analisis model pandemik dan prepandemik avian … · analisis model pandemik dan prepandemik avian...

ANALISIS MODEL PANDEMIK DAN PREPANDEMIK AVIAN

INFLUENZA PADA POPULASI MANUSIA

PANDI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

ABSTRAK

PANDI. Analisis Model Pandemik dan Prepandemik Avian Influenza pada Populasi Manusia. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan ALI KUSNANTO.

Flu burung merupakan penyakit yang diakibatkan virus influenza subtipe H5N1 yang

ditularkan melalui unggas atau manusia. Proses penularan flu burung pada populasi manusia

dijelaskan pada model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Model unggas

mempunyai dua titik tetap yaitu titik tetap unggas bebas penyakit yang bersifat saddle dan titik

tetap endemik yang bersifat stabil. Pada titik tetap endemik, flu burung menginfeksi unggas dan

mampu menular pada manusia saat bilangan reproduksi bernilai lebih besar dari satu. Model

prepandemik mempunyai dua titik tetap yaitu titik tetap flu burung dominan dan titik tetap flu

manusia dominan. Titik tetap flu manusia dominan terjadi pada kondisi bilangan reproduksi flu

manusia bernilai lebih besar dari satu. Pandemik flu manusia terjadi saat masing-masing rasio

invasi flu manusia, invasi pandemik dan bilangan reproduksi flu manusia bernilai lebih besar dari satu. Pandemik flu burung terjadi saat masing-masing rasio invasi flu manusia, invasi pandemik

bernilai kurang dari satu dan bilangan reproduksi flu burung bernilai lebih besar dari satu.

Kata kunci: model unggas, model prepandemik, model pandemik, bilangan reproduksi, titik

tetap bebas penyakit, titik tetap endemik, titik tetap flu burung dominan, titik tetap

flu manusia dominan.

ABSTRACT

PANDI. Model Analysis of Pandemic and Prepandemic Avian Influenza in the Human

Population. Supervised by PAIAN SIANTURI and ALI KUSNANTO.

Avian influenza is a viral disease caused by a virus within the subtype of H5N1 in which its

transmission caused by birds or human. In human population, transmission process of avian influenza is discussed in the model called: bird model, prepandemic model and pandemic model.

The bird model has two equlibrium points. These are saddle disease free equilibrium and stable

endemic equilibrium. The endemic equlibrium occurred when the reproduction number of avian

influenza is greater than one. In the endemic equilibrium, avian influenza may infect both bird and

human. The prepandemic model has two equilibrium points. These are avian influenza dominant

equilibrium and human influenza dominant equilibrium. The human influenza dominant

equilibrium occurred when the reproduction number of human influenza is greater than one. The

pandemic model has one pandemic equlibrium. The human influenza pandemic occurred when the

ratio of human influenza invasion, pandemic invasion and the reproduction number of human

influenza is greater than one, respectively. The avian influenza pandemic occurred when the ratio

of human influenza invasion, pandemic invasion is less than one and the reproduction number of avian influenza greater than one, respectively.

Keywords: birds model, prepandemic model, pandemic model, reproduction number, disease free

equilibrium, stable endemic equilibrium, avian influenza dominant equilibrium,

human influenza dominant equilibrium.

ANALISIS MODEL PANDEMIK DAN PREPANDEMIK

AVIAN INFLUENZA PADA POPULASI MANUSIA

PANDI

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

Judul Skripsi : Analisis Model Pandemik dan Prepandemik Avian Influenza

pada Populasi Manusia

Nama : Pandi

NIM : G54070073

Menyetujui

Tanggal Lulus:

Pembimbing I

Dr. Paian Sianturi

NIP. 196202121990111001

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

NIP. 19620305 198703 1 001

Pembimbing II

Drs. Ali Kusnanto, M. Si.

NIP. 196508201990031001

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.

NIP. 19651218 199002 1 001

Mengetahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

Mengetahui:



NIP. 19650505 198903 2 004

Mengetahui:



NIP. 19650505 198903 2 004

Mengetahui:

Ketua Departemen,

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP: 19650505 198903 2 004

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya

sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis

sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah

ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Keluarga tercinta: Nanang Safrudin, Tihanah dan Ramanti Hutama selaku kedua orang

tua dan kakak yang selalu menasehati, mendoakan dan memotivasiku menjadi lebih baik.

2. Dr. Paian Sianturi selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran

dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,

3. Drs. Ali Kusnanto, M. Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, kritik

dan saran, motivasi serta doanya, 4. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran

dan doanya,

5. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah

diberikan,

6. Staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Ibu Susi, Ibu Ade, Alm. Bapak Bono, Mas

Deni, dan Mas Hery atas semangat dan doanya,

7. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 44: Fani, Aswin, Eka, Ali, Lazuardi,

Imam, Aqil, Ihsan, Fajar, Rofi, Denda, Rizqy, Dian, Wahyu, Ruhiyat, Yogi, Lugina,

Sholih, Rochim, Hendro, Saeful, Tendy, Yanti, Ririh, Indin, Devi, Wenti, Yuyun, Devina,

Lilis, Sri, Rachma, Mutia, Lembayung, Della, Tyas, Nurisma, Dora, Ucu, dan teman-

teman yang lainnya.

8. Teman-teman yang membantu dalam penyusunan karya tulis ini yaitu Mutyarini, Izzudin, Irwan, Bram, Chastro, Mega, Dane, Romanto dan teman-teman lainnya.

9. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang

matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.

Bogor, Januari 2013

Pandi

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 19 Juni 1989 dari pasangan Bapak Nanang Safrudin

dan Ibu Tihanah. Penulis merupakan putra kedua dari dua bersaudara, tahun 2001 penulis lulus

dari SD Negeri 09 Lubang Buaya, tahun 2004 penulis lulus dari SMP Negeri 81 Lubang Buaya

Jakarta Timur, tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 48 Pinang Ranti Jakarta Timur. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2007 melalui jalur Seleksi

Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) IPB. Selama masa Tingkat Persiapan Bersama (TPB)

penulis mendapatkan juara 1 futsal dalam acara TPB CUP.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi pengajar privat mata kuliah Pengantar

Matematika dan Kalkulus tahun akademik 2010-2012. Penulis aktif dalam organisasi

kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yang

dikenal dengan GUMATIKA (Gugus MahasiswaMatematika) sebagai Staf Divisi Sosial dan

Komunikasi (Coffilatae) tahun 2008-2009 dan pada tahun 20011-2012 menjadi panitia Olimpiade

Mahasiswa IPB (OMI) untuk cabang olahraga tenis meja. Penulis pernah menjadi panitia Masa

Perkenalan Departemen untuk mahasiswa angkatan 45. Penulis juga pernah menjadi panitia Pesta

Sains tahun 2008 dan 2009. Penulis juga aktif di berbagai acara kemahasiswaan lainnya.

1

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR TABEL……………............................................................................................... ix

DAFTAR GAMBAR……..………………………………………………………………… ix

DAFTAR LAMPIRAN….…………………………………………………………………. x

I PENDAHULUAN…...………………………………………………………………. 1

1.1 Latar Belakang……..……………………………...…………………………….. 1

1.2 Tujuan…....………………………………………….…………………………… 1 1.3 Sistematika Penulisan……...…………………...………………………………... 1

II LANDASAN TEORI…...…………………………………………………………… 2

2.1 Sistem Persamaan Diferensial…………………………………………………… 2

2.2 Titik Tetap…...…………………………………………………………………... 2

2.3 Pelinearan………………………………………………………………………... 2

2.4 Vektor Eigen dan Nilai Eigen…………………………………………………… 2

2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap…….……………………………………………. 2

2.6 Klasifikasi Titik Tetap…………………………………………………………… 3

III PEMODELAN…..…………………………………………………………………... 4

3.1 Model Unggas………………………………………………………………….... 4

3.2 Model Prepandemik……..………………………………………………………. 4 3.3 Model Pandemik…………………………………………………………………. 6

IV PEMBAHASAN…..………………………………………………………………… 8

4.1 Analisis Model Unggas………...…………….……………………...…………... 8

4.2 Analisis Model Prepandemik…..…………………………………………...…… 9

4.3 Analisis Model Pandemik………………………………………………………... 10

V

SIMULASI………...………………………………………………………………….

