statistik dipersi kemiringan dan keruncingan

STATISTIK

Statistik :Ilmu tentang bagaimana cara mengolah data dan pengambilan

kesimpulan.

Data primer : Data yang diambil oleh orang berkepentingan.

Data sekunder : Data yang tidak diambil oleh dirisendiri.

Populasi : Seluruh objek diambil.

Sampel : Bagian dari populasi.

TABEL DAN GRAFIK

Tabel : Kumpulan angka yang disusun menurut kategori-kategori sehingga

memudahkan untuk menganalisa data.

Bentuktabel:

1. Tabel satu arah : Pendidikan masa kerja, jenis, merk, harga

2. Tabel dua arah : pendidikan, masa kerja, umur.

3. Tabel tiga arah :

Contoh tabel satu arah

Jenis BanyaknyaContoh Tabel dua arah

Grafik

1. Grafik Garis Tunggal

- Hanya mempunyai garis satu

2. Grafik Garis Ganda

- Mempunyai garis lebih dari satu

3. Grafik Garis Komponen Berganda

- Berwarna

Grafik batang (Histogram)

Grafik lingkaran

Cara mencari persen

75200

× 100% = 37 ,5%50200

× 100% = 25%

Cara mencari derajat

37,4% x 360 = 135

37 ,4100

× 360 °= 135 °

Data hasil akhirbagian statistika dari 60 orang mahasiswa:

23, 60, 79, 32, 57, 74, 52, 70, 82, 36, 80, 77, 81, 95, 41, 65,92, 85, 55, 76, 52, 10,

64, 75, 78, 25, 80, 98, 81, 67, 41, 71, 83, 54, 64, 72, 88, 62, 74, 43, 60, 78, 89, 76,

84, 48, 84, 90, 15, 79, 34, 67, 17, 82, 69, 74, 63, 80, 85, 61.

Urutkan data:

1. 10

2. Range (r) maks-min

r = 98 − 10= 88

3. k = 1 + 3,3 log (60)

= 1 + 3,3 (1,77 )= 1 + 5,841= 6,841= 7 (genap )

4.C = r

k

= 886 ,841

= 12 ,57 = 13

TabelDistribusiFrekuensi (Tabel Yang Didalamnya Ada Interval, Limit)

Kelebihan : Dapat mengetahui gambaran secara menyeluruh.

Kekurangan : Rincian data informasi awal menjadi hilang.

Contoh tabel distribusi frekuensi

Interval Frekuensi151 – 153 20154 – 156 12

- Limit kelasbawah : Nilai terkecil dari tabel diatas

Ex: 151

- Limit kelasatas: Nilai terbesar dari nilai tabel diatas

Ex: 153

- Batas kelas :

- Lebarkelas : (interval) jarak antar kelas atas/bawah

Ex: (151 – 153)

Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi

1. Urutkan data

2. Menentukan range Mak – Min

3. Menentukan banyaknya interval kelas (k) rumus: k = 1 + 3,3 log (n )

4. Lebarkelas (c) rumus: C = r

k

Interval Frekuensi Batas Kelas Frek. relatif10 – 22 3 9,5 – 22,5 3

60× (100) = 5 %

23 – 35 4 22,5 – 35,5 6%36 – 48 5 35,5 – 48,5 8%49 – 61 8 48,5 – 61,5 13%62 – 74 14 61,5 – 74,5 23%75 – 87 20 74,5 – 87,5 33%88 – 100 6 87,5 – 100,55 10%

Latihan

1. 19, 23, 18, 43, 30, 20, 37, 42, 30, 26, 40, 16, 27, 56, 17, 27, 26, 27, 37, 28, 38, 26,

33, 45 50, 22, 28, 38, 31, 39, 31, 30, 31, 41, 62, 37, 51, 42, 25, 42, 42, 41, 27, 26,

19, 42, 63, 16, 18, 55.

r = 63 − 16= 47

k = 1 + 3,3 log (50)

