PENGANTAR FISIKA ZAT PADAT

(STRUKTUR KRISTAL)

OLEH :

MUTIARA EFENDI 140310110016

MARIA OKTAFIANI 140310110018

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PADJADJARAN

2014

ZAT PADAT

Bahan padat dapat diklasifikasikan berdasarkan keteraturan susunan atom-atom atau

ion-ion penyusunnya. Bahan yang tersusun oleh deretan atom-atom yang teratur letaknya dan

berulang (periodik) disebut bahan kristal. Dikatakan bahwa bahan kristal mempunyai

keteraturan atom berjangkauan panjang. Sebaliknya, zat padat yang tidak memiliki keteraturan

demikian disebut bahan amorf atau bukan-kristal.

Fisika zat padat secara umum dihubungkan dengan kristal dan elektron dalam kristal.

Pengkajian tentang zat padat dimulai pada tahun-tahun awal abad ini sesudah berhasil

dipelajarinya difraksi sinar-x oleh kristal. Dari gejala ini dapat ditemukan bukti bahwa kristal

terdiri dari atom-atom yang susunannya teratur. Melalui keberhasilan memodelkan susunan

atom-atom dalam kristal, para fisikawan dapat mempelajari lebih banyak dan lebih lanjut

tentang zat padat. Dalam perkembangan selanjutnya, pengkajian zat padat telah meluas pada

bahan bukan kristal (amorf), bahan gelas, dan bahkan bahan cair

KRISTAL DAN NON KRISTAL

Bahan yang tersusun oleh deretan atom-atom yang teratur letaknya dan berulang

(periodik) yang tidak berhingga dalam ruang disebut bahan kristal. Kumpulan yang berupa

atom atau molekul dan sel ini terpisah sejauh 1 atau 2 . Kristal dapat dibentuk dari larutan,

lelehan, uap, atau gabungan dari ketiganya. Bila proses pertumbuhannya lambat, atom-atom

atau pertikel penyusun zat padat dapat menata diri selama proses tersebut untuk mrenempati

posisi yang sedemikian sehingga energi potensialnya minimum. Keadaan ini cenderung

membentuk susunan yang teratur dan juga berulang pada arah tiga dimensi, sehingga

terbentuklah keteraturan susunan atom dalam jangkauan yang jauh.

Sebaliknya, zat padat yang tidak memiliki keteraturan demikian disebut bahan amorf

atau bukan-kristal, dalam proses pembentukan yang berlangsung cepat, atom-atom tidak

mempunyai cukup waktu untuk menata diri dengan teratur. Hasilnya terbentuklah susunan

yang memiliki tingkat energi yang lebih tinggi. Susunan atom ini umumnya hanya mempunyai

keteraturan yang berjangkauan terbatas, dan keadaan inilah yang mencerminkan keadaan

amorf.

STRUKTUR KRISTAL

Susunan khas atom-atom dalam kristal disebut struktur kristal. Struktur kristal dibangun

oleh sel satuan (unit cell) yang merupakan sekumpulan atom yang tersusun secara khusus,

secara periodik berulang dalam tiga dimensi dalam suatu kisi kristal (crystal lattice).

Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya bahwa sebuah Kristal Ideal disusun oleh

satuan-satuan struktur yang identik secara berulang-ulang yang tak hingga didalam ruang.

Untuk menggambarkan struktur kristal ini dapat digambarkan/dijelaskan dalam istilah istilah : Lattice (kisi) dan sebuah Basis yang ditempelkan pada setiap titik lattice (titik kisi)

Kisi kristal : Kisi adalah sebuah susunan titi-titik yang teratur dan periodik di dalam ruang.

Basis : sekumpulan atom, dengan jumlah atom dalam sebuah basis dapat berisi satu

atom atau lebih.

Atau secara singkatnya adalah struktur kristal terdiri dari kisi dan basis, Struktur kristal

akan terjadi bila ditempatkan suatu basis pada setiap titik kisi sehingga struktur kristal

merupakan gabungan antara kisi dan basis. Apabila dinyatakan dalam hubungan dua dimensi

adalah sebagai berikut:

Sehingga apabila atom atau sekumpulan atom tersebut menempati titik-titik kisi maka akan

membentuk suatu struktur kristal

KISI KRISTAL

Didalam kristal terdapat kisi-kisi yang ekivalen yang sesuai dengan lingkungannya dan

diklasifisikan menurut simetri translasi.

