adln perpustakaan universitas airlanggarepository.unair.ac.id/25721/1/saputri, sofia...

PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM

LIKELIHOOD DAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARE

SKRIPSI

SOFIA UTAMI DEWI SAPUTRI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA

2012

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.

Sofia Utami Dewi Saputri

ii

PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM

LIKELIHOOD DAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARE

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika

Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Oleh :

SOFIA UTAMI DEWI SAPUTRI NIM. 080710447

Tanggal Lulus : September 2012

Disetujui Oleh :

Pembimbing I

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002

Pembimbing II

Drs. Suliyanto, M.Si

NIP. 19650907 199102 1 001




iii

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI

Judul : Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik

Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan

Metode Weighted Least Square

Penyusun : Sofia Utami Dewi Saputri

NIM : 080710447

Tanggal Ujian : September 2012

Disetujui oleh :

Pembimbing I

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002

Pembimbing II

Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19650907 199102 1 001

Mengetahui :

Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains Teknologi

Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M.Si NIP. 19680204 199303 1 002




iv

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seijin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.




v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah. Segala Puji Syukur atas kehadirat Allah SWT yang telah

melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya sehingga penyusunan skripsi dengan

judul “Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner

Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least

Square” dapat terselesaikan. Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk memenuhi

sebagian persyaratan guna memperoleh gelar sarjana pada pogram studi

Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

Penulis menyadari bahwa berkat bantuan dan dukungan dari berbagai

pihak, maka skripsi ini dapat tersusun. Oleh karena itu, pada kesempatan ini

penulis menyampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya

kepada :

1. Kepada Ibunda saya tercinta Anna Laila Ahmad dan Ayahanda saya

tercinta Anwar Shodiq (Alm.) atas segala dukungan dan doanya.

2. Kepada ketiga kakak saya, Evy Rosydiana dan mas Indun, Fuad Ahmadi

dan mbak Ranty dan Ahmad Fauzi dan mbak Dian serta adik saya Bagus

Pranoto Abdillah serta Saudara-saudara saya atas doa serta dukungannya.

3. Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs. Suliyanto, M.Si selaku dosen

pembimbing I dan II yang telah memberikan bimbingan kepada penulis

dalam penyusunan skripsi ini dengan penuh keikhlasan dan kesabaran

hingga selesainya skripsi ini.




vi

4. Drs. Sediono, M. Si selaku dosen wali yang telah banyak membantu dalam

kegiatan akademis selama Penulis belajar di Fakultas Sains dan Teknologi

UNAIR.

5. Dr.Miswanto selaku KAPRODI Matematika sekaligus KADEP

Matematika yang telah memberikan arahan dalam penyusunan skripsi.

6. Seluruh mahasiswa UNAIR angkatan 2007, khususnya mahasiswa Jurusan

Matematika angkatan 2007 atas kerjasama, do’a dan dukungannya.

7. Sahabat-sahabat saya Herlina, Trisfiyanti, Uum, Tia, Arista dan Galuh

terimakasih atas dukungan serta doa kalian semua.

8. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.

Semoga segala pengorbanan dan bantuan yang telah diberikan

kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini mendapat imbalan dan

amalan yang diridhoi Allah S.W.T. Semoga skripsi ini dapat memberikan

manfaat bagi semua pihak yang berkepentingan.

Surabaya, September 2012

Penyusun





vii

Sofia Utami Dewi Saputri, 2012. Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square. Skripsi ini di bawah bimbingan Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs. Suliyanto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya

ABSTRAK

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum likelihood dan metode Weighted least square. Proses estimasinya menggunakan algoritma Newton raphson dan Iteratively reweighted least square. Untuk penerapan pada data dibuat program menggunakan Software S-PLUS 2000

Perbandingan hasil estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum likelihood dan metode Weighted least square diterapkan pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti. Variabel respon yang digunakan adalah jumlah kematian larva Aedes aegypti (Y), sedangkan variabel prediktor yang digunakan adalah konsentrasi ekstrak ethanol daun Mimba (X1) dan lama waktu pengamatan (X2). Dari hasil analisa data diperoleh bahwa metode yang baik adalah metode Maximum likelihood dengan nilai Mean Square Error (MSE) dan Apparent Rate Error (APPER) yang terkecil , yaitu sebesar 0,6566313 dan 4,44%. Kata Kunci : Regresi logistik biner, Maximum Likelihood, Algoritma Newton