= 1 + 3,3 (1,69 )= 1 + 5,577= 6,577= 7

C = rk

= 476 ,577

= 7

Lebarkelasselisih antara kelas atasdengan limit kelas atas (interval)

Membuat tabel frekuensi distribusi

1. Urutkan data

2. Menentukan range Mak – Min

3. Menentukanbanyaknya interval kelas (k) rumus: k = 1 + 3,3 log (n )

4. Lebarkelas (c) rumus: C = r

k

Ex:

Data hasil statistic hasil ujian akhir dari 60 mahasiswa

23, 60, 79, 32, 57, 74, 52, 70, 82, 36, 80, 77, 81, 95, 41, 65, 92, 85, 55, 76, 52, 10,

64, 75, 78, 25, 80, 98, 81, 67, 41, 71, 83, 54, 64, 72, 88, 62, 74, 43, 60, 78, 89, 76,

84, 48, 84, 90, 15, 79, 34, 67, 17, 82, 69, 74, 63, 80, 85, 61.

10 (terkecil)

98 (terbesar)

Jawab:

1. 10 (terkecil) 98 ( terbesar)

2. Range (r) Maks- Min

r = 98 − 10= 88

3. k = 1 + 3,3 log (60)

= 1 + 3,3 (1,77 )= 1 + 5,841= 6,841= 7

4.C = r

k

= 886 ,841

= 12 ,57 = 13

UkuranPemusatan Data

yang dimaksud dengan ukuran pemusatan suatu data adalah

- Rata-rata

- Median

- Modus

Rata-rata hitungadalah:

X =x1 + x2 + .. . + xn

n

Modus = Bmodus + P { b1

b1 + b2}

Bmod= batas bawah kelas modus yaitu kelas dengan frekuensi terbanyak.

p = panjan gkelas modus.

b1= selisih frekuensi kelas modus

Median (Data paling tengah)

Median = Bmodus + P { n

2−F

f mod us } X ( n + 12 ) = (21 + 1

2 )= 222

= X II = 7

X ( n + 12 ) = (82 + 1

2 )= 832

= 41,5 = 71,1 − 78,0

Interval Frekuensi Batas Kelas Frek. relatif16 – 22 9 15,5 – 22,5 9

50× (100 )= 18 %

23 – 29 12 22,5 – 29,5 24%30 – 36 7 29,5 – 36,5 14%37 – 43 15 36,5 – 43,5 30%44 – 50 2 43,5 – 50,5 4%51 – 57 3 50,5 – 57,5 6%58 – 64 2 57,5 – 64,5 4%

∑ = 50

Batas Bawah Frek. Kumulatif<

Frek. Kumulatif> Persen Kun <

>< 15,5 0 50 0>< 22,5 9 48 9

50× (100 )= 18%

>< 29,5 21 45>< 36,5 28 43>< 43,5 43 28>< 50,5 43 21>< 57,5 48 9>< 64,5 50 0

Ex:

Interval Frekuensi Nilai Tengah (X)16 – 22 9 1923 – 29 12 2630 – 36 7 3337 – 43 15 4044 – 50 2 4751 – 57 3 5458 – 64 2 61

X1 =15 ,5 + 22 ,52

= 382

= 19

Rata-rata =

19(9 ) + 26(12 ) + 33(7 ) + 40(15) + 47 (2) + 54 (3) + 61(2)50

= 171 + 312 + 231 + 600 + 94 + 162 + 12250

= 33 ,84

Modus = 26 + P ( b1

b1 + b2)

= 36 ,5 + 7 ( 88 + 13 )

= 36 ,5 + 7 (821 )= 36 ,5 + 56

21= 39 ,1

Median

= 29 ,5 + 7 ( 502

− 21

7 )Bmodus + P

{ n2

−f

f mod us }= 29 ,5 + 7 (4

7 )= 29 ,5 + 3 ,98 = 33 ,48

Pengukuran dipersi kemiringan dan keruncingan

Dipersi : sejauh mana data-data itu menyebar

1. Jangkauan : selisih data yang tinggi dengan rendah

2. Simpangan rata-rata

3. Variasi atau ragam

4. Standar deviasi

5. Simpangan kuartil

Kemiringan data

A. Persen

1. Jangkauan

R = nilai maximum –nilai minimum

“ semakin kecl nilai r maka kualitas data semakin baik”