Operasi translasi kisi

Didefinisikan sebagai perpindahan dari sebuah kristal oleh sebuah vektor translasi kristal

1. Untuk kisi dua dimensi (2D)

Ilustrasi struktur kristal dalam gambaran dua dimensi (2D) :

T merupakan vektor translasi

A,B, dan C adalah atom Penyusun kristal a1 adalah jarak antara atom

Vektor posisi dari setiap titik kisi pada kisi dua dimensi yaitu :

T = n1a1 + n2a2

a, a1 dan a2 merupakan vektor translasi primitif, sedangkan n1 dan n2 merupakan bilangan

bulat yang nilainya bergantung pada kedudukan titik kisi

2. untuk kisi tiga dimensi (3D)

Pada kisi tiga dimensi (3D), vektor posisi untuk titik-titik kisi yaitu:

T = n1a1 + n2a2 + n3a3

a1, a2 dan a3 adalah vektor translasi primitif

, , dan g adalah sudut yang dibentuk vektor a1, a2 dan a3 Selain simetri translasi, terdapat beberapa operasi lai ag ebuat kisi invarian tidak berubah bentuknya dari semula), yaitu :

a. Refleksi : Pencerminan pada bidang (simbul : m)

b. Rotasi : Perputaran pada sumbu tertentu dg sudut sebesar / simbul n = 1,2,3,4,dan 6 c. Inversi : Pencerminan pada suatu titik tertentu (simbul : i)

d. Luncuran/Glide : Operasi gabungan antara refleksi dan translasi

e. Ulir/Screw : Operasi gabungan antara rotasi dan translasi

Sel Primitif dan Sel Konvensional

1. Sel primitif adalah sel yang mempunyai luas atau volume terkecil, Sel primitif dibangun

oleh vektor basis biasa disebut sel satuan (unit sel).

Cara menentukan sel primitif (metoda wigner seitz) : a. Ambilah salah satu titik kisi sebagai acuan (biasanya di tengah)

b. Titik kisi yang anda ambil sebagai acuan dihubungkan dengan titik kisi terdekat

disekitarnya.

c. Di tengah-tengah garis penghubung, buatlah garis yang tegak lurus terhadap garis

penghubung.

d. Luas terkecil (2 dimensi) atau volume terkecil (3 dimensi) yang dilingkupi oleh garis-garis

atau bidang-bidang ini yang disebut sel primitive Wigner-Seitz

Contoh penggambaran Sel Primitif dengan Metode Wigner-Seitz

2. sel konvensional (sel tak primitif) adalah sel yang mempunyai luas atau volume bukan

terkecil artinya mempunyai luas atau volume yang besarnya merupakan kelipatan sel

primitif.

KISI BRAVAIS DAN NON BRAVAIS

Kisi yang memiliki titik-titik kisi yang ekuivalen disebut kisi Bravais sehingga titik-titik kisi

tersebut dalam kristal akan ditempati oleh atom-atom yang sejenis

Titik A,B dan C adalah ekuivalen satu sama lain

Titik A dan A1 tidak ekivalen (non-Bravais)

Tipe-tipe lattice dasar

Lattice (kisi) dua dimensi : ada lima (5) jenis, yaitu

1 Kisi miring

2 Kisi bujur sangkar

3 Kisi heksagonal

4 Kisi segi panjang

5 Kisi segi panjang berpusat

Lattice (kisi) Tiga dimensi : ada 7 sistem kristal dan 14 kisi bravais, yaitu :

1. Triklinik

2. Monoklin

3. Orthorombik

4. Tetragonal

5. Kubus

6. Trigonal

7. Heksagonal

Jarak antar bidang-bidang kristal (hkl)

STRUKTUR KRISTAL KUBIK

Tiga jenis struktur kristal yang relatif sederhana dapat dijumpai pada kebanyakan logam, yaitu :

1. kubus sederhana (simple cubic = SC).