Raphson, Weighted Least Square, Iteratively Rweighted Least Square dan Kematian larva Aedes aegypti.




viii

Sofia Utami Dewi Saputri, 2012. Comparison of Results of Binary Logistic Regression Model Estimation Method Using Maximum Likelihood and Weighted Least Square Method. This thesis under the guidance of Toha Saifudin S. Si, M. Si and Drs. Suliyanto M. Si. Department of Mathematics, Science and Technology Faculty, Airlangga University, Surabaya.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to compare the results of binary logistic regression model was estimated using the method Maximum Likelihood and Weighted Least Square method. Estimation process using the Newton Raphson algorithm and Iteratively Reweighted Least Squares. For the application on the data use S-PLUS 2000 software.

Comparison of the results of binary logistic regression model was estimated using the method of Maximum Likelihood and weighted least square method applied to the data of larvaside effectivity test of Neem leaf ethanol extract (Azadirachta indica) on Aedes aegypti larvae. The respon variable that is used is the mortality percentage of Aedes aegypti larvae (Y), while the predictor variables that are used are consentration of ethanol extract of Neem leaf (X1) and time of observation (X2). From the analysis og the data obtained is that a good method Maximum likelihood method with a value of Mean Square Error (MSE) and the Apparent Rate Error (APPER) is the smallest, that is equal to 0,6566313 and 4,44%. Key Word : Binary logistic regression, Maximum likelihood,Newton Raphson

algorithm, Weighted Least Square, Iteratively Reweighted Least Square, Aedes aegypti larvae mortality.




ix

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR JUDUL ...................................................................................... i LEMBAR PERNYATAAN ....................................................................... ii LEMBAR PENGESAHAN ........................................................................ iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ..................................... iv KATA PENGANTAR ................................................................................ v ABSTRAK .................................................................................................... vii ABCTRACT ................................................................................................. viii DAFTAR ISI ............................................................................................... ix DAFTAR TABEL ......................................................................................... xi DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................. xii BAB I PENDAHULUAN ........................................................................ 1

1.1 Latar Belakang Masalah .................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................. 4 1.3 Tujuan ............................................................................... 4 1.4 Manfaat ............................................................................. 5 1.5 Batasan Masalah ................................................................ 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................... 6

2.1 Matriks .............................................................................. 6 2.2 Distribusi Binomial ............................................................. 7 2.3 Regresi Logistik Biner ......................................................... 7 2.4 Turunan dalam Format Vektor ............................................. 9 2.5 Metode Maximum Likelihood ............................................. 10 2.6 Metode Weighted Least Square .......................................... 10 2.7 Matriks Pembobot Keluarga Generalized Linier Model ..... 11 2.8 Prosedur Klasifikasi ............................................................. 12 2.9 Mean Square Error (MSE)……………………………….. 13 2.10 Algoritma Newton Raphson ................................................. 13 2.11 S-PLUS 2000.................................... ................................... 14 2.12 Aedes aegypti ...................................................................... 17 2.13 Daun Mimba (Azadirachta indica) ..................................... 19

BAB III METODE PENELITIAN .............................................................. 21

3.1. Estimasi model Regresi Logistik Biner .............................. 21 3.1.1. Metode Maximum Likelihood ................................... 21 3.1.2. Metode Weighted Least Square ............................... 23 3.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square .......... 24

3.2. Membandingkan Metode MLE dengan Metode WLS ......... 25 3.3. Penerapan Model pada Data ................................................ 26

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ...................................................... 27




x

BAB V PENUTUP ........................................................................................ 44

5.1. Kesimpulan .......................................................................... 44 5.2. Saran .................................................................................... 45

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 46 LAMPIRAN




xi

DAFTAR TABEL

No Judul Tabel Halaman 2.1 Tabel Klasifikasi ................................................................................ 12




xii

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul

1. Data Kematian Larva Aedes aegypti

2. Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner

dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan

APPER


dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan

APPER


dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE

danAPPER

5. Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner

dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan

APPER


dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan

APPER


dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE dan

APPER




1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam bidang ilmu statistika, untuk mengetahui hubungan antara variabel

respon dengan beberapa variabel prediktor dapat menggunakan analisis regresi

linier. Dalam analisis regresi linier, variabel respon harus bersifat kuantitatif

dengan skala pengukuran minimal interval. Variabel respon juga diasumsikan

berdistribusi normal dan mempunyai ragam yang homogen (Rokhman, 2008).