2. Simpangan rata-rata

“ jumlah mulai mutlak dari selesih semua nilai-nilai

Data tidak berkelompok se=

∑|x −x|π

Data berkelompok sr=

∑ f |x −x|

∑ f

Mencari simpangan rata-rata

SR =

30,40,50,60,70

1 = data ke

N = jumlah data 5

=

|30−50|+ |40−50|+|50−50|+|60−50|+|70−50|5

=

20 +10 +0 +10 +205

= 605

= 12

Simpangan rata-rata

1 = data yang kesatu

= 3|15−65 ,9|+4|28−65 ,9|+…+ 6 |93−65 ,9|= 15,76+159,76+ ...+162,48

=

998 ,7660

= 16 ,69

NB= 65,9 adalah X (X bar)

Variansi

Data tidak berkelompok

s2 =∑ ( x−x )2

n−1 atau s2 =

n ∑ x2 − (∑ X )2

n (n−1 )

Data berkelompok

s2 =∑ f (x−x )2

∑ f−1 atau s2 =

n ∑ 1 x2 (∑ fX )2

n (n−1 )

n =∑ f

Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai rata-rata terhadap nilai rata-rata hitung

Ex: 30,40,50,60,70,= s2 ∑

i−1

n

(x i−x )2

(30−50 )2 + ( 40−50 )2 + (50 −50 )2 (60 −50 )2 + (70−50 )5−1 = banyak data dikurang rumus

2

400 +100 +0 +100 +4004

− 1004

=250

Kemiringan distribusi data

Derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian suatu distribusi data

Ada 3 rumus

1. Pearson

2. Momon

3. Bowley

Rumus pearson

a = x − mods

atau a = 3 ( x− mods )

A = drajat kemiringan pearson

x = rata-rata

s =

bila

1. a = 0, maka distribusi datanya simetri

2. a < 0, maka distribusi datanya miring kekiri

3. a > 0, maka distribusi datanya simetri miring kanan

1. Rumus momen

data tidak berkelompok

q3 =∑ (X− X )ns2

Bila dipakai 1 rumus saja

Data berkelompok

q3 =∑ f ( x −x )2

Med =

l0 + |n−f2F

|

=

60 ,5 + 13 |60−192

12

|

= 60 ,5 + 13 (11

12)=71,49

Rumus momen

a3 =∑ ( X − Xn s3 )

2

∂ =∑ f ( x −X )3

∑ f s3

F = frekuensi

X : nilai tengah

∑ f = 60

S = 21,04

S3 = 21,04 x 21,54 x 2,04

(X − X ) F (X x )9

-50,9

-37,9

-24,9

-11,9

1,08

14,08

27,08

-132028

-545262

-15475,5

-169367

1,25971

2791,31

1985,5

3

4

4

6

12

23

6

-396083

-218105

-61901,9

-135494

15,1165

642001

119151

-506273

Keruncingan Distribusi data

Derajat atau ukuran tinggi rendahnya uncak suatu distribusi data terhadap

distribusi normal datanya.

Disebut juga kurtosis

Ada 3 jenis

1. Leptokurtis puncaknya relatif tinggi

2. Tesokurtis puncaknya relatif normal

3. Platikurtis puncaknya relatif rendah

Keruncingan distribusi data

a 4 =∑ (X − X )4

ns4

a4 -3 = mesokurtis

a4 >3 = leptokurtis

a4 <3 = platikurtis

→ ∑ f ( x −x )3−506273558841

uji satu sampel

menguji apakah satu sampel sama/berbeda dengan rata-rata populasinya

Hitung rata-rata dan standar deviansinya

df π −1

tingkat singnifikan (a = 0,025 atau, 0,05

pengujian apakah menggunakan 1ekor atau 2 ekor

diperoleh t hitung lalu dibandingkan dengan ttabel jika thitung > + tabel H0

ditolak

H0 = P1 – P2

Diperoleh rata-rata 17,26 standar deviasi : 7,6 : df : 89 thitung = 11,55, berdasarkan

tabel df 89 dan alfa 0,05 diperoleh ttabel : 1,987

Rumusnya

X− uys/√n

thitung :

