f(x)

x

y = f(x)

akar persamaan

y

x

• Metode Bairstow

• Metode Tertutup

• Metode Terbuka

• Bila persamaan tingkat banyak

Satu persatu dalam mencari akar Mencari akar relatif lama Metode Bairstow

Mencari akar sepasang-sepasanag/dua-dua

• Persamaan Polinomial :

𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑥𝑛−2+. . . +𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 = 0 ......1)

• Pada tahap pertama akan didapat 2-akar yang diperoleh atau berbentuk persamaan

kuadrat :

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑢𝑥 + 𝑣 ......2)

𝑥1,2 = −𝑢±√𝑢2−4.1.𝑣2

......3)

Pada awal iterasi pertama, diperlukan nilai 𝑢0 dan 𝑣0.

𝑢0 ≅𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2

𝑣0 ≅𝑎𝑛𝑎𝑛−2

......4)

Kwadratik dua akar yang pertama dan sisanya dapat ditulis menjadi.

(𝑥2 + 𝑢𝑥 + 𝑣) (𝑏𝑥𝑛−2 + 𝑏1𝑥𝑛−3+. . . +𝑏𝑛−3𝑥 + 𝑏𝑛−2) + 𝑅𝑚 = 0 ......5)

Yang mana 𝑅𝑚 adalah kemungkinan masih adanya kesalahan.

Nilai-nilai 𝑏′𝑠 pada persamaan 5) adalah sebagai berikut.

𝑏0 = 1

𝑏1 = 𝑎1 − 𝑢

𝑏2 = 𝑎2 − 𝑏1𝑢 − 𝑣

Hanya dapat mencari akar satu persatu

𝑎0 = 1 𝑎1 = −3 𝑎2 = −10 𝑎3 = 10 𝑎4 = 44

𝑎3 = 48 𝑢 = 1 dan 𝑣 = 1

𝑏3 = 𝑎3 − 𝑏2𝑢 − 𝑏1𝑣

𝑏4 = 𝑎4 − 𝑏3𝑢 − 𝑏2𝑣

..... = ............................

𝑏𝑛−1 = 𝑎𝑛−1 − 𝑏𝑛−2𝑢 − 𝑏𝑛−3𝑣

𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛−1𝑢 − 𝑏𝑛−2𝑣 ......6)

Persamaan sisanya :

(𝑥 + 𝑢)𝑏𝑛−1 + 𝑏𝑛 ......7)

Contoh = Terdapat persamaan polinomial :

𝑥5 − 3𝑥4 − 10𝑥3 + 10𝑥2 + 44𝑥 + 48 = 0 ......8)

Misal : nilai awal 𝑢 dan 𝑣 diambil masing-masing = 1, maka berdasarkan

persamaan 2) :

𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 + 1) ......9)

Apabila persamaan 8) dibagi dengan pesamaan 9) maka.

(𝑥2 + 𝑢𝑥 + 𝑣) 𝑥5 − 3𝑥4 − 10𝑥3 + 10𝑥2 + 44𝑥 + 48 = 0 𝑥3 − 4𝑥2 − 7𝑥 + 21

𝑥5 + 𝑥4 + 𝑥3 𝑏0 𝑏1 𝑏2 𝑏3

−4𝑥4 − 11𝑥3 + 10𝑥2

−4𝑥4 − 4𝑥3 − 4𝑥2

−7𝑥3 + 14𝑥2 + 44𝑥

−7𝑥3 − 7𝑥2 + 7𝑥

21𝑥2 + 51𝑥 + 48

21𝑥2 + 21𝑥 + 21

30𝑥 + 27

SISA

𝑥5 − 3𝑥4 − 10𝑥3 + 10𝑥2 + 44𝑥 + 48 = 0

Nila-nilai 𝑏0, 𝑏1, 𝑏2, ....., dapat dicari dengan menggunakan persamaan 6).

𝑏0 = 1

𝑏1 = 𝑎1 − 𝑢 = −3 − 1 = −4

𝑏2 = 𝑎2 − 𝑏1𝑢 − 𝑣 = −10 − 4.1 − 1 = −7

𝑏3 = 𝑎3 − 𝑏2𝑢 − 𝑏1𝑣 = 10 − (−7). 1 − (−4). 1 = 21

𝑏4 = 𝑎4 − 𝑏3𝑢 − 𝑏2𝑣 = 44 − 21.1 − (−7). 1 = 30 𝑏4 = 𝑏𝑛−1

𝑏5 = 𝑎5 − 𝑏4𝑢 − 𝑏3𝑣 = 48 − 30.1 − 21.1 = −3 𝑏5 = 𝑏𝑛

Maka sisanya = ( 𝑥 + 𝑢 )𝑏𝑛−1 + 𝑏𝑛

= ( 𝑥 + 1 )30 + (−3)

= 30𝑥 + 30 − 3

Sisanya = 30𝑥 + 27 SAMA DENGAN SISA PEMBAGIAN DIATAS

• Sisa : 30𝑥 + 27 adalah sisa pada iterasi pertama bila 𝑢 = 𝑣 = 1. Iterasi terus dilanjutkan

sampai nilai 𝑏𝑛−1 dan 𝑏𝑛 ≅ 0. Bila 𝑏𝑛−1 dan 𝑏𝑛 ≅ 0, maka sisa = 0

(lihat persamaan 7) ).

Pada kondisi seperti itu nilai-nilai 𝑢 dan 𝑣 pada iterasi yang terakhir

dapat dipakai untuk menghitung x1.2 ( persamaan 3) )

• Apabila nilai ∆𝑢 dan ∆𝑣 adalah perubahan nilai 𝑢 dan 𝑣 pada setiap iterasi, maka nilai 𝑏𝑛

dan 𝑏𝑛−1 ( yang juga fungsi dari 𝑢 dan 𝑣 ) dapat dinyatakan dalam Taylor Series. Pada

saat nilai-nilai 𝑏𝑛 dan 𝑏𝑛−1 = 0, maka nilai-nilai tersebut variabel 𝑢 dan 𝑣 dapat ditulis :

𝑏𝑛( 𝑢 + △ 𝑢, 𝑣 + △ 𝑣 ) = 0

𝑏𝑛−1( 𝑢 + △ 𝑢,𝑣 + △ 𝑣 ) = 0 ......10)

Nilai-nilai 𝑏𝑛 dan 𝑏𝑛−1 pada persamaan 10) akhirnya akan menuju ke nilai = 0, dan mirip

dengan deret Taylor : ( dipotong sampai derivatif pertama saja ) :

𝑏𝑛 + 𝜕𝑏𝑛𝜕𝑢

△ 𝑢 + 𝜕𝑏𝑛𝜕𝑣

△ 𝑣 = 0

𝑏𝑛−1 + 𝜕𝑏𝑛−1𝜕𝑢

△ 𝑢 + 𝜕𝑏𝑛−1𝜕𝑣

△ 𝑣 = 0 ......11)

Nilai 𝜕𝑏𝑛𝜕𝑢

, 𝜕𝑏𝑛−1𝜕𝑢

, 𝜕𝑏𝑛𝜕𝑣

, dan 𝜕𝑏𝑛−1𝜕𝑣

dapat dicari dengan partial derivative atas persamaan 6)

atau.

𝜕𝑏𝑛+1𝜕𝑢

= −𝑏𝑛 − 𝑢 𝜕𝑏𝑛𝜕𝑢

− 𝑣 𝜕𝑏𝑛−1𝜕𝑢

......12)

Dengan memakai persamaan 12).

Karena 𝑎0 = 𝑏0 = 1, maka 𝑢 𝜕𝑏0𝜕𝑢

= 0

𝜕𝑏1𝜕𝑢

= −𝑏0 − 𝑢 𝜕𝑏0𝜕𝑢

= 1 = −𝐶0

𝜕𝑏2𝜕𝑢

= −𝑏1 − 𝑢 𝜕𝑏1𝜕𝑢

− 𝑣 𝜕𝑏0𝜕𝑢

= −𝑏1 + 1 = −𝐶1

𝜕𝑏3𝜕𝑢

= −𝑏2 − 𝑢 𝜕𝑏2𝜕𝑢

− 𝑣 𝜕𝑏1𝜕𝑢

= −𝑏2 + 𝐶1𝑢 + 𝑣 = −𝐶2

𝜕𝑏4𝜕𝑢

= −𝑏3 − 𝑢 𝜕𝑏3𝜕𝑢

− 𝑣 𝜕𝑏2𝜕𝑢

= −𝑏3 + 𝐶2𝑢 + 𝐶1𝑣 = −𝐶3

... = ................................................................................

𝜕𝑏𝑛−1𝜕𝑢

= −𝑏𝑛−2 + 𝐶𝑛−3𝑢 + 𝐶𝑛−4𝑣 = −𝐶𝑛−2 ......13)

𝜕𝑏𝑛𝜕𝑢

= −𝑏𝑛−1 + 𝐶𝑛−2𝑢 + 𝐶𝑛−3𝑣 = −𝐶𝑛−1 ......14)

Sedangkan untuk derivatif parsial terhadap variabel v adalah

𝜕𝑏𝑛+2𝜕𝑣

= −𝑏𝑛 − 𝑢 𝜕𝑏𝑛−1𝜕𝑣

− 𝑣 𝜕𝑏𝑛𝜕𝑣

......15)

Dengan menggunakan persamaan 15) maka 𝜕𝑏0𝜕𝑣

= 0, 𝜕𝑏1𝜕𝑣

= 0

𝜕𝑏2𝜕𝑣

= −𝑏0 = −1 = −𝐶0

𝜕𝑏3𝜕𝑣

= −𝑏1 − 𝑢 𝜕𝑏2𝜕𝑣

− 𝑣 𝜕𝑏1𝜕𝑣

= −𝑏1 + 𝑢 = −𝐶1

𝜕𝑏4𝜕𝑣

= −𝑏2 − 𝑢 𝜕𝑏3𝜕𝑣

− 𝑣 𝜕𝑏2𝜕𝑣

= −𝑏2 + 𝐶1𝑢 + 𝑣 = −𝐶2

𝜕𝑏5𝜕𝑣

= −𝑏3 − 𝑢 𝜕𝑏4𝜕𝑣

− 𝑣 𝜕𝑏3𝜕𝑣

= −𝑏3 + 𝐶2𝑢 + 𝐶1𝑣 = −𝐶3

..... = ............................................................................

𝜕𝑏𝑛−1𝜕𝑣

= −𝑏𝑛−3 + 𝐶𝑛−4𝑢 + 𝐶𝑛−5𝑣 = −𝐶𝑛−3 ......16)

𝜕𝑏𝑛𝜕𝑣

= −𝑏𝑛−2 + 𝐶𝑛−3𝑢 + 𝐶𝑛−4𝑣 = −𝐶𝑛−2 ......17)

Dengan mengingat persamaan 13). 14). 16). Dan 17) sebetulnya dapat diperoleh hubungan.

𝐶𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝐶𝑛−1 𝑢 − 𝐶𝑛−2 𝑣 ......18)

Substitusi persamaan 13), 14), 16), dan 17) ke persamaan 11) selanjutnya akan diperoleh.

𝑏𝑛 + (−𝐶𝑛−1) △ 𝑢 + (−𝐶𝑛−2) △ 𝑣 = 0

𝑏𝑛−1 + (−𝐶𝑛−2) △ 𝑢 + (−𝐶𝑛−3) △ 𝑣 = 0 ......19)

Dari persamaan 19) akan diperoleh.

𝑏𝑛 = 𝐶𝑛−1 △ 𝑢 + 𝐶𝑛−2 △ 𝑣

𝑏𝑛−1 = 𝐶𝑛−2 △ 𝑢 + 𝐶𝑛−3 △ 𝑣 ......20)

Persamaan 20) dapat ditulis dalam bentuk matriks.

𝐶𝑛−1 𝐶𝑛−2 △ 𝑢 𝑏𝑛

𝐶𝑛−2 𝐶𝑛−3 △ 𝑣 𝑏𝑛−1 ......21) =

𝑎4 = 44 𝑎3 = 48 𝑢 = 1 dan 𝑣 = 1

𝑎0 = 1

𝑎2 = −10 𝑎3 = 10

𝑎1 = −3

Berdasarkan metode Cramer, penyelesaian persamaan 21) adalah :

△ 𝑢 = � 𝑏𝑛 𝐶𝑛−2𝑏𝑛−1 𝐶𝑛−3

�

�𝐶𝑛−1 𝐶𝑛−2𝐶𝑛−2 𝐶𝑛−3

� ; ......22)

△ 𝑣 = �𝐶𝑛−1 𝑏𝑛𝐶𝑛−2 𝑏𝑛−1

�

�𝐶𝑛−1 𝐶𝑛−2𝐶𝑛−2 𝐶𝑛−3

� ......23)

Kemudian , 𝑢2 = 𝑢1 + △ 𝑢 ; 𝑣2 = 𝑣1 + △ 𝑣

Iterasi diteruskan sampai ∆𝑢𝑖 ≅ ∆𝑢𝑖−1 dan ∆𝑣𝑖 ≅ ∆𝑣𝑖−1.

Nilai-nilai akar persamaan dapat dicari dengan persamaan 3).

