1

ANALISIS NUMERIKBAB IPENGANTAR MENUJU KOMPUTASI SAINTIFIK(BAGIAN PERTAMA)BAMBANG HERUNADI

Materi2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Pengantar Umum Pengenalan Metode Numerik: Prosedur Matematis Pengukuran Kesalahan Sumber-sumber Kesalahan Representasi Bilangan dalam bentuk biner Representasi Floating Point suatu bilangan Penjalaran Kesalahan Deret Taylor

3

1. PENGANTAR UMUM

ALGORITMA4

Adalah suatu prosedur yang dibuat secara sistematis untuk penyelesaian suatu persoalan atau sejumlah persoalan komputasi secara numerik. Efisiensi suatu algoritma ditentukan dari:

banyaknya langkah/step dalam algoritma tersebut; waktu komputasi yang dibutuhkan; dan banyaknya memory yang dipakai.

Catatan & pemahaman konsep5

Keuntungan utama penggunaan Analisis Numerik adalah bahwa nilai numerik bisa diperoleh meskipun masalah tersebut tidak memiliki solusi analitik; Operasi Matematika yang banyak digunakan dalam analisis numerik pada umumnya adalah penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan perbandingan;

Catatan & pemahaman konsep6

Perlu dipahami bahwa solusi analisis numerik selalu numerik; Sebaliknya, Metode Analitik biasanya memberikan solusi dalam bentuk fungsi matematika yang dapat dievaluasi hasilnya;

operasi yang dapat dilakukan dengan analisis numerik7

1. 2. 3. 4.

5.

6.

7.

Mencari akar persamaan non linier; Penyelesaian sistem persamaan yang besar; Mendapatkan solusi dari satu set persamaan non linier; Melaukan interpolasi untuk mendapatkan nilai tengah dari suatu tabulasi data; Mencari pendekatan suatu fungsi secara efisien dan efektif; Pendekatan nilai turunan suatu fungsi meskipun hanya dalam bentuk tabel nilain fungsi; Mengintegrasikan suatu fungsi, meskipun hanya berupa tabel nilai fungsi

operasi yang dapat dilakukan dengan analisis numerik8

8.

Menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa bila diberikan nilai atau kondisi awal untuk variabelnya; Dapat

dilakukan untuk sembarang orde dan kerumitan persamaan

9.

10.

11.

Menyelesaikan persoalan nilai batas dan menentukan nilai eigen dan vektor eigen; Memperoleh solusi numerik untuk sembarang persamaan diferensial parsial; Pencocokan kurva pada data dengan berbagai metode;

Langkah-langkah penyelesaian problema matematik dan rekayasa9

1.

2.

Nyatakan persoalan secara jelas, termasuk asumsi penyederhanaan yang diambil; Kembangkan pernyataan matematis dari persoalan dalam bentuk yang dapat diselesaikan secara numerik; Proses

ini termasuk penggunaan kalkulus. Dalam situasi lainnya dapat pula digunakan prosedur matematik lainnya; Jika menyangkut pernyataan persamaan diferensial, kondisi awal dan kondisi batas persoalan tersebut harus ditetapkan;

Langkah-langkah penyelesaian problema matematik dan rekayasa10

3.

Selesaikan persamaan-persamaan yang dihasilkan dalam langkah ke-2;metode yang digunakan adalah aljabar, namun seringnya diperlukan metode yang lebih advance. Hasil dari langkah ini adalah jawaban numerik, atau serangkaian jawaban Kadang-kadang

4.

Terjemahkan jawaban numerik untuk mencapai keputusan Ini

membutuhkan pengalaman dan pengetahuan mengenai situasi masalah;

Langkah penyelesaian problem rekayasa11

Problem Description Mathematical Model Solution of Mathematical Model Using the Solution

CATATAN12

SETIAP PENGGUNA PROSEDUR MATEMATIS HARUS SELALU MEMPERHATIKAN PENGUASAAN BACKGROUND TEORI. DENGAN HAL ITU KETERBATASAN PROSEDUR UNTUK MEMPEROLEH SOLUSI DAPAT DIJELASKAN.