12

5.1 Simulasi Model Unggas...…………………………………………...…………… 12 5.1.1 Parameter Model Unggas ………………………………..……………...… 12

5.1.2 Dinamika Populasi Model Unggas .......………………...…………………. 12

5.2 Simulasi Model Prepandemik………………………………………..…………... 13

5.2.1 Parameter Model Prepandemik……………………...………………….…. 13

5.2.2 Dinamika Populasi Model Prepandemik………………………………… 13

5.3 Simulasi Model Pandemik……………………………..………………………… 15

5.3.1 Parameter Model Pandemik………...………………...…………………… 15

5.3.2 Dinamika Populasi Model Pandemik………………………...………...... 15

VI SIMPULAN …..……………………………………………………………………... 18

DAFTAR PUSTAKA…. …………………………………………………………………... 18

LAMPIRAN …..……………………………………………………………………………. 19

viii

2

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Daftar parameter dan variabel bebas model unggas........................................................ 4

2 Daftar parameter dan variabel bebas model prepandemik............................................... 4

3 Daftar parameter dan variabel bebas model pandemik……………………………….... 6

4 Daftar reproduksi dan invasi model prepandemik dan model unggas…………………. 10

5 Daftar reproduksi dan invasi model pandemik………………………………................ 11

6 Daftar nilai parameter……………………………………………………..……………. 12

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Diagram model unggas………………...………………..…………………………..….. 4

2 Diagram model prepandemik………………………………………………………...… 4

3 Diagram model pandemik……………………………………………………………… 6

4 Dinamika populasi unggas rentan………….. ………… ……………………………… 12

5 Dinamika populasi unggas terinfeksi flu burung ............................................................. 13

6 Dinamika populasi manusia rentan………………………….…………………….…… 14

7 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia………….…………….……….…... 14

8 Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia………….………………….…... 15

9 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung ........................................................... 15

10 Dinamika populasi manusia rentan …………………….………..…………………….. 16

11 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia …………………..…………...….... 16

12 Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia .................................................... 17

13 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung ........................................................... 17

14 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung dan flu manusia bersamaan............... 17

15 Dinamika populasi manusia terinfeksi pandemik flu burung........................................... 17

ix

3

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Titik tetap model unggas …………………................................................................... 20

2

Matriks Jacobi model unggas dengan .................................................... 20

3

Nilai eigen dari …...…………………………………………….……..…... 20

4 Jenis titik tetap untuk titik tetap ……………………………………………... 21

5

Matriks Jacobi model unggas, ...................................... 24

6 Nilai eigen ……………………...…………….…………... 24

7 Titik tetap model unggas dengan nilai parameter Tabel 6………………...…..……… 24

8

Nilai eigen model unggas untuk titik tetap …………….....… 25

9 Nilai eigen model unggas titik tetap ……….……. 25

10 Titik tetap model prepandemik …………………….………………………………… 25

11 Matriks Jacobi model prepandemik…………………………………………...……… 26

12 Matriks Jacobi model prepandemik titik tetap

......................................................................

26

13

Matriks Jacobi model prepandemik untuk titik tetap kedua………………………….. 26

14

Nilai eigen dari dari ………………………....…….……... 27

15 Jenis titik tetap untuk titk tetap …………………………….... 27

16

Titik tetap model prepandemik dengan parameter Tabel 6……………..…………….. 30

17

Nilai eigen dari ……………………………….………… 31

18

Nilai eigen dari ………………….……….. 32

19

Titik tetap model pandemik dengan parameter Tabel 6.……………....…………..….. 33

20

Matriks Jacobi model pandemik…………………………………………………… 33

21

Nilai eigen dari dengan , ,

, , , …………...

34

22

Nilai eigen dengan , , , , , …………………………………………….…………………………………

34

x

4

23

Nilai eigen dengan , , ,

, , ………………………………………….…...

35

24

Nilai eigen dengan , , , , , …………………………………………………………………………..

35

25

Bilangan reproduksi flu burung dengan nilai paramater Tabel 6……..…………….… 36

26

Bilangan reproduksi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6………….....……… 36

27

Bilangan reproduksi invasi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6……....…….. 36

28

Bilangan reproduksi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6…….………..…..…... 36

29

Bilangan reproduksi invasi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6......................... 37

30

Bilangan reproduksi invasi pandemik pada populasi manusia ……….……………… 37

31

Banyaknya individu terinfeksi flu manusia saat terjadi pandemik flu burung ……… 37

32

Banyaknya manusia rentan flu manusia……………………………………...……….. 37

33

Banyaknya manusia terinfeksi flu manusia……...…………………………….……… 37

34

Banyaknya manusia sembuh dari flu manusia…………......…………………………. 38

35

Total populasi unggas ……..…………………………………………….…………… 38

36

Laju populasi total unggas............................................................................................. 38

37

Total populasi manusia……………………………………………………………………….……………………. 38

38

Laju populasi total manusia……………………………………………………………………………………. 38

39

Banyaknya unggas rentan flu burung…………………………………………………………….…………. 38

40

Banyaknya unggas terinfeksi flu burung…………………………………………………………………… 39

41

Banyaknya manusia rentan flu burung……………………………………………………………………… 39

42

Banyaknya manusia terinfeksi flu burung……………….………………………….………….. 39

43

Total populasi manusia saat flu burung dominan......................................................... 39

44

Dinamika populasi model unggas …………………..……...………………………… 40

45

Dinamika populasi model prepandemik …………………..………………..………… 41

46

Dinamika populasi model pandemik …………... ……..………………………..…….

43

xi

1

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada tahun 2003 beberapa negara di dunia

dirugikan dengan kematian hampir 10 juta

unggas yang dimusnahkan karena penyakit

avian influenza. Avian influenza atau yang

lebih dikenal flu burung menyerang unggas

liar (wild birds) dan unggas ternak (domestic

birds) dan mampu menular pada manusia.

Penyakit ini telah menginfeksi lebih dari 500

orang dan hampir 60% yang terinfeksi meninggal. (Alexander dan Capua 2007)

Flu burung adalah penyakit yang

diakibatkan virus influenza A subtitipe H5N1

yang ditularkan oleh hewan (zoonotic) yaitu

burung. Virus H5N1 mempunyai rumus kimia

hampir sama dengan penyakit flu manusia

H1N1. Virus flu burung awalnya hanya

menular pada populasi unggas seperti virus flu

manusia yang menular pada populasi manusia.

Interaksi virus flu burung dan flu manusia

membuat virus flu burung mampu

menginfeksi manusia hingga meninggal. Korban manusia meninggal yang meningkat

akibat flu burung membuat potensi terjadinya

pandemik flu burung semakin besar.

Pandemik flu burung dapat menyebabkan

kematian dalam jumlah besar tidak hanya

unggas namun juga manusia. Kemunculan

pandemik flu burung pada populasi manusia

dilihat berdasarkan jumlah invasi flu burung

dari tahun ke tahun. Reproduksi invasi yang

terjadi mendorong para ilmuwan melakukan

prediksi jumlah kasus flu burung untuk melihat kemungkinan terjadinya pandemik flu

burung pada manusia.

Studi tentang pandemik flu burung

diwujudkan dalam sebuah model matematika

yang memodelkan proses transmisi virus dari

unggas ternak menuju manusia dan transmisi

manusia ke manusia. Hasil prediksi model

dapat digunakan untuk melihat pertumbuhan

virus flu burung setiap tahun dengan melihat

jumlah unggas yang mati. Data demografi dan

data epidemik burung dan manusia menjadi

parameter dari model ini. Persamaan differensial digunakan sebagai alat untuk

mempelajari transmisi flu burung yang

menularkan unggas dan manusia untuk

menjelaskan dinamika populasi virus secara

tahunan.

Unggas yang rentan flu burung adalah

unggas liar yang hidup di alam bebas (wild

birds) dengan sifat transmisi lemah (Low

Pathogen Avian Influenza/LPAI). Unggas

ternak (domestic birds) dan manusia juga

rentan terhadap flu burung dengan transmisi

bersifat kuat (High Pathogen Avian

Influenza/HPAI). Dalam tugas akhir ini

pertumbuhan virus flu burung yang dibahas

dibatasi pada interaksi yang terjadi dalam

populasi unggas ternak (domestic birds) dan

populasi manusia.

Pada tugas akhir ini akan dianalisis

kemungkinan terjadinya pandemik flu burung atau flu manusia dalam populasi manusia.

Model yang dipakai dibagi dalam tiga model

yaitu model unggas, model prepandemik dan

model pandemik. Model unggas memodelkan

jumlah unggas yang sehat dan unggas yang

terinfeksi flu burung. Model prepandemik

memodelkan pergerakan virus flu burung

menginfeksi populasi manusia. Pada model

prepandemik dibahas juga keterkaitan

pandemik flu manusia terhadap kemungkinan

pandemik flu burung. Model pandemik

memodelkan kemungkinan munculnya pandemik flu burung atau pandemik flu

manusia.

