modul 3 (simpulan dan numerik)
TRANSCRIPT
1
MENGHITUNG NILAI RATA-RATA SUATU DISTRIBUSI
DATA
Oleh :
Elvipson Sinaga
2
PENGHITUNGAN PADA DATA TIDAK BERKELOMPOK.
A. Mean = arithmetic mean = rata-rata hitung = rerata = purata Rumus :
n
xx
dimana : x = rata-rata hitung (mean)
ix = jumlah seluruh titik data pengamatan n = jumlah bilangan titik data pengamatan.
3
Contoh:
Hasil pengukuran berat badan (kg) 10 orang petugas puskesmas adalah
67,60,50,70,60,53,61,64,75,60
Rata-rata = (50 + 53+ 60 + 60+ 60 + 61 + 64 + 67 + 70 + 75)
620/10 = 62 kg
4
Modus (Mode) = Rata-rata modus
Nilai modus ialah nilai yang paling sering ada dalam suatu data
Dari sifatnya ini maka untuk sekelompok data pengamatan ada beberapa kemungkinan:
1. Tidak ada nilai modus 2. Ada satu modus (unimodal) 3. Ada dua modus (bimodal) 4. Lebih dari dua modus
(multimodal)
Dengan mengambil soal pada contoh diatas, maka modus = 60 (karena data 60 muncul 3 kali atau yang paling banyak)
6
Contoh lain : Agregat Modus
1, 2, 2, 2, 3, 5 2 Unimodal
3, 3, 7, 8, 12, 16 3 Unimodal
5, 5, 6, 9, 12, 17, 17 5 dan 17 Bimodal
1, 2, 3, 5, 7, 9, 12 - Tidak ada nilai
modus
5, 5, 6, 9, 12, 17, 17, 20, 20
5, 17 dan 20
Multimodal
c.Letak (Posisi) Data Jika data sudah tersusun (array) dengan susunan data terkecil sampai dengan data terbesar atau sebaliknya, maka masing-masing posisi atau letak data tersebut dapat ditentukan, seperti : untuk letak data di pertengahan (Median), letak data di perempatan (Quartil), letak data di persepuluhan (Desil) dan letak data di perseratusan (Persentil).
8
Median = Rata-rata median Median adalah suatu nilai tengah
yang letaknya sedemikian rupa sehingga data yang telah disusun berdasarkan urutan nilai terbagi menjadi dua sama banyak.
Ini berarti bahwa 50% data terletak di bawah median dan 50% terletak di atas median.
Jadi median adalah posisi tengah dari suatu distribusi yang sudah diurut.
Median (Pertengahan), dari suatu himpunan bilangan yang disusun menurut urutan besarnya (array data) adalah nilai pertengahan atau nilai tengah hitung dari pertengahan, dinyatakan dengan adalah :
2
1n D a ta k e M e
DATA GANJILHasil pengukuran berat badan (kg) 11 orang petugas puskesmas adalah
50,53,60,60,60,61,64,67,70,75,77Berapakah : Mediannya ?Jawab :
= Data ke 6 = 61
2
1n D a ta k e M e
2
11 1D a ta k e
DATA GENAPHasil pengukuran berat badan (kg) 12 orang petugas puskesmas adalah
50,53,60,60,60,61,64,67,70,75,77,80
Berapakah : Mediannya ?Jawab :
= Data ke 6,5
= Data ke 6 + 0,5 (data ke 7 – 6)
= 61 + 0,5 (64 – 61) = 62,5
2
1n D a ta k e M e
2
11 2 D a ta k e M e
QUARTIL (PEREMPATAN)dari suatu himpunan bilangan yang disusun menurut urutan besarnya (array data) adalah nilai perempatan atau nilai tengah hitung dari dua nilai tengah dinyatakan dengan adalah :
dimana : i =1,2,3.
4
1 )i(n D ata ke Q i
Dalam bentuk garis bilangan :
Hasil pengukuran berat badan (kg) 11 orang petugas puskesmas adalah
50,53,60,60,60,61,64,67,70,75,77Berapakah : Q1, Q2 dan Q3 ?
= = Data ke 3 = 60
411
1
)(n D a ta k e Q
411 1 )(
D a ta k e
eM
411 13
3
)( D a ta k e Q
= Data ke 9 = 70
DESIL (PERSEPULUHAN) Dari suatu himpunan bilangan yang disusun menurut urutan besarnya (array data) adalah nilai persepuluhan atau nilai-nilai yang membagi data atas sepuluh bagian yang sama, dinyatakan dengan adalah :
dimana : i =1,2,3.
1 01 )i(n
D a ta k e D i
= = 61=
Hasil pengukuran berat badan (kg) 11 orang petugas puskesmas adalah 50,53,60,60,60,61,64,67,70,75,77Berapakah : D3, D5 dan D8 ?
