bab1 maria.oktafiani libre
Post on 06-Mar-2016
23 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
PENGANTAR FISIKA ZAT PADAT
(STRUKTUR KRISTAL)
OLEH :
MUTIARA EFENDI 140310110016
MARIA OKTAFIANI 140310110018
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PADJADJARAN
2014
-
ZAT PADAT
Bahan padat dapat diklasifikasikan berdasarkan keteraturan susunan atom-atom atau
ion-ion penyusunnya. Bahan yang tersusun oleh deretan atom-atom yang teratur letaknya dan
berulang (periodik) disebut bahan kristal. Dikatakan bahwa bahan kristal mempunyai
keteraturan atom berjangkauan panjang. Sebaliknya, zat padat yang tidak memiliki keteraturan
demikian disebut bahan amorf atau bukan-kristal.
Fisika zat padat secara umum dihubungkan dengan kristal dan elektron dalam kristal.
Pengkajian tentang zat padat dimulai pada tahun-tahun awal abad ini sesudah berhasil
dipelajarinya difraksi sinar-x oleh kristal. Dari gejala ini dapat ditemukan bukti bahwa kristal
terdiri dari atom-atom yang susunannya teratur. Melalui keberhasilan memodelkan susunan
atom-atom dalam kristal, para fisikawan dapat mempelajari lebih banyak dan lebih lanjut
tentang zat padat. Dalam perkembangan selanjutnya, pengkajian zat padat telah meluas pada
bahan bukan kristal (amorf), bahan gelas, dan bahkan bahan cair
KRISTAL DAN NON KRISTAL
Bahan yang tersusun oleh deretan atom-atom yang teratur letaknya dan berulang
(periodik) yang tidak berhingga dalam ruang disebut bahan kristal. Kumpulan yang berupa
atom atau molekul dan sel ini terpisah sejauh 1 atau 2 . Kristal dapat dibentuk dari larutan,
lelehan, uap, atau gabungan dari ketiganya. Bila proses pertumbuhannya lambat, atom-atom
atau pertikel penyusun zat padat dapat menata diri selama proses tersebut untuk mrenempati
posisi yang sedemikian sehingga energi potensialnya minimum. Keadaan ini cenderung
membentuk susunan yang teratur dan juga berulang pada arah tiga dimensi, sehingga
terbentuklah keteraturan susunan atom dalam jangkauan yang jauh.
Sebaliknya, zat padat yang tidak memiliki keteraturan demikian disebut bahan amorf
atau bukan-kristal, dalam proses pembentukan yang berlangsung cepat, atom-atom tidak
mempunyai cukup waktu untuk menata diri dengan teratur. Hasilnya terbentuklah susunan
yang memiliki tingkat energi yang lebih tinggi. Susunan atom ini umumnya hanya mempunyai
-
keteraturan yang berjangkauan terbatas, dan keadaan inilah yang mencerminkan keadaan
amorf.
STRUKTUR KRISTAL
Susunan khas atom-atom dalam kristal disebut struktur kristal. Struktur kristal dibangun
oleh sel satuan (unit cell) yang merupakan sekumpulan atom yang tersusun secara khusus,
secara periodik berulang dalam tiga dimensi dalam suatu kisi kristal (crystal lattice).
Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya bahwa sebuah Kristal Ideal disusun oleh
satuan-satuan struktur yang identik secara berulang-ulang yang tak hingga didalam ruang.
Untuk menggambarkan struktur kristal ini dapat digambarkan/dijelaskan dalam istilah istilah : Lattice (kisi) dan sebuah Basis yang ditempelkan pada setiap titik lattice (titik kisi)
Kisi kristal : Kisi adalah sebuah susunan titi-titik yang teratur dan periodik di dalam ruang.
Basis : sekumpulan atom, dengan jumlah atom dalam sebuah basis dapat berisi satu
atom atau lebih.
Atau secara singkatnya adalah struktur kristal terdiri dari kisi dan basis, Struktur kristal
akan terjadi bila ditempatkan suatu basis pada setiap titik kisi sehingga struktur kristal
merupakan gabungan antara kisi dan basis. Apabila dinyatakan dalam hubungan dua dimensi
adalah sebagai berikut:
-
Sehingga apabila atom atau sekumpulan atom tersebut menempati titik-titik kisi maka akan
membentuk suatu struktur kristal
KISI KRISTAL
Didalam kristal terdapat kisi-kisi yang ekivalen yang sesuai dengan lingkungannya dan
diklasifisikan menurut simetri translasi.
