barisan dan deret kelompok 2 rs11h

KELOMPOK 2

ANGGOTA :1.DESI RARASTITI (292011293)2.SEPTI HANDAYANI (292011306)3.DWI HARSAYA (292011315)

BARISAN DAN DERET

POLA BILANGANPerhatikan kumpulan bilangan/huruf berikut!

1. 2, 3, 5, 8, 14,…2. 3, 4, 7, 11, 18,…3. 1, 2, 3, 6, 7, 14,…4. A, C, F, J,…5. A, B, C, B, E, B,…6. 2, 4, 6, 8, … 7. 1, 3, 6, 10,… 8. 1, 4, 9, 16, … 9. 2, 5, 3, 10, 4, 20,…10. 2, 5, 11, 23, …

Tentukan tiga bilangan/huruf berikutnya!

Pola bilangan adalah kumpulan bilangan yang mempunyai aturan tertentu

a. 1, 4, 7, 10, 13, ... +3 +3 +3 +3

b. 2, 8, 14, 20, ... +6 +6 +6

1. Barisan Dan Deret AritmetikaA. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

Contoh

Perhatikan Barisan aritmatika berikut!

3, 9, 15, 21, . . . n

U1 U2 U3 U4 Un

Suku ke-1 = U1 = a = 3

Suku ke-2 = U2 = 9

Suku ke-3 = U3 = 15

Suku ke-4 = U4 = 21

. . . . . . Suku ke-n = Un

Selisih antara dua suku yang berurutan dinamakan beda (b)

Rumus Suku ke-n

U1 = a

U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

.

. .

Un = Un-1+ b = a + (n – 2)b +b = a + (n – 1)b

Un = a + (n – 1)ba = Suku Pertamab = Beda = U2 –U1

Contoh 1

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....

Diketahui:a = - 3, b = 2 – (-3) = 5Maka

Jawaban

Un = a + (n-1)bU8 = a + (8-1)5 = - 3 + 7.5 = - 3 + 35 = 32

Un = a + (n-1)bU20 = a + (20-1)5 = - 3 + 19.5 = - 3 + 95 = 92

Contoh 2

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Diketahui:a = -2, b = 1 – (-2) = 3Maka

Jawaban

Un = a + (n-1)b Un = -2 + (n-1)3 = 40 -2 + 3n – 3 = 40 3n – 5 = 40 3n = 40+5 3n = 45 n = 15

Contoh 3

Diketahui Suku ke-8 dan ke-5 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 42 dan 27. tentukan rumus suku ke-n nya.

Jawaban

Diketahui U8 = 42 dan U5 = 27Un = a + (n-1)bU8 = a + 7b = 42U5 = a + 4b = 27 - 3b = 15 b = 5

a + 4b = 27a + 4.5 = 27a + 20 = 27 a = 27 – 20 a = 7

Un = 7 + (n-1)5 = 7 + 5n – 5 = 5n + 2 Un = 5n + 2

B. Deret Aritmetika

Deret Aritmatika adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika

Contoh

1. 3 + 5 + 7 + 9 + …

2. 4 + 8 + 12 + 16 + …

3. 6 + 3 + 0 – 3 – 6 - …

Jumlah n suku pertama Sn

n faktor

n faktor

n faktor

Contoh 1

Tentukan jumlah 20 suku pertama dari barisan –3, 2, 7, 12, ....Jawaban

Diketahui:a = -2, b = 1 – (-2) = 3Maka

Contoh 2

Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.Jawab:Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 Makaa = 3, b = 3, dan U = 99.Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;

U = a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99 n = 33Jumlah dari deret tersebut adalah

Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

1, 2, 3, 4, . . . 24

3 6 12 24 ???

Suatu amuba berkembang biak Dengan Membelah diri menjadi dua bagian setiap satu jam.

Barisan geometri yaitu barisan bilangan dengan pembanding antara dua suku berurutan tetap

3 6 12 24 . . . n

U1 U2 U3 U4 Un

Suku pertama di notasikan a dan pembanding antara dua suku yang

berurutan dinamakan rasio (r)

Mencari Un

U1 = 3

U2 = 6 = 3 x 2 = U1 x r

U3 = 12 = 3 x 2 x 2 = U1 x r x r = U1 x r2

U4 = 24 = 3 x 2 x 2 x 2= U1 x r x r x r= U1 x r3

U5 = ??

U6 = ??

. .Un = ??