1.2 Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini

adalah untuk menganalisis kemungkinan

munculnya pandemik flu burung atau

pandemik flu manusia dalam populasi

manusia

1.3 Sistematika Penulisan Pada bab pertama dijelaskan latar

belakang, tujuan, dan sistematika dari

penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisikan

landasan teori yang menjadi konsep dasar

dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga

adalah pemodelan. Pada bab ini dibahas

diagram keterkaitan tiga model yakni model

unggas, model prepandemik dan model

pandemik. Bab empat yaitu analisis model

berupa pencarian titik tetap dan jenis titik

tetap. Bab lima yaitu simulasi model dengan

variasi parameter yang digunakan dan gambar-gambar dinamika populasi ketiga

model. Simpulan karya ilmiah ini akan

dibahas pada bab enam.

2

II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial

Suatu sistem persamaan diferensial orde 1

dinyatakan sebagai berikut.

(2.1)

dengan dan adalah fungsi dari

waktu t. Jika adalah suatu fungsi matriks

A berukuran n n dengan koefisien konstan

dan dinyatakan sebagai vektor konstan b

maka akan diperoleh bentuk-bentuk sistem

persamaan diferensial linear sebagai berikut

, x(0)=x0 (2.2)

(Farlow 1994)

2.2 Titik Tetap

Misalkan diberikan persamaan diferensial

sebagai berikut.

(2.3)

Titik disebut titik tetap jika memenuhi

. Titik tetap disebut juga titik kritis

atau titik keseimbangan.

(Tu 1994)

2.3 Pelinearan

Diketahui

(2.4)

andaikan adalah titik tetap dari

Misalkan, dan , maka

didapatkan

dalam bentuk matriks

.

Matriks disebut matriks

Jacobi pada titik tetap . Karena

, maka dapat diabaikan, sehingga didapatkan persamaan linear

(2.5)

(Strogatz 1994)

2.4 Vektor Eigen dan Nilai Eigen

Misalkan A matriks berukuran n n, maka

suatu vektor tak nol di Rn disebut vektor eigen

dari A jika suatu skalar λ berlaku

Ax = λx. (2.6)

Vektor x disebut vektor eigen yang

bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk

mencari nilai eigen dari matriks yang

berukuran n n maka persamaan (2.6) dapat

dituliskan kembali sebagai berikut

(A – λI) x = 0 (2.7)

dengan I adalah matriks identitas. Persamaan

(2.7) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya

jika

det (A – λI) = |A – λI| = 0 (2.8)

Persamaan (2.8) disebut persamaan

karakteristikdari matriks A.

(Anton 1995)

2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap

Misalkan suatu SPD memiliki bentuk

seperti

(2.9)

3

Matriks koefisien dari (2.9) adalah

dengan persamaan karakteristik det (A – λI) =

0, I adalah matriks identitas dan adalah nilai eigen, maka persamaan karakteristiknya

menjadi

sehingga dperoleh persamaan

2 0

dengan:

.

sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks A

yaitu

2

1,2

4

2

(2.10)

2.6 Klasifikasi Titik Tetap

Persamaan karakterisitk 2 0

dapat diubah dalam bentuk

didapat ,

Untuk Δ < 0,

Kedua nilai eigen mempunyai akar real

yang berbeda tanda, maka titik tetap

bersifat titik pelana (saddle point).

Untuk Δ > 0,

nilai eigen berupa bilangan real dengan

tanda yang sama maka titik tetapnya berupa nodes atau bilangan kompleks

conjugate titik tetapnya berupa spiral atau

center.

titik tetapnya berupa nodes

o Jika τ > 0 maka titik tetap bersifat

simpul tidak stabil.

o Jika τ < 0 maka titik tetap bersifat

simpul stabil.

, titik tetapnya berupa spiral

o Jika τ > 0 maka titik tetap bersifat

spiral tidak stabil.

o Jika τ < 0 maka titik tetap bersifat

spiral stabil. o Jika τ = 0 maka titik tetap bersifat

center.

persamaan adalah garis batas antara simpul dengan spiral. Jika

kedua nilai eigen bernilai negatif maka

titik tetap tersebut bersifat simpul

sejati.

Untuk Δ = 0

setidaknya ada satu nilai eigen bernilai nol

maka titik tersebut disebut sebagai titik

tetap tak terisolasi.

(Strogatz 1994)

4

III PEMODELAN

Proses penularan flu burung pada burung

dan berpandemiknya pada populasi manusia

melibatkan tiga model. Tiga model tersebut

adalah model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Model unggas memodelkan

jumlah unggas yang sehat dan unggas yang

terinfeksi flu burung. Model prepandemik

memodelkan pergerakan virus flu burung dan

flu manusia menginfeksi populasi manusia.

Model pandemik memodelkan kemungkinan

munculnya pandemik flu burung atau

pandemik flu manusia dalam populasi

manusia. Model yang dibahas dalam bab ini

berdasarkan jurnal dari Martcheva (2011).

3.1 Model Unggas

Y(t)

B(t)

βb

Vb Gambar 1 Diagram model unggas.

Tabel 1 Daftar parameter dan kompartemen

model unggas

Parameter Arti

laju kelahiran dalam

populasi unggas

µb tingkat kematian alami

unggas

βb koefisien transmisi flu

burung pada unggas

vb tingkat kematian burung

akibat flu burung

Nama

Kompartemen

Arti

banyaknya unggas rentan

banyaknya unggas

terinfeksi flu burung

total populasi unggas

Laju perubahan jumlah unggas rentan

terinfeksi flu burung terhadap waktu t

dipengaruhi rata-rata kelahiran alami burung

dalam populasi dikurangi unggas yang

terinfeksi flu burung dengan koefisien

transmisi βb dan tingkat kematian burung mati

alami µb. Laju perubahan jumlah unggas terinfeksi

flu burung terhadap waktu t dipengaruhi

banyaknya unggas terinfeksi flu burung

dikurangi tingkat kematian alami unggas dan

tingkat kematian akibat flu burung . Garis

terang/jelas tanda panah merupakan garis yang menyatakan transmisi/penularan.

Persamaan model unggas dijelaskan dalam

persamaan (3.1)

(3.1)

Total populasi unggas adalah

(3.1.1)

Laju populasi total unggas dibawah didapat

dari jumlah persamaan (3.1)

(3.1.2)

3.2 Model Prepandemik

Y(t)

B(t)

I(t)

R(t)

S(t)

Ib(t) w

β

α

βb

Vb

v βY

βY

Gambar 2 Diagram model prepandemik.


model prepandemik

Parameter Arti

laju kelahiran dalam populasi

manusia

µ tingkat kematian alami

manusia β koefisien transmisi flu

manusia

βY koefisien transmisi flu burung

pada manusia

α lama masa penyembuhan

manusia terinfeksi flu

manusia

v tingkat kematian manusia

akibat flu burung

w proporsi berkurangnya

imunitas setelah terkena flu manusia

5

Nama Kompartemen

Arti

banyaknya manusia

rentan

banyaknya manusia

terinfeksi flu manusia

banyaknya manusia

sembuh dari flu manusia

banyaknya manusia

terinfeksi flu burung

total populasi manusia

Unggas yang terinfeksi flu burung

berinteraksi dengan manusia sehingga

manusia terinfeksi flu burung. Flu burung yang terdapat pada populasi manusia

membuat manusia juga rentan terhadap flu

burung. Hal ini menggambarkan keterlibatan

model unggas dalam model prepandemik.

Pada Gambar 2 terdapat garis terang/jelas

bertanda panah merupakan garis yang

menyatakan transmisi/penularan. Garis putus-

putus bertanda panah adalah garis yang

menyatakan pengaruh atau influence.

Jumlah manusia terinfeksi flu burung yang

ditularkan unggas disimbolkan Ib(t) dengan nilai koefisien transmisi sebesar βY dan tingkat

kematian sebesar v. Manusia rentan terinfeksi

flu manusia sebesar I(t) dengan koefisien

transmisi sebesar β dan sembuh pada masa

penyembuhan sebesar α. Manusia yang

sembuh dari flu manusia yaitu R(t) dapat

terinfeksi flu burung yang ditularkan unggas

dengan koefisien transmisi sebesar βY dan

tingkat kematian sebesar v.

Model prepandemik terdapat pada

persamaan (3.2)

Laju perubahan jumlah manusia rentan

terhadap waktu t dipengaruhi oleh rata-rata

kelahiran manusia dalam populasi sebesar

ditambah jumlah manusia rentan dikurangi

jumlah manusia yang terinfeksi flu manusia

dan manusia yang terinfeksi flu burung dikurangi banyaknya manusia yang mati

alami. Laju perubahan jumlah manusia

terinfeksi flu manusia dalam waktu t

dipengaruhi oleh banyak manusia rentan flu

manusia dikurangi total jumlah manusia

terinfeksi flu manusia dan tingkat kematian

alami manusia.

