analisis cantilever beam dengan menggunakan metode solusi numerik (autosaved)

8/16/2019 Analisis Cantilever Beam Dengan Menggunakan Metode Solusi Numerik (Autosaved)

1/27

ANALISIS CANTILEVER BEAM DENGAN MENGGUNAKAN

METODE SOLUSI NUMERIK

TUGAS KULIAH

Disusun sebagai salah satu syarat untuk lulus kuliah MS 4011 Metode Elemen Hingga

Disusun oleh :

Vinsensius Saut Marojahan (13111111

!d"ento !bdiel (1311#1#0

Danny $angesti %tomo (1311#1#&

FAKULTAS TEKNIK MESIN DAN DIRGANTARA

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2015


2/27

1

!'S)!*

$ada kasus analisis suatu batang kantile"er (cantilever beam+ untuk menghitung

besarnya nilai de,leksi dan rotasi ( slope da-at menggunakan bebera-a metode diantaranya

metode teoritik+ metode elemen hingga dan metode simulasi numerik menggunakan bantuan

software. /antinya -ada la-oran ini hasil yang dia-at dari ketiga metode tersebut akan

dibandingkan dan dianalisis.


3/27

2

D!!) S

ABSTRAK 1

DAFTAR ISI 2

DAFTAR TABEL 3

DAFTAR GAMBAR 4

PENDAHULUAN 5

2atar 'elakang

ujuan

STUDI PUSTAKA 6

DATA 9ANALISA 10

Solusi Metode eoritik 10

Solusi Metode Elemen Hingga 13

Solusi Simulasi /umerik 1

DISKUSI 21

KESIMPULAN 23

PUSTAKA 24


4/27

3

D!!) !'E2

Tab! 1 Da"a Ba"a#$ Ka#"%!&' 9

Tab! 2 Tab! Design Points 15

Tab! 3 P'ba#(%#$a# D)!*+% (a# R,"a+% -a(a Ba$%a# U./#$ (a# T#$a Ba"a#$ 22

Tab! 4 P'ba#(%#$a# Ha+%! a#"a' M",( P#$'.aa# 23


5/27

4

D!!) 6!M'!)

Gaba' 1 P'+aaa# Ka+/+ Ba"a#$ Ka#"%!&'

Gaba' 2 Ba"a#$ Ka#"%!&' 9

Gaba' 3 Ra*+% T/-/a# 10

Gaba' 4 Gaa (a!a Ba"a#$ Ka#"%!&' 10

Gaba' 5 D%a$a'a Gaa G+' 11

Gaba' 6 D%a$'a M,# L#"/' 11

Gaba' Pa'"%+% Ba"a#$ Ka#"%!&' 13

Gaba' A"/'a# "a#(a -a(a Ba"a#$ Ka#"%!&' 15

Gaba' 9 Ta#(a /#"/* E!# 1 (a# E!# 2 -a(a Ba"a#$ Ka#"%!&' 16

Gaba' 10 D%a$'a Gaa L%#"a#$ 16

Gaba' 11 D%a$'a M,# L#"/' 1

Gaba' 12 B#"/* 3 D%#+% Ba"a#$ Ka#"%!&' -a(a ANSS 1

Gaba' 13 Ha+%! D),'a+% T,"a! 1

Gaba' 14 Ha+%! T$a#$a# E/%&a!#" 7V,#8M%++ 1

Gaba' 15 G'a)%* Ha+%! O-"%a+% 19

Gaba' 16 Ha+%! S%/!a+% ANSS /#"/* Ba"a#$ Ka#"%!&' 20


6/27

'!'