Sel Primitif = Sel Konvensional Jumlah titik lattice = 8 x 1/8 = 1 buah (Pada setiap sudut dipakai 8 kubus sel)

Contoh: CsCl,CuZn,CsBr,LiAg Jarak tetangga terdekat : a Jml tetangga terdekat : 6 Vektor primitif : a1 = ax a2 = ay a3 = az

2. kubus pusat bidang sisi (face-centered cubic = FCC),

3. kubus pusat ruang badan (body-centered cubic = BCC),

el Priitif Sel Konvensional Jumlah titik lattice pada: sel primitive = 8 x 1/8 = 1 buah sel konvensional = (8 x 1/8) + 1 = 2 buah

contoh : NaCl, Intan, ZnS, Cu, Ag, Au, Al ,Pb

,Ni ,Fe,Nb

Jarak tetangga terdekat : 2a/2 Jml tetangga terdekat : 12

Vektor primitif : a1 = a/2 (x + y) a2 = a/2 (y + z) a3 = a/2 (x + z)

el Priitif el Kovesioal Jumlah titik lattice pada: sel primitive = 8 x 1/8 = 1 buah sel konvensional = (8 x 1/8) + (6 x 1/2) = 4buah Jarak tetangga terdekat : (3a/2)1/2 Jumlah tetangga terdekat : 8 Vektor primitif : a1 = a/2 (x + y z ) a2 = a/2 (-x + y + z) a3 = a/2 (x y + z ) Contoh : Na,Li,K,Rb,Cs,Cr,Fe,Nb

SISTEM INDEKS UNTUK BIDANG KRISTAL

a) koordinat titik

Posisi dari titik manapun yang terletak pada sebuah unit sel dapat kita kelompokkan

menurut koordinatnya sebagai perbandingan atau hasil perkalian bagian dari panjang sisi-sisi

unit sel tersebut. Contohnya, sumbu a, b, dan c.

Sebagai ilustrasi, misalnya kita memiliki sebuah unit sel seperti pada gambar dibawah dan

sebuah titik P terletak pada suatu bagian pada unit sel tersebut.

Kita akan mendefinisikan posisi dari titik P tersebut dalam istilah koordinat umum q, r, dan s.

Dimana q memiliki panjang beberapa bagian darikeseluruhan panjang sumbu x, r juga

merupakan beberapa bagian panjang sepanjang sumbu y, dan begitupula untuk s. Dengan

begitu, kita dapat menyatakan posisi dari titik P tersebut menggunakan koordinat dari q, r, dan

s. Dalam hal ini, penulisan koordinat titik ini dituliskan langsung koordinatnya tanpa koma

ataupun tanda baca lainnya. Misalnya qrs

Contoh :

Koordinat titik untuk setiap sel unit adalah :

a/2, b/2, c/2

Sedangkan untuk koordinat titik pada sudut unit sel adalah 111

b) arah kristal

Arah Kristalografik dapat kita misalkan sebagai sebuah garis atau vektor yang berada

diantara 2 buah titik didalam sebuah unit sel.

Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menentukan arah kristalografik dalam kisi 3

dimensi :

Jika diperlukan ubah posisi vektor agar melewati titik pusat koordinat. Tentukan proyeksi masing-masih vektor dalam ungkapan a, b, dan c. Reduksi bilangan menjadi bilangan bulat terkecil. Enclose dengan kurung kotak tanpa koma [uvw]

c) Bidang Kristal (indeks miller)

Suatu kristal akan mempunyai bidang bidang atom, untuk itu bagaimana kita me representasikan suatu bidang datar dalam suatu kisi kristal, yang dalam istilah kristalografi

sering disebut dengan Indeks Miller.

Aturan :

1. Tentukan titik potong antara bidang yang bersangkutan dengan sumbu-sumbu

/ sumbu-sumbu primitf atau konvensional dalam satuan konstanta lattice

(a1,a2,a3) .

2. Tentukan kebalikan (resiprok) dari bilangan-bilangan tadi, dan kemudian tentukan

tiga bilangan bulat (terkecil) yang mempunyai perbandingan yang sama. Indeks (h k

l).

Contoh :

Misal:

Jika salah satu dari h k l negatif, maka indeks bidang tersebut ditulis ( h k l), artinya h

bertanda negatif.