Laju perubahan manusia sembuh dari flu

manusia dalam waktu t dipengaruhi oleh

banyak manusia terinfeksi flu manusia

dikurangi orang sembuh namun kembali

terinfeksi flu burung dikurangi tingkat

kematian alami manusia dan manusia rentan.

Laju perubahan manusia terinfeksi flu burung

pada waktu t dipengaruhi oleh total jumlah manusia terinfeksi flu burung dan manusia

sembuh terinfeksi flu burung dikurangi tingkat

kematian alami manusia dan tingkat kematian

manusia terinfeksi flu burung.

Total populasi manusia dalam model

prepandemik adalah

(3.2.1)

Laju populasi total manusia terdapat pada persamaan (3.2.2)

(3.2.2)

6

3.3 Model Pandemik

Y(t)

B(t)

I(t)Z(t)

R(t)

S(t)

Ib(t) w

β

α

βb

Vb

v βY

βY

βZ

βZ

vZ

J(t)βJ βJ

VJ

ρ

Gambar 3 Diagram model pandemik.

Daftar parameter dan kompartemen pada model pandemik sebagian telah dijelaskan

pada Tabel 2.


model pandemik Parameter Arti

βJ koefisien transmisi

terinfeksi flu burung dan flu

manusia secara bersamaan

ρ proporsi mutasi genetik flu

burung

vZ tingkat kematian manusia

akibat pandemik flu burung

βZ koefisien transmisi

pandemik flu burung vJ tingkat kematian manusia

akibat terinfeksi flu burung

dan flu manusia bersamaan

Nama

Kompartemen

Arti

Z(t) banyaknya manusia

terinfeksi pandemik flu

burung

J(t) banyaknya manusia


manusia secara bersamaan

Model pandemik ditandai munculnya

pandemik flu burung menyerang populasi

manusia. Jumlah manusia terinfeksi pandemik

flu burung disimbolkan dengan Z(t).

Jumlah manusia yang terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan disimbolkan

J(t) dengan koefisien transmisi sebesar βJ.

Tingkat kematian manusia yang terinfeksi flu

burung dan flu manusia bersamaan

disimbolkan dengan vj. Pada gambar 3 garis

terang/jelas bertanda panah merupakan garis

yang menyatakan transmisi/penularan. Garis

putus-putus bertanda panah adalah garis yang

menyatakan pengaruh atau influence. Manusia

yang rentan berpotensi terinfeksi pandemik flu

burung. dengan koefisien transmisi pandemik

flu burung sebesar βZ dan tingkat kematian akibat flu burung sebesar vZ..

Virus flu burung mengalami rata-rata

mutasi sebesar ρ sehingga dapat menularkan

sesama manusia. Gambar 3 menunjukkan

manusia rentan, manusia yang baru sembuh

dari flu manusia dan manusia terinfeksi flu

burung menjadi objek paling rentan terinfeksi

pandemik flu burung. Flu burung dan flu

manusia hidup berdampingan (coexist)

mendorong terjadi pandemik.

7

Model pandemik dijelaskan dalam persamaan

(3.3)

Laju perubahan jumlah manusia rentan

terhadap waktu t dipengaruhi oleh rata-rata

kelahiran manusia ditambah jumlah manusia

rentan dikurangi manusia yang terinfeksi flu

manusia dikurangi manusia yang terinfeksi flu burung dikurangi manusia yang terinfeksi

pandemik flu burung dan tingkat kematian

alami. Laju perubahan jumlah manusia

terinfeksi flu manusia terhadap waktu t

dipengaruhi oleh banyaknya manusia rentan

flu manusia dikurangi manusia yang terinfeksi

flu manusia dan flu burung secara bersamaan

dikurangi manusia terinfeksi flu manusia dan

tingkat kematian alami.

Laju perubahan jumlah manusia yang

sembuh dari flu manusia terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya manusia

terinfeksi flu manusia dikurangi manusia

sembuh namun kembali terinfeksi flu burung

dan pandemik flu burung dikurangi manusia

rentan dan tingkat kematian manusia alami.

Laju perubahan jumlah penderita flu burung

pada waktu t dipengaruhi oleh banyaknya

manusia yang terinfeksi flu burung dan

manusia yang telah sembuh namun terinfeksi

flu burung dikurangi tingkat kematian alami

dan tingkat kematian akibat flu burung. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi

flu manusia dan flu burung secara bersamaan

terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya

manusia terinfeksi flu manusia dan flu burung

secara bersamaan dikurangi tingkat kematian

alami manusia dan kematian akibat terinfeksi

keduanya dikurangi waktu tunda terinfeksinya

kedua penyakit. Laju perubahan jumlah

manusia yang terinfeksi pandemik flu burung

terhadap waktu t dipengaruhi oleh waktu

tunda yang diperlukan agar flu manusia dan

flu burung menginfeksi manusia secara

bersamaan ditambah manusia terinfeksi

pandemik flu burung ditambah manusia yang

sembuh namun terinfeksi pandemik flu

burung dikurangi tingkat kematian alami dan

tingkat kematian akibat terinfeksi pandemik

flu burung.

8

IV PEMBAHASAN

Analisis titik tetap, jenis titik tetap dan

reproduksi virus pada setiap model akan

dibahas dalam bab ini. Model unggas

memodelkan jumlah populasi unggas yang sehat, unggas yang terinfeksi flu burung dan

reproduksi flu burung pada populasi unggas.

Model prepandemik memodelkan pergerakan

virus flu burung dan flu manusia dalam

populasi manusia. Model ini juga

memodelkan reproduksi flu manusia dan

reproduksi invasi flu manusia. Model

pandemik memodelkan kemungkinan

munculnya pandemik flu burung atau flu

manusia pada populasi manusia. Model

pandemik juga memodelkan reproduksi pandemik, reproduksi invasi pandemik dan

invasi pandemik flu manusia.

Invasi pandemik menghasilkan dua

kemungkinan pandemik yaitu pandemik flu

burung dan pandemik flu manusia. Dua

kemungkinan tersebut melibatkan invasi

setiap model dengan kondisi tertentu.

4.1 Analisis Model Unggas

Analisis pada model ini mengacu pada

persamaan (3.1). Reproduksi flu burung pada

model ini terjadi saat flu burung menginfeksi

populasi unggas namun belum menginfeksi

manusia. Pada persamaan (3.1) terdapat dua

persamaan. Dua persamaan tersebut dibuat

sama dengan nol untuk mendapatkan titik tetapnya. Berdasarkan persamaan (3.1)

didapatkan dua titik tetap secara berturut-

turut yaitu

(Lampiran 1). Titik tetap kedua biasa disebut

titik tetap endemik. Berdasarkan persamaan (3.1) dicari

matriks Jacobi, misalkan saja yaitu

(Lampiran 2). Matriks Jacobi titik tetap

pertama adalah

. Nilai

eigen untuk titik tetap pertama adalah

dan

(Lampiran 4).

Misalkan , untuk titik

tetap berupa saddle node jika nilai eigennya

real dan berbeda tanda.

Jika dan maka

(Lampiran 4 bagian 4.1),

(Lampiran 4 bagian

4.2).

Jika dan maka


(Lampiran 4 bagian

4.4).

Untuk nilai eigennya real bertanda

sama titik tetapnya berupa nodes atau nilai eigen berupa bilangan kompleks titik tetapnya

berupa spiral. Nilai eigen persamaan (3.1) real

tidak kompleks sehingga jenis titik tetapnya

bukan spiral. Titik tetap berupa nodes jika

dan maka


(Lampiran 4 bagian

4.6).

Jika dan maka


(Lampiran 4 bagian

4.8).

Jika nodes stabil maka

(Lampiran 4 bagian 4.9).

Jika nodes tidak stabil maka

(Lampiran 4 bagian

4.10).

Matriks Jacobi titik tetap kedua adalah

Nilai eigen dari titik tetap kedua, terdapat

pada Lampiran 6. Identifikasi jenis titik tetap

untuk titik tetap kedua tidak dapat dilakukan

karena nilai eigen yang rumit sehingga

identifikasi hanya dapat dikenali dengan

memasukkan nilai parameter. Reproduksi flu burung terdapat dalam persamaan (4.1)

berikut.

(4.1)

Pada reproduksi jumlah flu burung nilai

merupakan koefisien transmisi unggas

terinfeksi flu burung dalam satu unit waktu.

Persamaan merupakan lamanya flu

burung menginfeksi seekor unggas sampai

timbul gejala. merupakan jumlah populasi

unggas.

9

Jumlah unggas rentan dan unggas

terinfeksi flu burung secara berturut-turut

terdapat dalam persamaan (4.2) berikut.