Contoh : 𝑥5 − 3𝑥4 − 10𝑥3 + 10𝑥2 + 44𝑥 + 48 = 0

Karena indeks/pangkat polinomial n=4, maka sesuai dengan persamaan 22) dan persamaan

23) yang akan dicari adalah 𝑏0, 𝑏1, 𝑏2, ..., 𝑏4 dan 𝑐0, 𝑐1, ..., 𝑐3. Misal dipakai nilai awal

𝑢0 = −2,75 dan 𝑣0 = 2

△ 𝑢 = � 𝑏𝑛 𝐶𝑛−2𝑏𝑛−1 𝐶𝑛−3

�

�𝐶𝑛−1 𝐶𝑛−2𝐶𝑛−2 𝐶𝑛−3

� dan △ 𝑣 =

�𝐶𝑛−1 𝑏𝑛𝐶𝑛−2 𝑏𝑛−1

�

�𝐶𝑛−1 𝐶𝑛−2𝐶𝑛−2 𝐶𝑛−3

� 𝑢0 = −2,75 ; 𝑣0 = 2

Iterasi Bairstow :

Persamaan

Nilai-nilai 𝑏′𝑠 dan 𝑐′𝑠

Iterasi

1 2 3 4

masuk Iterasi ke-3

masuk Iterasi ke-4

Persamaan sisa

𝑏0 = 1 +1 +1 +1 +1

Persamaan 𝑏1 = 𝑎1 − 𝑢 -2,25 -1,96 -2 -2

(6) 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑏1𝑢 − 𝑣 +4,81 +5,14 +5 +5

𝑏3 = 𝑎3 − 𝑏2𝑢 − 𝑏1𝑣 -1,27 +0,36 +0,01 +0

𝑏4 = 𝑎4 − 𝑏3𝑢 − 𝑏2𝑣 -3,11 +1,32 +0,06 +0

𝐶0 = 1 +1 +1 +1 +1

Persamaan 𝐶1 = 𝑏1 − 𝑢 +0,5 +1,08 +1 +1

(18) 𝐶2 = 𝑏2 − 𝐶1𝑢 − 𝑣 +4,19 +6,53 +6,02 +6

𝐶3 = 𝑏3 − 𝐶2𝑢 − 𝐶1𝑣 +9,25 +18,15 +16,09 +16

∆𝑢1 = (−3,11)(0,5)− (4,19)(−1,27)(9,25)(0,57)− (4,19)(4,19)

= −0,29, ∆𝑣1 = (9,25)(−1,27)− (−3,11)(4,19)−12,931

= −0,10

𝑢1 = −2,75 − 0,29 = −3,04 dan 𝑣1 = 2 − 0,1 = +1,9 masuk Iterasi ke-2

∆𝑢2 = +0,04, ∆𝑣2 = +0,09, 𝑢2 = −3,04 + 0,04 = 3,0

𝑣2 = 1,90 + 0,09 = 1,99

∆𝑢3~0, ∆𝑣3 = +0,01 𝑢3 = 3 + 0 = 3,0

𝑣2 = 1,99 + 0,01 = 2

∆𝑢4 = 0, ∆𝑣4 = 0 𝑢4 = 3, 𝑣4 = 2

x1.2 = 1 2� (3 ± √9 − 8 x1 = −2 𝑏0𝑥2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2

x2 = −1 𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 0

METODE CRAMER

Metode Cramer merupakan salah satu metode yang dapat dipakai untuk

menyelesaikan persamaan aljabar simultan untuk sejumlah kecil persamaan karena adanya

keterbatasan menghitung determinannya. Sedangkan untuk menyelesaikan sejumlah besar

persamaan simultan, dapat dipakai metode : Gauss Jordan, Eliminasi Gauss, Gauss-Seidel,

Cholesky dan sebagainya.

Contoh Pemakaian :

𝑎11.𝜃𝐴 + 𝑎12.𝜃𝐵 + 𝑎13.𝜃𝐶 = 𝛽1

𝑎21.𝜃𝐴 + 𝑎22.𝜃𝐵 + 𝑎23.𝜃𝐶 = 𝛽2 persamaan aljabar linier simultan

𝑎31.𝜃𝐴 + 𝑎32.𝜃𝐵 + 𝑎33.𝜃𝐶 = 𝛽3

Dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut :

�𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

� �𝜃𝐴𝜃𝐵𝜃𝐶� = �

𝛽1𝛽2𝛽3� catatan : 𝑎𝑖𝑗 = nilai 𝑎 baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗.

Determinan koefisien 𝑎 :

𝐷 = �𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

� dihitung dengan cara 𝐷 = �𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33

a11 a12a21 a22a31 a32

�

Ditambahkan 2 kolom pertama

𝐷 = (𝑎11.𝑎22.𝑎33 + 𝑎12.𝑎23.𝑎31 + 𝑎13.𝑎21.𝑎32) perhatikan tanda dan arah arsir

−(𝑎13.𝑎22.𝑎31 + 𝑎11.𝑎23.𝑎32 + 𝑎12.𝑎21.𝑎33) di atas !!!

𝐷1 = �𝛽1 𝑎12 𝑎13𝛽2 𝑎22 𝑎23𝛽3 𝑎32 𝑎33

� ; 𝐷2 = �𝑎11 𝛽1 𝑎13𝑎21 𝛽2 𝑎23𝑎31 𝛽3 𝑎33

�; 𝐷3 = �𝑎11 𝑎12 𝛽1𝑎21 𝑎22 𝛽2𝑎31 𝑎32 𝛽3

�

Catatan : prinsip menghitung D1, D2, dan D3 sama dengan D.

Hasil : 𝜃𝐴 = 𝐷1𝐷

; 𝜃𝐵 = 𝐷2𝐷

; 𝜃𝐶 = 𝐷3𝐷

PENYELESAIAN PERSAMAAN SIMULTAN

• Persamaan Simultan

𝑎11. 𝑥1 + 𝑎12. 𝑥2 + 𝑎13. 𝑥3 = 𝑏1

𝑎21. 𝑥1 + 𝑎22. 𝑥2 + 𝑎23. 𝑥3 = 𝑏2 �𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

� �𝑥1𝑥2𝑥3� = �

𝑏1𝑏2𝑏3� ......1)

𝑎31. 𝑥1 + 𝑎32. 𝑥2 + 𝑎33. 𝑥3 = 𝑏3

Dalam bentuk yang lebih kompak :

𝐴𝑥 = 𝑏 ......2)

• Apabila nilai 𝑥𝑖 telah diperoleh maka harus memenuhi syarat :

𝑓𝑗(𝑥𝑖) − 𝑏𝑗 = 0 𝑗 = 1,2, ... , n = baris

𝑖 = 1,2, ... , m = kolom ......3)

• Metode untuk menyelesaikan 1. Metode Grafis 5. Metode Gauss-Siedel 2. Metode Cramer 6. Metode Inversi Matriks 3. Metode Gauss 7. Metode Cholesky 4. Metode Gauss Jordan

• Metode Grafis

Persamaan : 𝑎11. 𝑥1 + 𝑎12. 𝑥2 = 𝑏1 𝑥1 = −𝑎12𝑥2+𝑏1𝑎11

......4a)

𝑎21. 𝑥1 + 𝑎22. 𝑥2 = 𝑏2 𝑥1 = −𝑎22𝑥2+𝑏2𝑎21

......4b)

𝑥1 =𝑏1𝑎22 − 𝑏2𝑎12𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21

, 𝑥2 =𝑏2𝑎11 − 𝑏1𝑎21𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21

• Apabila diambil definisi

𝐷 = �𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22� = (𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21)

𝐷1 = �𝑏1 𝑎12𝑏2 𝑎22

� = (𝑏1𝑎22 − 𝑎12𝑏2)

𝐷2 = �𝑎11 𝑏1𝑎21 𝑏2

� = (𝑏2𝑎11 − 𝑏1𝑎21)

• Contoh :

2𝑥1 − 𝑥2 = 0,25, 𝑥1 + 𝑥2 = 4,25 𝐷1 = �0,25 −14,25 1 � = 0,25 + 4,25 = 4,5

𝐷 = �2 −11 1 � = 2 + 1 = 3 𝐷2 = �2 0,25

1 4,25� = 8,5 − 0,25 = 8,25

𝑋1 = 𝐷1𝐷

= 1,50 , 𝑋2 = 𝐷2𝐷

= 2,75

• Metode Gauss Eliminasi

• Kelemahan metode Cramer adalah tidak praktisnya menghitung nilai

determinan, trutama bila ukuran matriks 3x3.

• Metode Gauss adalah alternatif yang lain.

• Nilai 𝑥1 akan diperoleh apabila nilai 𝑥1 pada persamaan 4a) sama dengan nilai 𝑥1

pada persamaan 4b).

Contoh :

2𝑥1 − 𝑥2 = 1,285 𝑥1 = 1,285+𝑥22

𝑥1 + 2𝑥2 = 6,080 𝑥1 = 6,08 − 2𝑥2

𝑋1 = 𝐷1𝐷

𝑋2 = 𝐷2𝐷

Disebut persamaan Cramer

=

.....................

.....................

.....................

No Nilai 𝑥2

1 2 3 2,5 2,26 2,173

1 𝑥1 = 1,285+𝑥22

1,1425 1,6425 2,1425 1,8925 1,7675 1,730

2 𝑥1 = 6,08 − 2𝑥2 4,08 2,08 0,08 1,08 1,58 1,730

𝑥2= 2,175 , 𝑥1= 1,730

• Metode Cramer (Gabriel Cramer 1704-1752)

• Persamaan Simultan :

𝑎11. 𝑥1 + 𝑎12. 𝑥2 = 𝑏1

𝑎21. 𝑥1 + 𝑎22. 𝑥2 = 𝑏2

• Metode Gauss :

Elemen-elem matriks dieliminasi sedemikian sehingga menjadi upper triangular ataupun lower triangular.

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑥1 𝑏1

𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑥2 𝑏2

𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑥3 𝑏3

𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑥4 𝑏4

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 _ _ _ _ _

𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24 0 _ _ _ _

𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34 0 0 _ _ _

𝑎11𝑎22. 𝑥1 + 𝑎12𝑎22. 𝑥2 = 𝑏1𝑎22

−𝑎12𝑎21. 𝑥1 + 𝑎12𝑎22. 𝑥2 = −𝑏2𝑎12 +

(𝑎11𝑎22−𝑎12𝑎21) 𝑥1 = 𝑏1𝑎22 −𝑏2𝑎12

𝑎11𝑎21. 𝑥1 + 𝑎12𝑎22. 𝑥2 = −𝑏1𝑎21

−𝑎11𝑎22. 𝑥1 + 𝑎11𝑎22. 𝑥2 = 𝑏2𝑎11 +

(𝑎11𝑎22−𝑎12𝑎21) 𝑥2 = 𝑏2𝑎11 −𝑏1𝑎21

𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44 0 0 0 _ _

Proses eliminasi Lower triangular

Upper triangular _ 0 0 0 _

_ _ 0 0 _

_ _ _ 0 _

_ _ _ _ _

• Lower triangular = back substitution • Upper triangular = forward substitution

Contoh :

• Matriks Awal

�3 1 −11 4 12 1 2

� �𝑥1𝑥2𝑥3� = �

21210�

1. Eliminasi ke-1 2. Eliminasi ke-2 3. Eliminasi ke-3

\

Maka : X3 = 3 dan setelah substitusi kebelakang.

Diperoleh X2 = 2

X1 = 1.

• Metode Gauss Jordan

Metode ini dilakukan dengan membuat lower triangular dan upper triangular sekaligus.

Dapat dilakukan dengan meneruskan Metode Gauss.

Dari Metode Gauss diatas.

4. Eliminasi ke-4 5. Eliminasi ke-5

3 1 -1 2

1 4 1 12

2 1 2 10

3 1 -1 2

0 11 4 34

2 1 2 10

3 1 -1 2

0 11 4 34

0 1 8 26

3 1 -1 2

0 11 4 34

0 0 84 252

y

x

1 2

3

4

5

y

x

6 . Eliminasi ke-6

CURVE FITTING

Di dalam eksperimen-eksperimen, terutama eksperimental dalam bidang teknik sering

diperoleh data yang berpasangan (x,y) yang tersebar menurut tingkat penyebaran/korelasi

tertentu. Umumnya data tersebut akan diketahui hubungan satu dengan yang lain atau dibuat

suatu kurva yang mewakili data yang diperoleh tersebut.

Secara umum ada dua macam representasi kurva yang dimaksud yaitu.

a) Kurva yang dibuat melalui setiap titik data. Namun cara ini kadang-kadang kurang memberikan hasil yang baik.

b) Kurva yang dibuat secara halus/kontibue atau yang mempunyai sifat yang lebih umum terhadap semua titik data dan tidak selalu melewati setiap data yang dimaksud. Kurva yang dibuat tersebut sedemikian sehingga diharapkan dapat mewakili semua data yang ada.

Umumnya cara yang kedua lebih memberikan hasil yang baik dibandingkan dengan cara yang pertama, asalkan memenuhi syarat matematis. Dalam menetapkan kurva yang diinginkan memang diperlukan pengetahuan yang khusus tentang sifat-sifat kurva tersebut apakah cocok dengan kecenderungan data yang diperoleh. Ada dua metode yang dapat dipakai untuk membuat kurva yang diinginkan :

3 1 -1 2

0 11 4 34

0 0 84 252

33 0 -15 -12

0 11 4 34

0 0 84 252

184,8 0 0 184,8

0 11 4 34

0 0 84 252

184,8 0 0 184,8

0 231 4 462

0 0 84 252

X1 = 1

X2 = 2

X3 = 3.

y

x

e1

e2 e3

e4

e5 e6

e7

y = g (x)

1. Metode kwadrat kesalahan yang minimum (least square method). 2. Range-kitta method.

LEAST SQUARE METHOD

Salah satu syarat dari “fitting” yang akan dilakukan ialah bahwa jumlah data minimum 3 buah. Sedangkan kurva yang akan dibuat dapat berupa garis lurus, lengkung parabola yang lebih tionggi, fungsi eksponensial, fungsi geometri dan sebagainya.

