BAB IPENDAHULUAN

A. Latar BelakangAdanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada saat ini mendorong

para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif. Metode kalkulasi dengan matriks dapat dilakukan dengan mudah menggunakan teknologi informasi. Sudah banyak persoalan di bidang teknik maupun sain yang dapat diselesaikan dengan menggunakan permodelan matematika. Sering kali permodelan matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution).

Ketika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik matematika dalam kalkulus, maka solusinya dapat di hasilkan dengan metode numerik. Metode numerik secara harafiah berarti suatu cara berhitung dengan menggunakan angka-angka, sedangkan secara istilah metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa.

Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan yang dihadapi tidak akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya yang bisa disebut sebagai solusi galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya.

Dalam fisika terdapat banyak persamaan-persamaan untuk menghasilkan suatu solusi dalam sebuah persamaan dalam bentuk analitik. Salah satunya adalah dalam rangkaian listrik arus. Untuk itu penulis akan memaparkan bagaimana solusi dari rangkaian listrik arus dalam penyelesaian metode numerik.

B.     Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut :1. Untuk mengetahui rangkaian listrik secara umum.2. Untuk mengetahui tentang MATLAB dan metode numerik secara umum.3. Untuk mengetahui bagaimana solusi rangkaian listrik dengan metode numerik..

1

BAB IISTUDY PUSTAKA

A. Rangkaian ListrikRangkaian listrik merupakan komponen listrik yang saling dihubungkan dengan cara-cara

tertentu dan paling sedikit mempunyai satu lintasan tertutup. Yang dimaksud dengan satu lintasan tertutup adalah satu lintasan saat dimulai dari titik yang dimaksud akan kembali lagi ketitik tersebut tanpa terputus dan tidak memandang seberapa jauh atau dekat lintasan yang ditempuh.

B. Arus Listrik (I)Arus merupakan perubahan kecepatan muatan terhadap waktu atau muatan yang mengalir

dalam satuan waktu dengan simbol I (dari kata Perancis : intensite). Secara matematis didefinisikan:

I=dqdt (1,1)

Dengan kata lain arus adalah muatan yang bergerak. Selama muatan tersebut bergerak maka akan muncul arus tetapi ketika muatan tersebut diam maka arus pun akan hilang. Muatan adalah satuan terkecil dari atom atau sub bagian dari atom. Dimana dalam teori atom modern menyatakan atom terdiri dari partikel inti (proton bermuatan + dan neutron bersifat netral) yang dikelilingi oleh muatan elektron (-), normalnya atom bermuatan netral. Arah arus searah dengan arah muatan positif (arah arus listrik) atau berlawanan dengan arah aliran elektron.

Coulomb adalah unit dasar dari International System of Units (SI) yang digunakan untuk mengukur muatan listrik. 1 muatan adalah 1 elektron, dimana 1 elektron adalah 1,6021 x 10−19 Coulomb.

Ada 2 jenis arus, yaitu :1. Arus searah (Direct Current/DC)

Arus DC adalah arus yang mempunyai nilai tetap atau konstan terhadap satuan waktu, artinya diaman pun kita meninjau arus tersebut pada wakttu berbeda akan mendapatkan nilai yang sama.

2. Arus bolak-balik (Alternating Current/AC)Arus AC adalah arus yang mempunyai nilai yang berubah terhadap satuan waktu dengan karakteristik akan selalu berulang untuk perioda waktu tertentu (mempunyai perioda waktu : T).

2

C. Tegangan (V)Tegangan adalah kerja yang dilakukan untuk menggerakkan satu muatan (sebesar satu coulomb) pada elemen atau komponen dari satu terminal/kutub ke terminal/kutub lainnya, atau pada kedua terminal/kutub akan mempunyai beda potensial jika digerakkan/dipindahkan muatan sebesar satu coulomb dari satu terminal ke terminal lainnya.Keterkaitan antara kerja yang dilakukan sebenarnya adalah energi yang dikeluarkan, sehingga pengertian diatas dapat dipersingkat bahwa tegangan adalah energi per satuan muatan. Secara matematis dapat ditulis :

V=dwdq (1,2)

D. Resistor (R)

Sering juga disebut dengan tahanan, hambatan, penghantar, atau resistansi dimana resistor mempunyai fungsi sebagai penghambat arus, pembagi arus, dan pembagi tegangan. Nilai resistor tergantung dari hambatan jenis bahan resistor itu sendiri (tergantung dari bahan pembuatnya), panjang dari resistor itu sendiri dan luas penampang dari resistor itu sendiri. Secara matematis dapat ditulis :