(4.2)

dan biasa disebut titik tetap endemik flu

burung.

4.2 Analisis Model Prepandemik

Pada model ini terdapat reproduksi flu

manusia dan invasi flu manusia. Reproduksi

flu manusia terdapat pada persamaan (4.3)

berikut.

(4.3)

(Martcheva 2011)

Pada jumlah reproduksi flu manusia nilai β

merupakan nilai koefisien transmisi flu

manusia dalam satu unit waktu. Persamaan

merupakan lamanya flu manusia

menginfeksi manusia sampai timbul gejala.

merupakan jumlah populasi manusia.

Model prepandemik mempunyai titik tetap

bebas penyakit ). Kondisi

bebas penyakit akan berlangsung jika

dan . Berdasarkan penghitungan

ternyata kondisi bebas penyakit tidak terwujud

karena salah satu syaratnya tidak terpenuhi

(Lampiran 25 dan 26). Meningkatnya flu

burung pada unggas tidak serta merta

menginfeksi manusia secara meluas dan

berpotensi menjadi pandemik. Flu burung menginfeksi manusia terjadi jika kondisi

. Analisis model prepandemik

mempunyai dua titik tetap. Titik tetap model

prepandemik yang pertama adalah

dan titik tetap kedua

adalah

Matriks Jacobi model prepandemik terdapat pada Lampiran 11. Matriks Jacobi untuk titik

tetap pertama terdapat pada Lampiran 12.

Matriks Jacobi untuk titik tetap kedua terdapat

pada Lampiran 13. Nilai eigen model

prepandemik untuk titik tetap

adalah

Misal , untuk titik

tetap berupa saddle

node jika nilai eigennya real dan berbeda

tanda. Agar nilai eigennya berbeda tanda

setidaknya ada satu nilai eigen bernilai negatif

diantara semua nilai eigen yang positif.

Misalkan sedangkan .

Jika maka (Lampiran 15,

persamaan 15.1) .

Untuk titik tetap berupa nodes jika nilai eigennya real bertanda sama atau

bilangan kompleks titik tetapnya berupa

spiral. Nilai eigen dan

merupakan nilai eigen real bukan kompleks

sehingga titik tetapnya bukan berupa spiral.

Identifikasi jenis titik tetap dilakukan dengan

memeriksa kesamaan tanda setiap nilai eigen.

Jika dan maka




(Lampiran 15 bagian 15.5).

Misal dan maka




(Lampiran 15, bagian 15.9).

Jika nodes stabil

maka (Lampiran 15

bagian 15.10), tidak stabil

maka

(Lampiran 15 bagian

15.11). Nilai eigen model prepandemik untuk titik

tetap kedua tidak dibahas karena terlalu rumit

dan kompleks. Nilai eigen untuk titik tetap

kedua hanya dapat diidentifikasi dengan

memasukkan nilai parameter. Model

prepandemik mempunyai dua titik tetap

disamping titik tetap bebas penyakit. Dua titik

tersebut adalah titik tetap flu burung dominan

dan titik tetap flu manusia dominan. Titik

10

tetap flu burung dominan ada dan menginfeksi

manusia karena jumlah reproduksi flu burung

lebih besar dari 1, . Titik tetap flu

burung dominan adalah

) dimana dan

didefinisikan oleh persamaan (4.4) berikut.

(4.4)

adalah jumlah manusia yang rentan

terhadap flu burung. adalah jumlah manusia

yang terinfeksi flu burung. Total populasi

manusia pada titik tetap flu burung dominan

dinotasikan oleh . Pada model prepandemik selain titik tetap flu burung

dominan terdapat titik tetap flu manusia

dominan. Titik tetap flu manusia dominan ada

jika . Berikut titik tetap flu manusia

dominan ).

adalah jumlah manusia rentan flu manusia,

adalah jumlah manusia terinfeksi flu

manusia dan adalah jumlah manusia yang

sembuh dari flu manusia.

Adanya titik tetap flu burung dan flu manusia dominan menunjukan flu burung dan

flu manusia tidak saling bergantung sama lain

dalam populasi manusia. Pada model ini

terdapat keadaan flu manusia hidup

berdampingan (coexist) dengan flu burung.

Flu burung tidak berkompetisi dengan flu

manusia untuk menyerang burung rentan

namun mereka berkompetisi menginfeksi

manusia rentan.

Pada kondisi dan flu manusia dan flu burung hidup berdampingan

(coexist) dalam populasi manusia. Reproduksi

invasi flu manusia disimbolkan dengan . yang didefinisikan pada persamaan (4.6)

berikut.

Definisi macam-macam reproduksi dan invasi

model prepandemik dan model unggas

terdapat dalam Tabel 4.

Tabel 4 Daftar reproduksi dan invasi model

prepandemik dan model unggas

Reproduksi dan

invasi

penjelasan

bilangan reproduksi flu

manusia

bilangan reproduksi flu

burung

bilangan reproduksi

invasi flu manusia

4.3 Analisis Model Pandemik Pada model pandemik penyebaran flu

burung ditularkan oleh manusia. Pada model

ini terdapat reproduksi pandemik, invasi

pandemik dan invasi pandemik flu manusia.

Pada model pandemik titik tetap dan nlai

eigen tanpa nilai parameter tidak dibahas

karena nilainya terlalu panjang, rumit dan

sangat kompleks. Titik tetap model pandemik

dengan parameter dapat dilihat pada Lampiran

19. Matriks Jacobi model pandemik dengan

nilai parameter terdapat pada Lampiran 20.

Pada model ini populasi manusia merupakan wadah kompetisi dari tiga invasi

penyakit yaitu invasi flu burung, invasi flu

manusia, dan invasi pandemik. Reproduksi

pandemik terjadi jika dimana

didefinisikan oleh persamaan (4.7) berikut.

(4.7)

Invasi pandemik didefinisikan pada

persamaan (4.8) berikut.

(4.8)

Pada persamaan (4.9) terdapat yang

merupakan jumlah manusia terinfeksi flu

manusia saat terjadi pandemik flu burung.

(4.9)

Invasi pandemik menginvasi flu burung dan flu manusia pada populasi manusia terjadi

pada kondisi . didefinisikan pada

persamaan (4.10) berikut.

(4.10)

11

Pandemik terjadi pada kondisi ,

, dan . Invasi pandemik flu

burung akan menginvasi populasi manusia

jika dimana dengan

jumlah reproduksi dan jumlah reproduksi

invasi tetap lebih besar dari satu.

(4.11)

Pandemik yang muncul akan menjadi

pandemik flu manusia pada kondisi ,

, , dan

Pandemik flu burung terjadi dengan kondisi

, , , dan

.

Definisi macam-macam reproduksi dan

invasi dalam model pandemik terdapat dalam Tabel 5

Tabel 5 Daftar reproduksi dan invasi model

pandemik

Reproduksi dan

invasi

Penjelasan

bilangan reproduksi

pandemik

bilangan reproduksi

invasi pandemik

bilangan rasio invasi

flu manusia dengan

invasi pandemik

bilangan reproduksi

invasi pandemik pada populasi

manusia

12

V SIMULASI

Pada bab ini dilakukan simulasi yang

dibagi menjadi tiga bagian yaitu simulasi

model unggas, model prepandemik dan model

pandemik. Pada setiap simulasi akan dilakukan identifikasi titik tetap, pemilihan

parameter dan dilihat dinamika populasinya.

Tabel 6 Daftar nilai parameter

Parameter Nilai

unggas per tahun

½ per tahun

0.0099 unggas per tahun

vb 365/10 per tahun

manusia per tahun

1/65 per tahun

0.00122 manusia per tahun

½ per tahun

manusia per tahun

365/6 per tahun

v 365/10 per tahun

vJ 36.5 per tahun

0.00277 manusia per tahun

5.1 Simulasi Model Unggas

Simulasi model unggas mengacu pada

persamaan (3.1) sebagai modelnya. Pada simulasi ini akan dicari

jumlah unggas sehat,

jumlah unggas terinfeksi flu burung,

reproduksi flu burung,

populasi total unggas,

jenis titik tetap dan kestabilannya,

dinamika populasi model unggas.

5.1.1 Parameter Model Unggas Populasi unggas yang digunakan sebagai

nilai parameter sebesar . Angka

ini didapat dari nilai titik tetap pertama persamaan (3.1) saat tidak ada unggas

terinfeksi flu burung . Tingkat kematian

alami unggas sebesar per tahun.

Koefisien transmisi flu burung sebesar

0.0099 per tahun. Tingkat kematian unggas

pada 10 hari adalah per tahun,

asumsikan masa hidup maksimal unggas yang

terifeksi adalah satu tahun. Nilai parameter

lainnya terdapat pada Tabel 6.

