sistem persamaan linear - nurdinintya's...
Post on 27-May-2018
294 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Sistem Persamaan Linear (SPL)
Sub Pokok Bahasan• Pendahuluan• Solusi SPL dengan OBE• Solusi SPL dengan Invers matriks dan Aturan Crammer• SPL Homogen
Beberapa Aplikasi Sistem Persamaan Linear Rangkaian listrik Jaringan Komputer Model Ekonomi dan lain-lain.
PendahuluanPersamaan linear adalah persamaan dimana peubahnyatidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain ataudirinya sendiri.
Contoh :Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (x) dan 2 PC (y) maka ia harus membayar $ 5000, sedangkan jikamembeli 3 Laptop dan 1 PC maka ia harus membayar$ 10000.Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL
x + 2y = 50003x + y = 10000
Bentuk umum sistem persamaan linear
Dapat ditulis dalam bentuk :
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
11
21111
11111
11212111 ... bxaxaxa nn
22222121 ... bxaxaxa nn
mnmnmm bxaxaxa ...2211
mb
bb
2
1
nx
xx
2
1
AtauAX = B
dimana• A dinamakan matriks koefisien• X dinamakan matriks peubah• B dinamakan matriks konstanta
Contoh :Perhatikan bahwa SPL
x + 2y = 50003x + y = 10000
dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks
10000
5000 y
x 1321
Solusi SPL Himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah
suatu SPL akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut.
Perhatikan SPL : x + 2y = 50003x + y = 10000
Maka {x = 3000, y =1000 } merupakan solusi SPL tersebut{x = 1000, y =3000 } merupakan bukan solusi SPL itu
Suatu SPL, terkait dengan solusi, mempunyai tiga kemungkinan :• SPL mempunyai solusi tunggal• SPL tidak mempunyai solusi• SPL mempunyai solusi tak hingga banyak
Ilustrasi Solusi SPL dengan garis pada kartesius
Artinya : SPL 2x – y = 2x – y = 0
Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2
y = xy = 2x - 2 (2, 2) merupakan titik potong
dua garis tersebut
Tidak ada titik potong yang lain selain titik tersebut
Artinya, SPL mempunyai solusi tunggal.
(2, 2)x
y
1 2
2
Perhatikan SPLx – y = 02x – 2y = 2
Jika digambar dalam kartesius
x
y y = x y = x – 1
1
Terlihat bahwa dua garistersebut adalah sejajar.
Tak akan pernah diperolehtitik potong kedua garis itu
Artinya, SPL TIDAK mempunyai solusi
Perhatikan SPLx – y = 02x – 2y = 0
Jika kedua ruas pada persamaan kedua dikalikan ½, diperolehpersamaan yang sama dengan pers. Pertama. Jika digambar dalam kartesius
y
x
x – y = 02x – 2y = 0
Terlihat bahwa dua garistersebut adalah berimpit.
Titik potong kedua garisbanyak sekali disepanjang
garis tersebut.
Artinya,SPL mempunyai
solusi tak hingga banyak
Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE• Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar• Lakukan OBE sampai menjadi esilon baris tereduksi
Contoh :Tentukan solusi dari SPL
3x – y = 5x + 3y = 5
Jawab :Martiks yang diperbesar dari SPL
~55
3113
~55
1331
~105
10031
~15
1031
12
1001
Tulis kembali matriks yang diperbesar hasil OBE menjadi perkalian matriks
Solusi SPL tersebut adalah x = 2 dan y = 1
1 2
1 0
0 1
yx
Contoh :Tentukan solusi (jika ada) dari SPL berikut :
a. a + c = 4a – b = –12b + c = 7
b. a + c = 4a – b = –1–a + b = 1
c. a + c = 4a – b = –1–a + b = 2
b.
Jika dikembalikan kedalam bentuk perkalian matriks diperoleh :
Ini memberikan a + c = 4 dan b + c = 5.Dengan memilih c = t, dimana t adalah parameter.Maka solusi SPL tersebut adalah :
, dimana t adalah parameterJadi, SPL tersebut memiliki solusi banyak.
