bab 4 determinan

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Determinan

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Determinan Matrik 2x2

bcaddc

baA

det)det(

Syarat suatu matrik mempunyai determinan: matrik bujursangkar

Lambang determinan matrik A adalah det(A) atau A

Dengan menggunakan determinan matrik 2x2 ini, akan didefinisikan determinan matrik yang berordo yang lebih besar

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Determinan Matrik 3x3

332112322311312213322113312312332211

333231

232221

131211

)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A

det(A)= )()1()()1()()1( 3122322131

133123332121

123223332211

11 aaaaaaaaaaaaaaa

det(A)=3231

22213113

3331

23212112

3332

23221111 )1()1()1(

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

det(A)= )()1()()1()()1( 3112321132

233113331122

223213331212

21 aaaaaaaaaaaaaaa

det(A)= 3231

12113223

3331

13112222

3332

13121221 )1()1()1(

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

Dari kenyataan di atas dapat dirumuskan berikut:

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Minor dan Kofaktor

Definisi:

Misalkan Anxn=[aij], maka minor dari aij , yang

dilambangkan oleh Mij, adalah determinan dari sub

matrik A yang diperoleh dengan cara membuang

semua entri pada baris ke-i dan semua entri pada

kolom ke-j.

Kofaktor dari aij, yang dilambangkan oleh Cij, adalah

(-1)i+jMij.

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Contoh Minor dan Kofaktor

454

210

132

A14

45

2111

M 420

1232

M 22

54

3223

M

14)1( 1111

11 MC 4)4()1( 3223

32 MC 22)1( 2332

23 MC

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Ekspansi Kofaktor

Misalkan Anxn=[aij]

determinan dari A:

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2+ + ainCin

{karena baris ke-i menjadi acuan/ tetap, disebut: ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i}

atau

det(A) = a1jC1j + a2jC2j+ + anjCnj

{karena kolom ke-j menjadi acuan/ tetap, disebut: ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j}

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Contoh Determinan 1

135

650

432

A

16465

43)1)(5()1(0

13

65)1(2)det( 13

211211

MA

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Contoh Determinan 2

1243

3202

0113

0200

B

131314131211 220200)det( MCCCCCB

4743

13)1(3

14

01)1(2

143

302

0133212

13

M

det(B) = 2(-47) = - 94

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Sifat-sifat determinan

1. det(AB)=det(A)det(B)2. det(AT)=det(A)

3. Jika A matrik diagonal, maka det(A)=a11a22...ann {perkalian dari semua entri pada diagonal utama}

4. Jika A matrik segitiga, maka det(A)=a11a22...ann {perkalian dari semua entri pada diagonal utama}

5. Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A)6. det(A-1)=1/det(A)7. Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka det(A)=0

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Sifat-sifat determinan

8. Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut:

a. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k0, maka det(A’)=k det(A)

b. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A)

c. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A)

9. Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A)=0

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Reduksi Baris

Dengan menggunakan sifat ke 8 dan 4, maka dapat mempermudah dalam menghitung determinan, dengan cara mengubah bentuknya menjadi matrik segitiga

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Contoh Reduksi Baris

135

650

432

A

det(A)

13 2135

650

432

bb

31 2

931

650

432 bb

21 2

931

650

2290 bb

12 5

931

650

3410

bb

1

3

931

16400

3410

b

b

2

3

3410

16400

931

b

b

16400

3410

931

)(

164)164(1)1)((

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Kombinasi Reduksi Baris dan Ekspansi Kofaktor Penggunaan kombinasi metode reduksi baris

dan ekspansi kofaktor secara bersamaan, menyebabkan penghitungan determinan lebih cepat

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Contoh Kombinasi

1243

3202

0113

0200

B

det(B) =

1243

3202

0113

0200

13

31

4143

302

013

)1(2

bb

=

1015

302

013

)1(2 31

=

115

32)1.(1)1(2 2131

=

= -2(2 - 3(-15)) = -94

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Tantangan 1

42

32

564

456

465

221

032

221

1. Untuk matrik-matrik di bawah ini, tentukan: a. minor dari semua entri darib. Kofaktor dari semua entric. Determinan dengan menggunakan ekspansi kofaktor

8421

0421

0021

1031

1002

2100

4210

8421

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Tantangan 2

2. Hitung determinan matrik di bawah ini, menggunakan metode campuran, yaitu gabungan metode reduksi baris dan ekspansi kofaktor.