17 ,26−07,6√90

=

17 ,267,6/√90

=11 ,55

ttabel = 0,05 = 1,987

t hitung > ttabel sehingga H0 ditolak

rata-rata yang di perlukan mahasiswa untuk daftar ulang pada awal semester di

suatu universitas pada semester yang lalu adalah 45 menit dan standar deviasinya

8 menit suatu pendaftaran baru dengan memakai komputer diharapkan dapat

mengurangi waktu pendaftaran bagi mahasiswa di bandingkan dengan cara yang

lama diambil sample sebanyak 10 orang mahasiswa dan ternyata waktu

pendaftaran yang dignunakan adalah 35 menit dengan standar deviasi 9,5 menit

pertanyaan : apakah anda percaya dengan harapan tersebut berdasarkan hasil

pengujian hipotesis pada taraf ditanya 1 %

N = 45

Standar deviasi 8

X = 35Standar 9,5 , n =10

∂ (alfa) 1 % = 0,01

Df = n - 1 = 9

ttabel = 3,25

thitung =

X = 24s /√n

35 −459,5/√10

-10 =-3,26

thitung (3,26)

ttabel (3,25)

thitung < ttabel → , H0 diterima

pengelola pasar perbelanjaan akan melakukan reposisi jika ada perubahan pada

target marketnya untuk itu dilakukan pengujian apakah penyaluran rata-rata

pengunjung lebih besar dari pada Rp. 400.000-, setiap kali kunjungan seperti

yang diharapkan dalam melakukan pengkajian yang diharapkan dalam melakukan

pengkajian tersebut diambil sampel acak sebesar 20 pengunjung dan besar nya

pengeluaran tiap pengunjung sebagai berikut :

450, 300, 480, 500, 370, 290, 410, 360, 405, 520, 360, 380, 420, 470, 400, 350,

310, 370, 390, 425

Lakukan pengujian apakah benar besarnya uang rata-rata yang dibelanjakan tiap

pengunjung setiap kali kunjungan lebih besar dari 400.000 dengan (∂ ) alfanya 5

%.

s2

∑ (X1 − X

n−1

tabel = 0,05 19 = 209

t hitung =

X − ϕϕ

mencari X (x bar )

X = 450 + 300+ 390 +…+42520

Setalah itu dicari s √ s2 =dilakukan

S2 =(450 −416 ,5 )2 + (300 − 416 ,5 )2 + …+ (425 + 4 ,6520 −1

=(−33 ,5 )2 + (−116 ,5 )2 + (300 − 416 ,5 )2 + …+ (425 + 4 ,65 )20 −1

S2 =

∑ ( x 1 − x2 )2

n −1→ mencari skuadrat

Pemeriksaan kenormalan

1) urutan data

x1 < x2 < x3 < x4 x5 <.... x12

2) Beri indeks data

3) Hitung :

P=1−1

2n

4) Menentukan nilai peluang P yaitu nilai P2 tabel 2 0 λ

5) Plot data x1 dengan nilai peluang pada tabel > jika plot mendakti garis lurus

maka data berdistribusi normal.