R=ρ IA (1.3)

dimana :ρ = hambatan jenisl  = panjang dari resistorA = luas penampang

Jika suatu resistor dilewati oleh sebuah arus maka pada kedua ujung dari resistor tersebut akan menimbulkan beda potensial atau tegangan. Secara matematis dapat ditulis :

V=IR

1. Hubungan seri resistor

3

  Gambar 3. Rangkaian Seri Resistor

KVL :

 Pembagi tegangan :

V 1=I R1

V 2=I R2

V 2=I R2

dimana :

I= VR1+R2+R3

sehingga :

 

4

2. Hubungan paralel resistor

 Gambar 4. Rangkaian Paralel Resistor

KCL :

 

Pembagi arus :

I 1=VR1

I 2=VR2

I 3=VR3

Dimana :V=I Rek

Sehingga :

5

E. MATLAB

Dengan bantuan komputer, langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi suatu program. Perkembangan teknologi yang antara lain mencakup bahasa pemrograman telah melalui beberapa tahap. Pada awalnya bersifat Low Level Language dengan diperkenalkannya bahasa assembly. Disusul perkembangan bahasa dengan tingkat Middle dan High Level Language seperti FORTRAN, C++, BASIC / Visual Basic, Pascal, COBOL dan lain-lain.

Sekarang ini MATLAB adalah salah satu bahasa pemrograman yang banyak digunakan. MATLAB mampu menangani perhitungan sederhana seperti penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. MATLAB juga mampu menyelesaikan perhitungan rumit, yang meliputi bilangan kompleks, akar dan pangkat, logaritma dan fungi trigonometri. Seperti kalkulator yang dapat diprogram, MATLAB dapat digunakan untuk menyimpan dan mengambil data.

F. Metoda NumerikAda enam tahapan yang harus dilakukan dalam menyelesaikan persoalan dengan metode

numerik, yaitu :1. Pemodelan, semua parameter dalam persoalan dimodelkan dalam bentuk persamaan

matematika. Penyederhanaan model, model matematika yang diperoleh pada tahap pertama bisa saja masih kompleks. Untuk memudahkan dan mempecepat kinerja komputer, model tersebut disederhanakan dengan membuang parameter yang dapat diabaikan.

2. Formulasi numerik, setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik.

3. Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.4. Pemrograman, algoritma yang telah disusun diterjemahkan dalam program komputer,

dengan terlebih dahulu membuat flowchart-nya kemudian dituliskan dalam bentuk program, misalnya MATLAB.

5. Operasional, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum menggunakan data sebenarnya.

6. Evaluasi, bila program sudah selesai dijalankan dengan menggunakan data sesungguhnya, hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil perhitungan dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empiris untuk menentukan kualitas solusi numerik.

Dalam menyelesaikan data numerik diperlukan beberapa metode dan dari metode-metode tersebut nantinya kita dapat menggunakan sarana komputer untuk membantu menyelesaikan perhitungannya. Di sini akan dikemukakan 4 metode saja yang akan dijelaskan, yaitu :

6

1. Metode Langsung

Metode langsung ini artinya penyelesaian persoalan matematika diselesaikan dengan cara menggunakan alat bantu yang sudah bisa menyelesaikan persoalan tersebut. Metode langsung ini akan menggunakan bahasa pemrograman MATLAB. Bahasa pemrograman matlab sudah memiliki berbagai fasilitas untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang ada dan sering muncul. Jadi perintah yang dipakai adalah dengan perintah yang sudah disediakan oleh matlab.

Algoritma Metode Langsung :a) Program dimulaib) Sebagai persiapan membersihkan layar command window dan menghapus isi variabel

sebelumnya yang tidak berfungsic) Menginput elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks Ad) Menginput elemen matriks berordo 3×1 ke dalam variabel matriks Ce) Menentukan variabel matriks B yang diisi dari hasil perhitungan matriks A dibagi

matriks B (perintah ini khusus bahasa program matlab)f) Menampilkan hasil elemen matriks Bg) Program selesai

Flowchart Metode Langsung :

7

2. Metode BiasaMetode biasa ini maksudnya adalah bahwa persoalan matematika diselesaikan

dengan metode matematika biasa, yang memiliki cara-cara yang sudah lazim digunakan.