Operasi translasi kisi
Didefinisikan sebagai perpindahan dari sebuah kristal oleh sebuah vektor translasi kristal
1. Untuk kisi dua dimensi (2D)
Ilustrasi struktur kristal dalam gambaran dua dimensi (2D) :
T merupakan vektor translasi
-
A,B, dan C adalah atom Penyusun kristal a1 adalah jarak antara atom
Vektor posisi dari setiap titik kisi pada kisi dua dimensi yaitu :
T = n1a1 + n2a2
a, a1 dan a2 merupakan vektor translasi primitif, sedangkan n1 dan n2 merupakan bilangan
bulat yang nilainya bergantung pada kedudukan titik kisi
2. untuk kisi tiga dimensi (3D)
Pada kisi tiga dimensi (3D), vektor posisi untuk titik-titik kisi yaitu:
T = n1a1 + n2a2 + n3a3
a1, a2 dan a3 adalah vektor translasi primitif
, , dan g adalah sudut yang dibentuk vektor a1, a2 dan a3 Selain simetri translasi, terdapat beberapa operasi lai ag ebuat kisi invarian tidak berubah bentuknya dari semula), yaitu :
a. Refleksi : Pencerminan pada bidang (simbul : m)
b. Rotasi : Perputaran pada sumbu tertentu dg sudut sebesar / simbul n = 1,2,3,4,dan 6 c. Inversi : Pencerminan pada suatu titik tertentu (simbul : i)
d. Luncuran/Glide : Operasi gabungan antara refleksi dan translasi
e. Ulir/Screw : Operasi gabungan antara rotasi dan translasi
-
Sel Primitif dan Sel Konvensional
1. Sel primitif adalah sel yang mempunyai luas atau volume terkecil, Sel primitif dibangun
oleh vektor basis biasa disebut sel satuan (unit sel).
Cara menentukan sel primitif (metoda wigner seitz) : a. Ambilah salah satu titik kisi sebagai acuan (biasanya di tengah)
b. Titik kisi yang anda ambil sebagai acuan dihubungkan dengan titik kisi terdekat
disekitarnya.
c. Di tengah-tengah garis penghubung, buatlah garis yang tegak lurus terhadap garis
penghubung.
d. Luas terkecil (2 dimensi) atau volume terkecil (3 dimensi) yang dilingkupi oleh garis-garis
atau bidang-bidang ini yang disebut sel primitive Wigner-Seitz
Contoh penggambaran Sel Primitif dengan Metode Wigner-Seitz
-
2. sel konvensional (sel tak primitif) adalah sel yang mempunyai luas atau volume bukan
terkecil artinya mempunyai luas atau volume yang besarnya merupakan kelipatan sel
primitif.
KISI BRAVAIS DAN NON BRAVAIS
Kisi yang memiliki titik-titik kisi yang ekuivalen disebut kisi Bravais sehingga titik-titik kisi
tersebut dalam kristal akan ditempati oleh atom-atom yang sejenis
Titik A,B dan C adalah ekuivalen satu sama lain
Titik A dan A1 tidak ekivalen (non-Bravais)
Tipe-tipe lattice dasar
Lattice (kisi) dua dimensi : ada lima (5) jenis, yaitu
1 Kisi miring
-
2 Kisi bujur sangkar
3 Kisi heksagonal
4 Kisi segi panjang
5 Kisi segi panjang berpusat
-
Lattice (kisi) Tiga dimensi : ada 7 sistem kristal dan 14 kisi bravais, yaitu :
1. Triklinik
2. Monoklin
3. Orthorombik
4. Tetragonal
5. Kubus
6. Trigonal
7. Heksagonal
-
Jarak antar bidang-bidang kristal (hkl)
-
STRUKTUR KRISTAL KUBIK
Tiga jenis struktur kristal yang relatif sederhana dapat dijumpai pada kebanyakan logam, yaitu :
1. kubus sederhana (simple cubic = SC).
