grup & grup bagian

GRUP & GRUP BAGIAN

Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar aljabar abstrak (abstract algebra).

Sistim aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu himpunan obyek, satu atau lebih operasi pada himpunan bersama dengan hukum tertentu yang dipenuhi oleh operasi.

Salah satu alasan yang paling penting untuk mempelajari sistim tersebut adalah untuk menyatukan sifat-sifat pada topik-topik yang berbeda dalam matematika.

Grup

Definisi II.1 Suatu grup (group) < G , * > terdiri dari

himpunan anggota G bersama dengan operasi biner * yang didefinisikan pada G dan memenuhi hukum berikut :

Hukum tertutup : a * b G untuk semua a, b G,

Hukum assosiatif : ( a * b ) * c = a * ( b * c ) untuk semua a, b, c G,

(3) Hukum identitas : terdapatlah suatu anggota e G sehingga

e * x = x * e = xuntuk semua x G,

(4) Hukum invers : untuk setiap a G, terdapatlah a G sehingga a * a = a * a = e.

Biasanya lambang < G , * > hanya dituliskan G, demikian juga ab artinya a * b dan a-1 adalah lambang untuk invers a.

Contoh II.1

Himpunan bilangan bulat Z merupakan grup terhadap operasi +.

Himpunan bilangan asli N bukan grup terhadap operasi +.

Himpunan bilangan kompleks C merupakan grup terhadap operasi +.

Himpunan bilangan real R – {0} merupakan grup terhadap operasi perkalian.

Himpunan bilangan bulat modulo n merupakan grup terhadap operasi penjumlahan modulo n.

Sifat-sifat sederhana dalam grup

Dalam pembahasan terdahulu telah dicacat bahwa sebagai akibat definisi grup, sebarang persamaan a * x = b mempunyai penyelesaian dalam suatu grup yaitu x = a * b.

Sifat sifat sederhana yang lain dinyatakan dalam teorema berikut ini.

Teorema II.1Dalam sebarang grup berlaku sifat sifat berikut :

Hukum kanselasi kiri : Jika a x = a y maka x = y.

Hukum kanselasi kanan : Jika x a = y a maka x = y.

Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dan e elemen G yang memenuhi hukum identitas maka e = e.

Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x maka a = b.

( ab) -1 = b-1 a-1

Bukti : 1. Diberikan ax = ay.Karena G grup dan a G maka terdapat a-1

sehingga a a-1 = a-1 a = e dengan e identitas. Akibatnya

a-1 (ax) = a-1 (ay)dan dengan menggunakan hukum assosiatif diperoleh

(a-1 a)x = (a-1 a)ydan dengan hukum invers diperoleh

ex = eyakhirnya dengan hukum identitas

x = y

3. Karena e suatu anggota identitas maka e e = e.Pada sisi lain e e = e, sehingga e e = e = e.

4. Karena a dan b merupakan invers x maka berlaku xa = e dan xb = e.

Karena anggota identitas itu tunggal maka xa = e = xb

Akibatnya dengan menggunakan hukum kanselasi kiri maka a = b.

5. Karenaab . b-1 a-1 = a (b b-1) a-1 = a e a-1 = a a-1 =

e dan b-1 a-1 . ab = b-1(a-1 a)b = b-1 e b = b-1

b = e maka (ab)-1 = b-1 a-1 .

Kapel

Sistem aljabar yang besar biasanya mengandung sistem bagian yang lebih kecil.

Sistem yang lebih kecil mungkin lebih penting dan mungkin membangun sistim yang lebih besar.

Sebagai contoh grup < R, + > mengandung grup yang lebih kecil seperti < Q , + > dan < Z , + >. Dengan cara yang sama C* = C – { 0 } mengandung R* = R – { 0 }.

Contoh-contoh di atas menyarankan bahwa di samping tipe tertentu dari sistim juga dipelajari sistim bagian ( subsystem ) sehingga dalam penelaahan grup juga dibahas tentang sistim bagiannya yang dinamakan grup bagian.

Grup Bagian

Definisi III.1 Suatu grup bagian S dari grup G adalah

himpunan dari bagian G yang merupakan grup di bawah operasi yang sama dalam G yang dibatasi pada S.

Contoh III.1

Himpunan bilangan bulat Z merupakan grup bagian dari R.

S = { 0,2,4 } merupakan grup bagian dari Z6. Z6

bukan grup bagian dari Z12.

Teorema III.1

Diketahui S himpunan bagian dari grup G dengan elemen identitas e. Himpunan S merupakan grup bagian dari G jika dan hanya jika memenuhi sifat :

1. e S,2. S tertutup di bawah operasi dari G ,3. untuk sebarang x S, inversnya x-1

terletak dalam S.

Contoh III.2

Q* = { p/q | p dan q tidak nol dalam Z } merupakan grup bagian dari R*.

Himpunan bilangan genap E merupakan grup bagian dari Z.

S = { 3k | k Z } merupakan grup bagian dari R*.

Soal III.1 : Tentukan grup bagian dari Z4 yang dibangun

oleh 2.Jawab : Grup Z4 = { 0, 1, 2, 3 } merupakan grup

terhadap operasi penjumlahan modulo 4. Elemen 2 dalam Z4 sehingga grup bagian

yang dibangun oleh 2 adalah (2) = { k . 2 | k Z} = { 0, 2 }.

Soal III.2 Tentukan grup bagian dari R yang dibangun

oleh 1.Jawab : Grup R merupakan grup terhadap operasi

penjumlahan. Elemen 1 dalam R sehingga grup bagian

yang dibangun oleh 1 adalah (1) = { k . 1 | k Z} = { ….., -3, -2, -1, 0, 1,

2, 3, …… } = Z. Hal itu berarti grup bagian yang dibangun

oleh 1 dalam R adalah himpunan bilangan bulat Z.

1. Jika R+ menyatakan bilangan real positif maka buktikan bahwa R+ bukan grup.

2. Tunjukkan bahwa himpunan bilangan bulat Z bukan grup terhadap pengurangan.

3. Buktikan bahwa < Q ,+ > merupakan grup komutatif ( grup abelian ).

4. Misalkan M2 2 adalah himpunan semua matrik ordo 2. Buktikan bahwa M2 2 merupakan grup terhadap operasi penjumlahan dua matriks.

Latihan

Latihan Grup Bagian

Latihan Grup Bagian (lanjutan)

TERIMA KASIH