Untuk membahas metode ini diambil gambar sebagai berikut :

𝜀 = 𝑘𝑒𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑑𝑎𝑡𝑎

Diambil kurva rencana yang diharapkan mewakili dari (X1, Y1), (X2, Y2), (X3, Y3) .... dan seterusnya, dalam bentuk persamaan.

𝑦 = 𝑔(𝑥) ......1)

Dalam hal ini 𝑔(𝑥) dapat diambil fungsi polinomial, maka.

𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 ......2)

Pada data yang ke 𝑥𝑖, maka nilai ordinat dari kurva yang direncanakan tersebut adalah.

𝑦𝑖𝑟 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎2𝑥𝑖2 + 𝑎3𝑥𝑖3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛 ......3)

Karena kurva rencana belum tentu melewati setiap tittk titik data, maka pada data (X1, Y1) akan didapat residu/pergeseran sukses 𝜀𝑖 yang besarnya.

𝜀𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖𝑟

𝜀𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖) − 𝑦𝑖𝑟(𝑥𝑖) ......4)

Didalam konsep “least square”, kwadrat dari residu-residu (𝜀) tersebut harus sekecil mungkin (minimum atau bahkan nol), maka.

∑ 𝜀𝑖2𝑚𝑖=1 = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 ......5)

∑ 𝜀𝑖2𝑚𝑖=1 = ∑ [𝑓(𝑥𝑖) − (𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎2𝑥𝑖2 + 𝑎3𝑥𝑖3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)]2𝑚

𝑖=1

m = jumlah data

n = pangkat polinomial kurva rencana.

Jumlah kwadrat residu akan minimm apabila.

𝜕𝜕𝑎𝑗

∑ (𝜀2)𝑚𝑖=1 = 0 ......6)

Misalkan akan dibuat dengan kurva lurus n=1 (𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖) maka.

�(𝜀2)𝑚

𝑖=1

= �(𝑦𝑖 − 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖)2𝑚

𝑖=1

�(𝜀2)𝑚

𝑖=1

= �(𝑦𝑖2 − 2𝑎0𝑦𝑖 − 2𝑎1𝑥𝑖𝑦𝑖 + 𝑎02 + 2𝑎0𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎12𝑥12)𝑚

𝑖=1

Dengan menggunakan persamaan 6), maka.

�𝜕𝜕𝑎𝑗

𝑚

𝑖=1

= ��−2𝑦𝑖 + 2𝑎0 + 2𝑎1𝑥𝑖� = −2�(𝑦𝑖 − 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖)𝑚

𝑖=1

𝑚

𝑖=1

�𝜕𝜀𝜕𝑎1

𝑚

𝑖=1

= ��−2𝑥𝑖𝑦𝑖 + 2𝑎0𝑥𝑖 + 2𝑎1𝑥𝑖2� = −2�(𝑦𝑖 − 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖)𝑥𝑖

𝑚

𝑖=1

𝑚

𝑖=1

∑ 𝜕𝜀𝜕𝑎𝑛

𝑚𝑖=1 = ∑ �−2{𝑦𝑖 − 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎2𝑥𝑖2 + 𝑎3𝑥𝑖3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛}𝑥𝑖𝑛�𝑚

𝑖=1 ......7)

Maka bila dihubungkan persamaan 7) dan persamaan 6) diperoleh :

𝑗 = 0, 2�[(𝑓(𝑥𝑖) − (𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎2𝑥𝑖2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)]𝑥𝑖0 = 0

𝑚

𝑖=1

𝑗 = 1, 2�[(𝑓(𝑥𝑖) − (𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎2𝑥𝑖2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)]𝑥𝑖1 = 0

𝑚

𝑖=1

𝑗 = 𝑛, 2∑ [(𝑓(𝑥𝑖) − (𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎2𝑥𝑖2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)]𝑥𝑖𝑛 = 0𝑚

𝑖=1 ......8)

Sesudah faktor 2 dihalangkan, maka persamaan 8) dapat ditulis :

𝑚 𝑎0 + 𝑎1 ∑𝑥𝑖 + 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑎3 ∑ 𝑥𝑖3 + ⋯+ 𝑎𝑛 ∑ 𝑥𝑖𝑛 = ∑𝑓(𝑥𝑖)

𝑎0 ∑𝑥𝑖 + 𝑎1 ∑𝑥𝑖2 + 𝑎2 ∑𝑥𝑖3 + 𝑎3 ∑ 𝑥𝑖4 + ⋯+ 𝑎𝑛 ∑𝑥𝑖𝑛 = ∑𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖)

=

f(xi)

xi1 2 3 4 5 6 7 8 9

y = 0,

2142

+ 2,06

54x

- 0,22

02 x2

𝑎0 ∑𝑥𝑖2 + 𝑎1 ∑𝑥𝑖3 + 𝑎2 ∑𝑥𝑖4 + 𝑎3 ∑𝑥𝑖5 + ⋯+ 𝑎𝑛 ∑𝑥𝑖𝑛 = ∑𝑥𝑖2𝑓(𝑥𝑖)

𝑎0 ∑𝑥𝑖𝑛 + 𝑎1 ∑𝑥𝑖𝑛+1 + 𝑎2 ∑𝑥𝑖𝑛+2 + 𝑎3 ∑𝑥𝑖𝑛+3 + ⋯+ 𝑎𝑛 ∑ 𝑥𝑖2𝑛 = ∑𝑥𝑖𝑛𝑓(𝑥𝑖) ......9)

𝑚 ∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖2 ∑𝑥𝑖3 .... ∑𝑥𝑖𝑛 𝑎1 ∑𝑓(𝑥𝑖)

∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖2 ∑𝑥𝑖3 ∑𝑥𝑖4 .... ∑𝑥𝑖𝑛+1 𝑎2 ∑𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖)

∑𝑥𝑖2 ∑𝑥𝑖3 ∑𝑥𝑖4 ∑𝑥𝑖5 .... ∑𝑥𝑖𝑛+2 𝑎3 = ∑𝑥𝑖2𝑓(𝑥𝑖)

∑𝑥𝑖3 ∑𝑥𝑖4 ∑𝑥𝑖5 ∑𝑥𝑖6 .... ∑𝑥𝑖𝑛+3 𝑎4 ∑𝑥𝑖3𝑓(𝑥𝑖)

∑𝑥𝑖𝑛 ∑𝑥𝑖𝑛+1 ∑𝑥𝑖𝑛+2 ∑𝑥𝑖𝑛+3 .... ∑𝑥𝑖2𝑛 𝑎5 ∑𝑥𝑖𝑛𝑓(𝑥𝑖) ......10)

𝑖 = 1, 2, 3, …𝑛 adalah pangkat polinomial

𝑗 = 1, 2, 3, …𝑚 adalah jumlah data

Persamaan 10) adalah 1 (satu) set persamaan simultan non-homogen, non-linier dan nilai-nilai 𝑎0,𝑎1,𝑎2, 𝑎3, … ,𝑎𝑛 (yang merupakan koefisien polinomial yang dicari), dapat dicari dengan metode Gauss, Gauss-Jordan, Cholusky dan lain-lain. Dengan diperolehnya nilai-nilai 𝑎0,𝑎1,𝑎2,𝑎3, … ,𝑎𝑛 tersebut, maka kurva yang direncanakan dapat digambarkan (telah diperoleh).

CONTOH :

Dari sebuah penelitian menghasilkan data 𝑥𝑖 dan 𝑓(𝑥𝑖) sebagai berikut :

Hasil tersebut akan diplot sebagai fungsi polinomial pangkat dua.

Jumlah data m = 7

Xi

1

2

3

4

5

6

7

F(xi)

2

3,5

4,5

5

5

4,5

4

Pangkat polinomial n = 2

m = 7

∑𝑥𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

∑𝑥𝑖2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140

∑𝑥𝑖3 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 = 784

∑𝑥𝑖4 = 1 + 16 + 81 + 256 + 625 + 1296 + 2401 = 4676

∑𝑓(𝑥𝑖) = 2 + 3,5 + 4,5 + 5 + 5 + 4,5 + 4 = 28,5

∑𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖) = 1 . 2 + 2 . 3,5 + 3 . 4,5 + 4 . 5 + 5 . 5 + 6 . 4,5 + 7 . 4 = 122,5

∑𝑥𝑖2𝑓(𝑥𝑖) = 1 . 2 + 4 . 3,5 + 9 . 4,5 + 16 . 5 + 25 . 5 + 36 . 4,5 + 49 . 4 = 619,5

Dengan memakai persamaan 10) dapat diperoleh persasmaan umum :

�7 28 140

28 140 784140 784 4676

� �𝑎0𝑎1𝑎2� = �

28,5122,5619,5

�

Dalam persamaan Gauss, persamaan diatas dapat ditulis :

�7 28 140

28 140 784140 784 4676

28,5

122,5619,5

�

Dengan metode Eliminasi Gauss akan diperoleh :

𝑎0 = 0,2142𝑎1 = 2,0654𝑎2 = −0,2202

Maka persamaan polinomial yang dicari :

𝑦 = 𝑎0𝑥0 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2

𝑦 = 0,2142 + 2,0654𝑥 − 0,2202𝑥2

Planet Par

T = 0,199769 x^1,5 ==> y = f(x)

T

x

y y

x

y = a1.x + a2.x^2

y = k1.x.e^-k2.x

y = a1- bx

y = k1 . e^-k2 . x

x

CURVE FITTING

• CURVE FITTING : Regresi Contoh aplikasi curve fitting yang dilakukan oleh Johanes Kepler (1601) ahli astronomi bangsa Jerman.

Mercury Venus Bumi Mars Keterangan

X 58 108 150 228 Dalam jutaan km T (hari) 88 225 365 687 Dalam hari

y

x

y = f(x)

Yxi ~ Yi

• Metode-metode dan prinsip-prinsip yang dipakai • Pada percobaan-percobaan / penelitian-penelitian / pengamatan-pengamatan /

pengukuran-pengukuran dalam problem keteknikan sering diperoleh pasangan data (X1, Y1), (X2, Y2), ..., ...., (Xn, Yn).

• Tujuan utama curve fitting adalah menetapkan suatu fungsi y = f(x) yang dapat mewakili secara baik (fit) data tersebut.

• James dkk (1977) mengatakan bahwa walaupun terdapat beberapa metode yang dapat dipakai namun Metode least Square adalah metode yang umum dipakai (sederhana dan general).

• Beberapa pengertian tentang Error (Mathews, 1997).

• Terdapat error pada proses

fitting 𝑒 = 𝑓(𝑥) − 𝑦𝑥

• maximum error 𝑒𝑚 = 𝑚𝑎𝑥[𝑓(𝑥𝑖) − 𝑦𝑥𝑖]

Pembahasan pada 𝑥𝑖 pada maximum error Error rata-rata : 𝜀𝑟 = 1

𝑚∑ [𝑓(𝑥𝑖) − 𝑦𝑥𝑖] 𝑚𝑖=1

Root mean square error : 𝜀𝑟𝑚𝑠 = � 1𝑚∑ [𝑓(𝑥𝑖) − 𝑦𝑥𝑖] 𝑚𝑖=1 �

1/2

• Metode “kwadrat kesalahan” Minimum (least square).

• Metode ini mengadopsi pada prinsip Root Mean Square (RMS) karrena disamping prinsip tersebut telah dipakai dalam bidang statistik juga demi kemudahan dalam hitungan.

• Jumlah kwadrat kesalahan harus minimum.

𝑥𝑖

y

x

kemungkinan ploting

xi , f(xi)

best fit

�1𝑚

�|𝑓(𝑥𝑖) − 𝑦𝑥𝑖|2𝑚

𝑖=1

�

12�

= 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚

�1𝑚

�|𝑓(𝑥𝑖) − 𝑦𝑥𝑖|2𝑚

𝑖=1

� = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚

𝑚𝑎𝑘𝑎 �|𝑓(𝑥𝑖) − 𝑦𝑥𝑖|2𝑚

𝑖=1

= 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚

Misal diambil : 𝑓(𝑥𝑖) fungsi poliniomial.

𝑓(𝑥𝑖) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎2𝑥𝑖2 + 𝑎3𝑥𝑖3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛 Maka error 𝜀; (𝑎𝑗 , 𝑥𝑖) untuk data ke 𝑖 :

𝜀; �𝑎𝑗 , 𝑥𝑖��{𝑦𝑖 − (𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎2𝑥𝑖2 + 𝑎3𝑥𝑖3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)}2𝑚

𝑖=1

= 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚

• Ada beberapa kemungkinan fitting sebagai suatu akibat dari bedanya nilai 𝑎𝑗 𝑗 = 0, 1, 2, 3 …𝑛

• Akan dicari 𝑎𝑗 yang best fit

Dipandang titik 𝑥𝑖 ==> 𝑥𝑖 bukan variabel

• Jumlah kwadrat kesalahan akan minimum apabila :

𝜕𝜕𝑎𝑗 �𝜀𝑖2

𝑚

𝑖=1

= 0

𝑗 = 1, 2, 3, …𝑛 adalah pangkat polinomial

𝑖 = 1, 2, 3, …𝑚 adalah jumlah data

• Diambil 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 , 𝑗 = 1 𝑚𝑎𝑘𝑎.