DUA PERTANYAAN YANG MUNCUL DALAM PEMBAHASAN TEORI13

1.

DARI MANA KITA MULAI?Latar Belakangnya apa? Apakah setiap definisi dan/atau postulat harus selalu dinyatakan atau disitasi sebelum teorema yang berkaitan dikembangkan? Asumsi

2.

BAGAIMANA PENYAJIAN TEOREMANYA? Apakah

lebih baik menggunakan notasi matemtika yang singkat dengan segala macam simbulnya yang khas, atau menggunakan bahasa yang lebih mudah dimenegrti oleh kebanyakan orang;

KEBANYAKAN METODE NUMERIK ADALAH ITERATIF, SOLUSINYA ADALAH PENDEKATAN14

1.

APA SYARAT PENERAPAN METODE?

Untuk fungsi macam apa metode dapat berlaku dan bagaimana kita mengetahui bahwa syarat-syaratnya terpenuhi? Apakah pendekatan suksesif dapat memberi jawab menuju akurasi yang yang diberikan? Dapatkah kita mengetahui maksimum eror setelah sejumlah kali iterasi?

2.

APAKAH METODENYA KONVERGEN?

3.

APA BATASAN KESALAHAN SETIAP ESTIMASI?

15

2. Mengenal Metode Numerik: Prosedur Matematis

Prosedur Matematis16

PROSEDUR MATEMATIS YANG AKAN DIPELAJARI 1. Persamaan Non Linier 2. Turunan/Diferensiasi 3. Persamaan Linier Simultan 4. Pencocokan Kurva/Curve Fitting Interpolasi Regresi 5. Integrasi 6. Persamaan Diferensial Biasa/Ordinary Differential Equations 7. Prosedur Matematis Lanjut lainnya: Persamaan Diferensial Parsial Optimisasi Transformasi Fourier Cepat/Fast Fourier Transforms

Persamaan NonlinierMencari akar-akar persamaan17

Seberapa banyak bola mengapung masuk ke dalam air?Diameter=0.11m Specific Gravity=0.6

x 0.165 x 3.993 v 10 ! 03 2

4

Persamaan Nonlinier18

Seberapa banyak bola mengapung masuk ke dalam air?

f ( x) ! x 3 0.165 x 2 3.993 v10 4 ! 0

Turunan19

Berapa kecepatan roket pada waktu t=7 detik?

16 v 104 v(t) ! 2200 ln 16 v 104 5000t 9.8t

dv a! dt

Turunan20

Berapa kecepatan roket pada t=7 detik?Time (s) Vel (m/s) 5 106 8 177 12 600

dv a! dt

Persamaan Linier Simultan21

Carilah profil kecepatan jika diketahui:Time (s) Vel (m/s) 5 106 8 177 12 600

v (t ) ! at 2 bt c, 5 e t e 12Tiga persamaan linier simultan

25a 5b c ! 106 64a 8b c ! 177144a 12b c ! 600

Interpolasi22

Berapa kecepatan roket pada saat t= 7 detik? Time (s) Vel (m/s) 5 106 8 177 12 600

Regresi23

Koefisien ekspansi thermal untuk baja

Regresi (lanjutan)24

Integrasi25

Mengitung kontraksi diametric suatu baja yang dicelupkan di dalam cairan nitrogen

T fluid

(D ! D E dTTroom

Persamaan Diferensial Biasa26

Berapa waktu yang dibutuhkan untuk pendinginan trunnion?

dU mc ! hA(U U a ), U (0) ! U ruang dt

27

3. PENGUKURAN KESALAHAN

Urgensi mengukur kesalahan:28

1) Untuk menentukan akurasi hasil numerik. 2) Untuk membangun kriteria pemberhentian iterasi dalam algoritma komputasi;

Kesalahan sebenarnya/True Error29

kesalahan sebenarnya adalah selisih antara nilai sebenarnya yang diperoleh dari perhitungan analitik dengan nilai pendekatan yang diperoleh dari perhitungan analisis numerik. kesalahan sebenarnya = Nilai sebenarnya Nilai pendekatan

