7/24/2019 Aljabar Linier Elementer 2006 Uas

1/1

MA 2131 Aljabar Linier ElementerUAS - Semester I - 2006 / 2007

20 Desember 2006

1. MisalkanVhimpunan semua matriks simetris berukuran 2 2 dan fadalah fungsi

dari dua variabel yang didefinisikan sebagai berikut. Untuk setiapAdan B diV,

f(A, B) =Trace(AB),

yakni jumlah semua elemen diagonal dari matriks hasil kaliA dan B.

(a) Buktikan bahwa fadalah sebuah hasil kali dalam padaV;

(b) Hitunglah jarak dari matriksAke matriksB, atau ||A B||, jika

A=

4 33 9

dan B=

9 66 0

;

(c) Selidiki apakah kedua matriksA dan B pada butir (b) di atas bersifat ortogonal.

2. Diketahui tiga vektor berikut diR3,

v1=

a,

1

2,

1

2

, v2=

1

2, a,

1

2

, v3=

1

2,

1

2, a

(a) Tentukana agar ketiga vektor itu bebas linier;

(b) Jikaa = 0, gunakanlah proses ortogonalisasi Gram-Schmidt untuk mendapatkantiga vektor yang saling ortogonal.

3. MisalkanVruang bagian (subruang) dariR3 yang dibangun oleh

v1= (1,1, 3), v2= (5,4,4), v3= (7,6, 2).

(a) Buktikan bahwa dimensi dariVsama dengan 2;

(b) Tentukan komplemen ortogonal dariV, yang ditulisV, yakni

V = {xdi R3|xtegak lurusyuntuk setiapydiV}.

4. Diketahui matriksA =

0 0 00 0 0

3 0 1

.

(a) Selidiki apakah matriksAdapat didiagonalkan;

(b) JikaA dapat didiagonalkan, cari matriks invertibelP yang mendiagonalkanA;

(c) JikaA dapat didiagonalkan, tentukan bentuk diagonalnya;

(d) ApakahAdapat didiagonalkan secara ortogonal? Jelaskan jawaban Anda.

5. (a) Diketahui transformasi linierT: R3 R2 dimana

T(1,0,0) = (1, 1), T(0,1,0) = (3, 0), danT(0,0,1) = (4, 7)

CarilahT(1,3,8).

(b) MisalkanMhimpunan semua matriks berukuran(22)danFadalah pemetaaandariMke R dimanaF(A) =|A| untuk setiapAdi M. Selidiki apakahF berupatransformasi linier.