bab2. barisan dan deret (2)

Post on 26-Dec-2015

91 Views

Category:

Documents

22 Downloads

Preview:

Click to see full reader

TRANSCRIPT

1

Barisan dan Deret

mat2-unpad

2

Barisan Tak Hingga

Definisi

Barisan Tak Hingga didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal bilangan asli(N).

Notasi: f : N R

Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real. Biasa ditulis {an} dengan an adalah suku ke-n.

Bentuk penulisan dari barisan :

1. bentuk eksplisit suku ke-n :

2. ditulis sejumlah berhingga suku awalnya.

3. bentuk rekursi

...,4

1,

3

1,

2

1,1

n

nn a

aaa

1

,1 11

nan

1

nanfn

mat2-unpad

3

Kekonvergenan Barisan

Definisi:Barisan { an } dikatakan konvergen ke L ditulis

Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang berhingga, maka barisan dikatakan divergen (dalam hal ini mungkin atau beroksilasi)

Lann

lim

LaNn n

Naslibilangan,0Jika

,

mat2-unpad

4

Sifat Barisan Konvergen

Jika barisan {an} konvergen ke L dan barisan {bn} konvergen ke M, maka

1. MLblimalimbalim nn

nn

nnn

2. M.Lblim.alimb.alim nn

nn

nnn

3. M

L

blim

alim

b

alim

nn

nn

n

n

n

, untuk M0

Barisan {an} dikatakana. Monoton naik jika an+1 > an

b. Monoton turun jika an+1 < an mat2-unpad

5

Catatan Akan dijumpai banyak persoalan konvergensi barisan

yang tidak bisa langsung dicari limit tak hingga suku ke – nnya. Untuk itu kita dapat menghitung limit di tak hingga dari fungsi yang sesuai.

Fakta ini digunakan sebagai penyederhanaan karena kita dapat memakai kaidah L’Hopital untuk soal peubah kontinu.

Lxfx

)(limJika Lann

lim, maka

Teorema: Misalkan memenuhi1),( xxfy nanf )(

mat2-unpad

6

Contoh

Periksa kekonvergenan barisan berikut:

1n2

na n

1.

2

1

12lim)(lim

x

xxf

xx

artinya barisan an konvergen ke ½.

Jawab:Ambil

12)(

x

xxf

Dengan menggunakan L’Hopital,

2

1

12lim

n

nn

Jadi,

mat2-unpad

7

Contoh

eex

xx

1

1limexp

2.n

n n

11a

Jawab:Ambil

x

xxf

11)( , sehingga

artinya barisan an konvergen menuju e.

en

n

n

11limJadi,

xx

x

11ln.limexp

x

xx /1

))/1(1ln(limexp

x

x x

11lim

)1

(

)1

(1limexp

2

2

x

xxx

x

mat2-unpad

8

Latihan

3n2n

1n4a

2

2

n

1n

2n3a

2

n

1n

na n

n

nan

)ln(

...5

4,

4

3,

3

2,

2

11.

2.

8.

7.

6.

5.

4.

3.

Periksa kekonvergenan dari barisan berikut:

nnan

sin

n

n

na4

nnan 2

nn

nan

sin

12

2

9.

mat2-unpad

9

Deret Tak Hingga (deret)

Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagai berikut:

dengan an adalah suku ke-n.

Kekonvergenan suatu deret ditentukan dari barisan jumlah parsialnya

......3211

n

ii aaaaa

mat2-unpad

10

Barisan Jumlah Parsial

Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret

, maka

1iia

Barisan {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial deret

1iia

Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.

S1 = a1

S2 = a1 + a2

.

.

.Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an =

n

iia

1

mat2-unpad

11

Kekonvergenan Deret Tak Hingga

Deret tak hingga

1nna konvergen dan mempunyai

jumlah S jika barisan jumlah parsialnya {Sn}

konvergen ke S. Sebaliknya apabila {Sn}

divergen maka deret divergen.

mat2-unpad

12

Contoh

1i )1i(i

1

Jawab: Kalau kita perhatikan

Dan

Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen dengan jumlah 1.

Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya

Sn =

1n

1

n

1...

4

1

3

1

3

1

2

1

2

11 =

1n

11

nn

Slim

=n

lim

1n

11 = 1

(Deret Kolaps)1. Selidi kekonvergenan deret

1 1 1

11

)1(

1

i i iiii

mat2-unpad

13

2.2.

Jawab: Dari sini kita dapatkan

Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n menuju tak hingga harganya adalah tak hingga.Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen.

1

1

i i

Sn = 1 + n

1...

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

Sn = 1 + n

1...

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1 + n

1...

8

1

8

1

8

1

8

1

4

1

4

1

2

1

= 1 + n

1...

2

1

2

1

2

1

2

1

(Deret Harmonik)

13mat2-unpad

14

Deret Geometri

Bentuk umum deret geometri :

dengan a 0. Jumlah parsial deret ini adalah

Sn =

n

1i

1iar = a +ar +a r2 + ... + a rn-1

Sehingga

nn ararararrS ...32

nn araSr )1(

r

araS

n

n

1

132

1

1 ...

i

i

i ararararaar

mat2-unpad

15

1;

1;1

1limlim

r

rr

a

r

araS

n

nn

n

Jadi, deret geometri konvergen jika 1r

dengan jumlah r

aaratau

r

aS

i

i

11 1

1

mat2-unpad

16

Contoh Selidiki kekonvergenan deret

...32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

Jawab: Kalau kita perhatikan, deret ini adalah deret geometri Dengan rasio ½ ( r<1).

Sehingga deret ini konvergen dengan jumlah

12/11

2/1

S

mat2-unpad

17

Sifat-sifat deret tak hingga

1nna konvergen maka 0lim

nn

a

0lim n

na maka deret divergen ).

Contoh: Buktikan bahwa

1n2

2

4n3n3

n divergen.

Bukti:

433

lim2

2

nn

nn

03

143

3

1lim

2

nn

n

Jadi terbukti bahwa divergen.

1n2

2

4n3n3

n

Jika

(jika

1. Uji kedivergenan suku ke-n

mat2-unpad

18

2. Sifat linear

Jika nn bdana konvergen dan c konstanta, maka

)( nnn badanca Konvergen, dan

nnnn

nn

babaii

accai

)(

)(

3. Jika na divergen dan c konstanta, maka

nca divergen.

mat2-unpad

19

Uji Kekonvergenan Deret Positif

Misalkan fungsi f kontinu, positif dan monoton turun

pada selang [1,). Andaikan

1)( dxxf

1n

na konvergen

1. Uji Integral

Nnnfan ),(

maka

konvergen

mat2-unpad

Contoh

1. Selidiki kekonvergenan dari

1n

n2

en

Jawab. ambil .)(2xexxf

dxex x2

1

dxex xb

b

2

1lim

b x

bxde

1

2 )(lim2

1 2

bx

be

1

2

lim2

1

)

11(lim

2

12

eebb

e2

1

Jadi karena dxex x2

1

konvergen, maka

1

2

n

nen juga konvergen.

f kontinu, positif , turun di

maka

),1[

20mat2-unpad

21

Contoh

2. Selidiki kekonvergenan dari

Jawab. ambil , kontinu,positif,turun di

Jadi karena divergen, maka

juga divergen.

2 ln

1

n nn

xxxf

ln

1)(

b

b xx

dx

xx

dx22 ln

limln

b

b x

xd2 ln

)(lnlim

2lnlnlnlnlimlnlnlim bxbb

2 ln xx

dx

2nnlnn

1

),2[

mat2-unpad

22

Latihan I

2n2 nlnn

1

1n 1n2

1

1n2 1n4

1

1n 2

3n34

1

2.

