determinan slide

DETERMINAN

FUNGSI DETERMINAN

DefinisiJika A adalah matriks bujursangkar. Fungsi

determinan dari A, dinotasikan dengan det(A) didefinisikan sebagai jumlah semua perkalian

elementer bertanda dari A.

det(A) = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31

a12a21a31 a11a23a32 a13a22a31

METODE MENENTUKAN DETERMINAN MATRIKSMetode SarrusMengunakan Reduksi BarisEkspansi Kofaktor

METODE SARRUSMetode ini digunakan untuk menentukan determinan matriks berukuran 2x2 dan 3x3

5

MATRIK ORDO 2X2

dc

baAJika bcadA )det(Maka

64

12A

Contoh :

Maka det(A) = 2.6 – 1.4 = 8

Matrik ordo 3x3

6

MATRIK ORDO 3X3

Langkah-langkahSalin elemen kolom 1 dan kolom 2 ke

sebelah kanan tanda garis vertical dari determinan ordo tiga

Jumlah hasil kali elemen diagonal utama dan elemen yang sejajar diagonal utama dan dikurangi dengan jumlah hasil kali elemen diagonal samping dan elemen yang sejajar dengan diagonal samping.

7

MATRIK ORDO 3X3

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

AJika

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

A

332112322311312213

322113312312332211

......

......)det(

aaaaaaaaa

aaaaaaaaaA

8

CONTOHORDO 3X3 DNG SARRUS

231

314

132

B

Det (B) = ……….

Sifat2 determinan

REDUKSI BARIS UNTUK MENCARI DETERMINAN TeoremaMisalkan A adalah matriks bujursangkarJika A memiliki satu baris nol atau kolom nol,maka det(A) = 0 det(A) = det (AT)

TeoremaJika A adalah matriks segitiga nn (segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal), maka det(A) adalah perkalian

entri-entri pada diagonal utamanya

det(A) = a11a22...ann

Teorema 2.2.3Misalkan A adalah matriks bujursangkar

Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian suatu baris atau kolom dengan skalar k ≠ 0 maka det(B) = k det(A)

Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua baris atau kolom dari A maka det(B) = –det(A)

Jika B adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu baris ditambahkan dengan kelipatan baris lain atau suatu kolom ditambahkan dengan kelipatan kolom lain dari A, maka det(B) = det(A).

CONTOH:

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

ka ka ka a a a

a a a k a a a

a a a a a a

11 12 13 11 12 13

31 32 33 21 22 23

21 22 23 31 32 33

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

11 31 12 32 13 33 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

a ka a ka a ka a a a

a a a a a a

a a a a a a

Teorema

Misal E adalah matriks elementer berukuran n n, Jika E dihasilkan dari suatu baris In dikali k, maka

det(E) = k

Jika E dihasilkan dari pertukaran dua baris pada In, maka det(E) = 1

Jika E dihasilkan dari suatu baris ditambah kelipatan baris lain di In, maka det(E) = 1

1 0 0

0 1 0 2

0 0 2

1 0 0

0 0 1 1

0 1 0

1 2 0

0 1 0 1

0 0 1

Contoh:

TeoremaJika A adalah matriks bujursangkar dimana

terdapat dua baris atau dua kolom yang saling berkelipatan,

maka det(A) = 0

1 3 0

2 4 1

5 2 2

A

1 3 0

2 4 1

5 2 2

2 12B B

1 3 0

0 2 1

5 2 2

1 3 0

0 2 1

0 13 2

12

1 3 0

2 0 1

0 13 2

17( 2)(1)(1) 17

2

Contoh:

=

12

172

1 3 0

2 0 1

0 0

R32(-13)

=

R31(-5)

=R21(2)

=

1 0 0 3

2 7 0 6

0 6 3 0

7 3 1 5

A

1 0 0 3

2 7 0 6

0 6 3 0

7 3 1 5

4 13C C

1 0 0 0

2 7 0 0(1)(7)(3)( 26) 546

0 6 3 0

7 3 1 26

TeoremaSuatu matriks bujursangkar A invertible jika dan

hanya jika det (A) ≠ 0

TeoremaJika A dan B adalah matriks bujursangkar dengan

ukuran sama, maka

det(AB) = det (A) det(B)

TeoremaJika A invertible, maka 1 1

det( )det( )

AA

EKSPANSI KOFAKTOR

DefinisiJika A matriks bujursangkar, maka minor dari

entri aij,

dinotasikan dengan Mij adalah determinan dari submatriks

setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A.