$E/D!H%2%!/

1:1 La"a' B!a*a#$

Metode numerik meru-akan salah satu solusi yang digunakan untuk mem-er7e-at

dan mem-ermudah -roses analisis data. Metode numerik jika dibandingkan dengan

metode teoritik memiliki kelebihan8kelebihan sebagai berikut :

1. Mam-u menyelesaikan masalah matematika dengan e,ekti,+ e,isien dan 7e-at

#. Mam-u menyelesaikan -ermasalahan matematika yang rumit+ non linear+

bahkan kasus yang tidak mam-u diselesaikan se7ara teoritik

3. $erkembangan 7om-uter semakin hebat sehingga banyak sekali software

numerik yang telah berkembang dan semakin user-friendly

/amun+ dengan menggunakan metode numeri7+ solusi yang kita da-atkan

biasanya hanya beru-a solusi -endekatan (approximation solution. Solusi yang

dida-atkan dari metode numerik ini memiliki -erbedaan dengan solusi teoritik+ -erbedaan

tersebut dikenal dengan galat (error . /amun+ solusi -endekatan ini da-at dibuat sedekat

mungkin dengan solusi teoritik.

1:2 T/./a#

a. Menentukan de,leksi dan rotasi -ada 7antile"er beam dengan menggunakan metode

teoritik+ metode elemen hingga dan simulasi numerik b. Menggambarkan diagram gaya lintang dan diagram momen lentur menggunakan metode

teoritik+ metode elemen hingga dan simulasi numerik

7. Membandingkan hasil -erhitungan yang dida-atkan dari ketiga metode tersebut


7/27

'!' #

S%D $%S!*!

Beam meru-akan elemen struktur yang -anjang dan ram-ing+ yang se7ara umum dibuat

untuk menahan beban trans"ersal yang bisa menimbulkan beban bending yang signi,ikan.

)am-ing artinya -erbandingan antara -anjang (2 dengan ketebalan (h sangat besar+ minimal 9

kali li-atnya. 'eban trans"ersal da-at beru-a beban yang terkonsentrasi mau-un beban yang

terdistribusi. 'eban trans"ersal yang terjadi tadi menyebabkan adanya gaya geser dan momen

lentur -ada gaya dalam beam.

Dalam menghitung gaya dalam yang terjadi -ada beam da-at menggunakan tiga jenis

metode+ yaitu metode teoritik+ metode elemen hingga dan metode numerik menggunakan

bantuan software (dalam -raktikum ini software yang digunakan adalah !/SS. /antinya hasil

dari ketiga metode tersebut akan memiliki -erbedaan nilai karena terda-at -erbedaan 7ara dalam

menyelesaikan masalahnya.

Hasil yang dijadikan -atokan benar adalah solusi yang dida-atkan dari metode teoritik+

dua metode yang lain yaitu metode elemen hingga dan metode numerik nantinya akan memiliki

galat. ;alau-un metode tersebut memiliki galat+ namun untuk kasus yang rumit metode teoritik

akan sangat sulit digunakan+ bahkan ada kemungkinan metode teoritik tidak mam-u

menyelesaikannya.

!. Metode eoritik 'erikut ini meru-akan langkah8langkah untuk menentukan de,leksi dan rotasi

-ada batang kantile"er menggunakan metode teoritik+ yaitu :

1. Menghitung reaksi tum-uana :


8/27

- 'atang kantile"er akan 7ekung ke atas jika ketika momen lentur bernilai

-ositi, dan akan melengkung ke ba>ah jika momen lentur bernilai negati, - 2ekukan maksimum terjadi ketika nilai momen maksimum- 2ekukan akan nol -ada titik dimana nilai momen bending besarnya nol.