Sel Primitif = Sel Konvensional Jumlah titik lattice = 8 x 1/8 = 1 buah (Pada setiap sudut dipakai 8 kubus sel)
Contoh: CsCl,CuZn,CsBr,LiAg Jarak tetangga terdekat : a Jml tetangga terdekat : 6 Vektor primitif : a1 = ax a2 = ay a3 = az
-
2. kubus pusat bidang sisi (face-centered cubic = FCC),
3. kubus pusat ruang badan (body-centered cubic = BCC),
el Priitif Sel Konvensional Jumlah titik lattice pada: sel primitive = 8 x 1/8 = 1 buah sel konvensional = (8 x 1/8) + 1 = 2 buah
contoh : NaCl, Intan, ZnS, Cu, Ag, Au, Al ,Pb
,Ni ,Fe,Nb
Jarak tetangga terdekat : 2a/2 Jml tetangga terdekat : 12
Vektor primitif : a1 = a/2 (x + y) a2 = a/2 (y + z) a3 = a/2 (x + z)
el Priitif el Kovesioal Jumlah titik lattice pada: sel primitive = 8 x 1/8 = 1 buah sel konvensional = (8 x 1/8) + (6 x 1/2) = 4buah Jarak tetangga terdekat : (3a/2)1/2 Jumlah tetangga terdekat : 8 Vektor primitif : a1 = a/2 (x + y z ) a2 = a/2 (-x + y + z) a3 = a/2 (x y + z ) Contoh : Na,Li,K,Rb,Cs,Cr,Fe,Nb
-
SISTEM INDEKS UNTUK BIDANG KRISTAL
a) koordinat titik
Posisi dari titik manapun yang terletak pada sebuah unit sel dapat kita kelompokkan
menurut koordinatnya sebagai perbandingan atau hasil perkalian bagian dari panjang sisi-sisi
unit sel tersebut. Contohnya, sumbu a, b, dan c.
Sebagai ilustrasi, misalnya kita memiliki sebuah unit sel seperti pada gambar dibawah dan
sebuah titik P terletak pada suatu bagian pada unit sel tersebut.
Kita akan mendefinisikan posisi dari titik P tersebut dalam istilah koordinat umum q, r, dan s.
Dimana q memiliki panjang beberapa bagian darikeseluruhan panjang sumbu x, r juga
merupakan beberapa bagian panjang sepanjang sumbu y, dan begitupula untuk s. Dengan
begitu, kita dapat menyatakan posisi dari titik P tersebut menggunakan koordinat dari q, r, dan
s. Dalam hal ini, penulisan koordinat titik ini dituliskan langsung koordinatnya tanpa koma
ataupun tanda baca lainnya. Misalnya qrs
Contoh :
Koordinat titik untuk setiap sel unit adalah :
a/2, b/2, c/2
Sedangkan untuk koordinat titik pada sudut unit sel adalah 111
-
b) arah kristal
Arah Kristalografik dapat kita misalkan sebagai sebuah garis atau vektor yang berada
diantara 2 buah titik didalam sebuah unit sel.
Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menentukan arah kristalografik dalam kisi 3
dimensi :
Jika diperlukan ubah posisi vektor agar melewati titik pusat koordinat. Tentukan proyeksi masing-masih vektor dalam ungkapan a, b, dan c. Reduksi bilangan menjadi bilangan bulat terkecil. Enclose dengan kurung kotak tanpa koma [uvw]
c) Bidang Kristal (indeks miller)
Suatu kristal akan mempunyai bidang bidang atom, untuk itu bagaimana kita me representasikan suatu bidang datar dalam suatu kisi kristal, yang dalam istilah kristalografi
sering disebut dengan Indeks Miller.
Aturan :
1. Tentukan titik potong antara bidang yang bersangkutan dengan sumbu-sumbu
/ sumbu-sumbu primitf atau konvensional dalam satuan konstanta lattice
(a1,a2,a3) .
-
2. Tentukan kebalikan (resiprok) dari bilangan-bilangan tadi, dan kemudian tentukan
tiga bilangan bulat (terkecil) yang mempunyai perbandingan yang sama. Indeks (h k
l).
Contoh :
Misal:
Jika salah satu dari h k l negatif, maka indeks bidang tersebut ditulis ( h k l), artinya h
bertanda negatif.
