Aljabar Linear

Evangs Mailoa

& Matriks

Pert. 5

Pengantar Determinan

Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2

dapat dibalik jika ad − bc ≠ 0.

Pernyataan ad − bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks A,

Dinotasikan sebagai det(A) atau |A|.

Sehingga A−1 yang diberikan pada teorema 1.4.3, dapat ditulis kembali

Tujuan dari pecarian determinan adalah bagaimana mendapatkan analog rumus invers untuk matriks yang mempunyai ordo lebih tinggi.

Sehingga perlu diperluas untuk konsep determinan untuk matriks bujursangkar dengan berbagai ordo.

Untuk dapat melakukan itu, dibutuhkan beberapa hasil awal dari permutasi.

Permutasi

Permutasi dari himpunan bilangan bulat atau integer {1, 2, ... , n} adalah susunan integer-integer menurut suatu aturan tanpa adanya penghilangan atau pengulangan.

• Untuk himpunan integer {1, 2, 3} terdapat enam permutasi yang berbeda, yaitu

» (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)

» (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)

• Satu metode yang paling mudah untuk menyusun daftar permutasi secara sistematis adalah dengan menggunakan pohon permutasi (permutation tree).

Contoh 1 Permutasi dari Tiga Integer

• Buatlah daftar semua permutasi dari empat himpunan integer {1, 2, 3, 4}.

Contoh 2 Permutasi dari Empat Integer

• Dari gambar 2.1.1, diperoleh permutasi-permutasi berbeda dapat disusun menjadi

(1, 2, 3, 4) (2, 1, 3, 4) (3, 1, 2, 4) (4, 1, 2, 3)

(1, 2, 4, 3) (2, 1, 4, 3) (3, 1, 4, 2) (4, 1, 3, 2)

(1, 3, 2, 4) (2, 3, 1, 4) (3, 2, 1, 4) (4, 2, 1, 3)

(1, 3, 4, 2) (2, 3, 4, 1) (3, 2, 4, 1) (4, 2, 3, 1)

• Diperoleh 24 permutasi untuk empat integer {1, 2, 3, 4}

• Dapat disimpulkan dengan empat integer diperoleh banyak permutasi 4∙3∙2∙1 = 24 susunan.

• Secara umum, himpunan {1, 2, . . . , n} akan memiliki n(n−1) (n−2) . . . 2∙1= n! permutasi berbeda.

Contoh 2 Permutasi dari Empat Integer

Invers dalam Permutasi

Dinyatakan suatu permutasi umum dari {1, 2, ..., n} sebagai (j1, j2, ... , jn), dimana j1 adalah integer pertama dalam dari permutasi, j2 adalah integer kedua dalam dari permutasi, dan seterusnya.

Suatu inversi (inversion) atau pembalikan dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (j1, j2, ... , jn) jika integer yang lebih besar mendahului integer yang lebih kecil.

Jumlah total inversi yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh sebagai berikut:

1. Tentukan banyak integer yang lebih kecil dari j1 dan mengikuti j1 dalam permutasi;

2. Tentukan banyaknya integer yang lebih kecil dari j2 dan mengikuti j2 dalam permutasi. Lanjutkan proses perhitungan ini untuk j3, ... , jn−1.

Jumlah dari bilangan-bilangan ini akan merupakan total banyaknya inversi ini dalam permutasi tersebut.

• Tentukan banyaknya inversi pada permutasi-permutasi berikut

(a). (6, 1, 3, 4, 5, 2),

(b). (2, 4, 1, 3),

(c). (1, 2, 3, 4).

• Penyelesaian:

(a). Banyaknya inversi adalah 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8.

(b). Banyak inversi adalah 1 + 2 + 0 = 3.

(c). Tidak ada inversi untuk permutasi ini.

Contoh 3 Menghitung Invers

• Tabel berikut ini mengklasifikasikan berbagai permutasi dari {1, 2, 3} sebagai genap atau ganjil.