Pada realita di lapangan menunjukkan bahwa banyak penelitian yang

menghasilkan respon dengan nilai “sukses” atau “gagal”. Bila variabel respon

merupakan data kategorik termasuk data biner maka model regresi linier biasa

tidak dapat digunakan untuk analisis. Salah satu analisis regresi untuk

menganalisis variabel respon berskala biner adalah analisis regresi logistik

(Rokhman, 2008).

Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter

model regresi logistik diantaranya adalah metode Maximum Likelihood, Weighted

Least Square (WLS) dan Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS) dalam

penyelesaian. Metode-metode estimasi tersebut telah dibahas oleh Agresti. Jika

diterapkan terhadap sebuah kasus yang sama, metode-metode tersebut dapat

menghasilkan estimator yang berbeda. Hal inilah yang menarik perhatian penulis




2

untuk membahas perbandingan hasil estimasi model regresi logistik biner

menggunakan metode Maximum Likelihood dan WLS dalam skripsi ini. Sebagai

kriteria perbandingan, penulis menggunakan nilai Apparent Error Rate (APPER)

dan Mean Square Error (MSE). APPER merupakan proporsi misklasifikasi

(ketidaktepatan klasifikasi) estimasi terhadap kenyataan yang sebenarnya dari

variabel respon. Nilai APPER berkisar dari hingga . Jika nilai APPER

semakin mendekati maka estimasi yang dilakukan semakin baik. Adapun

MSE merupakan ukuran rata-rata kuadrat kesalahan prediksi. Nilai MSE berupa

bilangan riil non negatif. Jika nilai MSE semakin mendekati 0 maka estimasi yang

dilakukan semakin baik.

Sebagai contoh penerapan, dalam skripsi ini penulis mengambil kasus

kematian larva Aedes aegypti akibat pemberian ekstrak daun mimba. Data yang

penulis gunakan, diadopsi dari Aradilla (2009). Berdasarkan data tersebut penulis

melakukan pemodelan regresi logistik menggunakan metode estimasi Maximum

Likelihood dan WLS, selanjutnya membandingkan hasilnya menggunakan kriteria

APPER dan MSE.

Aedes aegypti merupakan jenis nyamuk yang dapat membawa virus

dengue penyebab penyakit demam berdarah. Selain dengue, Aedes aegypti juga

merupakan pembawa virus demam kuning (yellow fever) dan chikungunya.

Penyebaran jenis ini sangat luas, meliputi hampir semua daerah tropis di seluruh

dunia. Sebagai pembawa vius dengue, Aedes aegypti merupakan pembawa utama

(primary vector) dan bersama Aedes Albopictus menciptakan siklus persebaran




3

dengue di desa dan kota. Aedes aegypti umumnya berkembang biak di rumah

penduduk, sedangkan Aedes Albopictus lebih suka di cekungan dahan pohon yang

menampung air (Judarwanto, 2007). Dalam Daniel (2008) dijelaskan bahwa

tindakan pencegahan dengan memberantas sarang nyamuk dan membunuh larva

serta nyamuk dewasa, merupakan tindakan yang terbaik.

Dalam Aradilla (2009) disebutkan bahwa tanaman Mimba (Azadirachta

indica) merupakan tanaman obat yang memiliki berbagai macam kegunaan. Salah

satu kegunaannya adalah sebagai biopestisida (larvasida). Berdasarkan penelitian

yang dilakukan oleh Ndione, et all pada tahun 2007, dengan menggunakan biji

daun mimba terhadap larva Aedes aegypti Linnaeus 1762, yang juga mengandung

azadirachtin, salalinin, meliantriol, nimbin dan nimbidin, daun mimba mampu

membunuh larva Aedes aegypti. Mimba tidak membunuh hama secara cepat

namun memiliki mekanisme kerja menurunkan nafsu makan dan menghambat

pertumbuhan dan reproduksi. Daya larvasida daun mimba berasal dari kandungan

aktifnya yang disebut azadirachtin dan salanin. Senyawa-senyawa yang dikandung

daun mimba itulah yang diduga dapat memberikan efek larvasida dari ekstrak

ethanol daun mimba.

Untuk mempermudah komputasi, penulis membuat pemrograman estimasi

dan perbandingan hasil estimasi dengan menggunakan S-PLUS 2000 dan

menerapkannya pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba

(Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti.