Untuk Sel kubus, jarak antar bidang hkl dapat ditulis sebagai berikut :
Contoh-contoh Indeks Miller untuk sel kubus primitif maupun konvensional :
Kubus Sederhana : sel konvensional = sel primitif
Bidang ABFE
Bidang ABC memotong sumbu-sumbu :
Kebalikannya adalah
Jika ketiga bilanagn bulat yang mempunyai perbandingan yang sama seperti di atas adalah 3, 3, 2. dengan demikian indeks bidang ABC tersebut adalah (3 3 2). Perhatikan bahwa dalam penulisan indeks kita tidak menggunakan tanda koma.
Perpotongan bidang ABFE dengan sumbu:
-
DIFRAKSI SINAR X DAN HAMBURAN OLEH KRISTAL
Pengkajian difraksi pada bagian ini bertujuan untuk menentukan/mempelajari struktur
kristal secara eksperimen. Syarat agar terjadi difraksi pada kristal adalah penggunaan
gelombang radiasi dengan panjang gelombang yang seorde dengan jarak antar atom dalam
kristal (dalam angstrom). Dengan mengetahui puncak-puncak difraksi dari gelombang yang
dipantulkan oleh bidang kristal (lebih tepat atom-atom pada bidang), maka struktur kristal dari
cuplikan yang bersangkutan dapat dipelajari atau mungkin dapat di-rekonstruksi.
Sumber radiasi yang dapat digunakan untuk keperluan difraksi kristal meliputi : sinar-x,
berkas neutron termal, dan berkas elektron. Difraksi dapat terjadi bilamana panjang gelombang
berkas radiasinya sekitar 1 angstrom.
Sinar- X adalah gelombang elektromagnetik dengan sifat fisik yang sama seperti
gelombang elektromagnetik lainnya, seperti gelombang optik. Panjang gelombang sinar-x sama
dengan konstanta kisi kristal, dan hal inilah yang membuat sinar-x berguna dalam analisis
struktur kristal
Pengaturan eksperimen dasar untuk menghasilkan sinar-x :
-
Difraksi Sinar-X
Di antara sumber-sumber radiasi yang dapat dipergunakan untuk difraksi kristal, berkas
sinar-x adalah yang paling layak ditinjau dari kesederhanaan teknik pembangkitnya serta
maksimalnya hasil difraksi dalam memberikan informasi tentang struktur kristal.
Berkas siar pertaa da kedua eiliki beda litasa sebesar d si utuk sapai pada titik pengamatan. Agar terjadi interferensi yang konstruktif (saling menguatkan), maka
beda lintasan yang bersangkutan haruslah merupakan kelipatan bulat dari panjang gelombang
sinar-x tersebut. Ini berarti :
ag disebut sarat Bragg. d jarak atar bidag hkl ag saa, sudut difraksi, da pajag gelombang sinar-x yang digunakan.
Dalam difraktometer sinar-x, posisi kristal sedemikian sehingga pengukuran dilakukan
pada sudut , aitu sudut ag dibetuk oleh siar habur.
Difraksi sinar x pada suatu material
Difraksi sinar-X merupakan suatu teknik yang digunakan untuk mengidentifikasi adanya
fasa kristalin di dalam material-material benda dan serbuk, dan untuk menganalisis sifat-sifat
struktur (seperti stress, ukuran butir, fasa komposisi orientasi kristal, dan cacat kristal) dari tiap
fasa
Apabila suatu bahan dikenai sinar-X maka intensitas sinar-X yang ditransmisikan lebih
kecil dari intensitas sinar datang. (Hal ini disebabkan adanya penyerapan oleh bahan dan juga
penghamburan oleh atom-atom dalam material tersebut. Berkas sinar yang dihantarkan
tersebut ada yang saling menghilangkan karena fasenya berbeda dan ada juga yang saling
menguatkan karena fasenyasama.Berkas sinar-X yang saling menguatkan disebut sebagai berkas
difraksi.)