Untuk Sel kubus, jarak antar bidang hkl dapat ditulis sebagai berikut :

Contoh-contoh Indeks Miller untuk sel kubus primitif maupun konvensional :

Kubus Sederhana : sel konvensional = sel primitif

Bidang ABFE

Bidang ABC memotong sumbu-sumbu :

Kebalikannya adalah

Jika ketiga bilanagn bulat yang mempunyai perbandingan yang sama seperti di atas adalah 3, 3, 2. dengan demikian indeks bidang ABC tersebut adalah (3 3 2). Perhatikan bahwa dalam penulisan indeks kita tidak menggunakan tanda koma.

Perpotongan bidang ABFE dengan sumbu:

DIFRAKSI SINAR X DAN HAMBURAN OLEH KRISTAL

Pengkajian difraksi pada bagian ini bertujuan untuk menentukan/mempelajari struktur

kristal secara eksperimen. Syarat agar terjadi difraksi pada kristal adalah penggunaan

gelombang radiasi dengan panjang gelombang yang seorde dengan jarak antar atom dalam

kristal (dalam angstrom). Dengan mengetahui puncak-puncak difraksi dari gelombang yang

dipantulkan oleh bidang kristal (lebih tepat atom-atom pada bidang), maka struktur kristal dari

cuplikan yang bersangkutan dapat dipelajari atau mungkin dapat di-rekonstruksi.

Sumber radiasi yang dapat digunakan untuk keperluan difraksi kristal meliputi : sinar-x,

berkas neutron termal, dan berkas elektron. Difraksi dapat terjadi bilamana panjang gelombang

berkas radiasinya sekitar 1 angstrom.

Sinar- X adalah gelombang elektromagnetik dengan sifat fisik yang sama seperti

gelombang elektromagnetik lainnya, seperti gelombang optik. Panjang gelombang sinar-x sama

dengan konstanta kisi kristal, dan hal inilah yang membuat sinar-x berguna dalam analisis

struktur kristal

Pengaturan eksperimen dasar untuk menghasilkan sinar-x :

Difraksi Sinar-X

Di antara sumber-sumber radiasi yang dapat dipergunakan untuk difraksi kristal, berkas

sinar-x adalah yang paling layak ditinjau dari kesederhanaan teknik pembangkitnya serta

maksimalnya hasil difraksi dalam memberikan informasi tentang struktur kristal.

Berkas siar pertaa da kedua eiliki beda litasa sebesar d si utuk sapai pada titik pengamatan. Agar terjadi interferensi yang konstruktif (saling menguatkan), maka

beda lintasan yang bersangkutan haruslah merupakan kelipatan bulat dari panjang gelombang

sinar-x tersebut. Ini berarti :

ag disebut sarat Bragg. d jarak atar bidag hkl ag saa, sudut difraksi, da pajag gelombang sinar-x yang digunakan.

Dalam difraktometer sinar-x, posisi kristal sedemikian sehingga pengukuran dilakukan

pada sudut , aitu sudut ag dibetuk oleh siar habur.

Difraksi sinar x pada suatu material

Difraksi sinar-X merupakan suatu teknik yang digunakan untuk mengidentifikasi adanya

fasa kristalin di dalam material-material benda dan serbuk, dan untuk menganalisis sifat-sifat

struktur (seperti stress, ukuran butir, fasa komposisi orientasi kristal, dan cacat kristal) dari tiap

fasa

Apabila suatu bahan dikenai sinar-X maka intensitas sinar-X yang ditransmisikan lebih

kecil dari intensitas sinar datang. (Hal ini disebabkan adanya penyerapan oleh bahan dan juga

penghamburan oleh atom-atom dalam material tersebut. Berkas sinar yang dihantarkan

tersebut ada yang saling menghilangkan karena fasenya berbeda dan ada juga yang saling

menguatkan karena fasenyasama.Berkas sinar-X yang saling menguatkan disebut sebagai berkas

difraksi.)