𝑦𝑥𝑖 = 𝑦𝑖

𝑥𝑖

�𝜀𝑖2𝑚

𝑖=1

= �(𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖)2𝑚

𝑖=1

= �(𝑦𝑖2 − 2𝑎0𝑦𝑖 − 2𝑎1𝑥𝑖𝑦𝑖 + 𝑎02 + 2𝑎0𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎12𝑥𝑖2)𝑚

𝑖=1

Nilai derivatif parsial :

𝑗 = 0 => 𝜕𝜕𝑎0

�𝜀𝑖2�−2𝑦𝑖 + 2𝑎0 + 2𝑎1𝑥𝑖� = 𝑚

𝑖=1

− 2 ��𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖� = 𝑥00 𝑚

𝑖=1

𝑗 = 1 => 𝜕𝜕𝑎0

�𝜀𝑖2�−2𝑥𝑖𝑦𝑖 + 2𝑎0𝑥𝑖 + 2𝑎1𝑥𝑖2� = 𝑚

𝑖=1

− 2 ��𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖� = 𝑥11 𝑚

𝑖=1

Apabila pangkat polinomial 𝑗 = 𝑛 maka.

𝑗 = 𝑛 => 𝜕𝜕𝑎0

�𝜀𝑖2 = 𝑚

𝑖=1

− 2 ��𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖2−𝑎3𝑥𝑖3 − ⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛�𝑥𝑖𝑛 𝑚

𝑖=1

Padahal 𝜕𝜕𝑎0

∑ 𝜀𝑖2 = 0𝑚𝑖=1 , maka

𝑗 = 0 => 2 ��𝑦𝑖 − (𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖2−𝑎3𝑥𝑖3 − ⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)�𝑥𝑖0 = 0𝑚

𝑖=1

𝑗 = 1 => 2 ��𝑦𝑖 − (𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖2−𝑎3𝑥𝑖3 − ⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)�𝑥𝑖1 = 0𝑚

𝑖=1

𝑗 = 2 => 2 ��𝑦𝑖 − (𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖2−𝑎3𝑥𝑖3 − ⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)�𝑥𝑖2 = 0𝑚

𝑖=1

..........................................................................................................................

𝑗 = 𝑛 => 2 ��𝑦𝑖 − (𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖2−𝑎3𝑥𝑖3 − ⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)�𝑥𝑖𝑛 = 0𝑚

𝑖=1

Persamaan diatas adalah suatu perkalian yang hasilnya = 0, maka dapat juga ditulis :

𝑚 𝑎0 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑎3 ∑ 𝑥𝑖3 + ⋯+ 𝑎𝑛 ∑ 𝑥𝑖𝑛 = ∑𝑦𝑖

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑎1 ∑𝑥𝑖2 + 𝑎2 ∑𝑥𝑖3 + 𝑎3 ∑𝑥𝑖4 + ⋯+ 𝑎𝑛 ∑𝑥𝑖𝑛+1 = ∑𝑥𝑖 𝑦𝑖

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖4 + 𝑎3 ∑ 𝑥𝑖5 + ⋯+ 𝑎𝑛 ∑ 𝑥𝑖𝑛+2 = ∑𝑥𝑖2𝑦𝑖

=

y

x

y = k1 . e^-k2 . x

1

y = k1 . e^-k2 . x

x

y = k1 . e^k2 . x

x

3

y = A / 1 + k1 . e^k2 . x

x

y 4

...................................................................................................................

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖𝑛 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖𝑛+1 + 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖𝑛+2 + 𝑎3 ∑ 𝑥𝑖𝑛+3 + ⋯+ 𝑎𝑛 ∑𝑥𝑖𝑛+𝑛 = ∑𝑥𝑖𝑛𝑦𝑖

Persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks

𝑚 ∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖2 ∑𝑥𝑖3 .... ∑𝑥𝑖𝑛 𝑎0 ∑𝑦𝑖

∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖2 ∑𝑥𝑖3 ∑𝑥𝑖4 .... ∑𝑥𝑖𝑛+1 𝑎1 ∑𝑥𝑖𝑦𝑖

∑𝑥𝑖2 ∑𝑥𝑖3 ∑𝑥𝑖4 ∑𝑥𝑖5 .... ∑𝑥𝑖𝑛+2 𝑎2 = ∑𝑥𝑖2𝑦𝑖

....... ....... ........ ........ .... ........... .... .........

∑𝑥𝑖𝑛 ∑𝑥𝑖𝑛+1 ∑𝑥𝑖𝑛+2 ∑𝑥𝑖𝑛+3 .... ∑𝑥𝑖𝑛+𝑛 𝑎𝑛 ∑𝑥𝑖𝑛𝑦𝑖

Adalah persamaan simultan

• Fungsi Eksponensial

• Hasil pengamatan/pengukuran sering diperoleh pasangan-pasangan data (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖), 𝑖 =1, 2, 3, …𝑛 yang secara umum cenderung membentuk kurva tertentu.

• Pemilihan jenis fungsi didasarkan atas kecenderungan pasangan-pasangan data tersebut.

• Fungsi eksponensial adalah fungsi non-linier dalam proses plotting fungsi-fungsi ini

ditransfer fungsi linier.

• Linier fungsi 𝑦 = 𝑘1 𝑥 𝑒−𝑘2𝑥

𝑙𝑛 �𝐴𝑦 − 1� = 𝑔

y = A / 1 + k1 . e^k2 . x

x

y 4

y

x

y = A ln x + B

y

x

y = -A ln x + B

y

x

y = A + B/x

Karena fungsi yang dipilih adalah fungsi eksponensial, maka agar menjadi fungsi linier diambil.

ln �𝑦𝑥� = ln 𝑘1 − 𝑘2 𝑥, 𝑏𝑖𝑙𝑎 ln �

𝑦𝑥� = 𝑔, ln 𝑘1 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = −𝑘2

Maka,

𝑔 = 𝑎 + 𝑏𝑥 ==> 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑒𝑟

• Linierisasi fungsi 𝑦 = 𝐴1+𝑘1𝑒𝑘2𝑥

, A = konstanta (diketahui)

Agar dapat ditransfer menjadi fungsi linier, maka fungsi tersebut dibawa dalam bentuk :

�𝐴𝑦− 1� = 𝑘1𝑒𝑘2𝑥

𝑙𝑛 �𝐴𝑦− 1� = ln𝑘1 + 𝑘2𝑥

𝑔 = 𝑎 + 𝑏𝑥 ==> 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑒𝑟

• Fungsi Logaritmik

• Apabila pasangan-pasangan data membentuk mendekati fungsi tersebut maka dapat dipilih fungsi logaritmik,

𝑙𝑛𝑥 = 𝑥

𝑦 = 𝐴 𝑙𝑛𝑥 + 𝐵

𝐴 = 𝑏, 𝐵 = 𝑎, 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑔 = 𝑎 + 𝑏𝑥 ==> 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑒𝑟

ln𝑘1 = 𝑎

𝑏 = 𝑘2

x

y = A + B/x

x

y = 1 / (Ax + B)^c

y

x

y = -A/x + B

• Fungsi Pecahan

Apabila pasangan-pasangan data membentuk kurva seperti gambar samping, maka fungsi ini dapat dipilih.

𝑦 =1

𝐴𝑥 + 𝐵 𝑑𝑖𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖

𝑔 = 1𝑦

1𝑦

= 𝐴𝑥 + 𝐵

𝐴 = 𝑏, 𝐵 = 𝑎, 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑔 = 𝑎 + 𝑏𝑥 ==> 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑒𝑟

Pada bentuk samping nilai C diketahui.

�1𝑦�1 𝑒�

= 𝑔

�1𝑦�1 𝑒�

= 𝐴𝑥 + 𝐵

𝐴 = 𝑏, 𝐵 = 𝑎 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑔 = 𝑎 + 𝑏𝑥 ==> 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑒𝑟

Persamaan tersebut dapat ditransfer menjadi.

1𝑥

= 𝑥, − 𝐴 = 𝑏

𝑦 = −𝐴1𝑥 + 𝐵

𝑏 = 𝑎

𝑔 = 𝑎 + 𝑏𝑥 ==> 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑒𝑟

𝐴 = 𝑏

ln 𝑥 = 𝑥

ln 𝑒 = 𝑎

y

y = Cx^A

• Fungsi Pangkat

Fungsi seperti disamping dapat dipakai apabila memungkinkan.

𝑦 = 𝐶𝑥𝐴

ln 𝑦 = ln 𝑐 + 𝐴 ln 𝑥

𝑔 = 𝑎 + 𝑏𝑥 ==> 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑒𝑟

• Fungsi Polinomial Melewati Titik Koordinat (0,0)

Persamaan polinomial lewat (0,0)

𝑔(𝑥) = 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖2−𝑎3𝑥𝑖3 − ⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛

Prinsip jumlah kwadrat kesalahan minimum :

�𝜀𝑖2 = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚𝑚

𝑖=1

�{𝑦𝑖 − 𝑔(𝑥𝑖)} 2 = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚𝑚

𝑖=1

�{𝑦𝑖 − (𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖2−𝑎3𝑥𝑖3 − ⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)} 2 = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚𝑚

𝑖=1

Tempat beberapa nilai 𝑎𝑗 , 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑛 yang memungkinkan, sehingga,

𝜕𝜕𝑎𝑗 �𝜀𝑖2

𝑚

𝑖=1

= 0

Untuk pembahasan awal diambil 𝑔(𝑥) = 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖2

Maka :

�𝜀𝑖2 = 𝑚

𝑖=1

− 2 �{𝑦𝑖2 − 2𝑎1𝑦𝑖𝑥𝑖 − 2𝑎2𝑦𝑖𝑥𝑖2 + 𝑎12𝑥12 + 2𝑎1𝑎2𝑥𝑖3 + 𝑎22𝑥𝑖2} 𝑚

𝑖=1

𝑗 = 1 => 𝜕𝜕𝑎𝑗

∑ 𝜀𝑖2 = ∑ {−2𝑦𝑖𝑥𝑖 + 2𝑎1𝑥𝑖2 + 2𝑎2𝑥𝑖3} = −2 ∑ �𝑦𝑖 − 𝑎1𝑥𝑖 −𝑚𝑖=1

𝑚𝑖=1

𝑚𝑖=1

𝑎2𝑥𝑖2� = 𝑥𝑖1

=

𝑗 = 2 => 𝜕𝜕𝑎𝑗

∑ 𝜀𝑖2 = ∑ {−2𝑦𝑖𝑥𝑖2 + 2𝑎1𝑥𝑖3 + 2𝑎2𝑥𝑖4} = −2 ∑ �𝑦𝑖 − 𝑎1𝑥𝑖 −𝑚𝑖=1

𝑚𝑖=1

𝑚𝑖=1

𝑎2𝑥𝑖2� = 𝑥𝑖2

..........................................................................................................................

𝑗 = 𝑛 => 𝜕𝜕𝑎𝑗

�𝜀𝑖2 =𝑚

𝑖=1

− 2 ��𝑦𝑖 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖2−𝑎3𝑥𝑖3 − ⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛� = 𝑥𝑖𝑛 𝑚

𝑖=1

Persamaan diatas harus sama dengan nol, maka.

𝑗 = 1, ==> 2�{𝑦𝑖 − (𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖2−𝑎3𝑥𝑖3 − ⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)} 𝑥1 = 0𝑚

𝑖=1

𝑗 = 2, ==> 2�{𝑦𝑖 − (𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖2−𝑎3𝑥𝑖3 − ⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)} 𝑥2 = 0𝑚

𝑖=1

.............................................................................................................

𝑗 = 𝑛, ==> 2�{𝑦𝑖 − (𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖𝑛−𝑎3𝑥𝑖𝑛+1 − ⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)} 𝑥𝑛 = 0𝑚

𝑖=1

Persamaan diatas adalah persamaan non-linier homogen (ruas kanan ≠ 0) dan selanjutnya dapat ditulis menjadi.

𝑎1�𝑥𝑖2 + 𝑎2�𝑥𝑖3 + ⋯+ 𝑎𝑛�𝑥𝑖𝑛+1 = �𝑥𝑦

𝑎1�𝑥𝑖3 + 𝑎2�𝑥𝑖4 + ⋯+ 𝑎𝑛�𝑥𝑖𝑛+2 = �𝑥2 𝑦

.........................................................................................

𝑎1�𝑥𝑖𝑛+1 + 𝑎2�𝑥𝑖𝑛+2 + ⋯+ 𝑎𝑛�𝑥𝑖𝑛+𝑛 = �𝑥𝑛𝑦𝑖

Persamaan diatas dapat ditulis menjadi.

∑𝑥𝑖2 ∑𝑥𝑖3 ∑𝑥𝑖4 ∑𝑥𝑖5 .... ∑𝑥𝑖𝑛+1 𝑎1 ∑𝑥𝑖𝑦𝑖

∑𝑥𝑖3 ∑𝑥𝑖4 ∑𝑥𝑖5 ∑𝑥𝑖6 .... ∑𝑥𝑖𝑛+2 𝑎2 = ∑𝑥𝑖2𝑦𝑖

....... ....... ........ ........ .... ........... .... .........