= = Data ke 3,6
= Data ke 3+0,6(Data ke 4–Data ke 3) = 60 + 0,6 (60 - 60) = 60
1 0
133
)(n D a ta k e D
1 0
1113 )(D a ta ke
5D
2Q eM = =
1 0
11188
)( D a ta ke D
=Data ke 9,6 = Data ke 9 + 0,6 (Data ke 10 – Data ke 9)
= 70 + 0,6 (75-70) = 73
PERSENTIL (PERSERATUSAN) Dari suatu himpunan bilangan yang disusun menurut urutan besarnya (array data) adalah nilai perseratusan atau nilai-nilai yang membagi data atas seratus bagian yang sama, dinyatakan dengan Pi adalah :
Hasil pengukuran berat badan (kg) 11 orang petugas puskesmas adalah 50,53,60,60,60,61,64,67,70,75,77Berapakah : P35, P50 dan P70 ?
= Data ke 4+0,2(Data ke 5–Data ke 4)
= 60 + 0,2 (60 - 60) = 60
1 0 01 )i(n
D a ta k e P i
Dimana I = 1,2,3.....
Jawab : 1 0 0
13 535
)(n D a ta ke P
= 1 0 0
11 13 5 )(D a ta k e
= Data ke 4,2
= Data ke 8 + 0,4 (Data ke 9–Data ke 8) = 67 + 0,4 (70 - 67) = 68,2
50P = 5D = 2Q = eM = 61
1 0 011 17 0
70
)( D a ta k e P
= Data ke 8,4 = Data ke 8 + 0,4 (Data ke 9 – Data ke 8)
19
DATA BERKELOMPOKPenyusunan Distribusi Frekuensi
1. Cari kisaran atau range (R) dengan cara : R = Nilai maksimum – Nilai minimum
2. Tentukan jumlah kelas dan interval kelas (sebaiknya sama).
Jumlah kelas (Rumus Sturges) : K = 1 + 3,3 log N dimana K = jumlah kelas
N = jumlah data (observasi) Interval kelas Ci= R/K3. Banyak observasi yang termasuk dalam
tiap kelas dihitung (disebut frekuensi)
20
Contoh : Berikut adalah tinggi badan dari 40
siswa.183 165 166 155 169 163 157 181 163 173157 178 168 161 169 182 150 180 168 169 165 157 177 171 157 164 167 171 166 181174 184 157 160 156 175 164 163 183 179Jawab :1. R = 184 – 150 = 342. K = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 40 = 6,29 7 Interval kelas = 34/7 = 4,85 5
21
Tabel 1. Distribusi frekuensi tinggi badan 40 orang siswa
Tinggi badan (cm)
Frekuensi
Frekuensi relatif
(%)
Frekuensi kumulatif
(%)
150 – 154 1 2,5 2,5
155 – 159 7 17,5 20,0
160 – 164 7 17,5 37,5
165 – 169 10 25,0 62,5
170 – 174 4 10,0 72,5
175 – 179 4 10,0 82,5
180 – 184 7 17,5 100,0
Jumlah 40 100,0
22
MEAN = RATA-RATA HITUNG
i
ii
n
ii
n
iii
f
.xf
f
.xfx
1
1
x
ii xf
if
= rata-rata hitung
= Jumlah hasil kali frekuensi kelas dengan nilai tengah pada kelas yang sama
= Jumlah seluruh frekuensi kelas
23
Contoh :Tinggi
badan (cm)
fXi
f .xi
150 – 154 1 152 152
155 – 159 7 157 1099
160 – 164 7 162 1134
165 – 169 10 167 1670
170 – 174 4 172 688
175 – 179 4 177 708
180 – 184 7 182 1274
Jumlah 40 6725
406725
x = 168,125 cm
24
Rumus lain
i
ii
iSn
ii
n
iii
iS f
dfCx
f
df Cx x
1
1
x
Sx
iC
ii df
if
= rata-rata hitung
= rata-rata sementara (guessed mean) diambil dari salah satu nilai tengah (Xi) dan biasanya pada kelas dengan frekuensi terbesar.