4.

5.

3.

1.

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

3n22n

1

mat2-unpad

Latihan II

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

1.

mat2-unpad 23

24

Uji Deret Positif

2. Uji Deret -p

Deret-p atau deret hiperharmonik berbentuk .1

1

npn

1. Konvergen jika p>1

1p

Maka .1

1

npn

2. Divergen jika

mat2-unpad

25

Contoh

Apakah deret berikut konvergen atau divergen?

1.

1001,1

1

n n

Berdasarkan uji deret-p, deret

1001,1

1

n n konvergen

karena p=1,001 > 1

2.

Berdasarkan uji deret-p, deret divergen

karena p= ½ < 1

1 21

1

n n

1 21

1

n n

mat2-unpad

26

Uji Deret Positif

3. Uji banding biasa

Andaikan

`1nna

`1nnbdan deret positif, dan an bn

1. Jika konvergen, maka

`1nnb

`1nnb

`1nna

`1nna konvergen

2. Jika divergen, maka divergen

maka

mat2-unpad

27

Contoh

32 5

.1n n

n

Jawab:

Bandingkan dengan 52

n

nan

Perhatikan bahwa .1

5 22 nn

n

n

n

Karena

1nn

1

32 5n n

n

deret divergen(harmonik), maka

deret yang divergen.

nbn

1

Selidiki kekonvergenan deret

mat2-unpad

28

Contoh

Jawab:

Bandingkan dengan

konvergen.

12 53

1.2

n n

21

1

3 5n n

5

11.

3

1

3

1222

nnn

53

12 n 2n

1

1n2n

1

Perhatikan bahwa

Karena konvergen dengan uji-p (p=2)

maka

mat2-unpad

29

Latihan

Selidiki kekonvergenan deret berikut :

1n2 5n

n

3n2 5n

1

1nn 12

1

3n22n

1

1n 1n2

12.

4.

5.

3.

1.

mat2-unpad

30

4. Uji Banding limit

Andaikan an dan bn deret positif dan Lb

a

n

n

n

lim

Uji Deret Positif

1. Jika 0 < L < maka

`1nna

`1nnb dan sama-sama

konvergen atau divergen

2. Jika L = 0 dan

`1nnb

`1nna

konvergen maka

konvergen.

mat2-unpad

31

ContohSelidiki kekonvergenan dari deret berikut :

123 75

32.1

n nn

n

Gunakan Uji Banding Limit.

sehingga

Suku umum deret mirip dengan

n

n

n b

alim

1n23 7n5n

3n2 konvergen.

= 1

Karena L=1 dan

Jawab:

21

2

n n

2

2

nbn

2

23

275

32lim

n

nnn

n

14102

32lim

23

23

nn

nnn

konvergen dengan uji deret-p,

makamat2-unpad

32

Contoh

Gunakan Uji Banding Limit.

sehingga Pilih

n

n

n b

alim

divergen.

Karena L=1 dan

Jawab:

divergen, maka deret

12 4

1.2

n n

1n2 4n

1

nbn

1

n1

4n1

lim2

n

14

lim2

2

n

nn=

1

1

n n

mat2-unpad

33

Latihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

1n2 3n2n

n

1n3 4n

1n3

1n 1nn

1

1n2n

3n2

1n2n

nln2.

4.

5.

3.

1.

mat2-unpad

34

5. Uji Hasil Bagi

Uji Deret Positif

1nna

n

n

n a

a 1lim

Diketahui merupakan suatu deret dengan

1nna1. Jika < 1 maka deret konvergen

suku-suku yang positif, dan

1nna divergen 2. Jika > 1 maka deret

= 1 maka tidak dapat diambil kesimpulan3. Jika

mat2-unpad

35

Contoh

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

1.

1 !

3

n

n

n

Misalkan suku ke-n adalah !

3

na

n

n , maka suku ke-(n+1)

adalah !1

3 1

1

na

n

n sehingga

Karena

1 !