∑𝑥𝑖𝑛 ∑𝑥𝑖𝑛+1 ∑𝑥𝑖𝑛+2 ∑𝑥𝑖𝑛+3 .... ∑𝑥𝑖𝑛+𝑛 𝑎𝑛 ∑𝑥𝑖𝑛𝑦𝑖

ln𝑇 = 𝑔

ln 𝑥 = 𝑥

ln𝐶 = 𝑎, 𝑏 = 32�

𝑔 = 𝑎 + 𝑏𝑥 fungsi pangkat 1, n=1

• Contoh

Pasangan-pasangan data (𝑋𝑖 ,𝑇𝑖) jarak planet dan waktu rotasi mengelilingi matahari untuk planet Merkurius, Venus, Bumi dan Mars berturut-turut adalah (58,88) ; (108,225) ; (150,365) dan (228,687) akan diplot dengan fungsi 𝑇 = 𝐶𝑥3 2� , maka linierisasinya.

ln𝑇 = ln𝐶 + 32� ln 𝑥

• Bentuk Matriks : � 𝑚∑𝑥

∑𝑥 ∑𝑥2� �𝑎

32�� = �

∑ 𝑔∑𝑥 𝑔� , m = 4, n= 1, b = 3/2

• Penyelesaian ditabelkan

X 58 108 150 228

T 88 225 365 687

x = ln𝑋 4,0604 4,6821 5,0106 5,4293 ∑𝑥 = 19,1824

g = ln𝑇 4,4773 5,4161 5,8999 6,5323 ∑𝑔 = 22,3255

𝑥.𝑔 18,1796 25,3587 29,5615 35,4658 ∑𝑥𝑔 = 108,5656

𝑥2 16,4868 21,9221 25,1061 29,4773 ∑𝑥2 = 92,9923

𝑇 = 0,1995 𝑥2 88,12 223,91 366,5 686,82

• Cara langsung :

4. 𝑎 + 32� �𝑥 = �𝑔 , 4.𝑎 + 3

2� . 19,1824 = 22,3255

𝑎 = −1,6120, 𝐶 = 2,7182−1,612 = 0,1995, 𝑏 = 32�

𝑇 = 0,1995𝑥3 2�

• Cara Standart :

4 19,1824 22,3255 4 19,1824 22,3255 b = 1,50

19,1824 92,9923 108,5656 0 1,0012 1,5014 a = -1,612

𝐶 = 2,7182−1,612 = 0,1995 𝑇 = 0,1995𝑥3 2�

Contoh : Jumlah data m = 7

x 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 ∑𝑥 = 24,5

y 1 2,5 4 4,75 5 4,8 4,6 ∑𝑦 = 26,65

𝑥2 0,25 2,25 6,25 12,25 20,25 30,25 42,25 ∑𝑥2 = 113,75

𝑥3 0,125 3,375 15,625 42,875 91,125 166,375 274,625 ∑𝑥3 = 594,125

𝑥4 0,0625 5,0625 39,0625 150,0625 410,0625 915,0625 1785,0625 ∑𝑥4 = 3304,4375

𝑥𝑦 0,5 3,75 10 16,625 22,5 26,4 22,9 ∑𝑥𝑦 = 109,675

𝑥2𝑦 0,25 5,625 25,00 58,1875 101,250 145,20 194,35 ∑𝑥2𝑦 = 529,8625

𝑓(𝑥)

• Data pasangan (x,y) akan diplot dengan fungsi pangkat 2, n = 2 maka matriks.

�𝑚 ∑𝑥 ∑𝑥2∑ 𝑥 ∑𝑥2 ∑𝑥3∑ 𝑥2 ∑𝑥3 ∑𝑥4

� �𝑎0𝑎1𝑎2� = �

∑𝑦∑𝑥𝑦∑𝑥2 𝑦

� , diperoleh

�7 24,5 113,75

24,5 113,75 594,125113,75 594,125 3304,4375

� �𝑎0𝑎1𝑎2� = �

26,25109,675

529,8625�

7 24,5 113,75 26,25 7 24,5 113.75 26,25

0 28,0 196,0 17,80 0 28,0 196,0 17,80

113,75 594,125 3304,4375 529,8625

METODE BEDA-HINGGA

(FINITE DIFFERENCE METHOD)

• Ekspresi persamaan diferensial sering dijumpai pada persoalan-persoalan keteknikan. Analitik/Integral

• Penyelesaian persamaan diferensial

Numerik

ℎ

qPP

y = ?

mk

P (t)

x

f(x)

h

derivatifnumerik

derivatif yangbetul

a

f(xi) f(xi+1)

xi+1xi

x

f(x)

h

a

f(xi) f(xi+1)

xi+1xi

derivatif yangbetul

x

f(x)

h

a

f(xi) f(xi+1)

xi+1xi

x

f(x)

h

a

f(xi) f(xi+1)

xi+1xi

Persamaan garis clastika

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

= 𝑀𝐸𝐼

, 𝑦 = ?

𝑚𝑑2𝑦𝑑𝑥2

+ 𝑐 𝑑𝑦𝑑𝑡

+ 𝑘.𝑦 = 𝑃(𝑡)

• Derivatif Secara Numerik • Forward difference • Backward difference • Central difference

“forward Difference”

• Forward Difference 𝑓′(𝑥𝑖) = tan𝛼 = 𝑓(𝑥𝑖+1)−𝑓(𝑥𝑖)

𝑥𝑖+1−𝑥𝑖= "𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒"

𝑓(𝑥𝑖+1) = 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓′(𝑥𝑖)ℎ + 𝑓′′(𝑥𝑖)ℎ2

2!+ ⋯

𝑓(𝑥𝑖+1) = 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓′(𝑥𝑖)ℎ + ∅ℎ

𝑓′(𝑥𝑖) =𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖)

ℎ

x

f(x)

a

f(xi)f(xi+1)

xi+1 xi

• Backward Difference

𝑓′(𝑥𝑖) = tan 𝛼 𝑓(𝑥𝑖)−𝑓(𝑥𝑖−1)ℎ

= "𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒"

• Central Difference

𝑓′(𝑥𝑖) = tan 𝛼𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖−1)

2ℎ= "𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒"

• Derivative Orde yang Lebih Tinggi

𝑓(𝑥𝑖+1) = 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓′(𝑥𝑖)ℎ + 𝑓′′(𝑥𝑖)ℎ2

2! + ⋯ … … … . (𝑥2)

𝑓(𝑥𝑖+2) = 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓′(𝑥𝑖)2ℎ + 𝑓′′(𝑥𝑖)(2ℎ)2

2! + ⋯

𝑓(𝑥𝑖+2) = 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓′(𝑥𝑖)2ℎ + 𝑓′′(𝑥𝑖)(4ℎ)2

2! + ⋯

2𝑓(𝑥𝑖+1) = 2𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓′(𝑥𝑖)2ℎ + 2𝑓′′(𝑥𝑖)ℎ2

2! −⋯

𝑓(𝑥𝑖+2) − 𝑓(𝑥𝑖+1) = −𝑓 (𝑥𝑖)2ℎ + 𝑓′′(𝑥𝑖)ℎ2 + ⋯

𝑓′′(𝑥𝑖) =𝑓(𝑥𝑖+2) − 2𝑓(𝑥𝑖+1) = −𝑓(𝑥𝑖)

ℎ2 … .𝑎)

“Forward Difference”

𝑓(𝑥𝑖) 𝑓(𝑥𝑖+1) 𝑓(𝑥𝑖+2) 𝑓(𝑥𝑖+3) 𝑓(𝑥𝑖+4)

ℎ 𝑓′(𝑥𝑖) -1 1

ℎ2 𝑓′′(𝑥𝑖) 1 -2 1 +∅ℎ

ℎ3 𝑓′′′(𝑥𝑖) -1 3 -3 1

ℎ4 𝑓′𝑣(𝑥𝑖) 1 -4 6 4 1

“Backward Difference”

𝑓(𝑥𝑖−4) 𝑓(𝑥𝑖−3) 𝑓(𝑥𝑖−2) 𝑓(𝑥𝑖−1) 𝑓(𝑥𝑖)

ℎ 𝑓′(𝑥𝑖) -1 1

ℎ2 𝑓′′(𝑥𝑖) 1 -2 1 +∅ℎ

ℎ3 𝑓′′′(𝑥𝑖) -1 3 -3 1

ℎ4 𝑓′𝑣(𝑥𝑖) 1 -4 6 -4 1

“Central Difference”

𝑓(𝑥𝑖−2) 𝑓(𝑥𝑖−1) 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓(𝑥𝑖+1) 𝑓(𝑥𝑖+2) 𝑓(𝑥𝑖+3)

2ℎ 𝑓′(𝑥𝑖) -1 0 1

ℎ2 𝑓′′(𝑥𝑖) 1 -2 1 +∅ℎ

2ℎ3 𝑓′′′(𝑥𝑖) 1 -2 0 -2 1

ℎ4 𝑓′𝑣(𝑥𝑖) 1 -4 6 -4 1

• Derivatif Dengan Ketelitian yang Lebih Tinggi

Deret Taylor :

𝑓(𝑥𝑖+1) = 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓′(𝑥𝑖)ℎ +𝑓′′(𝑥𝑖)ℎ2

2! + ∅ℎ2, 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑓′(𝑥𝑖) =𝑓(𝑥𝑖+1) + 𝑓(𝑥𝑖)

ℎ +𝑓′′(𝑥𝑖)ℎ

2! + ∅ℎ2

𝐷𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑎). 𝑓′(𝑥𝑖) =𝑓(𝑥𝑖+1) + 𝑓(𝑥𝑖)

ℎ−𝑓(𝑥𝑖+2) − 2𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖)ℎ

2ℎ2

𝑓′(𝑥𝑖) =−𝑓(𝑥𝑖+2) − 4𝑓(𝑥𝑖+1) − 3𝑓(𝑥𝑖)

2ℎ + ∅ℎ2

“Forward Difference”

𝑓(𝑥𝑖) 𝑓(𝑥𝑖+1) 𝑓(𝑥𝑖+2) 𝑓(𝑥𝑖+3) 𝑓(𝑥𝑖+4) 𝑓(𝑥𝑖+5)

ℎ 𝑓′(𝑥𝑖) -3 4 -1

ℎ2 𝑓′′(𝑥𝑖) 2 -5 4 -1 +∅ℎ2

ℎ3 𝑓′′′(𝑥𝑖) -5 18 -24 14 -3

ℎ4 𝑓′𝑣(𝑥𝑖) 3 -14 26 -24 11 -2

“Backward Difference”

𝑓(𝑥𝑖−5) 𝑓(𝑥𝑖−4) 𝑓(𝑥𝑖−3) 𝑓(𝑥𝑖−2) 𝑓(𝑥𝑖−2) 𝑓(𝑥𝑖)

ℎ 𝑓′(𝑥𝑖) 1 -4 3

ℎ2 𝑓′′(𝑥𝑖) -1 4 -5 2 +∅ℎ2

ℎ3 𝑓′′′(𝑥𝑖) 3 -14 24 -18 5

ℎ4 𝑓′𝑣(𝑥𝑖) -2 11 -24 26 -14 3

“Central Difference”

𝑓(𝑥𝑖−3) 𝑓(𝑥𝑖−2) 𝑓(𝑥𝑖−1) 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓(𝑥𝑖+1) 𝑓(𝑥𝑖+2) 𝑓(𝑥𝑖+3)

2ℎ 𝑓′(𝑥𝑖) 1 -8 0 8 -1

ℎ2 𝑓′′(𝑥𝑖) -1 16 -30 -1 16 +∅ℎ2

2ℎ3 𝑓′′′(𝑥𝑖) 1 -8 13 0 -13 8 1

ℎ4 𝑓′𝑣(𝑥𝑖) -1 12 -39 56 -39 12 -1

• Contoh :

Suatu fungsi 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛3 2� 𝑥, tentukan, 𝑦′(0,6) dengan cara forward dan central difference :

a) Untuk h = 0,2 +∅h b) Untuk h = 0,1 +∅h2

• Penyelesaian : 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛3 2� 𝑥 y′ = 3

2� sin3 2� x cos x

a) Untuk h = 0,2 dan +∅h 𝑦′(0,6) = 32� . 0,7514.0,825 = 0,9299 (𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘)

X Y 1. Forward difference

0,2 0,0086 𝑦′(0,6) = −𝑦(0,6)+𝑦(0,6+ℎ)2ℎ

= −0,4242+0,60760,2

0,4 0,2430 𝑦′(0,6) = 0,9170

0,6 0,4242 2. Central difference

0,8 0,6076 𝑦′(0,6) = −𝑦(0,6−0,2)+𝑦(0,6+ℎ)2ℎ

= −0,243+0,60760,4

1,0 0,7719 𝑦′(0,6) = 0,9115

b) Untuk h = 0,2 dan +∅h2 1. Forward difference

𝑦′(0,6) =−3 . 0,4242 + 4 . 0,6076 − 0,7719

(2 . 0,2) = 0,9647

2. Central difference

𝑦′ =0,0886 − 8 .0,243 + 8 .0,6076 − 0,7719

(12 . 0,2) = 0,9306

c) Untuk h = 0,1 +∅h

X Y 1. Forward difference

0,4 0,2430 𝑦′(0,6) = −0,4242+0,51710,1

= 0,9290

0,5 0,3320

0,6 0,4242 2. Central difference

0,7 0,5171 𝑦′(0,6) = −0,332+0,5171(2 .0,1)

= 0,9255

P

P

e

A

c

Ca

T

Ca

T

Z

M

Z

M

0,8 0,6076

d) Untuk h = 0,1 +∅h2

𝑦′(0,6) =−3 . 0,4242 + 4 . 0,5171 − 0,6076

(2 . 0,1) = 0,9410

𝑦′ =0,243 − 8 .0,332 + 8 .0,5171 − 0,6076

(12 . 0,1)= 0,9302

INTERGRAL SECARA NUMERIK

(NUMERICAL INTEGRATION)

• Sebagaimana problem diferensial, misalnya pada prinsip beda-hingga, maka problem

Integral sering dijumpai pada bidang teknik.

• Bidang integral yang dijumpai umumnya berkisar mencari luasan yang dibatasi suatu

kurva dengan persamaan tertentu.