-
Logika dibalik teori ini adalah asumsi bahwa seandainya suatu kristal terdiri dari atom-
atom yang tersusun secara teratur dan periodik dalam ruang dan jarak antar atom hampir sama
dengan panjang gelombang sinar-x, maka Kristal tersebut dapat berfungsi sebagai kisi-kisi yang
menghamburkan cahaya. Dengan konsep ini dan mengingat bahwa sinar-x mempunyai panjang
gelombang yang mendekati jarak antar atom, maka difraksi dapat terjadi kalau Kristal dikenai
oleh sinar-x
Persyaratan yang harus dipenuhi agar berkas sinar-X yang dihamburkan merupakan
berkas difraksi dikenal sebagai Hukum Bragg yg menyatakan bahwa perbedaan lintasan berkas
difrasi sinar-X harus merupakan kelipatan panjang gelombang, secara matematis dirumuskan:
= dsi Keadaan ini membentuk pola interferensi yang saling menguatkan untuk sudut-sudut
yang memenuhi hukum Brag. Gejala ini dapat diamati pada grafik hubungan antara intensitas
spektru karakteristik sebagai fugsi sudut Analisis bahan dengan menggunakan difraksi sinar-X pada umumnya untuk menentukan
:
1. Struktur Kristal
2. Parameter kisi
3. Crystallite Size (ukuran butiran) dan Lattice Strain
Hukum braggs Difraksi siar pada kristal harus eeuhi Huku Braggs aitu :
Menurut Bragg berkas yang terdifraksi oleh kristal terjadi jika pemantulan oleh bidang
sejajar atom menghasilkan interferensi konstruktif. Difraksi atom-atom kristal sebagai pantulan
sinar-X oleh sekelompok bidang-bidang paralel dalam kristal seperti terlihat pada gambar :
-
Jarak antara bidang A dengan bidang B adalah d, sedangkan adalah sudut difraksi. Berkas-berkas tersebut mempunyai panjang gelombang , dan jatuh pada bidang kristal dengan jarak d dan sudut . Agar mengalami interferensi konstruktif, kedua berkas tersebut harus memiliki beda jarak n. Sedangkan beda jarak lintasan kedua berkas adalah 2d sin .
Ketika berkas sinar-x monokromatik datang pada permukaan kristal, terjadi refleksi
hanya ketika sudut datang memiliki nilai-nilai tertentu. Nilai-nilai ini tergantung pada panjang
gelombang dan konstanta kisi kristal.
kisi resiprok
Dimulai dengan kisi vektor a, b, dan c, dapat didefinisikan dengan bagian dari vektor
basis a*, b*, dan c* sesuai dengan hubungan : = 2 , = 2 , = 2 (2.33) Dimana = , volume sel satuan.
Sekarang, kita dapat menggunakan vektor a*, b*, dan c* sebagai dasar untuk kisi baru
vektor yang telah diberikan oleh : = 1 + 2 + 3 (2.34) Dimana 1 ,2,3 merupakan salah satu rangkaian bilangan bulat. Kisi yang baru saja kita kenal sebagai kisi resiprok dan a*, b*, dan c* disebut dengan basis vektor resiprok.
-
Hubungan basis vektor resiprok a*, b*, dan c* ke vektor basis a, b, c ditunjukkan pada
Gambar 2.6. Vektor a* misalnya adalah terhadap bidang normal didefinisikan oleh vecktor b
dan c, dan pernyataan serupa berlaku untuk a, b, c membentuk himpunan bagian orthogonal
kemudian a*, b*, dan c* juga membentuk satu bagian orthogonal dengan a* sejajar dengan a,
b* sejajar dengan b, dan c* sejajar dengan c. Secara umum tidak bagian orthogonal.
Gambar Basis vektor resiprok
Persamaan matematika berikut berguna dalam mengerjakan kisi resiprok : . = 2, . = . = 0 . = 2, . = . = 0 . = 2, . = . = 0 (2.35)
Baris pertama dari persamaan dapat ditetapkan sebagai berikut : Untuk membuktikan pertama
dari persamaan, mensubstitusi a* dari (2.33) dan menemukan bahwa : . = 2 . Tetapi . adalah sama dengan volume sel satuan dan maka . = 2. Kedua dari persamaan kedua pada baris pertama mencerminkan fakta yang disebutkan, bahwa a* adalah
tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh b dan c. Sisa dari persamaan (2.35) dapat
dibentuk dengan cara yang sama.
