diketahui bahwa barisan merupakan bentuk khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai real

dengan domain bilangan asli. Pada bab ini kita memperluas konsep limit kepada bentuk

fungsi bernilai real secara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat dengan konsep

limit maka kedua topik ini dibahas secara simultan pada bab ini.

3.1 Pengertian Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu

Biasanya, notasi

limxc f(x) = L

dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut

1. Jika x mendekati c maka f(x) mendekati L, semakin dekat x kepada c semakindekat pula f(x) kepada L.

2. Nilai-nilai f(x) adalah dekat dengan L untuk x dekat dengan c.

Pada pernyataan pertama, dekatnya f(x) terhadap L disebabkan oleh dekatnya x kepadac. Pernyataan ini banyak diambil sebagai denisi limit khususnya bagi mereka yangbelum belajar analisis. Padahal sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk den-

isi limit. Pada pernyataan ini ada dua kriteria atau ukuran dekat. Kriteria dekatnya f(x)terhadap L memberikan kriteria dekatnya x kepada c. Kemudian, setiap x yang dekatdengan c dalam kriteria ini mengakibatkan nilai f(x) dekat dengan L. Sebelum masuk kedenisi formal limit fungsi, diberikan terlebih dahulu pegertian titik limit (cluster point)

suatu himpunan.

Denisi 3.1. [Titik Limit] Misalkan A R. Sebuah titik c R dikatakan titik limitA jika setiap persekitaran V(c) := (c , c + ) memuat paling sedikit satu anggota Aselain c, atau

(c , c+ ) A \ {c} 6= , > 0.Catatan 1. Titik limit A boleh jadi anggota A atau bukan anggota A. Sebaliknya, suatuanggota A dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit A.

Sebelum diberikan contoh diperhatikan teorema yang menjamin adanya barisan di dalam

A yang konvergen ke titik limit A yang dapat dijadikan kriteria titik limit.

Teorema 3.1. Sebuah bilangan c A titik limit A bila hanya bila terdapat barisan (an)dalam A dengan an 6= c untuk setiap n N sehingga lim(an) = c.Bukti. Misalkan c titik limit. Untuk setiap n N, bentuk persekitaran radius := 1n ,yaitu V 1

n(c) = (c 1n , c+ 1n). Selalu ada an AV 1n dengan an 6= c. Karena berlaku

|anc| < 1n maka disimpulkan lim(an) = c. Sebaliknya, diketahui terdapat barisan

1


(an) dalam A, an 6= c dan lim(an) = c, dibuktikan c seperti ini adalah titik limit A.Karena diketahui lim(an) = c maka untuk sebarang > 0 terdapat bilangan asli Ksehingga |an c| < untuk setiap n K. Ini berarti, khususnya aK A, aK 6= cdan aK V yaitu A V \ {c} 6= . Terbukti c titik limit A. Contoh 3.1. Diberikan himpunan A yang didenisikan sebagai

A = {1} {x R : 0 x < 1} {2}.

Tentukan himpunan semua titik limit A.

Penyelesaian. Diperhatikan bahwa setiap x [0, 1] dan setiap > 0 maka berlaku (x, x+ )A \ {x} 6= . Jadi setiap x [0, 1] merupakan titik imit A. Diperhatikanx = 1 A. Kita dapat memilih 1 > 0 sehingga (1 1,1 + 1) A = {1}sehingga (1 1,1 + 1) A \ {1} = , jadi x = 1 bukan titik limit A.Argumen yang sama diterapkan untuk x = 2. Diperoleh himpunan titik lmit Aadalah [0, 1].

Gambar 3.1: Ilustrasi titik limit pada garis bilangan

Diperhatikan pada contoh ini, 1 / A tetapi 1 titik limit A. Sebaliknya 2 A tetapi2 bukan titik limit A. Bilangan di dalam interval [0, 1) kesemuanya anggota A dansekaligus titik limit A.