𝜎 = 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑘

𝜀 = 𝑟𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑘

Hasil uji uniaksial ≅ hasil test balok

𝜎

𝜖

𝑖 = 1, 2, 3 …𝑛 = base point

∆𝑥 = lebar/jarak “step”

𝑓(𝑥𝑖) = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 𝑥𝑖

C

fc

Ck2

ei

xi ? x

yi =k1 . e^k2 . xi

y

x

m = 1

y

x

m = 2

y

x

y = f(x)

? x

1 2 3 i .. n

.... f(xi)

• Proses integral secara numerik • Integral secara numerik untuk

menghitung luas beton desak • Dibagi menjadi pias-pias • Luas total = jumlah luas pias-pias

• Dengan mengambil statik momen luasan terhadap tepi atas maka :

𝑘2 = ∑𝑎𝑖𝜀𝑖∑𝑎𝑖

• Integral secara numerik dilakukan apabila integral secara analitik dirasa kurang

praktis/tidak dapat dilakukan.

• Integral cara numerik dapat dilakukan berdasarkan data diskrit (misal hasil pengamatan)

atau berdasarkan fungsi kontinu.

Misal Integral Suatu fungsi

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎

• Dalam bentuk numerik proses integral dilakukan sebagai berikut :

∫ 𝑓(𝑥)𝑏𝑎 𝑑𝑥 ≅ ∑ ∆𝑥𝑚

𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖)

y

x

f(x)

x1 x2

g(x)

y

x

f(x)

x1 x2

g(x) y

x

f(x)

x1 x2

g(x)

• Perkembangan integral secara numerik Luasan kotak/persegi kecil-kecil

• Luasan dibagi menjadi

Luasan lajur

Fungsi asli terlalu rumit

• Menerapkan fungsi pengganti apabila

Hasil data diskrit

Fungsi pengganti : 𝑔 = 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖2−𝑎3𝑥𝑖3 − ⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛

• Pendekatan :

� 𝑓𝑏

𝑎(𝑥)𝑑𝑥 ≅ � 𝑔

𝑏

𝑎(𝑥)𝑑𝑥

Fungsi asli Fungsi perkiraan

• Newton-Cofes Rules

Sifat-sifat integrasi numerik yang umum dilakukan adalah berprinsip pada Newton-Cofes Formulas dengan sifat-sifat :

• Integral dilakukan dengan “equally spaced base point” (h sama). • Batas-batas integrasi berimpit pada “base point” awal dan akhir.

Menurut Griffiths dan Smith (1991) ketelitian integrasi ini akan bergantung pada :

• Jarak antara “base point”. H. • Ketepatan fungsi 𝑔(𝑥) terhadap 𝑓(𝑥).

• One Point Rule

Prinsip “one point rule” dilakukan dengan memakai fungsi 𝑔(𝑥) bernilai konstan atau 𝑔(𝑥) = 𝑐.

1,300 1,2533

1,207 1,0898

0,973 0,9845

y

x

2,599

0,25

g(x)

2,414 1,945

1,993

0,5 0,75 1,25 1,75

f(x)

f(xi) f(xi+1)

xi

g(x)

𝑦 = ∫ 2+cos(1+𝑥3 2� )�1+0,5sin𝑥

20 𝑒0,5𝑥𝑑𝑥

x y

0 2,540

0,25 2,599

0,75 2,414

1,25 1,945

1,75 1,993

One poin rule :

𝐴 = � 𝑓𝑥𝑖+1

𝑥𝑖(𝑥)𝑑𝑥 ≅ � 𝑔

𝑥𝑖+1

𝑥𝑖(𝑥)𝑑𝑥 = ℎ 𝑓(𝑥𝑖)

𝑦 A A

𝑥𝑖 = 0,25 2,599

= 0,75 2,414

= 1,25 1,945

= 1,75 1,993

𝐴𝑡 = 3,480 𝐴𝑡 = 3,3276 𝐴𝑡 = 3,3275

“one point” “two point” “trapezoidal rule”

Two Point Rule

Integral berdasar “two point rule” berdasar pada kurva pendekatan :

𝑔(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥

Yang melewati nilai-nilai fungsi 𝑓(𝑥𝑖), 𝑓(𝑥𝑖+1)

𝐴 = � 𝑔𝑥𝑖+1

𝑥𝑖(𝑥)𝑑𝑥 =

𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓(𝑥𝑖+1)2 ℎ

prinsip trapezoidal rule

x

A1 A2 A3 An An

y0 y1 y2 y3 yn

h h

y

x0

(-? x, yi) f(x)g(x)

yi yi+2yi+1

(0, yi+1) (0, yi+1)

x = -? x x = +? x

h h

Trapezoidal Rule

𝑎1 =ℎ2

(𝑦0 + 𝑦1)

𝑎2 =ℎ2

(𝑦1 + 𝑦2)

𝑎3 =ℎ2

(𝑦2 + 𝑦3)

............................

𝑎𝑛 =ℎ2

(𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛)

+

𝐴𝑡 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛

𝐴𝑡 = ℎ2

(𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 + ⋯+ 𝑦𝑛), 𝐴𝑡 = ℎ2

(𝑦0 + 2∑ 𝑦1𝑛−1𝑖=1 + 𝑦𝑛)

• Simpson’s 1 3� Rule • Trapezoidal rule berdasarkan pada two point rule dengan fungsi 𝑔(𝑥) berupa fungsi

linier (luasan tiap 1 pias). • Simpson’s 1 3� rule adalah cara yang lebih efisien dan lebih teliti karena :

• Menggunakan 𝑔(𝑥) fungsi parabolik. • Luasan dihitung tiap-tiap pias (3 points).

𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝐶… 1)

𝐴𝑧𝑝𝑖𝑎𝑠 = � (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝐶)∆𝑥

−∆𝑥𝑑𝑥

= �13𝑎𝑥

3 +12 𝑏𝑥

2 + 𝐶𝑥�−∆𝑥

∆𝑥

𝐴2𝑝 =23 ∆𝑥

3𝑎 + 2∆𝑥 + 𝐶 … 2)

Apabila nilai-nilai (−∆𝑥, 𝑦𝑖), (0,𝑦𝑖+1)𝑑𝑎𝑛 (+∆𝑥, 𝑦𝑖+2) disubstitusikan ke persamaan 1), maka :

𝑦𝑖 = 𝑎(−∆𝑥2) + 𝑏(−∆𝑥) + 𝐶 = +𝑎∆𝑥2 + 𝑏∆𝑥 + 𝐶 … 3𝑎)

Diperoleh

x

y0 y1y2y3y4

y5y6

yn-2 yn-1

A1 A2 A3 An/2

x0x1x2 xn

yn

𝑦𝑖+1 = 𝑎(0) + 𝑏(0) + 𝐶 = 𝐶 … 3𝑏)

𝑦𝑖+2 = 𝑎(∆𝑥2) + 𝑏(∆𝑥) + 𝐶 = +𝑎∆𝑥2 + 𝑏∆𝑥 + 𝐶 … 3𝑐)

Dari persamaan 3a) dan 3b) :

𝑎 ∆𝑥2 − 𝑏 ∆𝑥 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖+1

𝑎 ∆𝑥2 + 𝑏 ∆𝑥 = 𝑦𝑖+2 − 𝑦𝑖+1

Substitusi nilai a dan b kedalam persamaan 2) diperoleh :

𝐴2𝑝 =23

(∆𝑥)3𝑦𝑖 − 2𝑦𝑖+1 + 2𝑦𝑖+2

2(∆𝑥)2 + 2(∆𝑥)𝑦𝑖+1

𝐴2𝑝 =∆𝑥3

(𝑦𝑖 + 4𝑦𝑖+1 + 𝑦𝑖+2) … 4)

• Apabila luasan dibagi menjadi pias-pias (genap) maka

𝑎1 =ℎ3 (𝑦0 + 4𝑦1 + 𝑦2)

𝑎2 =ℎ3 (𝑦2 + 4𝑦3 + 𝑦4)

𝑎3 =ℎ3 (𝑦3 + 4𝑦5 + 𝑦6)

............................

𝑎𝑛/2 =ℎ3 (𝑦𝑛−2 + 4𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛)

+

𝐴𝑡 = ℎ3�𝑦0 + 4 � 𝑦𝑖

𝑛−1

𝑖=1,35

+ 2 � 𝑦𝑖 + 𝑦𝑛

𝑛−2

𝑖=2,4,6

�

x

y0 y1y2y3y4

y5y6

yn-2 yn-1

A1 A2 A3 An/2

x0x1x2 xn

yn

y

x

f(x)g(x)

yi yi+2yi+1

h h

• Simpson’s 3 8� Rule

• Simpson’s 13� rule didasarkan atas “luas tiap 2-pias” dengan fungsi 𝑔(𝑥) berupa

fungsi parabolik. • Simpson’s 3 8� Rule didasarkan atas “luas tiap 3-pias” dengan fungsi 𝑔(𝑥) pangkat-3.

𝛼 = (𝑥𝑖−𝑥0)ℎ

∆ 𝑓(𝑥0) =

ℎ 𝑑𝛼 = 𝑑𝑥 ∆2 𝑓(𝑥0) =

∆3 𝑓(𝑥0) = −

Fungsi 𝑔(𝑥) dalam newton devided difference integral polinomial

𝑔(𝑥𝑖−1) = 𝑔(𝑥0 + 𝛼ℎ)

= 𝑓(𝑥0) + 𝛼 ∆𝑓(𝑥0) +𝛼 (𝛼 − 1)

2! ∆2 𝑓(𝑥0) +𝛼 (𝛼 − 1)(𝛼 − 2)

3! ∆3 𝑓(𝑥0)+..

Integral 3 pias

� 𝑔(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥 = � 𝑔(𝑥0 + 𝛼ℎ)

𝑏

𝑎𝑑𝑥 = ℎ� 𝑔(𝑥0 + 𝛼ℎ)

3

0𝑑𝛼

= ℎ� 𝑓(𝑥0)𝑏

𝑎+ 𝛼 ∆𝑓(𝑥0) +

𝛼 (𝛼 − 1)2! ∆2 𝑓(𝑥0)

+𝛼 (𝛼 − 1)(𝛼 − 2)

3! ∆3 𝑓(𝑥0) 𝑑𝑥

............. Akhirnya diperoleh

𝐴3𝑝𝑖𝑎𝑠 =3ℎ8

{𝑦0 + 3𝑦1 + 3𝑦2 + 𝑦3}

x

y0 y1y2y3y4

y5y6

yn-2 yn-1

A1 A2 A3 An/2

x0x1x2 xn

yn

• Untuk luasan dengan banyak pias (3, 6, 9, 12 .... dst).

𝑎1 =3ℎ8

(𝑦0 + 3𝑦1 + 3𝑦2 + 𝑦3)

𝑎2 =3ℎ8

(𝑦3 + 3𝑦4 + 3𝑦5 + 𝑦6)

𝑎3 =3ℎ8 (𝑦6 + 3𝑦7 + 3𝑦8 + 𝑦9)

...................................................

𝑎𝑛/3 =3ℎ8 (𝑦𝑛−3 + 3𝑦𝑛−2 + 3𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛)

+

𝐴𝑡 = 3ℎ8�𝑦0 + 3 � 𝑦𝑖

𝑛−1

𝑖=1,2,4,5

+ 3 � 𝑦𝑖 + 𝑦𝑛

𝑛−3

𝑖=3,6,9

�

Contoh :

𝐴 = �2 + cos(1 + 𝑥3 2� )�1 + 0,5 sin𝑥

1,50

0 𝑒0,5𝑥𝑑𝑥

Trapezodium Rule

Dibagi menjadi 6-pias dengan h = 0,25 Simpson 1/3

Simpson 3/8

Latihan : Integral Secara Numerik

1. 𝑓(𝑥0 = 0,2 + 25𝑥 − 200𝑥2 + 675𝑥3 − 900𝑥4 + 400𝑥5

Hitung ∫ 𝑓(𝑥)0,80,0 𝑑𝑥 dengan ∆𝑥 = ℎ = 0,1 dengan menggunakan metode trapezoidal

rule dan simpson 1/3 dengan true value = 1,6405

Determinan Det A ≠ 0 ==> 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 pasti nilainya

𝐴 = � 2 1−1 2� = 4 + 1 = 5

Det 𝐴 = �2 61 3� = 0

?

(det A ≠ 0)

Semua x

Nilainya = 0

2𝑥1 + 𝑥2 = 0 , bila 𝑥2 = 𝑎 , 𝑥1 = −𝑎2

−𝑥1 + 2𝑥2 = 0 𝑥1 = −𝑎2

𝑎2

+ 2𝑎 ≠ 0, berarti 𝑥2 ≠ 𝑎

2. 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑒−𝑥 sin(4𝑥), hitung ∫ 𝑓(𝑥)10 𝑑𝑥 dengan True Value = 1,30825

3. ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑥 𝑥41 𝑑𝑥 (exact value = -5,0626).

EIGENPROBLEM

(KARAKTERISTIK DIRI)

Persamaan simultan non-homogen dan yang homogen sering dijumpai pada persoalan-

persoalan keteknikan. Sudah diketahui bahwa penyelesaian persamaan non-homogen

(dterminan ≠ 0) “unique” artinya ada nilai-nilai yang pasti. Sebelum menginjak pada

persoalan eigenproblem baiknya perlu diketahui karakter-karajter penyelesaian persamaan

simultan. Misalnya persamaan simultan non-homogen :

2𝑥1 + 𝑥2 = 5

−𝑥1 + 2𝑥2 = 5

2 1 5 𝑥2 = 3

0 5 15 𝑥1 = 1 , nilai-nilainya pasti (“unique”).

Misal : 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 3, maka

2𝑥1 + 6𝑥2 = 20

𝑥1 + 3𝑥2 = 10

2 6 20 2 6 20 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2

2 6 20 0 0 0 tidak dapat dicari

• Persamaan Simultan Homogen (det A ≠ 0).