Logika dibalik teori ini adalah asumsi bahwa seandainya suatu kristal terdiri dari atom-

atom yang tersusun secara teratur dan periodik dalam ruang dan jarak antar atom hampir sama

dengan panjang gelombang sinar-x, maka Kristal tersebut dapat berfungsi sebagai kisi-kisi yang

menghamburkan cahaya. Dengan konsep ini dan mengingat bahwa sinar-x mempunyai panjang

gelombang yang mendekati jarak antar atom, maka difraksi dapat terjadi kalau Kristal dikenai

oleh sinar-x

Persyaratan yang harus dipenuhi agar berkas sinar-X yang dihamburkan merupakan

berkas difraksi dikenal sebagai Hukum Bragg yg menyatakan bahwa perbedaan lintasan berkas

difrasi sinar-X harus merupakan kelipatan panjang gelombang, secara matematis dirumuskan:

= dsi Keadaan ini membentuk pola interferensi yang saling menguatkan untuk sudut-sudut

yang memenuhi hukum Brag. Gejala ini dapat diamati pada grafik hubungan antara intensitas

spektru karakteristik sebagai fugsi sudut Analisis bahan dengan menggunakan difraksi sinar-X pada umumnya untuk menentukan

:

1. Struktur Kristal

2. Parameter kisi

3. Crystallite Size (ukuran butiran) dan Lattice Strain

Hukum braggs Difraksi siar pada kristal harus eeuhi Huku Braggs aitu :

Menurut Bragg berkas yang terdifraksi oleh kristal terjadi jika pemantulan oleh bidang

sejajar atom menghasilkan interferensi konstruktif. Difraksi atom-atom kristal sebagai pantulan

sinar-X oleh sekelompok bidang-bidang paralel dalam kristal seperti terlihat pada gambar :

Jarak antara bidang A dengan bidang B adalah d, sedangkan adalah sudut difraksi. Berkas-berkas tersebut mempunyai panjang gelombang , dan jatuh pada bidang kristal dengan jarak d dan sudut . Agar mengalami interferensi konstruktif, kedua berkas tersebut harus memiliki beda jarak n. Sedangkan beda jarak lintasan kedua berkas adalah 2d sin .

Ketika berkas sinar-x monokromatik datang pada permukaan kristal, terjadi refleksi

hanya ketika sudut datang memiliki nilai-nilai tertentu. Nilai-nilai ini tergantung pada panjang

gelombang dan konstanta kisi kristal.

kisi resiprok

Dimulai dengan kisi vektor a, b, dan c, dapat didefinisikan dengan bagian dari vektor

basis a*, b*, dan c* sesuai dengan hubungan : = 2 , = 2 , = 2 (2.33) Dimana = , volume sel satuan.

Sekarang, kita dapat menggunakan vektor a*, b*, dan c* sebagai dasar untuk kisi baru

vektor yang telah diberikan oleh : = 1 + 2 + 3 (2.34) Dimana 1 ,2,3 merupakan salah satu rangkaian bilangan bulat. Kisi yang baru saja kita kenal sebagai kisi resiprok dan a*, b*, dan c* disebut dengan basis vektor resiprok.

Hubungan basis vektor resiprok a*, b*, dan c* ke vektor basis a, b, c ditunjukkan pada

Gambar 2.6. Vektor a* misalnya adalah terhadap bidang normal didefinisikan oleh vecktor b

dan c, dan pernyataan serupa berlaku untuk a, b, c membentuk himpunan bagian orthogonal

kemudian a*, b*, dan c* juga membentuk satu bagian orthogonal dengan a* sejajar dengan a,

b* sejajar dengan b, dan c* sejajar dengan c. Secara umum tidak bagian orthogonal.

Gambar Basis vektor resiprok

Persamaan matematika berikut berguna dalam mengerjakan kisi resiprok : . = 2, . = . = 0 . = 2, . = . = 0 . = 2, . = . = 0 (2.35)

Baris pertama dari persamaan dapat ditetapkan sebagai berikut : Untuk membuktikan pertama

dari persamaan, mensubstitusi a* dari (2.33) dan menemukan bahwa : . = 2 . Tetapi . adalah sama dengan volume sel satuan dan maka . = 2. Kedua dari persamaan kedua pada baris pertama mencerminkan fakta yang disebutkan, bahwa a* adalah

tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh b dan c. Sisa dari persamaan (2.35) dapat

dibentuk dengan cara yang sama.