3. Menghitung nilai de,leksi dan rotasi ( slope -ada batang kantile"er %ntuk kasus batang kantile"er dari !--endi? < : Slo-es and De,le7tion o,

'eams -ada buku Me7hani7s o, Material+ Hibbeler dida-atkan -ersamaan

6ambar 1 $ersamaan *asus 'atang *antile"er

'. Metode Elemen Hingga

$ada Metode Elemen Hingga sebelumnya dise-akati bah>a :

1. Momen bernilai -ositi, jika berla>anan arah jarum jam#. )otasi bernilai -ositi, jika berla>anan arah jarum jam

3. 6aya bernilai -ositi, jika searah dengan sumbu y -ositi,

4. $er-indahan bernilai -ositi, jika searah dengan sumbu y -ositi,

$rinsi- dasar analisis menggunakan Metode Elemen Hingga adalah membagi

sebuah kom-onen beam menjadi satu atau bebera-a elemen yang memiliki nilai

kekakuan tertentu.

Dalam analisis metode elemen hingga+ gaya dan -er-indahan -ada nodal dan

slope da-at dikembangkan dalam bentuk matriks kekakuan ( stiffness matrix. Dengan

nodal 1 diangga- diam ( fix+ gaya yang terjadi -ada elemen da-at dijabarkan dengan

-ersamaan berikut :

F =k . d


9/27

Dan jika dimasukkan ke dalam -ersamaan diatas dalam bentuk matriks

dida-atkan -ersamaan :

Setelah itu+ matriks kekakuan harus disu-er-osisi untuk semua elemen agar

menjadi matriks kekakuan global. Setelah menda-atkan -ersamaan gaya untuk

elemen global+ kemudian memasukkan kondisi batas beru-a gaya luar dan de,leksi

serta slope -ada support yang telah diketahui. *ondisi batas ini sama dengan kondisi

batas -ada metode teoritik.

al yang dilakukan adalah membuat sketsa dan bentuk 3

dimensi dari beam+ kemudian diberi gaya dan fix support . *emudian diubah8ubah

besarnya mesh untuk mem-eroleh hasil yang o-timal.


10/27

'!' 3

D!!

Sebuah beam kantile"er terbuat dari baja ( E = #00 6$a menda-atkan gaya -ada

ujungnya se-erti ditunjukkan -ada gambar 3. Dimensi dan beban diberikan oleh tabel 1.

6ambar # 'atang kantile"er

abel 1 Data batang kantile"er

$ (mm l (mm t (mm (/

1000 # # 10


11/27

Fy

My

F =150 N

Fy

My

F =150 N

Fy

V

My

M

'!' 4

!/!2S!4.1 Solusi se7ara teoritik

a )eaksi um-uan

6ambar 3 )eaksium-uan

y = 10 /

M = 2 = (10 / ? (1 m = 10 /m b 6aya dalam batang kantile"er

6ambar 4 6aya dalam batang kantile"er

!. 6aya 6eser $ada ? = 0+ V = @ = 10 /

$ada ? = 2+ V = @ = 10 /


12/27

L (m)

V (N)

150

1

M (Nm)

-150

L (m)

Maka untuk nilai 0 A ? A 2+ besar V = 10 /

'. Momen 2entur$ada ? = 0+ M = .2

$ada ? = 2+ M = 0

%ntuk nilai 0 A ? A 2 :M = ( ?82 = 10 ( ?81

7 6ambar diagram gaya lintang dan momen lentur

6ambar Diagram 6aya 6eser

6ambar & Diagram Momen 2entur

d De,leksi dan rotasi -ada ujung bebasi %jung bebas+ ? = 2- De,leksi

v=− F L3

3 EI


13/27

25 x 10−3

m¿¿

(25 x 10−3 m)(¿3¿¿ 12)3(200 x 109 Pa)¿

¿−(150 N )(1 m)3

¿

¿−7,69 x 10−3 m=−7,69 mm

- )otasi

∅=− F L2

2 EI

25 x 10−3

m

¿¿(25 x 10−3 m)(¿3¿¿ 12)

2(200 x 109 Pa)¿

¿−(150 N )(1m)2

¿

¿−0,0115 rad

ii 'agian tengah batang kantile"er+ ? = L

2

- De,leksi

v=− F x2

6 EI (3 L− x )

¿ −(150 N ) (0,5 m)2

6 ( 200 x 109 Pa )( (25 x 10−3

m ) (25 x 10−3 m )3

12 ) x (3 (1 m )−0,5 m)