Contohkesalahan Sebenarnya30

dari suatu fungsi f (x) dapat didekati dengan persamaan berikut: ,f ' ( x) } f ( x h) f ( x) h

Turunan,

f d) (x

h ! 0.3 jika f ( x) ! 7e 0.5 x dan a) Cari nilai pendekatan f ' (2) b) Cari nilai sebenarnya f ' (2)

c) Dapatkan kesalahan sebenarnya dari (a)

Contoh (lanjutan)31

Solusi a. Untuk

x ! 2 danf ' ( 2) }

h ! 0.3

f ( 2 0.3) f ( 2) 0.3 f (2.3) f (2) ! 0.3

7e 0.5( 2.3) 7e 0.5( 2 ) ! 0.3 22.107 19.028 ! 10.263 ! 0.3

Contoh (lanjutan)32

Solusi: b) Nilai eksak dari f ' (2) dapat diperoleh menggunakan Pengetahuan diferensial kalkulus. f ( x ) ! 7e0.5 x

;

f ' ( x ) ! 7 v 0.5 v e

0.5 x

! 3.5e

0.5 x

Maka, solusi sebenarnya

f ' ( 2) adalah

f ' ( 2) ! 3.5e 0.5( 2 ) ! 9.5140 kesalahan sebenarnya dihitung sebagai berikut

Et ! Nilai sebenarnya nilai pendekatan ! 9.5140 10.263 ! 0.722

kesalahan sebenarnya relatif33

Adalah perbandingan antara kesalahan (eror) sebenarnya dengan nilai sebenarnya:Relative True Error (

t ) =

True Error True Value

Contoh kesalahan sebenarnya Relatif34

Melanjutkan contoh sebelumnya mengenai kesalahan sebenarnya, Cari eror relatif sebenanrnya untuk f ( x) ! 7e 0.5 x pada f ' (2) dengan h ! 0.3 Dari conto sebelumnya,

Et ! 0.722Definisi eror relatif sesungguhnya

Eror sesungguhnya t ! Nilai Sesungguhnya

0.722 ! 9.5140

! 0.075888

Dalam prosentase nilaninya adalah,

t ! 0.075888 v 100% ! 7.5888%

Kesalahan Pendekatan35

Apa yang dapat dikerjakan apabila nilai sesungguhnya tidak ada atau sulit ditemukan? Kesalahan pendekatan didefinisikan sebagai selisih antara pendekatan terkini dan pendekatan sebelumnya

Eror pendekatan(

E a ) = pendekatan terkini pendekatan sebelumnya

ContohKesalahan pendekatan36

Untuk

f ( x) ! 7e 0.5 x pd x ! 2 carilah,f d ) dengan h ! 0.3 (2 f d ) dengan h ! 0.15 (2 f d ) untuk bagian b) (2

a) b)

c) Kesalahan pendekatan dari nilai Solusi: a) untuk

x ! 2 dan

h ! 0.3

f ' ( x) }

f ( x h) f ( x) h f ( 2 0.3) f ( 2) f ' (2) } 0.3

Contoh lanjut37

Solusi lanjutan

!

f (2.3) f ( 2) 0. 3

7e 0.5( 2.3) 7e 0.5( 2 ) ! 0.322.107 19.028 ! 10.263 0.3 x ! 2 dan h ! 0.15 ! f (2 0.15) f (2) 0.15 f (2.15) f (2) ! 0.15

b) untuk

f ' ( 2) }

Example (cont.)38

Solusi (lanjutan.)