Contoh kisi resiprok ditunjukkan pada Gambar 2.7. Gambar 2.7(a) menunjukkan kisi satu
dimensi dan resiprok. Perhatikan bahwa dalam kasus ini, a* adalah sejajar dengan a dan bahwa
-
= 1/. Gambar 2.7(b) menunjukkan bidang kisi persegi panjang dan resiprok tiga dimensi adalah contoh lengkapnya. Tetapi prosedur untuk menemukan sangatlah mudah. Pertama,
kerjakan (2.33) untuk menemukan dasar a*, b*, c* dan kemudian menggunakan (2.34) untuk
menemukan semua titik kisi. Terbukti bahwa resiprok dari suatu kisi tepi sc adalah merupakan
kisi sc dengan tepi kubus sama dengan 2/ (Gambar 2.8). Dapat ditetapkan bahwa kebalikan dari bcc adalah kisi fcc dan sebaliknya (lihat bagian
masalah). Pertama, dapat memperpanjan argumen untuk sistem kristal lainnya. Ketika kita
menyadari bahwa kisi resiprok adalah kisi kisi dalam dirinya sendiri dan memiliki simetri rotasi sama dengan kisi langsung, bahwa kisi resiprok selalu jatuh dalam sistem kristal yang sama
seperti kisi lagsug lihat Tabel .. Dega deikia, resiprok utuk ookliik, trikliik, da kisi heksagoal juga ookliik, trikliik, dan heksagonal masing masing. (Catatan, bahwa dua kisi tidak perlu memiliki struktur Bravais yang sama dalam sistem yang sama.
Melihat contoh bcc dan fcc diatas).
Gambar 2.7(a) kisi resiprok untuk Kristal satu dimensi, (b) kisi resiprok untuk kisi dua dimensi.
Gambar 2.8 sebuah bagian dari kisi resiprok untuk kisi sc
-
Sel unit resiprok yang dipilih dengan cara tertentu. Untuk kisi persegi panjang dari
Gambar 2.9, biarkan O menjadi titik asal dan menggambarkan vecktor kisi menghubungkan asal
dengan titik kisi tetangganya. Kemudian tarik garis lurus yang tegak lurus terhadap vecktor di
titik titik tengannya. Wilayah terkecil tertutup oleh garis garis persegi panjang A dalam gambar merupakan sel unit yang dicari dan disebut zona Brillouin pertama. Zona Brillouin (BZ)
merupakan sel unit diterima karena memenuhi semua persyaratan yang diperlukan. Hal ini juga
memiliki perlengkapan yang titik kisi sesuai tepat jatuh di pusat sel, tidak seperti kasus kisi
langsung dimana titik kisi biasanya terletak pada sudut-sudut sel. Jika BZ pertama
diterjemahkan oleh vektor resiprok , maka ruang kisi resiprok seluruh harus ditutup, karena BZ adalah sel unit yang benar.
Gambar 2.9 zona Brillouin pertama untuk kisi persegi panjang.
Zona Brillouin untuk kisi tiga dimensi dapat dibangun dengan cara yang sama, tetapi
perhatikan bahwa dalam hal ini vektor kisi yang memisahkan dua bidang tegak lurus dan bahwa
BZ pertama adalah saat volume terkecil tertutup oleh bidang. Dalam kasus yang paling
sederhana kisi sc yang BZ adalah kubus tepi 2/ berpusat pada titik asal. BZ ini untuk kisi kubus lain yang dalam bentuk lebih rumit kita akan menunda pembahasan kisi ini dan lainnya
ke bagian selanjutnya.
Kadang-kadang juga menggunakan zona Brillouin tingkat tinggi yang sesuai dengan
vektor yang menghubungkan titik asal untuk titik jauh dalam kisi resiprok, tetapi tidak akan
dibahas disini karena tidak diperlukan. Kita akan menemukan bahwa konsep zona Brillouin
sangat penting hubungannya dengan getaran kisi (Bab 3) dan electron dalam Kristal (Bab 5).