4332

2543

0023

1043

0232

0430

201

1055

41

3212

2432

2121

1111

3. Diketahui matrik A dan B berordo 4x4, det(A)= - 12 dan det(B)=3/4, hitunglah: det(A2BA-1B3B-3)

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Tantangan 3

12ihg

fed

cba

ihg

fed

cba

222

cba

ihg

fed

fcebda

ihg

cba

fiehdg

cba

fed

222

ihg

cfbead

cba

21

21

21

222

333

, hitunglah4. Jika

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Adjoin

Definisi: Misalkan Anxn=[aij], Cij adalah kofaktor dari entri aij, matrik:

disebut matrik kofaktor. Transpos matrik kofaktor A disebut matrik adjoin A ditulis adj(A).

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

21

22221

11211

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Contoh Adjoin

454

023

321

A

496

31623

7128adj(A) =

437

91612

6238

Matrik Kofaktor A =

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Jumlah perkalian Entri dan Kofaktor tak seletak

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

131211

232221

131211

'

aaa

aaa

aaa

A

b1 = a11C31 + a12C32 + a13C33

b2 = a11C’31 + a12C’32 + a13C’33

b1=b2 b2=det(A’)det(A’)=0b1=0

Dengan cara yang sama, kenyataan tersebut dapat dikembangkan untuk matrik nxn, sehingga Jumlah perkalian entri dan kofaktor yang tak seletak = nol

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

A dikali adj(A)

nnnn

n

n

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

aaa

aaa

aaa

AA

21

22212

12111

21

22221

11211

)(adj

n

knknk

n

kknk

n

kknk

n

knkk

n

kkk

n

kkk

n

knkk

n

kkk

n

kkk

CaCaCa

CaCaCa

CaCaCa

112

11

12

122

112

11

121

111

bij=

jninjiji

n

kjkik CaCaCaCa

22111

bij=

Jika ij, maka bij=0Jika i=j, maka bij=det(A)

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Invers Matrik dgn Adjoin

A adj(A)= IA

A

A

A

)det(

)det(00

0)det(0

00)det(

A adj(A)=det(A)I

IA

AA )det(

1)(adj

IAA

AAA 11

)det(

1)(adj

)(adj)det(

1 1 A

AA

Jika det(A)0, maka

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Contoh Invers dgn Adjoin

454

023

321

A

13

12

4

3

454

023

321

)det(

bb

bbA

1630

940

321

37163

941

)()det(

11 AadjA

A

437

91612

6238

37

1

374

373

377

3793716

3712

376

3723

378

=

=

= =

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Aturan Cramer

BAA

X )(adj)det(

1

nnnnn

n

n

b

b

b

CCC

CCC

CCC

AX

2

1

21

22212

12111

)det(

1

nnnnn

nn

nn

CbCbCb

CbCbCb

CbCbCb

AX

2211

2222121

1212111

)det(

1

nx

x

x

X2

1

)det(1

A

Cbx

n

iiji

j

X=A-1B

nnjnnjnnn

njj

njj

j

aabaaa

aabaaa

aabaaa

A

)1()1(21

2)1(22)1(22221

1)1(11)1(11211

n

iijij CbA

1

)det(

)det(

)det(

A

Ax jj

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Contoh Aturan Cramer

232

1323

432

zyx

zyx

zyx

2

1

4

312

323

132

z

y

x

32

31

2

3

312

323

132

bb

bb

312

907

804

20

97

84)1)(1(

det(A)=

= =

32

31

2

3

312

321

134

bb

bb

312

905

8010

5095

810)1)(1(

det(Ax)==

=

2

12

20

50

)det(

)det(

A

Ax x

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id

Tantangan 4

Tentukan solusi dari persamaan-persamaan di bawah ini, menggunakan metode:

A. Perkalian dengan determinan matrik koefisien dan adjoinnya

B. Aturan Cramer

4

11

14

32

2411

1113

1927

4112

w

z

y

x

426

53423

0254

2323

wzy

wzyx

wyx

wzyx

5

0

3

114

232

132

z

y

x

0

22

1352

zyx

zyx

zyx