5.1.2 Dinamika Populasi Model

Unggas Model unggas memodelkan jumlah

populasi unggas rentan dan unggas yang

terinfeksi flu burung. Pertumbuhan flu burung

dapat dilihat pada persamaan (4.1). Pada

kondisi manusia tertular flu burung akibat berinteraksi dengan burung sakit.

Berdasarkan penghitungan persamaan (4.1)

repoduksi flu burung berjumlah

per tahun (Lampiran 25).

Pada analisis model unggas didapat dua

titik tetap yaitu

(Lampiran 7) dan dan

(Lampiran 7). Jumlah dari titik tetap kedua merupakan nilai total populasi

unggas (3.1.1). Jumlah populasi unggas saat

tidak ada flu burung sebesar . Jumlah unggas rentan saat terjadi flu burung

adalah (Lampiran 39) dan jumlah

unggas terinfeksi flu burung sebesar

(Lampiran 40). Total populasi

unggas ternak sebesar dengan

laju pertumbuhan sebesar (Lampiran

35 dan 36).

Nilai eigen persamaan (3.1) dengan titik

tetap dan adalah ,

titk tetapnya berupa saddle node (Lampiran

8).

Nilai eigen persamaan (3.1) dengan titik tetap

dan

adalah ,

titk tetapnya berupa nodes stabil (Lampiran

9).

Gambar pada model unggas diproyeksikan

oleh persamaan (3.1). Gambar dibagi menjadi

dua yaitu gambar dinamika populasi unggas

rentan dan dinamika populasi unggas

terinfeksi flu burung.

Gambar 4 Dinamika populasi unggas

rentan.

0 2 4 6 8 10 120

100

200

300

400

500

Waktu

Un

gg

as

ren

tan

13

Pada Gambar 4 sumbu x menyatakan

waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan

jumlah unggas rentan flu burung misalkan

sejumlah 100 yaitu .

Gambar 5 Dinamika populasi unggas




jumlah unggas terinfeksi flu burung. Misalkan

dari 100 unggas yang sehat 50 unggas

terserang flu burung yaitu .

5.2 Simulasi Model Prepandemik

Simulasi model prepandemik mengacu

pada persamaan (3.2) sebagai modelnya. Pada

simulasi ini akan dicari

jumlah manusia rentan,

jumlah manusia terinfeksi flu burung,

jumlah manusia terinfeksi flu manusia,

jumlah manusia sembuh dari flu manusia,

reproduksi dan invasi flu manusia,

total populasi manusia,

jenis titik tetap dan kestabilannya,

dinamika populasi model prepandemik.

5.2.1 Parameter Model Prepandemik

Parameter yang digunakan dalam model

prepandemik melibatkan infeksi flu manusia

dan kondisi normal manusia tanpa terserang

penyakit. Lama masa penyembuhan penyakit

flu manusia adalah . Proporsi

hilangnya imunitas tubuh akibat terinfeksi flu

manusia sebesar tahun.

Masa hidup normal seluruh manusia di

dunia berbeda di setiap negara. Pada

parameter diambil umur rata-rata manusia

normal 65 tahun dengan tingkat kematian

alami per tahun. Populasi manusia di

dunia mendekati jumlah 6.5 milyar sehingga

nilai paramater yang diambil dengan

nilai koefisien transmisi flu manusia

. Koefisien transmisi flu burung pada

manusia Tingkat kematian manusia akibat flu

burung pada 10 hari adalah v = 36.5 tahun-1.

Nilai parameter secara jelas terangkum dalam

Tabel 6.


Prepandemik Pada model prepandemik dilakukan

penghitungan reproduksi flu manusia,

reproduksi invasi flu manusia. Reproduksi flu

burung didapat dari persamaan (4.1)

dengan hasil sebesar . Pada

kondisi terdapat titik tetap flu burung dominan ditandai dengan flu burung mampu

menginfeksi manusia. Titik tetap flu burung

dominan disimbolkan dengan

. Masukkan nilai parameter pada titik tetap flu burung dominan sehingga

didapat

. Berdasarkan titik tetap flu burung dominan

didapat

jumlah manusia rentan flu burung,

sebesar (Lampiran 41),

jumlah manusia terinfeksi flu burung,

sebesar (Lampiran 42).

Total populasi manusia saat flu burung

dominan sebesar (Lampiran 43)

Pada model prepandemik, populasi manusia juga rentan terhadap infeksi flu

manusia. Infeksi flu manusia terjadi dengan

adanya titik tetap flu manusia dominan. Titik

tetap flu manusia dominan disimbolkan

. Masukkan nilai

parameter pada titik tetap flu manusia

dominan sehingga didapat

.

Berdasarkan titik tetap flu manusia dominan

didapat

jumlah manusia rentan flu manusia,


jumlah manusia terinfeksi flu manusia,


jumlah manusia sembuh dari flu manusia,

sebesar (Lampiran 34).

Titik tetap flu manusia dominan terjadi saat

reproduksi flu manusia lebih besar dari 1,

. Berdasarkan penghitungan didapat

nilai (Lampiran 26).

Pada populasi manusia juga terdapat

kondisi bebas penyakit. Kondisi bebas

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0

20

40

60

80

100

Waktu

Un

gg

as

teri

nfe

ksi

flu

bu

run

g

14

penyakit stabil jika dan .

Kondisi bebas penyakit adalah kondisi saat flu

burung dan flu manusia tidak menginfeksi

manusia. Kondisi bebas penyakit berada pada

titik bebas penyakit yaitu

. Masukkan nilai

parameter pada titik tetap bebas penyakit

sehingga didapat nilai

Berdasarkan penghitungan sebelumnya diketahui bahwa

titik tetap bebas penyakit tidak stabil.

Total populasi manusia sebesar

(Lampiran 37) dengan laju

pertumbuhan sebesar 0.0135 (Lampiran 38).

Flu burung pada populasi manusia akan

berinteraksi dengan flu manusia dan hidup

berdampingan disebut coexist. Kondisi coexist

terjadi saat dan . Berdasarkan

penghitungan nilai (Lampiran 27).

Dinamika populasi model prepandemik

diproyeksikan oleh persamaan (3.2).

Berdasarkan analisis persamaan (3.2) didapat

dua titik tetap yaitu nilai titik tetap pertama

( ) dan titik tetap

kedua (

). Nilai eigen untuk titik tetap pertama adalah

,

,

,

.

Titik tetap pertama berupa titik sadlle node

(Lampiran 17). Nilai eigen untuk titik tetap kedua adalah

,

,

,

.

Titik tetap kedua berupa nodes stabil

(Lampiran 18).

Gambar pada model prepandemik akan dibagi menjadi empat yaitu gambar dinamika

populasi manusia rentan, dinamika populasi

manusia terinfeksi flu manusia, dinamika

populasi manusia sembuh dari flu manusia

dan dinamika populasi manusia terinfeksi flu

burung dari unggas.

Gambar 6 Dinamika populasi manusia

rentan.



jumlah manusia rentan misalkan sejumlah

200, .


terinfeksi flu manusia.



jumlah manusia terinfeksi flu manusia.

Misalkan dari 200 manusia rentan asumsikan

manusia terinfeksi flu manusia sebesar 25

orang, .

0 2 4 6 8 10 120

50

100

150

200

Waktu

Man

usia

Ren

tan

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100

10

20

30

40

Waktu

Man

usia

Teri

nfe

ksi

Flu

Man

usia

15





jumlah manusia sembuh dari flu manusia.

Misalkan dari 25 orang sakit flu manusia

semuanya sembuh, .





jumlah manusia terinfeksi flu burung.

Manusia yang tidak terinfeksi flu manusia

diasumsikan terinfeksi flu burung,

.

5.3 Simulasi Model Pandemik

Simulasi model pandemik mengacu pada

persamaan (3.3) sebagai modelnya. Pada

simulasi ini akan dicari reproduksi dan invasi

pandemik, invasi pandemik flu manusia, jenis

titik tetap dan kestabilannya dan dinamika

populasinya.

5.3.1 Parameter Model Pandemik

Parameter pada model pandemik hampir

sama dengan parameter yang digunakan pada

model prepandemik namun dengan

penambahan parameter , , dan . Nilai

berada pada kisaran 36.5-89 namun dengan

asumsi tingkat kematian manusia akibat flu

burung sama dengan tingkat kematian

manusia akibat pandemik flu burung yaitu

, dimana didapat .

Koefisien transmisi pandemik flu burung

sebesar 0.00277 dengan asumsi tidak ada

mutasi genetik yang terjadi . Koefisien transmisi virus flu burung dan flu manusia

terinfeksi bersamaan . Parameter

sisanya terdapat pada Tabel 6.