Contoh 4 Mengklasifikasi Permutasi

Permutasi Banyaknya Inversi Klasifikasi

(1, 2, 3) 0 genap

(1, 3, 2) 1 ganjil

(2, 1, 3) 1 ganjil

(2, 3, 1) 2 genap

(3, 1, 2) 2 genap

(3, 2, 1) 3 ganjil

Pengertian Determinan

Suatu hasilkali elementer (elementary product) dari suatu matriks A, n x n, adalah hasilkali dari n entri di A, yang tidak berasal dari baris dan kolom yang sama.

• Buatlah daftar hasil kali elementer dari matriks-matriks:

Contoh 5 HasilKali Elementer

Penyelesaian:

Karena setiap hasil kali elementer merupakan perkalian entri dalam matriks yang tidak sekolom dan sebaris maka untuk,

diperoleh: a11 a22 dan a12 a21

diperoleh: a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32

a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22a31

HasilKali Elementer Bertanda

Pada contoh 4, matriks A mempunyai n! hasilkali elementer.

Hasilkali elementer berbentuk a1j1 a2j2 . . .anjn, dimana (j1, j2, ... , jn) adalah permutasi dari himpunan {1, 2, ... , n}

Hasilkali bertanda dari A (signed elementary product from A) adalah hasilkali elementer a1j1 a2j2 . . .anjn dikalikan +1 atau −1.

Digunakan tanda + jika (j1, j2, ... , jn) adalah permutasi genap dan tanda − jika (j1, j2, ... , jn) adalah permutasi ganjil.

• Buatlah daftar hasilkali elementer bertanda dari matriks-matriks:

Contoh 6 HasilKali Elementer Bertanda

Penyelesaian (a):

Penyelesaian (b):

Hasilkali Elementer Permutasi yang

Berkaitan Genap atau

Ganjil

Hasilkali Elementer Bertanda

a11 a22 (1, 2) genap a11 a22

a12 a21 (2, 1) ganjil −a12 a21

Hasilkali Elementer Permutasi yang

Berkaitan Genap atau

Ganjil

Hasilkali Elementer Bertanda

a11 a22 a33 (1, 2, 3) genap a11 a22 a33

a11 a23 a32 (1, 3, 2) ganjil −a11 a23 a32

a12 a21 a33 (2, 1, 3) ganjil −a12 a21 a33

a12 a23 a31 (2, 3, 1) genap a12 a23 a31

a13 a21 a32 (3, 1, 2) genap a13 a21 a32

a13 a22 a31 (3, 2, 1) ganjil −a13 a22 a31

Fungsi Determinan

Misalkan A adalah suatu matriks bujur sangkar. Fungsi determinan (determinant function) dinotasikan dengan det dan didefenisikan det(A) sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda dari A.

• Mengacu pada contoh 6, didapat:

Contoh 7 Determinan dari Matriks 2 x 2 dan 3 x 3

Menghitung Determinan 2x2 dan 3x3 (Cara lain)

Untuk memudahkan perhitungan determinan dapat dilakukan dengan mengalikan entri-entri yang arah panah ke kanan dan mengurangkannya dengan hasil perkalian dari entri-entri dengan arah panah ke kiri.

• Hitunglah determinan dari:

Penyelesaian:

det (A) = (3)(−2) − (1)(4) = −10

det (B) = (45) + (84) + (96) − (105) − (−48) − (−72) = 240

Contoh 8 Menghitung Determinan

Menghitung Determinan

Determinan dari matriks bujursangkar A dengan ordo m x m, secara umum diberikan oleh:

dimana Aij adalah matriks A yang baris ke-i dan kolom ke-j dihapus.

• Hitunglah determinan dari:

Penyelesaian:

Contoh 9 Menghitung Determinan

• Hitunglah determinan dari:

Penyelesaian:

Contoh 10 Menghitung Determinan

Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris

Teorema Dasar

Pada bagian sebelumnya, sangat ampuh untuk menghitung determinan jika matriks berukuran kurang dari atau sama dengan 3 x 3, tidak berlaku lagi untuk matriks yang ukuran lebih besar dari 3 x 3.