Contoh kisi resiprok ditunjukkan pada Gambar 2.7. Gambar 2.7(a) menunjukkan kisi satu

dimensi dan resiprok. Perhatikan bahwa dalam kasus ini, a* adalah sejajar dengan a dan bahwa

= 1/. Gambar 2.7(b) menunjukkan bidang kisi persegi panjang dan resiprok tiga dimensi adalah contoh lengkapnya. Tetapi prosedur untuk menemukan sangatlah mudah. Pertama,

kerjakan (2.33) untuk menemukan dasar a*, b*, c* dan kemudian menggunakan (2.34) untuk

menemukan semua titik kisi. Terbukti bahwa resiprok dari suatu kisi tepi sc adalah merupakan

kisi sc dengan tepi kubus sama dengan 2/ (Gambar 2.8). Dapat ditetapkan bahwa kebalikan dari bcc adalah kisi fcc dan sebaliknya (lihat bagian

masalah). Pertama, dapat memperpanjan argumen untuk sistem kristal lainnya. Ketika kita

menyadari bahwa kisi resiprok adalah kisi kisi dalam dirinya sendiri dan memiliki simetri rotasi sama dengan kisi langsung, bahwa kisi resiprok selalu jatuh dalam sistem kristal yang sama

seperti kisi lagsug lihat Tabel .. Dega deikia, resiprok utuk ookliik, trikliik, da kisi heksagoal juga ookliik, trikliik, dan heksagonal masing masing. (Catatan, bahwa dua kisi tidak perlu memiliki struktur Bravais yang sama dalam sistem yang sama.

Melihat contoh bcc dan fcc diatas).

Gambar 2.7(a) kisi resiprok untuk Kristal satu dimensi, (b) kisi resiprok untuk kisi dua dimensi.

Gambar 2.8 sebuah bagian dari kisi resiprok untuk kisi sc

Sel unit resiprok yang dipilih dengan cara tertentu. Untuk kisi persegi panjang dari

Gambar 2.9, biarkan O menjadi titik asal dan menggambarkan vecktor kisi menghubungkan asal

dengan titik kisi tetangganya. Kemudian tarik garis lurus yang tegak lurus terhadap vecktor di

titik titik tengannya. Wilayah terkecil tertutup oleh garis garis persegi panjang A dalam gambar merupakan sel unit yang dicari dan disebut zona Brillouin pertama. Zona Brillouin (BZ)

merupakan sel unit diterima karena memenuhi semua persyaratan yang diperlukan. Hal ini juga

memiliki perlengkapan yang titik kisi sesuai tepat jatuh di pusat sel, tidak seperti kasus kisi

langsung dimana titik kisi biasanya terletak pada sudut-sudut sel. Jika BZ pertama

diterjemahkan oleh vektor resiprok , maka ruang kisi resiprok seluruh harus ditutup, karena BZ adalah sel unit yang benar.

Gambar 2.9 zona Brillouin pertama untuk kisi persegi panjang.

Zona Brillouin untuk kisi tiga dimensi dapat dibangun dengan cara yang sama, tetapi

perhatikan bahwa dalam hal ini vektor kisi yang memisahkan dua bidang tegak lurus dan bahwa

BZ pertama adalah saat volume terkecil tertutup oleh bidang. Dalam kasus yang paling

sederhana kisi sc yang BZ adalah kubus tepi 2/ berpusat pada titik asal. BZ ini untuk kisi kubus lain yang dalam bentuk lebih rumit kita akan menunda pembahasan kisi ini dan lainnya

ke bagian selanjutnya.

Kadang-kadang juga menggunakan zona Brillouin tingkat tinggi yang sesuai dengan

vektor yang menghubungkan titik asal untuk titik jauh dalam kisi resiprok, tetapi tidak akan

dibahas disini karena tidak diperlukan. Kita akan menemukan bahwa konsep zona Brillouin

sangat penting hubungannya dengan getaran kisi (Bab 3) dan electron dalam Kristal (Bab 5).

Setelah mendefinisikan kisi resiprok dan membahas beberapa sifat-sifatnya, sekarang

dilanjutkan untuk menunjukkan kegunaannya. Salah satu aplikasi penting teerletak pada

penggunaannya dalam evaluasi jumlah kisi dan ini terletak pada persamaan matematika berikut

: .1=1 = , (2.36) Berikut adalah sebarang vektor penjumlahan adalah vektor kisi langsung dan N adalah

jumlah total sel dalam kisi langsung. Karena simbol delta, maka (2.36) adalah jumlah kisi di

sebelah kiri hilang setiap kali vecktor A tidak sama dengan beberapa kisi resiprok . Ketika itu adalah sama dengan beberapa , jumlah kisi menjadi sama dengan N. Untuk menetapkan kevalidan (2.36), pertama kita harus mengerjakan kasus = untuk mengevaluasi eksponen . disebelah kiri (2.36), kita substitusi = = 1 + 2 + 3 dan = 11 +22 + 33 dan hasilnya : . = . = (1 + 2 + 3) . (11 + 22 + 33 ) = 11 + 22 + 33 (2.37)