Pandemik Pada tahap pandemik terdapat reproduksi

pandemik, . Kondisi coexist pada model

prepandemik memunculkan pandemik.

Pandemik yang muncul terjadi pada kondisi

, , dan . Berdasarkan

penghitungan (Lampiran

28), (Lampiran 29) dan

023 (Lampiran 30). Pada

model prepandemik terdapat titik tetap

dominan flu burung dan flu manusia. Salah satu dari dua dominasi ini akan muncul

sebagai pandemik. Serangan pandemik akan

menghasilkan pandemik flu manusia atau

pandemik flu burung. Pandemik yang terjadi

dalam populasi manusia bergantung pada titik

tetap dominan penyakit pada populasi

manusia. Pandemik flu manusia muncul saat

terjadi serangan pandemik pada titik tetap flu

manusia dominan dengan kondisi ,

, , dan .

Pandemik flu burung muncul saat terjadi

serangan pandemik pada titik tetap flu burung

dominan dengan kondisi , ,

, dan dimana

.

Berdasarkan penghitungan didapat

, ,

023, (Lampiran 29).

dan .

Hasil simulasi menunjukkan pandemik flu

burung mampu menginvasi dan mengubah

pandemik flu manusia sehingga terjadi pandemik flu burung pada populasi manusia.

Meskipun terjadi pandemik flu burung tetap

ada infeksi flu manusia namun dengan jumlah

kecil yaitu sebesar (Lampiran 31).

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

10

20

30

40

50

60

Waktu

Man

usia

Sem

bu

hd

ari

Flu

Man

usia

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200

50

100

150

200

Waktu

Man

usia

Teri

nfe

ksi

Flu

Bu

run

g

16

Dinamika populasi model pandemik

diproyeksikan oleh persamaan (3.3). Pada

model pandemik didapat tujuh titik tetap. Titik

tetap yang diambil hanya titik tetap dengan

nilai .

Berdasarkan syarat tersebut didapat empat

titik tetap yaitu sebagai berikut.

Titik tetap pertama adalah

(

) jenis titik tetapnya berupa saddle nodes (Lampiran 21).

Titik tetap kedua

( ) dengan jenis titik tetapnya berupa nodes

stabil (Lampiran 22).

Titik tetap ketiga adalah (

) dengan titik tetap berupa saddle nodes (Lampiran

23).

Titik tetap keempat adalah (

) dengan jenis titik tetap berupa nodes tidak stabil

(Lampiran 24). Berdasarkan penghitungan didapat jumlah

manusia terinfeksi pandemik flu burung

sebesar . Nilai eigen setiap titik tetap terdapat pada Lampiran 21, 22, 23 dan

24.

Gambar model pandemik akan dibagi

menjadi 6 terdiri dari:

dinamika populasi manusia rentan,

dinamika populasi manusia terinfeksi flu

manusia,

dinamika populasi manusia sembuh dari

flu manusia ,

dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung,

dinamika populasi manusia yang secara

bersamaan terinfeksi flu burung dan flu

manusia,

dinamika populasi manusia terinfeksi

pandemik flu burung.

Dinamika populasi model pandemik

memiliki kesamaan dengan model

prepandemik perbedaannya pada dinamika

populasi manusia terinfeksi pandemik flu

burung dan dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung bersama flu manusia.


rentan.



jumlah manusia rentan. Berbeda dari model

prepandemik, jumlah manusia rentan pada

model pandemik dimisalkan sejumlah 600,

.


terinfeksi flu manusia.


waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia terinfeksi flu manusia. Enam

ratus manusia rentan diasumsikan 100 orang

diantaranya terserang flu manusia,

.

0 1 2 3 4 5

0

100

200

300

400

500

600

700

Waktu

Man

usia

ren

tan

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

20

40

60

80

100

Waktu

Man

usia

Ters

era

ng

Flu

Man

usia

17





jumlah manusia sembuh dari flu manusia.

Asumsikan setengah dari manusia terinfeksi

flu manusia sembuh, .





jumlah manusia terinfeksi flu burung. Manusia yang tidak terinfeksi flu manusia

dapat terinfeksi flu burung asumsikan sebesar

200, .



manusia bersamaan.



jumlah manusia yang terinfeksi flu burung

dan flu manusia bersamaan. Manusia yang

terserang flu manusia dan flu burung

diasumsikan berjumlah 100, .


terinfeksi pandemik flu burung.



jumlah manusia terinfeksi pandemik flu

burung. Manusia yang terserang flu burung

menularkan pada manusia lain sehingga

mengakibatkan pandemik misalkan jumlahnya

200 orang, .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

50

100

150

200

Waktu

Man

usia

Sem

bu

hd

ari

Flu

Man

usia

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

50

100

150

200

Waktu

Man

usia

Teri

nfe

ksi

Flu

Bu

run

g

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100

20

40

60

80

100

Waktu

Man

usia

Teri

nfe

ksi

Flu

Bu

run

gd

an

Flu

Man

usia

0 5 10 15 20 25 300

200

400

600

800

Waktu

Man

usia

Terin

fek

si

Pan

dem

ik

Flu

Bu

ru

ng

18

VI SIMPULAN

Flu burung merupakan panyakit yang

ditularkan virus H5N1. Flu burung tidak

hanya menginfeksi unggas namun juga

manusia. Transmisi virus melibatkan bilangan reproduksi virus yang lebih besar dari satu.

Proses transmisi flu burung dibagi dalam tiga

model yaitu model unggas, model

prepandemik dan model pandemik. Model

unggas membahas infeksi flu burung dalam

populasi unggas ternak. Model ini

memperlihatkan banyaknya unggas sehat dan

banyaknya unggas terinfeksi flu burung.

Model prepandemik membahas penularan

flu burung dari unggas ke dalam populasi

manusia. Pada model prepandemik flu manusia dan flu burung hidup berdampingan

dalam populasi manusia. Model prepandemik

memperlihatkan banyaknya manusia terinfeksi

flu burung dan flu manusia. Dalam simulasi

yang dilakukan, titik tetap bebas penyakit

tidak stabil.

Model pandemik membahas penularan flu

burung antar manusia. Bilangan reproduksi untuk pandemik flu manusia diperoleh nilai

yang lebih besar dari satu. Bilangan

reproduksi untuk pandemik flu burung

diperoleh nilai yang lebih kecil dari satu.

Berdasarkan penghitungan dengan nilai

parameter yang dipilih, pandemik flu burung

mampu menginvasi manusia sehingga terjadi

pandemik flu burung pada populasi manusia.

DAFTAR PUSTAKA

Alexander DJ, Capua I. 2007. Animal and

Human Implications of Avian and

Influenza Infections. Biosci. 27: 359-372.

Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer. Ed

ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan I

Nyoman Susila. Jakarta: Erlangga.

Chowell G, Miller M, Vibound C. 2008.

Seasonal influenza in the United States,

France, and Australia: transmission and

prospect for control. Epidemiol Infect.

136:852-864.

Farlow SJ. 1994. An Introduction to

Differential Equations and Their

Applications. New York: McGraw-Hill.

Martcheva M. 2011. Avian Flu: Modeling and

Implications for Control. Ams. 92D: 30-40.

Smith D, Lapedes A, De Jong J, Bestebroer.

2004. Mapping the antigenic and genetic

evolution of influenza virus. Science. 305:

371-376

Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and

Chaos, with Application to Physics,

Biology, Chemistry, and Engineering.

Massachusetts: Addison-Wesley

Publishing Company.

Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in

Economics and Biology. Heidelberg,

Germany: Springer-Verlag.

[WHO] World Health Organization. 2005.