11
4
011011101 1 0 1 4
0 1 1 50 0 0 0
1 0 1 40 1 1 50 0 0 0
abc
1 41 5
1 0
ab tc
c.
Terlihat bahwa ada baris nol pada matriks koefisien tetapimatriks konstanta pada baris ke-3 sama dengan 1 (tak nol)
Dari baris ke-3 diperoleh hubungan bahwa 0.a + 0.b = 1.
Tak ada nilai a dan b yang memenuhi kesamaan ini.Jadi, SPL tersebut tidak memiliki solusi.
21
4
011011101 1 0 1 4
0 1 1 50 0 0 1
1 0 1 40 1 1 50 0 0 1
abc
ELIMINASI GAUSS JORDAN
341
143
111312201
4
3
2
1
xxxx
~...~341
|||
143
111312201
|
bA
Carilah solusi SPL berikut :
Solusi :
021
|0000|2110|3201
Matriks baris eselon tereduksi
Kolom 3,4 tidak memiliki 1 utama
X3 = s , x4 = t
132 431 xxx22 432 xxx tsx 222
ts
tsts
xxxx
22321
4
3
2
1
021
|0000|2110|3201 tsx 3211
Maka, solusinya adalah
ELIMINASI GAUSS JORDAN
LATIHANCarilah solusi SPL berikut :
321
533322534
.zyx
a
121
242
111312203
.
4
3
2
1
xxxx
b
. 2 2 2 02 5 2 1
8 4 1
c a b ca b c
a b c
. 2 12 2 2 2
2 4 13 3 3
d x y z wx y z wx y z w
x w
Contoh : Diketahui SPL :
x + 2y – 3z = 43x – y + 5z = 24x + y + (a2 – 14) z = a + 2
Tentukan a sehingga SPL : a. Mempunyai solusi tunggalb. Tidak mempunyai solusic. Solusi yang tidak terhingga
Jawab: Matriks diperbesar dari SPL adalah
a. Agar SPL mempunyai solusi tunggal:a2 – 16 0 sehingga a 4
~214-14
251343-21
2
aa
142-7010147043-21
2 aa
416-0010147043-21
~2 aa
b. Perhatikan baris ketiga0x + 0y + (a2 – 16a) z = a – 4
SPL tidak mempunyai solusi saata2 – 16 = 0 dan a– 4 0Sehingga a = 4 dan a 4.Jadi , a = – 4.
c. SPL mempunyai solusi tak hingga banyaka2 – 16 = 0 dan a – 4 = 0 Jadi , a = 4
416-0010147043-21
2 aa
Solusi SPL dengan Matriks Invers
AtauAX = B
Kalikan setiap ruas di atas dengan A–1
A–1 A X = A–1 Bdiperoleh : X = A–1 BIngat bahwa suatu matriks A mempunyai invers jika dan hanya jikaDet (A) 0.
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
21
22221
11211
nx
xx
2
1
nb
bb
2
1
Contoh :Tentukan solusi dari SPL berikut :
a + c = 4a – b = –12b + c = 7
Jawab :Perhatikan bahwa
Jadi A mempunyai Invers
0 1 12001-1101
A
1-2-2111-121-
1
A
Solusi SPL dengan aturan CramerMisalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :
Jika determinan A ≠ 0, maka solusi dapat ditentukan satu persatu(peubah ke-i, xi)
Langkah-langkah aturan cramer adalah :• Hitung determinan A• Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B.
Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
21
22221
11211
nx
xx
2
1
nb
bb
2
1
nnnn
n
n
aba
abaaba
A
1
2211
1111
2
• Hitung |Ai|
• Solusi SPL untuk peubah xi adalah
Contoh :Tentukan solusi b dari SPL berikut :
a + c = 4a – b = –12b + c = 7
Jawab :Perhatikan bahwa
)det()det(
AAx i
i
1 12001-1101
A
Maka
Jadi, Solusi peubah b yang memenuhi SPL adalah b = 2
)A ( det ) A (det b 2
117001-1141
701-1
1 1001
(-4) 1701-
1
) 0 - 7 ( 1 ) 0 - 1 ( (-4) ) 0- 1- ( 1
7 (-4) 1-
2
Tentukan solusi SPL untuk peubah a ?