¿−2,4 x 10−3 m=−2,4 mm

- )otasi

∅=dv

dx=− PxL

EI +

P x2

2 EI

%ntuk ? = 2B#+ maka nilai


14/27

∅=−3 P L

2

8 EI =

−3 (150 N ) (1m )2

8 (200GPa ) (3,25∗10−8m4 )=−8,65 x10

−3rad

¿−0,00865 rad


15/27

4.# Solusi menggunakan Metode Elemen Hingga

'eam akan dibagi menjadi # element (3 nodal :

6ambar $artisi batang kantile"er

Matrik kekakuan untuk setia- elemen 1 dan # adalah:

k = EI

L3 (

12 6 L

6 L 4 L2

−12 6 L−6 L 2 L2

−12 −6 L6 L 2 L

2

12 −6 L−6 L 4 L2

)

Dengan

x 10−3

25¿¿

I = 1

12b h

3= 1

12(25 x 10−3)¿

k (1)=

EI

L3 (

12 6 L

6 L 4 L2

−12 6 L−6 L 2 L2

−12 −6 L6 L 2 L

2

12 −6 L−6 L 4 L2

)k (1)=

(200. 109 Pa)(3,2552 x 10−8 m4)

(0,5 m)3 ( 12 6 L

6 L 4 L2

−12 6 L−6 L 2 L2

−12 −6 L6 L 2 L

2

12 −6 L−6 L 4 L2

) d1 y ф1 d2 y ф2


16/27

k (1)=(

625000 156250

156250 52080

−625000 156250−156250 26040

−625000 −156250156250 26040

625000 −156250−156250 52080

)

d2 y ф2 d3 y ф3

k (2)=

(

625000 156250

156250 52080

−625000 156250−156250 26040

−625000 −156250156250 26040

625000 −156250

−156250 52080

)Sehingga dida-at matriks kekakuan globalnya :

K =k (1)+k (2)

K =

( 625000 156250 −625000

156250 52080 −156250156250 0000 000 000 00

26040 0 0

−625000 −156250 1250000156250 26040 0 0 −625000 156250104160 −156250 26040000 0 000 0 0 0 0 −625000

0 0 156250

−156250 625000 −15625026040 −156250 52080 )

(

F 1 y M

1

F 2 y

M 2 F

3 y

M 2 )=( K )

(

d1 yф

1

d2 y

ф2d

3 y

ф3 )


17/27

625000 156250 −625000156250 52080 −156250

156250 0000 000 000 00

26040 0 0¿

−625000 −156250 1250000156250 26040 0

0 −625000 156250104160 −156250 26040

0000000

0 0−625000 0

¿0 156250 ¿ −156250 625000 −15625026040 −156250 52080 (

d1 y=0

ф1=0

d2 yф

2

d3 y

ф3 )

(

F 1 y M

1

F 2 y

M 2

F 3 y

M 3

)=¿

Dengan

F 2 y= M 2= M 3=0 dan F 3 y=150 N

Sehingga di-eroleh :

(d

2 y

ф2

d3 y

ф3

)=(−0,0024−0,0086−0,0077−0,0115

)Dida-at bah>a de,leksi dan slo-e -ada ujung batang bebas (? = 2+ d3 y=0,0077 m ke ba>ah

(sumbu y negati, dengan rotasi di ujung batang ф3=0,0115 rad arah jarum jam dan untuk

de,leksi dan slo-e -ada bagian tengah batang (? = L

2 dida-atkand

2 y = 0+00#4 m ke

ba>ah (sumbu y negati"e dengan rotasi di bagian tengah batang kantile"er + ф2 + sebesar

0+009& rad searah jarum jam


18/27

Da-at dihitung -ula gaya dan momen -ada nodal untuk tia- elemen

Elemen 1:

(f (1)

1 y

m(1 )

1

f (1)

2 y

m(1 )

2)=

( 625000 156250

156250 52080

−625000 156250

−156250 26040−625000 −156250

156250 26040

625000 −156250−156250 52080 )(

0

0−0,0024−0,0086)

=

( 150

150−150−75 )

Elemen # :

(

f (2)

2 y

m( 2)

2

f (2)

3 y

m(2)3

)=

(

625000 156250

156250 52080

−625000 156250−156250 26040

−625000 −156250

156250 26040

625000 −156250

−156250 52080

)(

−0,0024−0,0086−0,0077

−0,0115

)=

(

150

75

−150

0

)

Diagram gaya dalam dengan metode elemen hingga dengan aturan tanda -ositi,:

Aturan

6ambar 9 !turan anda -ada batang *antile"er

Elemen1 Elemen 2

6ambar 5 anda untuk Elemen 1 dan Elemen # -ada 'atang *antile"er

32


19/27

6ambar 10 Diagram 6aya 2intang

6ambar 11 Diagram Momen 2entur

4.3 Solusi dengan Simulasi /umerik menggunakan So,t>are !/SS

Dengan data yang diketahui+ maka dibuat model benda untuk simulasi -ada so,t>are

ansys+ dengan geometri sesuai dengan data (#mm ? #mm ? 1000mm dan material baja

dengan E = #006$a. *ondisi -embebanan 10/ -ada -ermukaan ujung ke arah ba>ah dan

tum-uan ,i?ed su--ort di -ermukaan ujung satunya.


20/27

6ambar 1# 'entuk 3 Dimensi 'atang *antile"er -ada !/SS

Menghasilkan kondisi karakteristik de,ormasi total sebagai berikut:

6ambar 13 Hasil De,ormasi otal

Cika dibandingkan dengan hasil -erhitungan teoretik sebesar +mm+ maka hasil simulasi

so,t>are da-at dikatakan sama+ >alau-un meshing yang digunakan belum o-timal. 'egitu -ula

dengan tegangan eui"alent (Von8Mises da-at dilihat -ada gambar di ba>ah.


21/27

6ambar 14 Hasil egangan Eui"alent (Von8Mises

$M!S

Metode o-timasi dilakukan dengan 7ara mem-erhalus atau mem-erke7il ukuran dari

meshing yang da-at sekaligus mem-erbanyak jumlah nodal dengan 7ara iterasi sam-ai

ditemukan gra,ik yang kon"ergen menuju satu nilai. 'erikut hasil o-timasi yang dilakukan

dengan mem-erke7il ukuran mesh sekaligus menambah jumlah nodal berbanding nilai de,leksi

yang dihasilkan.

6ambar 1 6ra,ik Hasil -timasi


22/27

Dida-atkan nilai de,leksi kon"ergen menuju satu titik+ menandakan hasil simulasi yang da-at

di-ertanggungja>abkan dan gra,ik yang didaatkan berbentuk asim-totik menuju garis y = +&

mm. 'erikut table dari hasil iterasi:

abel # abel Design Points

Da-at dilihat dari tabel di atas+ nilai de,leksi kon"ergen ke +& mm seiring dengan jumlah nodal

yang makin banyak. Dibandingkan dengan hasil analisis numerik yakni +mm dan analisis

teoretik +&5mm+ ketiga hasilnya da-at dikatakan sama atau miri-.

Dari hasil simulasi dida-at :

1. De,leksi ujung = +& mm

#. De,leksi tengah = #+355 mm


23/27

6ambar 1& Hasil Simulasi !/SS untuk batang kantile"er


24/27

'!'