Algoritma Metode Biasa :a) Program dimulaib) Sebagai persiapan membersihkan layar command window dan menghapus isi variabel

sebelumnya yang tidak berfungsic) Menginput elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks Zd) Menginput elemen matriks berordo 3×1 ke dalam variabel matriks Ce) Mengatur agar vcariabel angka hanya 5 digit atau dengan format eksponenf) Menentukan variabel matriks akhir yang diisi dari hasil perhitungan invers matriks Z

dikali matriks Cg) Menampilkan hasil elemen matriks IakhirProgram selesai

Flowchart Metode Biasa :3. Metode Gauss Seidel

Metode Gauss Seidel adalah suatu cara penyelesaian dengan menggunakan iterasi. Kemudian dengan mengubah elemen matriks diagonalnya nol. Untuk memulai perhitungan biasanya akan menggunakan tebakan awal.

8

Algoritma Metode Gauss Seidel :a) Program dimulaib) Sebagai persiapan membersihkan layar command window dan menghapus isi variabel

sebelumnya yang tidak berfungsic) Menentukan variabel epsilon dengan nilai0,0001 dan variabel x dengan nilai 0.d) Menginput elemen-elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks Ae) Menginput elemen matriks berordo 3×1 ke dalam variabel matriks C.f) Menentukan variabel I 2, ¿3 dan iter serta memberikan masing-masing nilai awal 0g) Menentukan implikasi dengan syarat x lebih besar atau sama dengan epsilonh) Jika Implikasi nomor 7 benar langkah berikutnya mengerjakan nomor 9i) Menghitung proses dengan rumusan iter=iter+1 ;

I 1=(C 1−A(1,2) . I 2−(1,3).¿3)/ A (1,1) I 2=(C2−A (2,1) . I 1−A (2,3).¿3)/ A (2,2) ;I 3=(C 3−A (3,1) . I1−(3,2). I 2)/ A(3,3) ; Iak h ir1=mutlak dari I1; Iak h ir2=mutlak dari I2;Iak h ir3=mutlak dari I3; x=mutlak dari I 3−¿3; dan ¿3=I3;

j) Menampilkan hasiliter; Iak h ir1; Iak h ir2; dan Iak h ir3

k) Jika implikasi salah program selesai dan jika implikasi benar mengulangi proses nomor i).

Flowchart Metode Gauss Seidel :

9

4. Algoritma Metode Cramer :a) Program dimulaib) Sebagai persiapan membersihkan layar command window dan menghapus isi variabel

sebelumnya yang tidak berfungsic) Menginput elemen-elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks Zd) Menginput elemen matriks berordo 3×1 ke dalam variabel matriks Ce) Mengatur agar variabel angka hanya 5 digit atau dengan format eksponenf) Menginput elemen-elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks A1 dengan

elemen samadengan elemen Z kecuali A1(1,1) = C1, elemen A1(2,1) = C2 dan elemen A1(3,1) = C3

g) Menginput elemen-elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks A2 dengan elemen sama dengan elemen Z kecuali A3(1,3) = C1, elemen A3(2,3) = C2 dan elemen A3(3,3) = C3

h) Menginput elemen-elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks A3 dengan elemen sama dengan elemen Z kecuali A3(1,1) = C1, elemen A1(2,1) = C2 dan elemen A1(3,1) = C3

i) Menentukan variabel matriks B1 dengan nilai determinan dari A1 dibagi determinan Zj) Menentukan variabel matriks B2 dengan nilai determinan dari A2 dibagi determinan Zk) Menentukan variabel matriks B3 dengan nilai determinan dari A3 dibagi determinan Zl) Memasukkan nilai nilai mutlak dari B1, B2 dan B3 masing-masing ke dalam varibel

Ba1, Ba2 dan Ba3m) Menampilkan hasil Ba1, Ba2 dan Ba3n) Program selesai

 Flowchart Metode Cramer :

10

11

BAB IIIPembahasan

A. Metode Analitik

Apabila diketahui suatu rangkaian listrik seperti Gambar 5, maka besar arus untuk masing-masing hambatan dapat dicari menggunakan metoda numerik.

 Gambar 5. Rangkaian Listrik untuk Tiga Resistor dan Dua Tegangan

Untuk memperoleh tiga buah persamaan tersebut, kita gunakan hukum tegangan Kirchoff pada tiap lup arus.