Berikut diberikan beberapa fakta sederhana tentang titik limit:

I Himpunan yang banyak anggotanya berhingga tidak mempunyai titik limit.I Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit.I Himpunan bilangan rasional Q mempunyai titik limit semua bilangan real. Hal inidisebabkan sifat kepadatan bilangan rasional di dalam R.

I Himpunan A ={

1n : n N

}hanya mempunyai titik limit 0. Dalam kasus ini tidaksatupun anggota A menjadi titik limitnya.

Selanjutnya denisi limit fungsi diberikan sebagai berikut.

Denisi 3.2. [Limit Fungsi] Misalkan A R dan f : A R, c titik limit A. BilanganL dikatakan limit fungsi f di c, ditulis

L = limxc f(x) (3.1)

adalah bilamana diberikan > 0 terdapat > 0 sehingga berlaku

0 < |x c| < |f(x) L| < . (3.2)

Pada denisi ini, nilai biasanya bergantung pada nilai yang diberikan sehingga kadang-kadang ditulis sebagai () untuk menunjukkan ketergantungan pada yang diberikan.Bila limit L ini ada maka fungsi f dikatakan juga konvergen ke L di c. Secara praktis,dapat dikatakan f(x) mendekati L bilamana x mendekati c. Ukuran dekat f(x)terhadap L diberikan oleh , dan kedekatan x dengan c diukur oleh . Pada ekspresi

2


c c+c+

V (c)

L

L-

L-

V (L)

diberikan

terdapat

|f(x) -L|<

Gambar 3.2: Ilustrasi denisi limit fungsi

(3.3) kita dapat membuat f(x) sedekat mungkin dengan L dengan memilih x yang dekatdengan c.

Ilustrasi denisi limit fungsi diberikan pada Gambar 3.2. Pernyataan 0 < |x c| < pada (3.3) menunjukkan bahwa untuk berlakunya |f(x)L| < tidak memperhitungkanx yang sama dengan c. Artinya pada denisi limit, nilai f(c) tidak perlu ada. Ingat, titiklimit himpunan domain A tidak harus di dalam A. Oleh karena itulah, ilustrasi grakdenisi limit menggunakan dot di titik x = c.Pengertian yang hampir sama untuk fungsi kontinu di x = c, seperti diungkapkan berikutini.

Denisi 3.3. [Fungsi Kontinu] Misalkan A R dan f : A R, c A . Fungsif dikatakan kontinu di c, adalah bilamana diberikan > 0 terdapat > 0 sehinggaberlaku

|x c| < |f(x) f(c)| < . (3.3)Kontinu pada himpunan A berarti kontinu di setiap c A.

Dalam kasus c A dan c titik limit A maka kedua pengertian limit dan kekontinuansangat terkait seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Teorema 3.2. Misalkan A R dan f : A R, c A. Bila c titik limit A maka keduapernyataan berikut ekuivalen.

(i) f kontinu di c

(ii) limxc f(x) = f(c)

Bukti. Untuk mudahnya kita bentuk dua himpunan berikut

E1 := {x A : 0 < |x c| < }, E2 := {x A : |x c| < }.

Jadi E2 E1. Diketahui f kontinu di c berarti x E2 |f(x) f(c)| < .Misalkan x E1 maka x E2 atau x = c. Bila x E2 maka (3.2) berlaku denganL = f(c). Untuk kemungkinan x = c berlaku |f(x) f(c)| = |f(c) f(c)| = 0 < sehingga (3.2) juga dipenuhi. Terbukti limxc f(x) = f(c). Sebaliknya, diketahuilimxc f(x) = f(c) yaitu x E1 |f(x) f(c)| < . Karena E2 E1 makaberlaku x E2 |f(x) f(c)| < , yaitu f kontinu di c.

3


Contoh 3.2. Misalkan f fungsi konstan pada R, katakan f(x) = b untuk setiap x R.Buktikan untuk sebarang c R, berlaku limxc b = b. Kemudian simpulkan bahwa fkontinu di c.