DS*%S

Dari ketiga metode yang digunakan+ yaitu Metode eoritik+ Metode Elemen

Hingga dan Metode Simulasi /umerik menggunakan !/SS dida-atkan hasil yang

tidak terlalu jauh berbeda antar metode -engerjaan untuk de,leksi. %ntuk hasil slope nilai

yang dida-atkana antara metode teoritik dengan mentode elemen hingga juga tidak jauh

berbeda+ hanya saja untuk simulasi numerik kami tidak berhasil menemukan besar nilai

slope dikarenakan elemen yang kami -akai untuk simulasi !/SS berbentuk solid+

sehingga tidak da-at menentukan besar momen dan nilai slope. Seharusnya untuk

menda-atkan nilai momen dan rotasi -ada !/SS+ elemen yang digunakan haruslah

beam+ bukan elemen solid.

$erbedaan nilai yang dida-atkan dari ketiga metode tersebut dikarenakan 7ara8

7ara -engerjaan yang berbeda antar metode. $ada metode teoritik+ kita menganalisis

gaya -ada batang kantile"er se7ara kontinu tan-a membagi8bagi batang ke dalam elemen

ke7il.

Sedangkan untuk Metode Elemen Hingga dan Simulasi /umerik+ kita

menganalisi gaya yang bekerja -ada batang kantile"er dengan membagi8bagi batang

menjadi elemen8elemen yang lebih ke7il atau dengan kata lain melakukan analisis se7ara

diskrit (ter-isah+ terutama untuk Metode Elemen Hingga dimana batang kantil"er hanya

dibagi menjadi # elemen ke7il+ sehingga ada kemungkinan galat yang dihasilkan akan

lebih besar.

%ntuk Simulasi /umerik menggunakan so,t>are !/SS+ batang kantile"er

dibagi menjadi elemen8elemen ke7il yang lebih banyak dibandingkan Metode Elemen

Hingga. $ada Simulasi /umerik menggunakan !/SS juga terda-at -roses o-timasi+

-ada -roses ini dilakukan -engubahan ukuran mesh -ada batang kantile"er menjadi

ukuran8ukuran yang lebih ke7il+ su-aya nantinya hasil analisisnya akan lebih mendekati

hasil -erhitungan metode teoritik.


25/27

abel 3 $erbandingan De,leksi dan )otasi -ada 'agian %jung dan engah 'atang

Hasil $erhitungan nilai De,leksi dan )otasi -ada bagian tengah batang kantile"er

antara ketiga metode tersebut tidak terlalu berbeda jauh+ %ntuk hasil de,leksi yang kami

da-atkan dari simulasi !/SS setelah dibandingkan dengan metode teoritik+ nilai yang

dida-atkan tidak jauh berbeda+ sehingga kami da-at menyim-ulkan hasil dari simulasi

!/SS kelom-ok kami "alid.

%jung batang (? = 2 engah batang (? = 2B#

De,leksi (mm )otasi (rad De,leksi (mm )otasi (rad

Metode eoritik 8+&5 80+011 8#.4 80+009&

Metode Elemen Hingga 8+ 80+011 8#+4 80+009&

Simulasi /umerik 8+& 8 8#.355 8


26/27

'!' &

*ESM$%2!/

1. De,leksi dan )otasi ( slope -ada ujung bebas

abel 4 $erbandingan Hasil antar Metode $engerjaan

Metode De,leksi (mm lope (rad

eoritik 8+&5 80+011

Elemen Hingga 8+ 80+011

Simulasi /umerik (!/SS 8+& 8

#. Diagram 6aya 2intang dan Momen 2entur dari *etiga Metode terlam-ir -ada '!' 4

2a-oran $raktikum ini

3. Hasil $erhitungan antar Metode $engerjaan ada sedikit -erbedaan (galat+ namun nilainya

tidak terlam-au besar


27/27

D!!) $%S!*!

1. 2ogan+ Daryl. #00. A !irst "ourse in the !inite Element #ethod$ %th Edition. Madrid :

homson2. Hibbeler+ ).

analisis cantilever beam dengan menggunakan metode solusi numerik (autosaved)

Documents