ukuran pemusatan

UKURAN PEMUSATAN

WAHYU WIDODO

22

ASSALAAMU ‘ALAIKUMASSALAAMU ‘ALAIKUMWARAKHMATULLAAHI WABAROKAATUHWARAKHMATULLAAHI WABAROKAATUH

BISMILLAHIRAHMANIRRAHIMBISMILLAHIRAHMANIRRAHIM

SILABI

• Definisi• Mean (Rata-rata hitung)• Modus• Median• Perluasan Median - Kuartil - Desil - Persentil

3

UKURAN PEMUSATAN DATA (MEASURES OF CENTRAL

TENDENCY)

suatu ukuran untuk meringkas/menyimpulkan sekelompok data dalam satu nilai tunggal yang spesifik yang letaknya di tengah dari nilai-nilai pengamatan yang terhimpun dalam sekelompok data

UKURAN PEMUSATAN

• UKURAN GEJALA PUSAT - Rata-rata hitung - Rata-rata ukur - Rata-rata harmonik - Modus• UKURAN LETAK - Median - Kuartil - Desil - Persentil

MEAN (RATA-RATA HITUNG)

• Dihitung dengan membagi jumlah nilai oleh banyak data

• atau

• Atau secara sederhana

• Dimana ∑xi = jumlah semua harga x

• n = banyak data

n

xx

n

i

i 1

n

xx

i

n

xxxx

n

...21

Contoh

• Data berat badan 5 mahasiswa UMM sebagai berikut:

• 70 kg, 69 kg, 45 kg, 80 kg, 56 kg

645

5680456970

x

• Jika ada 5 mahasiswa mempunyai berat badan 70 kg, 6 mahasiswa dengan berat badan 69 kg, 3 mahasiswa denga berat badan 45 kg dan masing-masing 1 mahasiswa dengan berat badan 80 kg dan 56 kg. Cari rata-rata hitung!

• Jawab:

xi fi fixi

70 5 350

69 6 414

45 3 135

80 1 80

56 1 56

jumlah 16 1035

xi = berat badan

fi = frequensi untuk nilai xi yang

bersesuaian

i

ii

f

xfx

Rumus:

kgx 6.6416

1035

• Sifat MeanPeka terhadap perubahan nilai maupun jumlah pengamatanPaling reliabel (dapat dipercaya)

MODUS

• Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat

• Modus adalah nilai yang mempunyai frekuensi terbesar dari sekelompok data.

• Pada data kuantitatif modus ditentukan oleh adanya nilai-nilai pengamatan kembar.

xi fi

12 1

14 2

28 2

34 4

Mo = 34

Dalam sekelompok data mungkin terdapat

1. Tanpa modus (nonmodal)

2. Satu modus (unimodal)

3. Dua modus (bimodal)

4. Lebih dari dua modus (multimodal)

• Sifat ModusKurang peka terhadap perubahan nilai maupun jumlah pengamatanTidak reliabel (tidak dapat dipercaya)

MEDIAN

• Contoh:• Data: 4, 12, 5, 7, 8, 10, 10• Disusun berurut: 4, 5, 7, 8. 10, 10, 12• Me = 8• Data berukuran genap : 12, 7, 8, 14, 16, 19,

10, 8• Disusun berurut: 7, 8, 8, 10, 12, 14, 16, 19• Me = ½ (10 + 12) = 11

Harga yang ditengah apabila angka-angka itu disusun menurut besarnya. Jika sekumpulan angka itu genap banyaknya, maka median ini adalah rata-rata dua bilangan yang ditengah. Untuk data berjumlah genap maka median terletak pada data ke (n + 1)/2

• MedianKurang peka terhadap perubahan nilai pengamatan tetapi peka jumlah pengamatanKurang reliabel (kurang dapat dipercaya)

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS

Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data :

1) Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri.

2) Jika Mod<Med<rata-rata hitung, maka kurva miring ke kanan.

3) Jika rata-rata hitung<Med<Mod, maka kurva miring ke kiri.

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS

(lanjutan)

Jika distribusi data tidak simetri, maka terdapat hubungan :

Rata-rata hitung-Modus = 3 (Rata-rata hitung-Median)

Med X3 Mod - X

KUARTIL

• Jika sekumpulan data dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil. Ada tiga buah kuartil: K1, K2, K3. Untuk menentukan nilai kuatil:

• Susun data menurut urutan nilainya• Tentukan letak kuartilnya• Tentukan nilai kuartilnya

• Kuartil adalah nilai yang membagi sekelompok data menjadi empat bagian yang sama sesudah disusun menurut urutan nilainya.