Dimana dalam mengevaluas produk skalar dari vektor basis digunakan (2.35). Misalnya . = 2,. = 0, dll. Setiap istilah dalam penjumlahan di (2.36) pleh karena itu bentuk 2 dimana m adalah bilangan bulat dan akibatnya sama dengan persatuan. Maka jumlah total sama dengan N seperti (2.36). Dalam kasus kita dapat mengikuti prosedur yang sama digunakan dalam mengevaluasi (2.24) dan hasilnya adalah sama seperti sebelumnya,

yaitu bahwa untuk N besar jumlah hilang kecuali untuk nilai-nilai tertentu dari A. Nilai-nilai yang

luar biasa ini, pada kenyataannya dipilih di atas yaitu = .

Sebagai titik akhir, sekarang kita akan menunjukkan bahwa vektor kisi resiprok terkait

dengan bidang kristal dari kisi langsung. Dengan cara ini, abstrak vektor resiprok akan

memperoleh arti konkrit. Pertimbangkan bagian bidang kristal yang indeks Miller adalah () dan kisi resiprok sesuai vektor = + + di mana angka-angka ,, adalah himpunan bilangan bulat. Kita sekarang harus menetapkan sifat-sifat berikut:

i. vektor normal dengan () bidang kristal. ii. jarak interplanar berkaitan dengan besarnya oleh = 2/ (2.38)

Gambar. kisi resiprok vektor normal terhadap bidang (). Untuk membangun hubungan ini, kita lihat Gambar 2.10, di mana kita telah ditarik salah

satu bidang (). Perpotongan dari bidang dengan sumbu , y, dan terkait dengan indeks dengan : ,, ~ 1 , 1 , 1 (2.39) di mana untuk penggunaan dari definisi indeks Miller (Bagian 1.6). Perhatikan juga vektor dan yang terletak di sepanjang garis bidang dengan y dan bidang y, masing-masing. Menurut angka, vektor ini diberikan oleh = , = . Untuk membuktikan hubungan (i) di atas, kita hanya perlu membuktikan bahwa ortogonal untuk kedua dan memiliki : . = . + + = 2 = 0 di mana telah menggunakan (2.35) untuk menetapkan kedua kesetaraan, terakhir kesamaan dari (2.39). Dengan cara yang

sama kita juga dapat menunjukkan bahwa t ortogonal terhadap , dan ini menetapkan properti (i).

Untuk membuktikan (2.38)pertama, amati bahwa jarak interplanar sama dengan proyeksi sepanjang arah normal terhadap bidang (), arah ini dapat diwakili oleh vektor satuan = / , karena telah menetapkan bahwa adalah normal ke bidang. Karena itu : = . = (. )/ (2.40)

Catatan bahwa . = 2 sama dengan 2, karena menurut (2.39) = . Ini melengkapi bukti (2.38).

Hubungan antara vektor resiprok dan bidang kristal sekarang cukup jelas. Vektor terkait dengan bidang kristal () yang pada kenyataannya normal dan pemisahan dari bidang ini adalah kali 2 kebalikan dari panjang di ruang resiprok. Crystallographer lebih memilih untuk berpikir dalam hal bidang Kristal yang memiliki realitas fisik dan indeks Miller, sedangkan

fisika zat padat seperti kisi resiprok, yang secara matematis lebih elegan, dua pendekatan

bagaimanapun setara dan seseorang dapat berubah dari satu ke yang lain dengan

menggunakan yang menghubungkan dua hubungan.

REFERENSI

Aprilia,Annisa, dkk. 2012. Struktur Kristal Zat Padat. Pengantar Fisika material. Jurusan

fisika Universitas Padjadjaran.

Dra.Wierdartun,M.Si. Pendahuluan Fisika Zat Padat [slide share] diakses pada 17

september 2013

Kittel, Charles. 2005. Introduction To Solid State Physiscs.john Wiley & Sons,Inc.