   Persamaannya adalah :

 Apabila kita susun kembali, maka :

 Dari tiga persamaan di atas dapat kita buat ke dalam bentuk operator matrik menjadi :

12

 Berdasarkan data soal yang ada, maka dapat kita inputkan nilai resistor dan tegangan

masing-masing, sehingga :

 Dari persamaan matrik ini, maka dapat diselesaikan persoalan tersebut dengan

menggunakan beberapa metoda numerik. Diantaranya :

 1.    Metode Eliminasi Gauss

Karena diagonal A baris pertama 0, maka ditukar letaknya dengan baris lain. Maka :

 matrik augmentasinya menjadi :

Langkah selanjutnya menjadikan matrik triangularisasi dengan cara menjadikan baris ketiga kolom kedua bernilai 0.

 

13

matrik triangularisasinya menjadi :

 maka arus masing-masing hambatan :

 2.    Metode Cramer

Matrik yang digunakan :

 determinan matrik A adalah :

 solusi numeriknya adalah :

B. Metode NumerikBerdasarkan metode analitik yang sudah diselesaikan, maka hasilnya dapat diuji ke dalam

program yang telah dirancang algoritma dan diagram alirnya. Program yang dibuat adalah :

14

1. Metoda Langsung (perintahnya sudah ada pada fasilitas program MATLAB)Setelah menginputkan matrik A dan matrik C, perintah selanjutnya yang diketikkan

hanya :B=A ¿

Maka elemen matrik B merupakan penyelesaian dari permasalahannya. Seperti pada contoh berikut ini :

Pada bagian hasil jelas terlihat nilai arus masing-masing resistor yang nilainya mendekati atau hampir sama dengan hasil pencarian pada bagian aplikasi tadi.

2. Metoda Biasa (perintahnya sudah ada pada fasilitas program MATLAB)Setelah menginputkan matrik Z dan matrik C, perintah selanjutnya yang diketikkan

hanya :format s hort g ;

i1ak h ir=|(i (1 ) )|;i2 ak h ir=|( i (2 ) )|;i3 ak hir=|(i (3 ) )|;

15

Maka elemen matrik B merupakan penyelesaian dari permasalahannya. Seperti pada contoh berikut ini :

Apabila program ini kita Run, kita harus menginput nilai persamaannya dalam bentuk matrik terlebih dahulu kemudian didapat hasilnya sebagai berikut.

16

Pada bagian hasil juga jelas terlihat nilai arus masing-masing resistor yang nilainya mendekati atau hampir sama dengan hasil pencarian pada bagian aplikasi tadi.

3. Metoda Gauss SiedelSetelah menginputkan matrik Z dan matrik C, maka hasil iterasi akhir merupakan

penyelesaian dari permasalahannya. Seperti pada contoh berikut ini :

17

Hasil program Gauss Siedel jika di Run adalah :

18

Pada iterasi bagian terakhir terlihat bahwa nilai arus masing-masing resistor mendekati atau hampir sama dengan hasil pencarian pada bagian aplikasi tadi dan sama dengan program lainnya.

4. Metoda CramerSetelah menginputkan matrik Z dan matrik C, maka hasil I1, I2, dan I3 merupakan

penyelesaian dari permasalahannya. Seperti pada contoh berikut ini :

Maka hasilnya adalah :

19

Pada bagian terakhir terlihat bahwa nilai arus masing-masing resistor mendekati atau hampir sama dengan hasil pencarian pada bagian aplikasi tadi dan sama dengan program lainnya.

20

BAB IVPENUTUP

KesimpulanBerdasarkan uraian materi yang telah dibahas pada makalah ini, maka dapat disimpulkan

bahwa permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan dapat diselesaikan secara numerik. Hal ini dikarenakan oleh suatu perhitungan dengan data numerik membutuhkan ketelitian dan akurasi yang cukup baik. Serta untuk menghindari kesulitan dalam analisa.

Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan dapat dipecahkan. Tetapi metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya.

Dalam memecahkan permasalahan rangkaian listrik ini diperlukan suatu persamaan yang dapat diubah ke dalam bentuk matrik. Apabila programnya dialankan maka akan memperoleh hasil yang cukup memuaskan dengan selisih kesalahan yang cukup kecil.

21

DAFTAR PUSTAKA

Cekmas Cekdin. 2005. Teori dan Contoh Soal Teknik Elektro. Andi ; Yogyakarta.

Duane Hanselman & Bruce Littlefield. 2000. MATLAB Bahasa Komputasi Teknis. Andi ; Yogyakarta.

Hamdhani, Mohamad. 2005. Rangkaian Listrik. STTTELKOM ; Bandung.

22