3

n

n

n konvergen

Jawab:

13

lim

nn

0 !13!3

lim1

nn

n

n

n

!3

!13

lim

1

n

nn

n

n

n

n

n a

a 1lim

10 , maka

mat2-unpad

36

Contoh

2.

12

3

n

n

n

Misalkan 2

3

na

n

n dan 21

11

3

n

an

n

sehingga

Karena

12

3

n

n

ndivergen

Jawab:

3 2

2

1

3lim

n

nn 2

21

13

3lim

n

nn

n

n

2

2

1

31

3

lim

n

nn

n

n

n

n

n a

a 1lim

3 maka

mat2-unpad

37

Latihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

1

!

nnn

n

1 !

5

n n

n

1 !2n

n

n

n

1 !

4

n

n

n

n

1

3

!2n n

n2.

4.

5.

3.

1.

mat2-unpad

38

Uji Deret Positif6. Uji Akar

1nnaDiketahui merupakan suatu deret dengan

1. Jika a <1, maka deret konvergen

suku-suku yang positif, misalkan

2. Jika a > 1, maka deret divergen

3. Jika a = 1, maka uji tidak memberi kesimpulan

nn

naa

lim

mat2-unpad

39

ContohSelidiki kekonvergenan deret

1.

1 1

22

n

n

n

n

Jawab:

Misalkan

n

n n

na

1

22, maka

21

22limlim

n

naa

n

nn

n

Karena a=2(a>1), maka deret

1 1

22

n

n

n

n divergen

mat2-unpad

40

Contoh

2.

1 12

2

n

n

n

n

Jawab:

Misalkan

n

n n

na

12

2, maka

2

1

12

2limlim

n

naa

n

nn

n

Karena a = ½ (a<1), maka deret

1 1

22

n

n

n

n

Konvergen.

mat2-unpad

41

Latihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

1 ln

1

n

n

n

1 12

23

n

n

n

n

1 23n

n

n

n

1

1

2

1

n

n

n

2. 4.

3.1.

mat2-unpad

42

Kesimpulan

Untuk menguji kekonvergenan deret na perhatikan ;na

1. Jika

2. Jika an memuat bentuk

nn

naa 0lim Divergen

nn nrn ,,! , gunakan uji hasil bagi

3. Jika an hanya memuat bentuk pangkat n yang konstan,

gunakan uji banding limit.

4. Usaha terakhir, cobakan uji banding biasa, uji akar,

atau uji integral.

mat2-unpad

43

Deret Ganti Tanda (DGT)dan Kekonvergenan Mutlak Deret Ganti Tanda

...aaaaa1 43211n

n1n

dengan an > 0, untuk semua n.

Contoh :deret harmonik berganti tanda,

...4

1

3

1

2

11

n

11

1n

1n

Bentuk umum :

mat2-unpad

44

Uji Deret Ganti Tanda

Deret ganti tanda dikatakan konvergen jika

0lim.2 n

na

Contoh

Periksa kekonvergenan deret ganti tanda berikut

...4

1

3

1

2

11 1.

nn aa 1.1 (an monoton turun)

mat2-unpad

45

nan

1

1

11 n

an

a. Karena 11

11

11

1

1

nn

n

n

na

a

n

n

01

limlim. n

abn

nn

Karena kedua syarat terpenuhi maka deret tersebut

konvergen.

Jawab :

dan

maka nn aa 1

mat2-unpad

46

Dari soal ini kita punya

!

1

nan , dan !1

11

nan

a.

11

!11

!1

1

n

n

n

a

a

n

n an >an+1

b. 0!

1limlim

na

nn

n

Karena kedua syarat terpenuhi maka deret di atas konvergen.

...!4

1

!3

1

!2

11.2

mat2-unpad

47

Latihan

Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:

1

1

13

21

n

n

n

1 3

1n

nn n

1

2

31

n

n

nn

n

1

1

!1

n

nn

n

n

1 )1(

11

n

n

nn2.

