ruas garis berarah

mmittajs874.blogspot.com

Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA

Ruas Garis Berarah

Definisi 1 : Suatu ruas (garis) berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu ujungnya dinamakan (titik) pangkal dan ujung yang lain dinamakan (titik) akhir.

Apabila A dan B dua titik, lambang kita gunakan sebagai ruas berarah dengan

pangkal A dan titik akhir B.

Definisi 2 : = apabila (A) = D dengan P titik tengah BC

Teorema 9.1 : Andaikan dan , dua buah ruas garis berarah yang tidak segaris

maka segiempat ABCD sebuah jajaran genjang jika dan hanya jika =

Pembuktian :

1. Andaikan = . Jika P titik tengah , maka (A) = D menurut definisi

keekuivalenan; diagonal-diagonal segiempat ABCD membagi sama panjang di P.

Ini berarti ABCD sebuah parallelogram.

2. Andaikan ABCD sebuah parallelogram. Maka diagonal-diagonal dan

berpotong di titik P. Sehingga (A) = D sebuah P titik tengah maupun titik

tengah . Jadi .

Akibat : Jika maka = dan dan sejajar atau segaris.

Teorema 9.2 : Diketahui ruas-ruas garis berarah dan maka :

1. (refleksi)

2. Jika = maka (simetrik)

3. Jika dan maka (transitif)

mmittajs874.blogspot.com

Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA

Teorema 9.3 : Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas berarah maka ada titik

tunggal Q sehingga

Pembuktian :

Untuk membuktikan keberadaan Q, andaikan R titik tengah . Jika Q = SR(A) maka

atau . Untuk membuktikan ketunggalan titik Q. andaikan .

Jadi, SR(A)= T oleh karena R titik tengah . Berhubung peta A oleh SR tunggal, maka T

= Q. Jadi , ini berarti satu-satunya ruas garis berarah dengan pangkal P dan titik

akhir Q yang ekuivalen dengan .

Definisi 3 : Andaikan sebuah ruas garis berarah dan k suatu bialngan real. Maka k

adalah ruas garis berarah sehingga P dan AP = k(AB) apabila k>0.

Apabila k