Solusi peubah c ?
1det
det
4 0 1-1 -1 07 2 1
1
-1 0 -1 -1 4 0 1
2 1 7 2 4 ( -1 -0 ) 1 ( -2 - (-7) )
-4 0 5 1
A a
A
SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN
0
00
2
1
21
22221
11211
nmnmm
n
n
x
xx
aaa
aaaaaa
Sebuah SPL dikatakan homogen jika seluruh konstanta adalah nol.
Bentuk umum :
0...
0...0...
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
Notasi :
SPL homogen adalah SPL yang konsisten selalu mempunyai solusi.
0xA
SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN
Jika solusi SPL adalah tunggal, yaitu x1= 0, x2 = 0, …, xn = 0 solusi trivial
Jika ada solusi lain selain solusi nol solusi non-trivial
(biasanya ditulis dalam bentuk parameter ~ solusi tak hingga banyak)
Terdapat dua kemungkinan solusi dari SPL Homogen :
•SPL hanya memiliki solusi trivial.
•SPL memiliki solusi tak hingga banyak selain solusi nol (solusi non-trivial).
1
2
3
4
2 32
x s tx s tx sx t
Solusinya adalah
Solusi tak hingga banyak / solusi nontrivial
SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN
000
143
111312201
4
3
2
1
xxxx
000
|||
143
111312201
000
|0000|2110|3201
Contoh :
Carilah solusi dari SPL homogen berikut:
Matriks yang diperbesar Baris eselon tereduksi
Contoh :Diketahui SPL
a. Tentukan b agar SPL memiliki solusi tak hingga banyakb. Tuliskan solusi SPL tersebut
000
-1 1 0 1 -1 0
0 0 -
zyx
bb
b
Jawab :Solusi suatu SPL homogen adalah tak tunggal jika det(A) = 0.
(–b) ((1 – b)(1 – b)) – 1 = 0
(–b) (b2 – 2b + 1 – 1) = 0
(–b) (b2 – 2b) = 0
b = 0 atau b = 2
Solusi SPL tak hingga banyak saat b = 0 atau b = 2
0110
11000
bb
b
011
11
b
bb
• Saat b = 0
000
1 1 0 1 1 0 0 0 0
zyx
Dengan OBE maka
0 0 0 1 1 0 0 0 0
~1 1 0 1 1 0 0 0 0
qqp
z y
x qp
1 1- 0
0 0 1
Misalkan p,q adalah parameter Riil, maka
• Saat b = 2
Dengan OBE maka
Misalkan q adalah parameter Riil, maka
000
110110002
zyx
~110
110002
~
110110001
~
110110
001
000110
001~
qqq
zyx
1100
Exercise 1. Tentukan solusi SPL berikut :
2. Tentukan solusi SPL homogen berikut :
. 2 8 12 .3 6 9
2 – 2 – 3 4 – 2 1– 2 2 – 4 24 –2
p q r sp
a a b ba q s
p qb
a b s
. 5 4 7 02 10 7 7 0
7 02 10 8 18 0
d p q r tp q r s t
r s tp q r s t
101222111
. Aa
1 1 2 2. 2 1 3 3
1 0 1 1b B
c. 2p + q – 2r – 2s = 0p – q + 2r – s = 0–p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s = 0
3. Diketahui SPL AX = B
Tentukan solusi SPL di atas dengan menggunakan :• Operasi Baris Elementer (OBE )• Invers matrik• Aturan Cramer
4. Diketahui
Carilah matriks yang memenuhi.
,1 2 0 0 1- 1 1 0 1
A
3
2
1
xxx
X
11
1dan B
45
220241
2113
XX
4
2
3
1
xx
xx
X
top related