= Lebar kelas (confidence interval)
= Jumlah hasil kali frekuensi kelas dengan simpangan pada kelas yang sama
= Jumlah seluruh frekuensi kelas
25
Contoh :Tinggi
Badan (cm)f d f.d
150 – 154 1 -3 -3
155 – 159 7 -2 -14
160 – 164 7 -1 -7
165 – 169 10 0 0
170 – 174 4 +1 +4
175 – 179 4 +2 +8
180 – 184 7 +3 +21
Jumlah 40 +9
1672
169)(165Nto 168,125
409
5167x
Xi
26
Rumus :
f)f(Me'
iLMe kum
dimana : Me = median L = batas bawah kelas median i = interval kelas Me’ = jumlah pengamatan dari median = ½ n fkum = frekuensi kumulatif sebelum median f = frekuensi median
MEDIAN
27
Contoh :Tinggi badan
(cm)Frekuensi fkum
150 – 154 1 1
155 – 159 7 8
160 – 164 7 15
165 – 169 10 25
170 – 174 4 29
175 – 179 4 33
180 – 184 7 40
Jumlah 40
Posisi Median = n+1 2
= 40+1 2
= 20,5 (Kelas 4)
28
101520
5164,5Me
= 167 cm
f)f(Me'
iLMe kum
29
MODUS
Rumus :
21
1
ΔΔΔ
iLMo
dimana : Mo = modus L = batas bawah kelas modus i = interval kelas = selisih antara kelompok modus dengan sebelumnya = selisih antara kelompok modus dengan sesudahnya
1
2
30
Contoh :Tinggi badan (cm) Frekuensi
150 – 154 1
155 – 159 7
160 – 164 7
165 – 169 10
170 – 174 4
175 – 179 4
180 – 184 7
Jumlah 40
93
5164,563
35164,5
4)(107)(10710
5164,5Mo
= 166,2 cm
QUARTIL
Li
i
i
Q
ki
iQi f
fi.N
C B P BQ 4Li
ifN
kif
iQf
iC
= Batas Paling Bawah pada kelas Kuartil ke-i. Kelas Kuartil ke-i adalah kelas dimana data ke (i.N/4) berada.
= jumlah keseluruhan data
= Frekuensi kumulatif sebelum kelas Kuartil ke-i atau jumlah seluruh frekuensi kelas sebelum frekuensi kelas Kuartil ke-i.
= Frekuensi pada kelas Kuartil ke-i= Lebar kelas= 1, 2, dan 3. i
32
Contoh :Tinggi badan(cm) f fkum
150 - 154 1 1
155 - 159 7 8
160 - 164 7 15
165 - 169 10 25
170 - 174 4 29
175 - 179 4 33
180 - 184 7 40
Jumlah 40
Posisi Q1 = 1(n+1) 4
= 1(40+1) 4
= 10,25 (Kelas 3)
i
i
Q
ki
iQi f
fi.N
C B P BQ 4Li
= 159,5 + 5 (10-8) 7
= 159,5 + 1,43 = 160,93
Besar
DESIL
Li
ifN
kif
iC
= Batas Paling Bawah pada kelas Desil ke-i. Kelas Desil ke-i adalah kelas dimana data ke (i.N/10) berada.
= jumlah keseluruhan data
= Frekuensi kumulatif sebelum kelas Desil ke-i atau jumlah seluruh frekuensi kelas sebelum frekuensi kelas Desil ke-i.
= Frekuensi pada kelas Desil ke-i= Lebar kelas= 1, 2, …….., 9. i
i
i
D
ki
iDif
fi.N
C B P BD 1 0Li
iDf
35
Contoh :Tinggi badan
(cm)Frekuensi fkum
150 – 154 1 1
155 – 159 7 8
160 – 164 7 15
165 – 169 10 25
170 – 174 4 29
175 – 179 4 33
180 – 184 7 40
Jumlah 40
Posisi D6 = 6(n+1) 10
= 6(40+1) 10
= 24,6 (Kelas 4)
D6= 164,5 + 5 (24-15) 10
= 164,5 + 4,5 = 169
Besar
DESIL
i
i
D
ki
iDif
fi.N
C B P BD 1 0Li
PERSENTIL
Li
ifN
kif
iC
= Batas Paling Bawah pada kelas Persentil ke-i. Kelas Persentil ke-i adalah kelas dimana data ke (i.N/10) berada.
= jumlah keseluruhan data
= Frekuensi kumulatif sebelum kelas Persentil ke-i atau jumlah seluruh frekuensi kelas sebelum frekuensi kelas Persentil ke-i.
= Frekuensi pada kelas Persentil ke-i= Lebar kelas= 1, 2, …….., 99. i
i
i
P
ki
iPif
fi.N
C B P BP 1 0 0Li
iPf
38
Contoh :Tinggi badan(cm) f fkum
150 - 154 1 1
155 - 159 7 8
160 - 164 7 15
165 - 169 10 25
170 - 174 4 29
175 - 179 4 33
180 - 184 7 40
Jumlah 40
Posisi P10 = 10(n+1) 100
= 10(40+1) 100
= 4,1 (Kelas 2)
P10= 154,5 + 5 (4-1) 7
= 154,5 + 2,1 = 156.6
Besar
PERSENTIL
i
i
P
ki
iPif
fi.N
C B P BP 1 0 0Li
SEKIAN