7e 0.5( 2.15) 7e 0.5( 2) ! 0.15 20.50 19.028 ! 9.8800 ! 0.15c) Maka eror pendekatannya adalah, E a

Ea ! Nilai terkini Nilai Sebelumnya! 9.8800 10.263

! 0.38300

Eror Pendekatan Relatif39

Didefinisikan sebagai perbandingan antara eror pendekatan dengan nilai terkini.a Eror Pendekatan Pendekatan Terkini

Eror Pendekatan Relatif (

)=

ContohEror Pendekatan Relatif40

Untuk

f ( x) ! 7e 0.5 x pd x ! 2 , temukan kesalahan pendekatan relatif h ! 0.3 danh ! 0.15 f d ) ! 10.263 (2

Menggunakan nilai Jawab

Dari contoh ke 3, nilai pendekatan dari jika h ! 0.3 dan

f d ) ! 9.8800 jika h ! 0.15 (2

Ea ! Pendekatan Terkini Pendekatan Sebelumnya! 9.8800 10.263! 0.38300

Contoh (lanjut)41

Solusi/Jawab (lanjut)

a !!

Eror Pendekatan Pendekatan Terkini 0.38300 ! 0.038765 9.8800

Dalam presentase

a ! 0.038765 v100% ! 3.8765%Kesalahan pendekatan relatif absolut dapat dihitung:

a !| 0.038765 | ! 0.038765 or 3.8765 %

Bagaimana penggunaan Kesalahan Relatif Absolut sebagai kriteria penghentian perhitungan?42

Jika |a | e s dan

s Adalah toleransi yang diberikan, maka

Tak ada iterasi berikutnya yang diperlukan dan proses penghitungan harus dihentikan. Bila sekurang-kurangnya diperlukan m digit signifikan untuk memperbaiki jawabn akhir, maka

|a |e 0.5 v 10 2m %

Daftar Nilai43

Untuk f ( x ) ! 7e 0.5 x pd x ! 2 Dengan ukuran setep bervariasi,

h

h0.3 0.15 0.10 0.01 0.001

f d) (210.263 9.8800 9.7558 9.5378 9.5164

aN/A 0.038765% 0.012731% 0.024953% 0.002248%

m0 3 3 3 4

44

4. Sumber Kesalahan

Dua Sumber Eror Numerik45

1)

Kesalahan karena pembulatan (Round-off); danPembulan Pengambilan digit signifikan

2)

Kesalahan karena pemotongan (Tuncating)

Aproksimasi/PendekatanDisebabkan karena representasiu pendekatan angka1 $ 0.333333..... 3

2 $ 1.4142...

46

Masalah-masalah yang ditimbulkan oleh kesalahan pembulatan47

28 orang Amaerika terbunuh pada 25 Pebruari, 1991 oleh peluru kendali Irak Dhahran, Saudi Arabia. Sistem pertahanan patriot gagal melacak dan menyerang peluru kendali. Mengapa?

Masalah Patriot Missile48

Siklus jam 1/10 detik dinyatakan dalam 24-bit fixed point memberikan kesalahan sebesar 9.5 x 10-8 detik Baterai hidup selama 100 jam terus menerus mengakibatkan ketidak akuratan

3600s s ! 9.5 v 10 v 100hr v 1hr 0.1s8

! 0.342 s

Problem (lanjutan)49

Pergeseran perhitungan dalam jangkauan missile adalah 687 meter. Target tidak boleh mleset lebih dari 137 meters.

50

Dampak pengambilan digit signifikan dalam perhitungan

Mencari kontraksi diameter51

(D ! D E (T )dTTa

Tc

Ta=80oF; Tc=-108oF; D=12.363

= a0+ a1T + a2

2 T

Koefisien Ekspansi Thermat terhadap suhu52

T(oF) -340 -300 -220(D ! D E (T

( in/in/oF) 2.45 3.07 4.08 4.72 5.43 6.00 6.24 6.47

-160 -80 0 40 80

Regresi Data dalam Excel (format umum)53

Alpha ( in/in/ F)

8.00

o

4.00

0.00 -400 -200 0 200

T (oF)

= -1E-05T2 + 0.0062T + 6.0234

Nilai pengamatan dan prediksi= -1E-05T2 + 0.0062T + 6.023454

T(oF) -340 -300 -220 -160 -80 0 40 80

( in/in/oF) Given 2.45 3.07 4.08 4.72 5.43 6.00 6.24 6.47

( in/in/oF) Predicted 2.76 3.26 4.18 4.78 5.46 6.02 6.26 6.46

Regresi Data di Excel (scientific format)Alpha ( in/in/ o F)8.00

4.00

0.00 -400 -200 0o

200

T ( F)