Oleh karena itu, dimulai dari teorema dasar yang akan mengarahkan pada prosedur untuk menghitung matriks dengan ordo n.

Teorema 1 Misalkan A adalah suatu matriks bujur sangkar.

a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(A) = 0.

b) det(A) = det(AT).

Matriks Segitiga

Teorema berikut mempermudah perhitungan determinan suatu matriks segitiga, berapun ukurannya.

Teorema 2 Misalkan A adalah suatu matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal) maka det(A) adalah hasilkali dari entri-entri pada diagonal utama matriks tersebut; yaitu

• Hitunglah determinan dari:

Penyelesaian:

Berdasarkan teorema 2, maka determinan dari Q adalah:

Contoh 11 Determinan Matriks Segitiga Atas

Operasi Baris Elementer

Teorema 3 Misalkan A adalah suatu matriks n x n.

a) Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika satu baris atau kolom dari A dikalikan dengan suatu skalar k, maka det(B) = k det(B).

b) Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika dua baris atau dua kolom dari A dipertukarkan, maka det (B) = − det (B).

c) Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika kelipatan dari satu baris A ditambahkan ke baris lainnya atau ketika kelipatan dari satu kolom ditambahkan ke kolom yang lain, maka det (B) = det (A).

Baris pertama dari A dikalikan dengan dengan k.

Baris pertama dan kedua dari A dipertukarkan.

Contoh 12 Teorema 3 untuk Determinan 3x3

Suatu kelipatan dari baris kedua dari A ditambahkan ke baris pertama.

Contoh 12 Teorema 3 untuk Determinan 3x3

Matriks Elementer

Teorema 4 Misalkan E adalah suatu matriks n x n.

a) Jika E adalah hasil perkalian suatu baris dari In dengan k, maka det(E) = k.

b) Jika E adalah hasil pertukaran dua baris dari In, maka det(E) = -1.

c) Jika E adalah hasil penjumlahan kelipatan satu baris dari In, ke baris lainnya, maka det(E) = 1.

Determinan matriks berikut dihitung dengan inspeksi, menggunakan teorema 4.

Contoh 13 Determinan dari Matriks Elementer

Matriks dengan Baris/Kolom yang Proporsional

Jika suatu matriks bujursangkar A memiliki dua baris yang proporsional, maka suatu baris bilangan nol dapat dibentuk dengan cara menjumlahkan kelipatan yang sesuai dari salah satu baris ke baris yang lainnya.

Hal yang sama juga berlaku untuk kolom.

Teorema 5 Jika A adalah suatu matriks bujursangkar dengan dua baris atau dua kolom yang proporsional, maka det(A) = 0.

Perhitungan berikut menggambarkan cara membentuk suatu baris bilangan nol jika terdapat dua baris yang proporsional:

Contoh 14 Membentuk Baris Nol

Baris kedua merupakan 2 kali baris pertama, sehingga dengan

menambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua untuk membentuk

satu baris nol

Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris

Mencari determinan dari suatu matriks dengan reduksi baris adalah dengan membawa matriks awal ke bentuk matriks segitiga atas, sehingga memudahkan perhitungan.

Contoh 15 Reduksi Baris untuk Menghitung Determinan

Hitunglah det(A) di mana:

Penyelesaian:

Matriks A direduksi menjadi bentuk eselon baris yaitu segitiga atas.

Suatu faktor bersama yaitu 3 dari baris

pertama, dikeluarkan dari tanda determinan

Baris pertama dan kedua dari A

dipertukarkan

Penyelesaian:

Baris ketiga mengurangi 2 kali

baris pertama Baris ketiga

mengurangi 10 kali baris kedua

Suatu faktor bersama yaitu (-55), dan dikeluarkan dari

determinan

Hitunglah determinan dari

Contoh 16 Reduksi Kolom untuk Menghitung Determinan

Mengubah B menjadi bentuk segitiga bawah dengan melakukan operasi kolom; k3 − 2k1

Mau bertanya..?