2𝑥1 + 𝑥2 = 0

−𝑥1 + 2𝑥2 = 0

2𝑥1 + 𝑥2 = 0

“trivial solution”

𝑛𝑜𝑛 − 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎

Det 𝐴 = �2 61 3� = 0 Det 𝐴 = 0

Ada 𝑛𝑜𝑛 − 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙 !

2𝑥1 + 6𝑥2 = 0 , bila 𝑥2 = 𝑎 , 𝑥1 = −3𝑎

𝑥1 + 3𝑥2 = 0

−𝑥1 + 2𝑥2 = 0

5𝑥2 = 0

𝑥2 = 0 semua 𝑥𝑠′ = 0

𝑥1 = 0

Apabila persamaan simultan homogen : det A = 0 :

2𝑥1 + 6𝑥2 = 20

𝑥1 + 3𝑥2 = 10

2𝑥1 + 6𝑥2 = 0

2𝑥1 + 6𝑥2 = 0

0 = 0 −3𝑎 + 3𝑎 = 0 Ok

Nilai 𝑥1 ≠ 0 Trivial Solution

𝑥2 ≠ 0 Tidak ada

“ Trivial Solution “, semua nilai 𝑥𝑠′ = 0 Nilai-nilai x tidak usah dicari 𝑥𝑠′ = 0, tidak ada

apa-apa.

Trivial Solution tidak dibutuhkan. !

“ Non-Trivial Solution “, tidak semua nilai x = 0

Ada x yang ada nilainya.

Penyelesaian “ Non-Trivial “diperlukan !

Persamaan simultan homogen akan mempunyai penyelesaian.

Non-Trivial apabila nilai determinan matrik A ≠ 0.

Persamaan Eigenproblem banyak dijumpai pada bidang teknik, fisika, matematik bahkan

bidang ekonomi. Apabila terdapat suatu matriks A nxn dan vektor x yang berdimensi n maka

produk Y = A.x akan ditransformasi sehingga.

𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 1𝑎)

(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑥 = 0 1𝑏)

Persamaan a) : suatu vektor dikalikan suatu matriks sama dengan suatu skalar vektor itu

sendiri.

Persamaan b) : bentuk umum persamaan Eigenproblem

𝜆 = 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎𝑟 = 𝐸𝑖𝑔𝑒𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚

𝑥𝑖 = 𝐸𝑖𝑔𝑒𝑛𝑣𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

• Bukti Persamaan Eigenvalue

[𝐴] {𝑥} = 𝜆 {𝑥}

• Step ke-1

�1 1 12 2 21 1 1

� �222� = �

6166� = 6 �

121� ==> �

222� ≠ �

121�

• Step ke-2

�1 1 12 2 21 1 1

� �121� = �

484� = 4 �

121� ==> �

121� ≠ �

121� , 𝜆 = 4

• Apakah {𝐴 − 𝜆𝐼}𝑥 = {0} ? (𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 14)

��1 1 12 2 21 1 1

� − 4 �1 0 00 1 00 0 1

�� �121� = �

484� − �

484� = �

000� ==> 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 14) 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖 !

• Membuktikan persamaan 15.

�1 − 4 1 1

2 2 − 4 21 1 1 − 4

� �121� = �

000� ==> 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 15 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.

EIPP

-y

x

PP -y

Dengan memakai prinsip determinan sudah agak panjang, maka dipakai cara lain yaitu cara

polinomial. Karena penyelesaian persamaan homogen hanya berupa perbandingan, maka

dapat diambil, nilai y1 = 1, maka :

𝑦2 = (2 − 𝜆 ℎ2)

𝑦3 = (3 − 4𝜆 ℎ + 𝜆2 ℎ2) = 0

Substitusi nilai-nilai 𝑦2 dan 𝑦3 dalam persamaan c) akan diperoleh,

𝜆3 ℎ3 − 6𝜆2 ℎ2 + 10𝜆 ℎ − 4 = 0

𝜆3 −6ℎ

𝜆2 + 10𝜆 ℎ2

−4

ℎ3= 0

Nilai 𝜆 diperoleh dengan cara coba-coba.

EIGEN PROBELM

PADA BATANG DESAK

• Batang desak banyak dijumpai di T. Sipil.

Persamaan garis elastika

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

=𝑀𝐸𝐼 … 1)

Momen dititik x, Mx

𝑀𝑥 = −𝑃.𝑦 … 2)

Substitusi persamaan 2) kedalam persamaan 1).

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

= −𝑃. 𝑦𝐸𝐼 ,

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

+𝑃𝐸𝐼 𝑦 = 0 … 3)

Persamaan 3) dapat ditulis menjadi

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

+ 𝜆 𝑦 = 0 … 4𝑎)

𝜆 =𝑃𝐸𝐼

… 4𝑏)

Penyelesaian persamaan 4) dapat dipakai cara analitik atau numerik.

• Penyelesaian Secara Analitik

Penyelesaian persamaan 4) diharapkan dalam bentuk :

𝑦 = 𝐴 cos√𝜆 𝑥 + 𝐵 sin√𝜆 𝑥 … 5)

Untuk menyelesaikan persamaan 4) diperhatikan kondisi batas (boundary conditions) :

𝑥 = 0 ==> 𝑦(0) = 0 … 6𝑎)

𝑥 = 𝐿 ==> 𝑦(𝐿) = 0 … 6𝑏)

𝑥 = 0 ==> 0 = 𝐴 cos√𝜆𝑥 + 𝐵 sin√𝜆 𝑥

𝐴 = 0 … 7𝑎)

𝑥 = 𝐿 ==> 0 = 0 cos√𝜆𝐿 + 𝐵 sin√𝜆 𝐿

0 = 𝐵 sin√𝜆 𝐿 , 𝐵 ≠ 0 … 7𝑎)

Karena nilai 𝐵 ≠ 0, maka yang nilainya sama dengan nol adalah

sin√𝜆 𝐿 = 0

𝐿 √𝜆 = 𝑛 .𝜋 , 𝑛 = 1, 2, 3, …

𝜆 =𝑛2𝜋2

𝐿2 . . .8)

Dengan menghubungkan antara persamaan 4b) dengan persamaan 8) maka.

𝑃𝑒𝑟𝐸𝐼 =

𝑛2𝜋2

𝐿2

𝑃𝑒𝑟 =𝑛2𝜋2

𝐿2 𝐸𝐼 . . .9)

0PP

-y h

1 2 3 4

Kondisi buckling dapat seperti :

Nilai n = 1, cukup membuat struktur

buckling, maka.

𝑃𝑒𝑟 =𝜋2𝐸𝐼𝐿2

… 10)

• Dengan cara Numerik

Persamaan garis elastika akan menuju pada

persamaan 4a) atau

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

+ 𝜆 𝑦 = 0 . . .11)

Dengan mengingat 𝑑2𝑦𝑑𝑥2

= 𝑦′′ dan dipandang titik 𝑖, maka

𝑦′′(𝑥𝑖) + 𝜆 𝑦(𝑥𝑖) = 0 . . .12)

Pada pembahasan Finite Difference terapat hubungan.

( 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑓𝑓 ) ==> 𝑦′′(𝑥𝑖) =𝑦𝑖−1 − 2𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1

ℎ2 . . .13)

Substitusi persamaan 13) kedalam persamaan 12).

𝑦𝑖−1 − 2𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1ℎ2 + 𝜆 𝑦𝑖 . . .14)

Persamaan 14) dapat dibawa dalam bentuk umum

𝑦𝑖−1 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1 = 0 . . .15)

Apabila diperhatikan, maka persamaan 15) mirip dengan persamaan 1b). dan persamann 15)

tersebut adalah persamaan “Eigen problem”. Misalnya pada penentuan 𝑃𝑚𝑎𝑘𝑠 batang desak,

maka besaran yang dicari adalah 𝜆. Dengan memakai hubungan seperti persamaan 15) maka

untuk setiap titik 𝑖 yang ditinjau, misalnya 𝑖 = 1, 2, 3, … 𝑛, maka akan diperoleh.

=

0 1 2 3 4 5 n

0 1 2

PP

hyi

𝑖 = 1 ==> 𝑦0 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦1 + 𝑦2 = 0

𝑖 = 2 ==> 𝑦1 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦2 + 𝑦3 = 0

𝑖 = 3 ==> 𝑦2 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦3 + 𝑦4 = 0

.........................................

𝑖 = 𝑛 − 1 ==> 𝑦𝑛−2 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛 = 0 ......16)

Dengan nilai 𝑦0 = 0 dan 𝑦𝑛 = 0, maka persamaan 16) dapat ditulis menjadi matriks.

−( 2ℎ2− 𝜆) 1

ℎ2 0 0 0 0 𝑦1 0

1ℎ2

−( 2ℎ2− 𝜆) 1

ℎ2 0 0 0 𝑦2 0

0 1ℎ2

−( 2ℎ2− 𝜆) 1

ℎ2 0 0 𝑦3 = 0

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 0

0 0 0 0 1ℎ2

−( 2ℎ2− 𝜆) 𝑦𝑛 0 ......17)

Persamaan 17) adalah persamaan “Eigenproblem”, yang sebenarnya terdiri atas 1-5 set persamaan simultan homogen.

Eigenproblem Untuk Batang Desak

a). Batang dibagi dalam 2 pias

persamaan umum

𝑦𝑖−1 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1 = 0

𝑖 = 1 ==> 𝑦0 − �2 − 𝜆 �𝑙2�2� 𝑦1 + 𝑦2 = 0

�2 − 𝜆𝑙2

4� 𝑦1 = 0, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑦1 ≠ 0,𝑚𝑎𝑘𝑎 ∶

2 − 𝜆𝑙2

4 = 0, ==> 𝜆 =8𝑙2 =

𝑃𝐸𝐼 ==> 𝑃𝑐𝑟 =

8𝐸𝐼𝑙2 �𝑃𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 =

𝜋2𝐸𝐼𝑙2 �:

𝑃𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 =9,8695 𝐸𝐼

𝑙2 , 𝑘𝑒𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ𝑎𝑛 = 18,94%

0 1 2

PP

hyi

0 2 4

P

hyi

1 3

b). Batang dibagi menjadi 3 pias

sama dengan persamaan umum diatas

𝑖 = 1, 𝑦0 − {2 − 𝜆ℎ2}𝑦1 + 𝑦2 = 0

𝑖 = 2, 𝑦1 − {2 − 𝜆ℎ2}𝑦2 + 𝑦3 = 0

Telah dibahas sebelumnya bahwa penyelesaian persamaan simultan homogen akan ada (non-

Tirvial Solution) bila nilai determinan matriks = 0.

⎣⎢⎢⎢⎡− �2 − 𝜆

𝑙2

9� 1

1 −�2 − 𝜆𝑙2

9�⎦⎥⎥⎥⎤

= 0 4 −49𝑙2𝜆 +

𝑙4

81 𝜆2 − 1 = 0

𝜆2 −36𝑙2 𝜆 +

243𝑙4 = 0, 𝜆1,2 =

36𝑙2

± 18𝑙2

2

𝜆1 =9𝑙2 =

𝑃𝐸𝐼 , 𝑃 =

9𝐸𝐼𝑙2 (𝑘𝑒𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ𝑎𝑛 = 8,82 %)

𝜆2 =27𝑙2 (𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑑𝑖𝑝𝑎𝑘𝑎𝑖).

c). Batang dibagi menjadi 4 pias

𝑖 = 1 ==> 𝑦0 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦1 + 𝑦2 = 0 …𝑎)

𝑖 = 2 ==> 𝑦1 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦2 + 𝑦3 = 0 … 𝑏)

𝑖 = 3 ==> 𝑦2 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦3 + 𝑦4 = 0 … 𝑐)

P

y(0) = 0y '(0) = 0

y(0) = 0y '(0) ? 0

y(L) = 0y '(L) ? 0

0P3

1 2 3 4P1 P

LA B

B

A

P2 P3

EI

0 1 2 3 4 5P1 EI

P1 P1

y yiA x

PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

BOUNDARY VALUE PROBLEM

• Pada problem-problem keteknikan mungkin dijumpai kondisi-kondisi

• Boundary Value Problem ( berhubungan dengan properties )

• Initial Value Problem ( berhubungan dengan waktu ).

Penyelesaian Problem umumnya dapat dilakukan dengan :

• Cara coba-coba ( Trial and Error )

• Metode Beda Hingga : struktur dibagi menjadi pias-pias kecil

• Balok Sederhana : Persamaan garis elastika :

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

=𝑀𝐸𝐼 , 𝑀 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛

𝑏𝑟𝑎𝑝𝑎𝑘𝑎ℎ 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦𝑖 ?

A B

yiA

P1

B

a b

x C D

Cara mencari lendutan 𝑦𝑖 :

• Integral Ganda ( Double Integration )

• Beda Hingga

• Integral Ganda

Segmen AD :

Persamaan garis elastika : 𝑑2𝑦𝑑𝑥2

= 𝑀𝐸𝐼

𝐸𝐼 𝑑2𝑦𝑑𝑥2

= 𝑅𝐴 . 𝑥 ( 𝑅𝐴 . 𝑥 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛 𝐴𝐷 )

𝐸𝐼 𝑑𝑦𝑑𝑥 =

𝑅𝐴 . 𝑥2

2 + 𝐶1

𝐸𝐼 𝑦 =𝑅𝐴 . 𝑥3

6 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2

Nilai-nilai 𝐶1 dan 𝐶2 dapat dicari dengan memperhatikan “kondisi batas”

Segmen-segmen yang lain dikerjakan dengan cara yang sama

Persamaan akan menjadi banyak apabila segmen-segmennya banyak kadang-

kadang teras kurang praktis.