= -1.2360E-05T2 + 6.2714E-03T + 6.023455

Nilai Pengamatan dan Prediksi= -1.2360E-05T2 + 6.2714E-03T + 6.0234T(oF) -340 -300 -220 -160 -80 0 40 80 ( in/in/oF) Given 2.45 3.07 4.08 4.72 5.43 6.00 6.24 6.4756

( in/in/oF) Predicted 2.46 3.03 4.05 4.70 5.44 6.02 6.25 6.45

Nilai Pengamatan dan Prediksi= -1.2360E-05T2 + 6.2714E-03T + 6.0234 = -1E-05T2 + 0.0062T + 6.0234T(oF) -340 -300 -220 -160 -80 0 40 80 ( in/in/oF) Given 2.45 3.07 4.08 4.72 5.43 6.00 6.24 6.47 ( in/in/oF) Predicted 2.46 3.03 4.05 4.70 5.44 6.02 6.25 6.4557

( in/in/oF) Predicted 2.76 3.26 4.18 4.78 5.46 6.02 6.26 6.46

Kesalahan Pemotongan58

Eror/kesalahan yang disebabkan karena pemotongan atau pendekatan dalam prosedur matematika

Contoh Eror Pemotongan59

Pengambilan hanya sebagian suku dari deret Maclaurin untuk mencari pendekatan nilai e x

x x e ! 1 x .................... 2! 3!x

2

3

Jika hanya 3 suku yang digunakan, x2 ErorPemotongan ! e x 1 x 2!

Contoh Lain Eror Pemotongan60

Penggunaan (x Untuk mendekati f d ) (xf ( x (x ) f ( x) f d) } (x (x

secant line

P tangent line

Q

Contoh lain dari eror pemenggalan61

Penggunaan segiempat untuk menentukan itegral.y90

y=x60

2

30

0 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12

x

Contoh 1 Deret Maclaurin62

Hitunglah Nilai e1.2 Apabila kesalahan relatif mutlak Kurang dari1%.e1.2

1.2 2 1.2 3 ! 1 1 .2 ................... 2! 3!

n1 2 3 4 5 6

e1.21 2.2 2.92 3.208 3.2944 3.3151

Ea__ 1.2 0.72 0.288 0.0864 0.020736

a %___ 54.545 24.658 8.9776 2.6226 0.62550

diperlukan 6 suku.

Contoh 2 Turunan63

Cari utk dan (x ! 0.2'

f d) (3

f ( x) ! x 2

dgn

f ( x (x ) f ( x) f d) } (x (x

f (3 0.2) f (3) f (3) ! 0.2 3.2 2 32 f (3.2) f (3) ! ! 0.2 0.2

1.24 10.24 9 ! 6.2 ! ! 0.2 0.2

Nilai sebenarnya adalahf ' ( x ) ! 2 x,

f ' (3) ! 2 v 3 ! 6

Eror pemotongannya adalah, 6 6.2 ! 0.2 Berapa besar eror pemotongan bila (x ! 0.1

Contoh 3 Integrasi64

Gunakan segi empat dengan lebar yang sama untuk mendekati luas di bawah kurva berikut:

f ( x) ! x 2 pada selangy902

[3,9]9

y=x60

x dx 2 3x9 12

30

0 0 3 6

Integral (lanjut)65

Tetapkan lebar kotak 3, maka diperoleh:x 2 dx ! ( x 2 ) 3 9 x !3

(6 3) ( x 2 )

x !6

( 9 6)

! (3 2 )3 (6 2 )3 ! 27 108 ! 135

Nilai sebenarnya adalah: x 93 33 x dx ! 3 ! 3 ! 234 3 3 23

9

9

Eror pemotongannya adalah:

234 135 ! 99Berapa eror pemotongan kalau dunakan 4 kotak?