Penyelesaian. Diberikan > 0 sebarang, ambil := 1 maka diperoleh

0 < |x c| < |f(x) L| = |b b| = 0 < .

Jadi terbukti limxc f(x) = f(c). Karena c Rmerupakan titik limit maka denganteorema 3.2 maka disimpulkan f kontinu di c.

Catatan 2. Pengambilan pada pembuktian di atas dapat selain 1, bahkan berapapunboleh. Pembuktian ini menggunakan pola p q dimana q sudah dipastikan benar.Contoh 3.3. Buktikan untuk sebarang c R, limxc x = c. Kemudian simpulkanbahwa f(x) := x kontinu di c.

Penyelesaian. Untuk setiap > 0 yang diberikan, ambil := . Diperoleh

0 < |x c| < |f(x) L| = |x c| < = .

Karena itu terbukti limxc x = c. Karena berlaku limxc f(x) = f(c) dan c titiklimit maka disimpulkan f kontinu di c.

Contoh 3.4. Misalkan f(x) = x2, x R. Buktikan f kontinu pada R.Bukti. Misalkan c R. Kita perhatikan dulu penjabaran berikut

|f(x) f(c)| = |x2 c2| = |x+ c||x c|.

Karena sudah ada suku |x c| maka kita perlu melakukan estimasi pada suku|x+ c|. Untuk itu diasumsikan dulu |x c| < 1, maka berlaku

||x| |c|| |x c| < 1 1 < |x| |c| 1 |x| |c|+ 1.Untuk asumsi ini diperoleh estimasi pada |x+ c|, yaitu

|x+ c| |x|+ |c| 2|c|+ 1.

Secara keseluruhan diperoleh estimasi

|f(x) f(c)| = |x+ c||x c| < (2|c|+ 1) |x c|. ()

Agar kuantitas terakhir ini kurang dari maka haruslah

|x c| < 2|c|+ 1 . ()

Karena sudah diasumsikan |x c| < 1 maka agar |x c| < 2|c|+1 juga dipenuhimaka diambil

= () := min

{1,

2|c|+ 1}.

Jadi jika 0 < |x c| < maka (*) dan (**) berlaku sehingga disimpulkan |f(x)f(c)| < . Jadi, limxc f(x) = f(c), dan terbukti f kontinu di c. Ada kalanya sebuah fungsi tidak kontinu di suatu titik c dikarenakan ia tidak terdenisidi c, yaitu f(c) tidak ada. Tetapi, asalkan limitnya di c ada maka fungsi tersebut dapatdiperluas menjadi fungsi kontinu.

4


Contoh 3.5. Diberikan fungsi f(x) = x21x1 , x 6= 0 tidak kontinu di 1 karena f(1) tidakada. Namun, berlaku

limx1

f(x) = limx1

x2 1x 1 = limx1(x+ 1) = 2.

Jadi fungsi ini dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada R sebagai berikut

f(x) =

{x21x1 untukx 6= 02 untukx = 0.

3.2 Kriteria Barisan untuk Limit dan Kekontinuan

Untuk mengetahui limit dan kekontiunuan fungsi di suatu titik dapat dideteksi melalui

limit barisan yang sudah dipelajari pada bab sebelumnya.

Teorema 3.3. Misalkan f : A R dan c titik limit A. Maka kedua pernyataan berikutekuivalen.