Avian Influenza (H5N1) infection in

humans. N Engl J Med. 353(13):

1374:1385

19

LAMPIRAN

20

Lampiran 1 Titik tetap model unggas

Model unggas ada pada persamaan (3.1)

Titik tetap model unggas adalah dan dan

Lampiran 2 Matriks Jacobi model unggas dengan

Misal matriks Jacobi model unggas untuk titk tetap adalah

Matriks Jacobi model unggas dengan misalkan

Lampiran 3 Nilai eigen dari

dan

21

Lampiran 4 Jenis titik tetap untuk titik tetap

Misalkan untuk titik tetap berupa saddle node

jika nilai eigen real dan berbeda tanda dan maka

(4.1)

rumus mencari akar :

misalkan , , ,

untuk

dan

jadi (4.2)

nilai eigen real dan berbeda tanda jika dan maka

(4.3)

22


, , ,

untuk

dan

jadi (4.4)

Untuk titik tetap berupa nodes jika

nilai eigen real dengan tanda yang sama jika dan maka

(4.5)


, , ,

untuk

dan

jadi (4.6)

23

nilai eigen real bertanda sama jika dan maka

(4.7)


, , ,

dan

jadi (4.8)

, ,

Jika nodes stabil maka (4.9)

Jika nodes tidak stabil maka (4.10)

24

Lampiran 5 Matriks Jacobi model unggas dengan

Matriks Jacobi model unggas untuk titik tetap misalkan

Lampiran 6 Nilai eigen

Jenis titik tetap sulit untuk dikenali tanpa nilai parameter karena nilai

eigennya yang sangat rumit

Lampiran 7 Titik tetap model unggas dengan nilai parameter Tabel 6

25

Lampiran 8 Nilai eigen model unggas untuk titik tetap

Titik tetapnya berupa saddle node

Lampiran 9 Nilai eigen model unggas untuk titik tetap

karena titik tetapnya berupa nodes

karena titik tetapnya stabil

titik tetapnya berupa nodes stabil

Lampiran 10 Titik tetap model prepandemik

Model prepandemik terdapat pada persamaan (3.2)

Titik tetap model prepandemik adalah dan

26

Lampiran 11 Matriks Jacobi model prepandemik

Misalkan saja

Lampiran 12 Matriks Jacobi model prepandemik titik tetap

Misalkan saja

Lampiran 13 Matriks Jacobi model prepandemik untuk titik tetap kedua

Titik tetap kedua model prepandemik adalah

27

Matriks Jacobinya adalah


Lampiran 15 Jenis titik tetap untuk titik tetap

Misalkan untuk titik tetap berupa saddle node jika

nilai eigennya real dan berbeda tanda

titik tetap dapat berupa saddle node setidaknya ada satu nilai eigen

bernilai negatif.

Ambil salah satu nilai eigen misalnya jika

28

(15.1)

Untuk titik tetap berupa nodes jika

nilai eigen real dan bertanda sama

misalkan

(15.2)


, , ,

dan

29

jadi (15.3)

(15.4)

(15.5)

misalkan

(15.6)


, , ,

30

dan

jadi (15.7)

(15.8)

(15.9)

nodes stabil jika

Jika nodes stabil maka (15.10)

Jika nodes tidak stabil maka (15.11)

Lampiran 16 Titik tetap model prepandemik dengan parameter Tabel 6

Model prepandemik terdapat pada persamaan (3.2)

31

Titik tetap model prepandemik adalah

, , ,

, , ,


=

Titik tetapnya berupa titik saddle node

32


Matriks Jacobi adalah




Lampiran 19 Titik tetap model pandemik dengan parameter Tabel 6

Model pandemik terdapat persamaan (3.3) dengan nilai , ,

,

33

Persamaan (3.3) mempunyai 7 titik tetap yaitu

namun titik tetap yang memenuhi 0 hanya 4 titik tetap yaitu,

, , ,

, ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

Lampiran 20 Matriks Jacobi model pandemik

Misalkan saja

34

Lampiran 21 Nilai eigen dari dengan , ,

, , ,

Titik tetapnya berupa saddle nodes

Lampiran 22 Nilai eigen dengan , , , ,

,




35

Lampiran 23 Nilai eigen dengan , , ,

, ,

Titik tetapnya berupa saddle node

Lampiran 24 Nilai eigen dengan , , ,

, ,



titik tetapnya berupa nodes tidak stabil

36

Lampiran 25 Bilangan reproduksi flu burung dengan nilai paramater Tabel 6

Jika maka flu burung mampu menular pada manusia melalui interaksi langsung. Jika

maka terdapat titik tetap flu burung dominan dengan titik tetapnya ,

Lampiran 26 Bilangan reproduksi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6

Jika dan maka titik tetap bebas penyakit yaitu stabil.

Masukkan nilai parameter Tabel 6 sehingga . Satu syarat tidak terpenuhi maka titik tetap bebas penyakit tidak terwujud. Berdasarkan hasil

penghitungan titik tetap bebas penyakit tidak terwujud pada populasi manusia.

Jika maka terdapat titik tetap flu manusia dominan dengan titik tetapnya ,

Lampiran 27 Bilangan reproduksi invasi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6

Jika dan maka flu burung coexist dengan flu manusia pada populasi manusia.

Lampiran 28 Bilangan reproduksi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6

0

6

4

2060 5 10

0.5 36.5 0.5

=551.189

b b b

b b bv

1

810

1 136.5

65 65

=

217168.7439

v

* *

810 0.00122

1 365 192.28 10 278378327.7 065 6 65

3084.15916

ˆ

Y YY J

2

810 0.00277

1 136.5

65 65

493079.853

Z

vZ

37

Lampiran 29 Bilangan reproduksi invasi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6

Pandemik flu manusia terjadi dengan kondisi , , , dan .

Pandemik flu burung terjadi dengan kondisi , , , dan

dimana

Lampiran 30 Bilangan reproduksi invasi pandemik pada populasi manusia

Pandemik terjadi pada kondisi , , dan .

Lampiran 31 Banyaknya individu terinfeksi flu manusia saat terjadi pandemik flu burung

Lampiran 32 Banyaknya manusia rentan flu manusia

Jumlah manusia rentan flu manusia sebesar 49875.9955

Lampiran 33 Banyaknya manusia terinfeksi flu manusia

Jumlah manusia terinfeksi flu manusia sebesar

*

810 0.00277

1 192.28 10 278378327.7 36.565 65

11668.96329

ˆ Z

p

ZY vY

*

9

* *

810 0.00277

1 1 10.00277 0.029059118 0 2.28 10 36.5

65 65 65

493078.7

ˆ

023

H Z

p

Z ZI Y Y vJ Y

*

1

365 1

6 65 0.00122

= 49875.9955

S

38

Lampiran 34 Banyaknya manusia sembuh dari flu manusia

Jumlah manusia sembuh dari flu manusia sebesar

Lampiran 35 Total populasi unggas

Total populasi unggas sebesar

Lampiran 36 Laju populasi total unggas

Laju populasi total unggas sebesar

Lampiran 37 Total populasi manusia

Total populasi manusia sebesar

Lampiran 38 Laju populasi total manusia

Laju populasi total manusia sebesar

Lampiran 39 Banyaknya unggas rentan flu burung

Jumlah unggas rentan flu burung sebesar

39

Lampiran 40 Banyaknya unggas terinfeksi flu burung

Jumlah unggas terinfeksi flu burung sebesar

Lampiran 41 Banyaknya manusia rentan flu burung

Jumlah manusia rentan flu burung sebesar

Lampiran 42 Banyaknya manusia terinfeksi flu burung

Jumlah manusia terinfeksi flu burung sebesar

Lampiran 43 Total populasi manusia saat flu burung dominan

.

Total populasi manusia saat flu burung dominan sebesar

40

Lampiran 44 Dinamika populasi model unggas

Dinamika populasi unggas rentan

Dinamika populasi unggas terinfeksi flu burung

0 2 4 6 8 10 120

100

200

300

400

500

Waktu

Un

gg

asre

nta

n

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0

20

40

60

80

100

Waktu

Un

gg

aste

rin

fek

sifl

ub

uru

ng

41

Lampiran 45 Dinamika populasi model prepandemik

Dinamika populasi manusia rentan

Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia

0 2 4 6 8 10 120

50

100

150

200

Waktu

Man

usi

aR

enta

n

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100

10

20

30

40

Waktu

Man

usi

aT

erin

fek

siF

luM

anu

sia

42

Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia

Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

10

20

30

40

50

60

Waktu

Man

usi

aS

emb

uh

dar

iF

luM

anu

sia

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200

50

100

150

200

Waktu

Man

usi

aT

erin

fek

siF

luB

uru

ng

43

Lampiran 46 Dinamika populasi model pandemik

Dinamika populasi manusia rentan

Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia

0 1 2 3 4 5

0

100

200

300

400

500

600

700

Waktu

Man

usi

are

nta

n

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

20

40

60

80

100

Waktu

Man

usi

aT

erse

ran

gF

luM

anu

sia

44

Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia

Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung

Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung dan flu manusia secara bersamaan

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

50

100

150

200

Waktu

Man

usi

aS

emb

uh

dar

iF

luM

anu

sia

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

50

100

150

200

Waktu

Man

usi

aT

erin

fek

siF

luB

uru

ng

45

Dinamika populasi manusia terinfeksi pandemik flu burung

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100

20

40

60

80

100

Waktu

Man

usi

aT

erin

fek

siF

luB

uru

ng

dan

Flu

Man

usi

a

0 5 10 15 20 25 300

200

400

600

800

Waktu

Man

usi

aT

erin

fek

siP

and

emik

Flu

Bu

run

g

analisis model pandemik dan prepandemik avian … · analisis model pandemik dan prepandemik avian...

Documents