-
Setelah mendefinisikan kisi resiprok dan membahas beberapa sifat-sifatnya, sekarang
dilanjutkan untuk menunjukkan kegunaannya. Salah satu aplikasi penting teerletak pada
penggunaannya dalam evaluasi jumlah kisi dan ini terletak pada persamaan matematika berikut
: .1=1 = , (2.36) Berikut adalah sebarang vektor penjumlahan adalah vektor kisi langsung dan N adalah
jumlah total sel dalam kisi langsung. Karena simbol delta, maka (2.36) adalah jumlah kisi di
sebelah kiri hilang setiap kali vecktor A tidak sama dengan beberapa kisi resiprok . Ketika itu adalah sama dengan beberapa , jumlah kisi menjadi sama dengan N. Untuk menetapkan kevalidan (2.36), pertama kita harus mengerjakan kasus = untuk mengevaluasi eksponen . disebelah kiri (2.36), kita substitusi = = 1 + 2 + 3 dan = 11 +22 + 33 dan hasilnya : . = . = (1 + 2 + 3) . (11 + 22 + 33 ) = 11 + 22 + 33 (2.37)
Dimana dalam mengevaluas produk skalar dari vektor basis digunakan (2.35). Misalnya . = 2,. = 0, dll. Setiap istilah dalam penjumlahan di (2.36) pleh karena itu bentuk 2 dimana m adalah bilangan bulat dan akibatnya sama dengan persatuan. Maka jumlah total sama dengan N seperti (2.36). Dalam kasus kita dapat mengikuti prosedur yang sama digunakan dalam mengevaluasi (2.24) dan hasilnya adalah sama seperti sebelumnya,
yaitu bahwa untuk N besar jumlah hilang kecuali untuk nilai-nilai tertentu dari A. Nilai-nilai yang
luar biasa ini, pada kenyataannya dipilih di atas yaitu = .
Sebagai titik akhir, sekarang kita akan menunjukkan bahwa vektor kisi resiprok terkait
dengan bidang kristal dari kisi langsung. Dengan cara ini, abstrak vektor resiprok akan
memperoleh arti konkrit. Pertimbangkan bagian bidang kristal yang indeks Miller adalah () dan kisi resiprok sesuai vektor = + + di mana angka-angka ,, adalah himpunan bilangan bulat. Kita sekarang harus menetapkan sifat-sifat berikut:
-
i. vektor normal dengan () bidang kristal. ii. jarak interplanar berkaitan dengan besarnya oleh = 2/ (2.38)
Gambar. kisi resiprok vektor normal terhadap bidang (). Untuk membangun hubungan ini, kita lihat Gambar 2.10, di mana kita telah ditarik salah
satu bidang (). Perpotongan dari bidang dengan sumbu , y, dan terkait dengan indeks dengan : ,, ~ 1 , 1 , 1 (2.39) di mana untuk penggunaan dari definisi indeks Miller (Bagian 1.6). Perhatikan juga vektor dan yang terletak di sepanjang garis bidang dengan y dan bidang y, masing-masing. Menurut angka, vektor ini diberikan oleh = , = . Untuk membuktikan hubungan (i) di atas, kita hanya perlu membuktikan bahwa ortogonal untuk kedua dan memiliki : . = . + + = 2 = 0 di mana telah menggunakan (2.35) untuk menetapkan kedua kesetaraan, terakhir kesamaan dari (2.39). Dengan cara yang
sama kita juga dapat menunjukkan bahwa t ortogonal terhadap , dan ini menetapkan properti (i).
Untuk membuktikan (2.38)pertama, amati bahwa jarak interplanar sama dengan proyeksi sepanjang arah normal terhadap bidang (), arah ini dapat diwakili oleh vektor satuan = / , karena telah menetapkan bahwa adalah normal ke bidang. Karena itu : = . = (. )/ (2.40)
-
Catatan bahwa . = 2 sama dengan 2, karena menurut (2.39) = . Ini melengkapi bukti (2.38).
Hubungan antara vektor resiprok dan bidang kristal sekarang cukup jelas. Vektor terkait dengan bidang kristal () yang pada kenyataannya normal dan pemisahan dari bidang ini adalah kali 2 kebalikan dari panjang di ruang resiprok. Crystallographer lebih memilih untuk berpikir dalam hal bidang Kristal yang memiliki realitas fisik dan indeks Miller, sedangkan
fisika zat padat seperti kisi resiprok, yang secara matematis lebih elegan, dua pendekatan
bagaimanapun setara dan seseorang dapat berubah dari satu ke yang lain dengan
menggunakan yang menghubungkan dua hubungan.
-
REFERENSI
Aprilia,Annisa, dkk. 2012. Struktur Kristal Zat Padat. Pengantar Fisika material. Jurusan
fisika Universitas Padjadjaran.
Dra.Wierdartun,M.Si. Pendahuluan Fisika Zat Padat [slide share] diakses pada 17
september 2013
Kittel, Charles. 2005. Introduction To Solid State Physiscs.john Wiley & Sons,Inc.
top related