Kondisi batas diperhatikan setelah semua persamaan didapat.

0P2P2

1 2 3 4

LA B

yi-1 yi-1 yi-1

L

m2

m1

h3

h2

h1

k3

k2

k1

• Metode Beda Hingga

Pada metode Central Difference

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

= 𝑦′′ =𝑀𝐸𝐼

𝑦𝑖−1 − 2𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1ℎ2 =

𝑀𝐸𝐼

𝑦𝑖−1 − 2𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1 =𝑀ℎ2

𝐸𝐼

𝑖 = 1 ==> 𝑦0 − 2𝑦1 + 𝑦2 = 𝑀1ℎ2/𝐸𝐼1

𝑖 = 2 ==> 𝑦1 − 2𝑦2 + 𝑦3 = 𝑀2ℎ2/𝐸𝐼2

𝑖 = 3 ==> 𝑦2 − 2𝑦3 + 𝑦4 = 𝑀3ℎ2/𝐸𝐼3

...............................................

𝑖 = 𝑛 − 1 ==> 𝑦𝑛−2 − 2𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛 = 𝑀𝑛−1ℎ2/𝐸𝐼𝑛−1

Persamaan diatas adalah persamaan simultan non-homogen

( ruas kanan ≠ 0 ).

Nilai-nilai 𝑦𝑖 dapat dicari apabila nilai-nilai 𝑀𝑖 ,ℎ dan 𝐸𝐼𝑖 di ketahui ( pada

batang non-prismatis sekalipun ).

Eigenproblem pada struktur

Pada pembahasan eigenproblem, di struktur bangunan gedung

maka struktur dianggap tidak mempunyai redaman (

Undamped free vibratin system ).

𝑘1𝑦1 𝑘2(𝑦2 − 𝑦1) 𝑘3(𝑦3 − 𝑦2)

Persamaan diferensial

𝑚1�̈�1 + 𝑘1𝑦1 − 𝑘2(𝑦2 − 𝑦1) = 0

𝑚2�̈�2 + 𝑘2(𝑦2 − 𝑦1) − 𝑘3(𝑦3 − 𝑦2) = 0

𝑚3�̈�3 + 𝑘3(𝑦3 − 𝑦2) = 0

Persamaan diatas dapat ditulis menjadi

𝑚1�̈�1 + (𝑘1𝑘2)𝑦1 − 𝑘2𝑦2 = 0

𝑚2�̈�2 − 𝑘2𝑦1 − (𝑘2𝑘3)𝑦2 − 𝑘3𝑦3 = 0

𝑚3�̈�3 − 𝑘3𝑦2 + 𝑘3𝑦3 = 0 ......persamaan simultan homogen

Persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks

�𝑚1 0 00 𝑚1 00 0 𝑚1

� ��̈�1�̈�2�̈�3� + �

(𝑘1 + 𝑘2) −𝑘2 0−𝑘2 (𝑘2 + 𝑘3) −𝑘3

0 −𝑘3 𝑘3� �𝑦1𝑦2𝑦3� = �

000�

Misal 𝑘1 = 𝑘2, 𝑘3 = 0,8 𝑘1, 𝑑𝑎𝑛 𝑚1 = 𝑚2, 𝑚3 = 0,6 𝑚1 maka dengan mengambil

𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚,

�𝑚 0 00 𝑚 00 0 0,6𝑚

� ��̈�1�̈�2�̈�3� + �

2𝑘 −𝑘 0−𝑘 2𝑘 −0,8𝑘0 −0,8𝑘 0,8𝑘

� �𝑦1𝑦2𝑦3� = �

000�

Penyelesaian persamaan simultan homogen seperti diatas “ada” apabila diterapkan.

{[𝐾] −𝑤2[𝑀]} {∅} = {0}

�2𝑘 − 𝑤2𝑚 −𝑘 0

−𝑘 2𝑘 − 𝑤2𝑚 −0,8𝑘0 −0,8𝑘 0,8𝑘 − 0,6𝑤2𝑚

� �∅1∅2∅3� = �

000�

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡�2𝑘 −

𝑤2

𝑘/𝑚� −1 0

−1 �2𝑘 −𝑤2

𝑘/𝑚� −0,8𝑘

0 −0,8𝑘 �0,8 −0,6𝑤2

𝑘/𝑚 �⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

�∅1∅2∅3� = �

000� 𝑥 =

𝑤2

𝑘/𝑚

�𝑤 = �𝜆 𝑘/𝑚�

�(2 − 𝜆) −1 0−1 (2 − 𝜆) −0,8𝑘0 −0,8𝑘 (0,8 − 0,6𝜆)

� �∅1∅2∅3� = �

000� 𝜆 = 𝐸𝑖𝑔𝑒𝑛𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒, 𝜙 = 𝐸𝑖𝑔𝑒𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟

Adalah persamaan eigenproblem.

“Non-trivial Solution” persamaan diatas adalah apabila determinan persamaan diatas = 0 atau

determinan {𝑘 − 𝑤2𝑚} = 0. Karena determinan persamaan tersebut panjang, maka dipakai

cara polinomial. Salah satu kriteria penyelesaian persamaan homogen adalah tiak ada nilai

yang pasti, yang ada adalah hanya perbandingan-perbandingan. Maka bila persamaan diatas

disederhanakan.

(2 − 𝜆) 𝜙1 − 𝜙2 = 0 Apabila 𝜙1 = 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎

−𝜙1 + (2 − 𝜆) 𝜙2 − 0,8 𝜙3 = 0 𝜙2 = (2 − 𝜆)

−0,8 𝜙2 + (0,8 − 0,6 𝜆) 𝜙3 = 0 𝜙3 = (1,25 𝜆2 − 5 𝜆 + 3,75)

Substitusi 𝜙3 ke persamaan terakhir diperoleh :

𝜆1 = 0,3335 ==> 𝑓(𝜆) = 0,0007

𝜆3 − 5,3333 𝜆3 + 7,2666 𝜆 − 1,8666 = 0 𝜆2 = 1,6935 ==> 𝑓(𝜆) = 0,0006

𝜆3 = 3,3062 ==> 𝑓(𝜆) = 0,0008

• Eigen Value 𝜆𝑖

𝜆1 = 0,3335

𝜆2 = 1,6935 {𝜆} = �0,33351,69353,3062

�

𝜆3 = 3,3062 atau

• Eigenvector 𝜙𝑖𝑗

Eigenvector 𝜙𝑖𝑗 dapat diperoleh dengan substitusi nilai-nilai Eigenvalue kedalam

persamaan eigenproblem diatas. Agar sistematik maka ditabelkan sebagai berikut

No • Eigenvector 𝜙𝑖𝑗 Mode Slope

q

L

P2P2

hyi

0 1 2 3 4 5 6

EIEI

𝜆1 = 0,3335 𝜆2 = 1,6935 𝜆3 = 3,3062

1 𝜙1 = 1 𝜙11 = 1 𝜙12 = 1 𝜙13 = 1

2 𝜙2 = (2 − 𝜆) 𝜙21 = 1,6665 𝜙22 = 0,3065 𝜙23 = −1,3062

3 𝜙3 = (1,25 𝜆2 − 5 𝜆 + 3,75) 𝜙31 = 2,2215 𝜙32 = −1,1326 𝜙33 = 0,8827

−1,98875 𝑦3 + 2 𝑦4 = 0,1139 persamaan simultan non-homogen

𝑦3 − 1,98875 𝑦4 + 𝑦5 = 0,10125

𝑦4 − 1,98875 𝑦4 = 0,06328

−1,98875 2 0 0,1139

1 −1,98875 1 0,10125

0 1 −1,98875 0,06328

Misal : p = 1000 kg

EI = 2 tm2

h = 15 cm

q = 10 kg/cm

l = 90 cm

Momen M akibat beban P , Mp = -P.y ( y bertanda negatif-kebawah )

Momen M akibat beban q , Mq = ½ q.l.x – ½ q.x2

Persamaan garis elastika , 𝑑2𝑦𝑑𝑥2

= 𝑦′′ = 𝑀𝐸𝐼

𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐸𝑖 𝑦′′ = 𝑀, 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝐸𝑖 𝑦′′ = −𝑃𝑦 +𝑞𝑙2 𝑥 −

12 𝑞𝑥

2

𝑦′′ +1𝐸𝐼�𝑃𝑦 +

𝑞𝑙2𝑥 −

12 𝑞𝑥

2� = 0

𝑦𝑖−1 − 2𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1ℎ2 +

1𝐸𝐼�𝑃𝑦 +

𝑞𝑙2𝑥 −

12𝑞𝑥2� = 0

𝑖 = 1 ==> 𝑦0 − 2𝑦1 + 𝑦2 +ℎ2

𝐸𝐼�𝑃𝑦 +

𝑞𝑙2𝑥 −

12𝑞𝑥2� = 0

Titik 𝑥0 𝑥1 = 15 𝑥2 = 30 𝑥3 = 45 𝑥4 = 60 𝑥5 = 75 𝑥6 = 90

𝑀𝑞 =𝑞𝑙2 𝑥 −

12 𝑞𝑥

2

ℎ2

𝐸𝐼 .𝑀𝑞

0

0

5625

0,06328

9000

0,10125

10125

0,1139

9000

0,10125

5625

0,06328

0

0

𝑃ℎ2

𝐸𝐼 𝑦𝑖 =1000. 152

20. 106 𝑦𝑖 = 0,01125 𝑦𝑖 ==> −2𝑦𝑖 +𝑃ℎ2

𝐸𝐼 𝑦𝑖 = −1,98875 𝑦𝑖

𝑖 = 1 ==> 𝑦0 − 1,98875 𝑦1 + 𝑦2 = 0,06328

𝑖 = 2 ==> 𝑦1 − 1,98875 𝑦2 + 𝑦3 = 0,10125

𝑖 = 3 ==> 𝑦2 − 1,98875 𝑦3 + 𝑦4 = 0,11390

𝑖 = 4 ==> 𝑦3 − 1,98875 𝑦4 + 𝑦5 = 0,10125

𝑖 = 5 ==> 𝑦4 − 1,98875 𝑦6 + 𝑦7 = 0,06328

Padahal :

𝑦1 = 𝑦5

𝑦2 = 𝑦4

Maka,

P

P

270 cm

1,2

PP

hyi

0 1 2 3 4 5 6

Potongan kolom : Eb = 120.000 kg/cm (relatif kecil)

Akan dihitung besarnya beban desak kritis

1/12 . 12. 123 = 1728 cm4 = Ix ( Inersia baja tulangan diabaikan )

• Struktur dibagi menjadi 4 pias, maka h =

67,5 cm.

• Persamaan garis elastika :

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

=𝑀𝐸𝐼 , 𝑦′′ =

𝑀𝐸𝐼

𝑦′′ =𝑀𝐸𝐼 =

𝑃.𝑦𝐸𝐼 𝑎𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎

𝑃𝐸𝐼 = 𝜆 ( 𝑦 𝑘𝑒𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 )

𝑦′′ + 𝜆 𝑦 = 0 ==> 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝐸𝑖𝑔𝑒𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚

𝑦𝑖−1 − 2𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1ℎ2 + 𝜆 𝑦𝑖 = 0 , 𝑦𝑖−1 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1 = 0

Untuk :

𝑖 = 1 ==> 𝑦0 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦1 + 𝑦2 = 0

𝑖 = 2 ==> 𝑦1 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦2 + 𝑦3 = 0

𝑖 = 3 ==> 𝑦2 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦3 + 𝑦4 = 0

−(2 − ℎ2𝜆)𝑦1 + 𝑦2 = 0 …𝑎)

𝑦1 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦2 + 𝑦3 = 0 … 𝑏)

𝑦2 − (2 − ℎ2𝜆)𝑦3 = 0 … 𝑐)

Persamaan simultan homogen

𝑏𝑖𝑙𝑎 ℎ2 = 𝑎

Sifat penyelesaian persamaan homogen

• Tidak ada nilai yang pasti • Nilai-nilai yang ada hanya perbandingan

𝑦1 = 1

𝑦2 = (2 − 𝜆𝑎)

𝑦3 = (3 − 4 𝜆𝑎 + 𝜆2𝑎2) substitusi ke persamaan c).

𝜆3𝑎3 − 6 𝜆2𝑎2 + 10𝜆𝑎 = 0

𝜆3 − 6𝑎

𝜆2 + 10𝑎2𝜆 − 4

𝑎3= 0

Padahal 𝑎 = ℎ2 = (67,5)2

Persamaan diatas menjadi :

𝜆3 − 13,1687 𝜆2 + 48,1709 𝜆 − 42,2899 = 0

Dengan cara coba-coba dicari akar terkecil,

Bila :

𝜆 = 1,25 ==> 𝑓(𝜆) = −0,6992 < 0

𝜆 = 1,28 ==> 𝑓(𝜆) = −0,1096 < 0

𝜆 = 1,2856 ==> 𝑓(𝜆) = −0,0013 ≅ 0

Maka :

𝜆 =𝑃𝐸𝐼 = 𝑚−2 , 𝐸 = 120.000

𝑘𝑔𝑐𝑚2 = 12. 105 𝑡/𝑚2

𝐼 = 1728 𝑐𝑚4 = 1,728. 10−5 𝑚4

𝑃 = 1,2856 . 12. 105 . 1,728. 10−5𝑡𝑚2𝑚

4 𝑚−2 = 26,6582 𝑡

𝑃𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑘 = 26,6582 𝑡𝑜𝑛

𝑃𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 =𝜋2𝐸𝐼𝑙2 = 26,6582 𝑡𝑜𝑛

𝜆 =𝑃𝐸𝐼 = 𝑚−2

Padahal

Kesalahan ± 5,04 %