Un = a.r (n-1)

Un = Suku ke-n a = Suku pertama r = rasio = U2 : U1

Contoh:1

Tentukan besar suku ke-10 dan suku ke-15 dari barisan 64, 32, 16, …Jawab:Diketahui a = 64, r = 32:64 = 1/2 , maka

821142

62

142162

14

21.62

115

21.64

15

1.

U

nranU

81

32192

62

92162

9

21.62

110

21.64

10

1.

U

nranU

Contoh:2Tentukan nilai x sehingga nilai-nilai (x+3), (x+5) dan (2x+10) membentuk barisan geometri.

Jawab:

U1 = x+3 = -5 + 3 = -2U2 = x + 5 = -5 + 5 = 0U3 = 2x+10 = 2(-5)+10=0

Untuk x = -5 Untuk x = -1U1 = x+3 = -1 + 3 = 2U2 = x + 5 = -1 + 5 = 4U3 = 2x+10 = 2(-1)+10=8

Barisanya: -2, 0, 0 Barisanya: 2, 4, 8

Jadi nilai x yang memenuhi adalah – 1

2. Deret Geometri Deret geometri merupakan jumlah suatu barisan geometri

Misalkan barisan: 2, 4, 8, 16, 32, …Maka deretnya adalah: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …S1 = 2

S2 = 2 + 4 = 6

S3 = 2 + 4 + 8 = 14

S100 = ??????

Menentukan Sn

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + …. + ar(n-2) + ar(n-1)

r.Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + …. ar(n-1) + arn

Sn – r.Sn = a – arn

Sn (1– r) = a (1 – rn)

Sn = Jumlah n suku pertama a = Suku pertama r = rasio = U2 : U1

Contoh soal

1. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari suatu tempat dengan ketinggian 3 meter. Setiap kali pantulan bola mencapai dari ketinggian sebelumnya. Tentukan jarak yang ditempuh bola sampai berhenti.

5. Skema dari bola yang dijatuhkan kemudian memantul

Jarak yang ditempuh bola sampai berhenti merupakan jarak yang ditempuh bola untuk turun dan jarak yang ditempuh bola untuk memantul /bola naik, berarti jumlah pantulan yang terjadi tidak dapat ditentukan, maka akan terbentuk deret geometri tak terhingga.

Untuk bola turun ke lantai, diperoleh deret : 3 + 2 + , . . . ., berarti a = 3 dan r = .

Maka jarak yang ditempuh bola untuk turun adalah : S turun = m

3m

2m

m

Untuk bola naik, diperoleh deret : 2 + + . . . ., berarti a = 2 dan r = Maka jarak yang ditempuh bola untuk naik adalah :

S naik =• Maka jarak yang ditempuh bola sampai berhenti adalah : S = jarak tempuh bola turun + jarak tempuh bola naik S = 9 m + 6 m S = 15 meter.

2. Perhatikan gambar susunan korek api berikut :

Berapakah banyak batang korek api yang diperlukan untuk menyusun n buah segitiga seperti pada gambar di atas ?

Gambar 1

Gambar 2

Gambar 3

Untuk menentukan banyak korek api yang dapat digunakan untuk membentuk n segitiga dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

Dari tabel diperoleh banyak korek api yang dibutuhkan untuk membentuk n buah segitiga adalah sebanyak (2n + 1) buah korek api.

Banyak segitiga Banyak korek api Pola bilangan (Un)

1 3 2.1+1

2 5 2.2+1

3 7 2.3+1

4 9 2.4+1

5 11 2.5+1

6 13 2.6+1

.

.

.

n 2n+1

3. Seseorang menabung di bank Rp. 10.000.000,- Jika bank memberikan bunga majemuk 12% per tahun, berapa uangnya setelah 6 bulan?

Jawab:Mo = Rp 10.000.000,00i=12% (per tahun) = 6% (per enam bulan)Kita kerjakan denganh rumus

Mn = 10.000.000(1+0,6)1/2M3 = 10.000.000(1,6)1/2 = 10.000.000 x 0,8 = 8.000.000

Mn = M (1+i)n

5 7 9 11 13 15 17 191

6 12 20 30 42 56 72 90

6

1

6

5

6

6

6

51

12

9

12

72

12

7

6

1

10

3

30

9

60

18

60

2745

20

9

12

9

3

2

30

20

30

119

30

11

10

3

14

5

42

15

42

1328

42

13

3

2

8

5

56

35

56

1520

56

15

14

5

18

7

36

14

72

28

72

1745

72

17

8

5

45

41

90

82

90

1963

90

19

18

7

4.