4.

5.

3.

1.

1

1 ln)1(

n

n

n

n6.

mat2-unpad

48

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

1nnU

1nnU

1nnU konvergen.

1nnU

konvergen,

1nnU

Misalkan deret dengan suku-suku tak nol, maka

(i) disebut konvergen mutlak jika

(ii) disebut konvergen bersyarat jika

1nnU

tapi divergen.

mat2-unpad

49

Pengujian Kekonvergenan Mutlak

1

||n

nU

Karena

1nnU semua sukunya positif, maka gunakan

Uji deret positif.

Langkah pengujian :

UjiKonv deret konvergen mutlak

Div Uji nU

Konv deret konvergen bersyarat

Div deret divergen(dgn DGT)

(uji deret pos)

mat2-unpad

50

Contoh

1.

1

1

!

21

n

nn

n

Jawab:

n

n

n

n

n 2

!

)!1(

2lim

1

1

2lim

nn

Dari soal diatas kita punya !

21 1

nU

nn

n , dan !

2||

nU

n

n

Menurut uji hasilbagi,

Sehingga dengan uji hasil bagi,

0n

n

n U

U 1lim

1nnU konvergen, maka

1

1

!

21

n

nn

nkonvergen mutlak.

Selidiki, apakah deret konvergen mutlak, bersyarat atau

divergen.

mat2-unpad

51

2.

1

1 11

n

n

n

Jawab:

1

1 11

n

n

n

Dengan uji DGT,

1

1 11

n

n

n

1 1

1

n nn

nU

Jadi deret konvergen bersyarat.

divergen dengan uji deret-p.

(i) nn aa 1

(ii) 01

limlim n

an

nn

dari (i) dan (ii) DGT konvergen,

mat2-unpad

52

Latihan

1 5

1n

nn n

12

)4(

n

n

n

1 23

)1(

n

n

n

1 1

11

n

n

nn1.

2.

3.

4.

Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergenbersyarat atau divergen:

mat2-unpad

53

Deret Pangkat / deret kuasa

2. Deret kuasa dalam (x – b) (pusat x = b)

Selanjutnya kita akan mencari himpunan konvergenan(HK).

Bentuk Umum deret kuasa:

1. Deret kuasa dalam x (pusat x = 0)

0

33

2210 ...

n

nn xaxaxaaxa

0

33

2210 ...)()()()(

n

nn bxabxabxaabxa

Yaitu himpunan semua bilangan real x sehingga deret kuasa konvergen

mat2-unpad

54

Himpunan Kekonvergenan (HK)

Misalkan

00 n

nn

nn Uxa dan

1. Jika , maka deret konvergen mutlak.

2. Jika , maka deret divergen

3. Jika , tidak dapat diambil kesimpulan gunakan

uji deret sebelumnya.

n

n

n U

U 1lim

1

1

Maka

1

mat2-unpad

55

Soal

0 2)1(nn

n

n

x

0 !n

n

n

x

0

!n

nnx

1.

2.

3.

0

1

2

)1(.4

nn

nx

Tentukan Himpunan kekonvergenan dari

mat2-unpad

56

Jawab :

Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila , yaitu

Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya yaitu

x = 2 atau x = -2 .

n

n

n

n

n n

x

n

x

2)1(:

)2(2lim

1

1

2x

)2()1(

2lim

n

nxn

11 11

212

nnn

n

nn

deret ini adalah deret harmonik yang divergen

n

n

n U

U 1lim

1

2212

xx

Untuk x = 2

HK2

0 2)1(.1

nn

n

n

x

mat2-unpad

57

Pada x = –2

Sehingga selang kekonvergenannya adalah [-2,2)

deret ini adalah deret ganti tanda yang konvergen, karena

11 11

212

n

n

nn

n

nn

(i) an monoton turun

(ii) 01

1limlim

na

nn

n

mat2-unpad

58

Jawab :

Karena , maka deret selalu konvergen untuk

semua nilai x.

Gunanakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

!:

!1lim

1

n

x

n

x nn

n

1lim

n

xn

Jadi selang kekonvergenannya adalah (-,)=R.

0 !.2

n

n

n

x

n

n

n U

U 1lim

1

1lim||

nx

n0

10

mat2-unpad

59

Jawab

Gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.

!

)!1(lim

1

nx

nxn

n

n

xn

n1lim

0,

0,0

xjika

xjika

0

!.3n

nnx

n

n

n U

U 1lim

)1(lim||

nx

n

Sehingga HK={0}.mat2-unpad

60

Jawab

0

1

2

)1(.4

nn

nx

n

n

n U

U 1lim

11

2

)1(

2.

2

)1(lim

n

n

n

n

n x

x

2

)1(lim

xn 2

1

x

* Deret konvergen jika 1321212

1

xx

x

* Uji x=-3

0

1

0

11

0

1

2.)1(2

2)1(

2

)2(

n

n

nn

nn

nn

n

Ini DGT, 02lim n

na jadi DGT divergen.

* Untuk x = 1 .22

)2(

00

1

nn

n

n

Deret ini divergen dengan uji

kedivergenan suku ke-n. Jadi HK = (-3,1).

mat2-unpad

61

Teorema 1

Himpunan kekonvergenan deret kuasa

0n

nn xa

selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:

1. satu titik x = 0 (jari-jari ; r = 0)2. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau kedua

titik ujungnya. (jari-jari ; r = c)3. seluruh himpunan bilangan real ( jar-jari ; r = )

berbentuk

mat2-unpad

62

Teorema 2 Himpunan kekonvergenan deret kuasa

0

)(n

nn bxa

berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut :

1. satu titik x = b (jari-jari; r = 0)2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau

kedua titik ujungnya (jari-jari; r = c)3. seluruh himpunan bilangan real (jari-jari; r = ) Dari contoh sebelumnya;

1. HK=[-2,2); r = 2; pusat x = 0

2. HK=R ; r = ; pusat x = 0

3. HK={0} ; r = 0 ; pusat x = 0

4. HK=(-3,1) ; r = 2 ; pusat x =-1

mat2-unpad

63

Latihan

Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:

021

)1(.1

n

n

n

x

...

!3

2

!2

22.2

32

xx

x1.

mat2-unpad

64

Operasi pada Deret Kuasa

0

)(n

nn xaxS

0

)(')(n

nnx xaDxSi

1

1

n

nn xna

x

dttSii0

)()(

0

0n

x nn dtta

0

1

1n

nn xn

a

= D[a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x

3+ . . .]

Misal

maka

mat2-unpad

21

1

x 21

1

1

1

xxDx

1

1

n

n

xn

(i) Perhatikan, ...1 32

0

xxxxn

n merupakan deret geometri

dengan a = 1 ; r = x, maka

1||;1

1

0

xx

xn

n

(ii)

2 3

0 0

11 ...

1

x x

dt t t t dtt

...4

1

3

1

2

1)1ln( 432 xxxxx

...4

1

3

1

2

1...

4

1

3

1

2

1)1ln( 432

0

432 xxxxttttxx

1||;1

)1(...3

1

2

1)1ln(

1

132

xxn

xxxx n

n

n

(iii)

65mat2-unpad

04/19/23 [MA 1124]KALKULUS II

66

Latihan

xxf

1

1)(

xx

x

xxf

1

1

1)( 2

2

x

xxf

1

1ln)(

21

1)(

xxf

1.

3.

6.2.

5. f(x)=tan-1(x)

xxf

32

1)(

7.

21

1)(

xxf

4.

Tentukan (Petunjuk : Lihat contoh a dan b di atas)

top related