(i) limxc f(x) = L

(ii) Untuk setiap barisan (xn) di dalam A yang konvergen ke c, xn 6= c untuk setiapn N, maka barisan (f(xn)) konvergen ke L.Bukti. (i)(ii). Diberikan > 0 sebarang. Karena diketahui limxc f(x) = L, makaterdapat > 0 sehingga jika 0 < |x c| < berlaku |f(x) L| < . Misalkanlim(xn) = c, xn 6= c. Berdasarkan denisi limit barisan, untuk > 0 sebelumnyaterdapat K N sehingga |xn c| < untuk setiap n K. Karena xn 6= c makadapat ditulis 0 < |xn c| < , sehingga berlaku |f(xn) L| < untuk setiapn K. Ini menunjukkan bahwa barisan (f(xn)) konvergen ke L.(ii)(i). Dibuktikan melalui kontraposisinya. Diketahui limxc f(x) 6= L, berartiada 0 > 0 sehingga setiap > 0 terdapat x A, 0 < |x x| < tetapi|f(x) x| 0. Bila diambil para > 0 tersebut sebagai := 1n > 0 untuksetiap n N maka terbentuk barisan (xn) dengan sifat 0 < |xn c| < 1n , xn Atetapi |f(xn) L| 0 untuk setiap n N. Ini berarti barisan (f(xn)) tidakmungkin konvergen ke L. Jadi ada barisan (xn) dalam A, xn 6= c tetapi (f(xn))tidak konvergen ke L. Pernyataan (ii) salah. Bukti teorema selesai.

Dengan demikian diperoleh kriteria divergen sebagai berikut:

(a) limxc f(x) 6= L bila hanya bila ada barisan (xn) dalam A dengan xn 6= c, (xn)konvergen ke c tetapi barisan lim (f(xn)) 6= L.(b) limxc f(x) tidak ada bila hanya bila ada barisan (xn) dalam A dengan xn 6= c, (xn)konvergen ke c tetapi barisan f(xn) tidak konvergen.

(c) limxc f(x) tidak ada bila hanya bila ada dua barisan (xn), (yn) dalam A denganxn, yn 6= c, (xn) dan (yn) konvergen ke c tetapi lim (f(xn)) 6= lim (f(yn)).Contoh 3.6. Buktikan limx0 1x tidak ada.

Bukti. Di sini kita mempunyai f(x) = 1x . Ambil barisan (xn) dengan xn :=1n . Je-

las barisan ini konvergen ke 0, xn 6= 0. Sekarang perhatikan barisan (f(xn)) =(1

1/n

)= (n) = (1, 2, 3, ) tidak konvergen. Berdasarkan kriteria (b) maka ter-bukti limitnya tidak ada.

5


Contoh 3.7. Diberikan fungsi signum yang didenisikan sebagai berikut

sgn(x) : =

+1 untuk x > 0,

0 untuk x = 0,

1 untuk x < 0.

Buktikan limx0 sgn(x) tidak ada.

Bukti. Ambil dua barisan (xn) dan (yn) dengan xn :=1n dan yn := 1n . Jelas keduabarisan ini konvergen ke 0 dan setiap sukunya tidak ada yang sama dengan 0. Diper-hatikan barisan (sgn(xn)) =

(sgn

(1n

))= (1) = (1, 1, ) konvergen ke 1, tetapi

(sgn(yn)) =(sgn( 1n)

)= (1) = (1,1, ) konvergen ke 1. Berdasarkankriteria (c) maka terbukti limitnya tidak ada.

Cara lain dapat menggunakan sifat bahwa sgn(x) = x|x| untuk x 6= 0. Dengan mengam-bil xn :=

(1)nn maka barisan (xn) konvergen ke 0, xn 6= 0. Tetapi (sgn(xn)) =(sgn

((1)nn

))= (1)n = (1,+1,1, ) divergen.

Teorema 3.4. Misalkan f : A R dan c A. Maka kedua pernyataan berikutekuivalen.

(i) f kontinu di c

(ii) Untuk setiap barisan (xn) di dalam A yang konvergen ke c, maka barisan (f(xn))konvergen ke f(c).

Bukti. Gunakan fakta f kontinu di c bila hanya bila limxc f(x) = f(c) dan ambilL := f(c). Selanjutnya gunakan teorema kriteria barisan untuk limit.

to be continued...........

6

analisis_bab3

Documents