Kofaktor dari entri aij adalah bilangan , dinotasikan dengan Cij.

( 1)i j ijM

3 1 4

2 5 6

1 4 8

A

11

3 1 45 6

2 5 6 164 8

1 4 8

M

Contoh:

C11 = (-1)1+1M11 = M11 = 16

Tanda untuk cij dapat digambarkan dari posisinya pada matriks berikut

Ekspansi Kofaktor

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

det(A) = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31

a12a21a33 a11a23a32 a13a22a31

det(A) = a11 (a22a33 a23a32) a12 (a21a33 a23a31)

+ a13 (a21a32 a22a31)

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= a11c11 + a12c12 + a13c13

Formula ini menyatakan determinan matriks A ekspansi kofaktor

berdasarkan baris pertama dari A

TeoremaDeterminan dari matriks A n n dengan cara

ekspansi kofaktor

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ... + ainCin :

Ekspansi berdasarkan baris i det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ... + anjCnj

Ekspansi berdasarkan kolom j

3 1 0

2 4 3

5 4 2

A

3 1 04 3 1 0 1 0

2 4 3 3 2 54 2 4 2 4 3

5 4 2

A

Hitung determinan

Ekspansi berdasarkan kolom 1

= 3(4) + 2(2) + 5(3) = 1

CONTOH 1

Atau berdasarkan baris pertama

3 1 04 3 2 3

2 4 3 3 14 2 5 2

5 4 2

A

= 3(4) (11) = 1

CONTOH 2

135

650

432

A

16465

43)1)(5()1(0

13

65)1(2)det( 13

211211

MA

CONTOH 3

1243

3202

0113

0200

B

131314131211 220200)det( MCCCCCB

4743

13)1(3

14

01)1(2

143

302

0133212

13

M

det(B) = 2(-47) = - 94

3 5 2 6

1 2 1 1

2 4 1 5

3 7 5 3

3 7 4 6

0 0 0 1

3 6 6 5

0 1 8 3

3 7 4

3 6 6

0 1 8

3 7 60

3 6 54

0 1 0

3 6018

3 54

CONTOH 4 (REDUKSI BARIS/KOLOM DAN EKSPANSI KOFAKTOR)

DefinisiJika A adalah matriks nn, Cij kofaktor dari aij, maka

11 12 1

21 22

1 2

n

n n nn

C C C

C C

C C C

disebut matriks kofaktor dari A.

Transposenya disebut matriks Adjoin dari A, ditulis Adj(A)

MATRIKS KOFAKTOR DAN MATRIKS ADJOIN

3 2 1

1 6 3

2 4 0

A

12 6 16

4 2 16

12 10 16

12 4 12

Adj( ) 6 2 -10

-16 16 16

A

Contoh:

Kofaktor dari AC11 = 12, C12 = 6, C13 = 16, C21= 4, C22 = 2, C23 = 16, C31 = 12, C32 = 10, C33 = 16

Maka matriks kofaktor dari A adalah

Matriks adjoin dari A adalah

1 1Adj( )

det( )A A

A

SIFAT DETERMINAN DAN HUBUNGAN ANTARA DETERMINAN DENGAN INVERS MATRIKS

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ukuran yang sama, maka

det(AB) = det(A) det(B). Teorema

Jika A adalah matriks invertible, maka

Suatu matriks bujur sangkar ada inversnya

jika det(A) 0.

Menggunakan matriks adjoint

801

352

321

A

139

2516

51340

)(AKJadi dan

125

3513

91640

)(Aadj

1320150640

01

52

21

801

352

321

A

125

3513

91640

125

3513

91640

1

1)(

11 AadjA

A

Teorema (Aturan Cramer)Jika Ax = b adalah SPL dengan n peubah, det (A) ≠ 0 maka SPL mempunyai solusi tunggal , yaitu :

det( )

det( )i

i

Ax

A

dimana Ai adalah matriks A dengan kolom ke-i diganti dengan b

ATURAN CRAMER

i = 1,2,...,n