Contoh

Beri indeks data

X1 Indeks P1 2x

15171819

12345678

0,050,150,250,350,450,550,65

-0,25-021-0,12

910

(1-0,05 = 095 ( hasil ditabel 2)

Cara mencari Pi

Caranya :

P=1−1

2n

P=1−1

210

Rebresi

4 = β0 + β1 X + t eror

regresi

Untuk mentukan besarnya pendapatan atau pengeluaran

Caranya :

β i =∑ Xy − (∑ x ) (∑ y )

n

∑ X2 −(∑ X )2

n

β0 = y − β1 X

y = β0+β1x+e →eror (y1- y ) y sebenarnya y dugaan

r = 0,62

β1 =−0 ,45

β0 =−35 ,825

y = β0+β1x+e

y = 35 ,825 −0 ,45 x + e (pendapatan)

Jika x = 25 tentukan nilai y (pengeluaran)

y = 30 . 825 − 0 ,45 (25)

= 24,57

Korelasi product moment→Hubungan antara x & y X =besar biaya pendapatY =besarnya pengeluaranKoefisen korelasi (r)→-1 ¿ r<¿

- 1 ¿ r<¿ - 0,8 ¿ r<¿= kuat

- 0,8¿ r<¿ -0,5 atau 0,5 ¿ r<¿ 8 → cukup kuat

- 0,5¿ r atau 0,5 ¿ r → lemah

R=0 → tidak ada hubunganx y15 25

30 2829 2740 12

Koef korelasi (r) n∑× y

N √N∑ X ×2−(∑❑×2 ){ⁿ∑ y2−¿ R =4 (375+840+783+480)-(144.92)√¿= 9912 – 10488 =-576 = -576√14264-12996).(9128-8464) √1268.664 914

=0,633. uji t⤍ jika 2 sample berpasangan.T hitung :d-do

So/√n

d= ∑d =∑ (× 𝐀 -× 𝐛 ) n nsd2 =n∑d2-(∑ 𝐃 )2

N N (ⁿ-1)

Ho : ϻ1 = ϻ2 ⤍D :ϻ1 = ϻ2

Hi : ϻ1 ≠ ϻ2 D:ϻ1 = ϻ2 = 0

Nama Xa sebelum Xb (sesudah) dRomi 65 70 5Ani 70 68 2Ana 90 80 10Andi 85 95 10dedi 65 70 5

d=¿ ∑𝐃 = 32 = 6,4 𝗇 5Sd2 =n∑n2−¿ ¿(∑d ¿¿2 T tabel = n-1 = 4 = 2,78 N (n-1)= 5 (254) – (1024) 5 (5-1)=1270-1024 =√12,3=3,50 20= d-Do = 6,4-0 = 6,4 So/√𝗇 3,5/√5 3,5 / 2,23= 6,4 = 4,1 ¿ 2,78 ⤍ TERIMA HO 1,56

Jadi cukup kuat hubungan antara besar nya pendapat dengan besarnya pengeluaran .

KP : R2 x 100 % 0,632 X 100 % =0,384 X100 % = 38,4 %

- Satu arah (berarah) - 2 arah (tidak berarah)

Ho: ϻ1 = ϻ2

Hi : ϻ1 ≠ ϻ2

x y

40 3560 7595 6075 8580 9835 50

2. Menguji apakah rata-rata dua kelompok yang tidak berhubungan sama agar garis miring berbeda

T hitung = x -y =-7,369. T tabel .S x -y

S y = √(∑x2+∑y2) (inx+

iny

(ⁿ×=ⁿ 𝒚 - 𝟤 ) Ho : pengahsilan guru s1 = penghasilan guru s3

T hitung = -7,369 ¿ t tabel – 1,994Ho: nilai x = nilai yHi nilai x ≠ nilai yX = 5 % T 𝛼(0,05),df : 6-1=5 ⤍2,75T hitung = x -y =64,16-67,16

S x -y

S x -y = √(∑x2+∑xy2(1nx

+1ny

)

n×+ⁿ𝒚-2

= (2745 +29779 ) (16+ 1

6) (

16+ 1

6)

6+6-2

√57254 x26

❑

=√19084 ,6= 0,068

10 10

T hitung ¿ t tabel⤍ terimahoT hitung ¿ t tabel : terimahoT hitung >t tabel: tolak : ho