I II III IV K1 K2 K3

Median

Letak kuartil ditentukan oleh rumus:

• Letak Ki = data ke

• Dengan i = 1, 2, 3 4

)1( ni

4

)112(1

• Contoh:• Data: 75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70• Urutan: 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94

Letak K1 = data ke = Data ke 3¼

Yaitu antara data ke-3 dan ke-4 seperempat jauh dari data ke-3

Nilai K1 = data ke 3 + ¼ (data ke-4 – data ke-3) = 57 + ¼ (60 – 57) = 57¾

4

)112(2

4

)112(3

Letak K2 = data ke = Data ke 6½

Nilai K2 = data ke 6 + ½ (data ke-7 – data ke-6) = 66 + ½ (70 – 66) = 68

Letak K3 = data ke = Data ke 9¾

Nilai K3 = data ke 9 + ¾ (data ke-10 – data ke-9) = 82 + ¾ (86 – 82) = 85

DESIL• Jika kumpulan data itu dibagi menjadi 10 bagian

yang sama, maka didapat sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan desil (D1, D2, ….,D9). Desil ditentukan dengan jalan:a. Susun data menurut urutan nilainya

b. Tentukan letak desil

c. Tentukan nilai desil

10

)1( niLetak desil = Di = data ke

dengan i = 1, 2, ….., 9

Nilai desil dari distribusi frequensidengan i = 1, 2, ….., 9

f

FixnpbDi

10/

• b : batas bawah kelas Di, ialah kelas dimana Di akan terletak• p : panjang kelas Di • n : ukuran sampel atau banyak data• F : jumlah semua frequensi sebelum kelas Di

• f : frequensi kelas Di

PERSENTIL• Jika kumpulan data itu dibagi menjadi 100 bagian

yang sama, maka didapat 99 pembagi dan tiap pembagi dinamakan persentil (P1, P2, ….,p99). Persentil ditentukan dengan jalan:a. Susun data menurut urutan nilainya

b. Tentukan letak persentil

c. Tentukan nilai persentil

Letak persentil = Pi = data ke

dengan i = 1, 2, ….., 99 100

)1( ni

Nilai persentil dari distribusi frequensidengan i = 1, 2, ….., 9

• b : batas bawah kelas Pi, ialah kelas dimana Pi akan terletak• p : panjang kelas Pi • n : ukuran sampel atau banyak data• F : jumlah semua frequensi sebelum kelas Pi

• f : frequensi kelas Pi

f

FixnpbPi

100/

Soal• Jumlah permasalahan di Jawa

Timur untuk periode 2051 – 2063 dalam ribuan buah adalah sebagai berikut:

• Pertanyaan:• Buatlah diagram yang cocok

untuk data tersebut• Hitunglah laju pertambahan

permasalahan tiap tahun dalam persen

• Dari tahun berapa ke tahun berapa laju pertambahan permasalahan yang paling pesat

Tahun jumlah

2051 10.16

2052 12.10

2053 13.90

2054 15.91

2055 17.93

2056 20.07

2057 22.71

2058 25.97

2059 29.00

2060 32.53

2061 36.07

2062 37.89

2063 39.95

HUBUNGAN UKURAN PEMUSATAN DATA DENGAN SKALA PENGUKURAN

DATA

Skala pengukuran

data

Ukuran pemusatan data

Mean Median Modus

Nominal - - +

Ordinal - + +

Interval + + +

Rasio + + +

Contoh

Terdapat 10 karyawan suatu perusahaan ‘X’ akan dilihat rata-rata hari tidak masuk selama satu bulan. Hasil pengamatan sebagai berikut :

0 0 0 0 0 1 1 2 226

0+0+0+0+0+1+1+2+2+26 =

10 32 = = 3,2 hari tiap bulan 10

Median = 0,5

Bila pada sekelompok data rasio atau interval mengandung nilai ekstrim, maka mean tidak reliabel. Gunakan median

x

x

2929

ALHAMDULILLAHIRABBIL’ALAMINALHAMDULILLAHIRABBIL’ALAMIN

WASSALAAMU ‘ALAIKUMWASSALAAMU ‘ALAIKUMWARAKHMATULLAAHI WABAROKAATUHWARAKHMATULLAAHI WABAROKAATUH