4

1.2 Rumusan Masalah

1. Bagaimana hasil estimasi model regresi logistik biner berdasarkan metode

Maximum Likelihood dan WLS ?

2. Bagaimana membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner

menggunakan metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan

kriteria nilai APPER dan MSE ?

3. Bagaimana menerapkan model regresi logistik biner pada data uji

efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica)

terhadap larva Aedes aegypti?

1.3 Tujuan

1. Mendapatkan hasil estimator model regresi logistik biner berdasarkan

metode Maximum Likelihood dan metode WLS.

2. Membandingkan hasil estimator model regresi logistik biner berdasarkan

metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan kriteria nilai

APPER dan MSE.

3. Mendapatkan metode yang baik diantara metode Maximum Likelihood dan

WLS pada pemodelan regresi logistik untuk data uji efektivitas larvasida

ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes

aegypti.




5

1.4 Manfaat

1. Menambah referensi dan wawasan mengenai estimasi parameter model

regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum Likelihood,

Weighted Least Square.

2. Secara teoritis akan memberikan tambahan wawasan terhadap ilmu

statistika terutama tentang model regresi logistik.

3. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai salah satu

referensi untuk mengetahui metode-metode yang lebih baik diantara

Maximum Likelihood dan WLS dalam mengestimasi parameter model

regresi logistik biner.

1.5 Batasan Masalah

Perbandingan dilakukan secara empiris. Kriteria perbandingan hasil

estimasi dari metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan nilai APPER

(Apparent Error Rate) dan MSE (Mean Square Error).




6

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Matriks

Definisi 2.1

Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan

yang disajikan di dalam kurung besar atau kurung siku. Bilangan-bilangan

itu disebut entri atau elemen matriks. Bentuk umum suatu matriks yang

terdiri dari n baris dan k kolom adalah :

Matriks tersebut dapat disajikan dalam notasi matriks yaitu ,

i = 1, 2, …, n dan j =1, 2, …, k (Anton, 2005).

Jika M adalah matriks berukuran nxm maka transpose dari M dinotasikan

yang didefinisikan sebagai matriks yang berukuran mxn yang merupakan hasil

pertukaran baris dan kolom dari matriks M (Anton, 2005).

Definisi 2.2

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya

adalah nol kecuali elemen pada diagonal utama. Jadi disebut

matriks diagonal jika untuk (Anton, 2005).




7

Definisi 2.3

Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A jika AB = BA = I.

Dalam hal ini invers matriks A dinotasikan . Matriks yang mempunyai

invers disebut matriks non singular (Anton, 2005).

2.2. Distribusi Binomial

Distribusi Binomial merupakan suatu distribusi probabilitas yang dapat

digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan

proses Bernoulli. Dimisalkan maka fungsi probabilitasnya adalah

(Jeff Gill, 2001) :

(2.1)

Jika berdistribusi binomial maka mempunyai rata-rata dan variansi (Agresti,

2002) sebagai berikut :

Rata-rata :

Varian :

2.3. Regresi Logistik Biner

Regresi logistik biner adalah suatu analisis regresi yang digunakan untuk

menggambarkan hubungan antara variabel respon (outcome or dependent)

berskala biner dengan sekumpulan variabel prediktor (explanatory or




8

independent) bertipe kategorik maupun numerik (Agresti, 1990). Variabel

berskala biner adalah variabel yang memiliki dua kemungkinan (sukses atau

gagal) (Ricki Indra P, 2009).

Misalkan Y variabel respon dengan nilai sukses atau gagal dan

merupakan nilai dari variabel prediktor, maka bentuk model

regresi logistik adalah (Hosmer dan Lemeshow, 2000) :

(2.2)

Fungsi merupakan fungsi nonlinier sehingga perlu dilakukan

transformasi dengan menggunakan transformasi logit untuk memperoleh fungsi

yang linier agar dapat dilihat hubungan antara variabel respon y dengan variabel

prediktor (Hosmer dan Lemeshow, 2000).

Fungsi logit dari model pada persamaan (2.2) adalah

(2.3)




9

2.4. Turunan dalam Format Vektor

Definisi 2.4

Misalkan A matriks berukuran k x k dan adalah

vektor kolom berukuran k x 1 dari variabel real, maka disebut

bentuk kuadratik dalam y dan A disebut matriks dari bentuk kuadratik

(Suliyanto, 2010).

Definisi 2.5

Diasumsikan bahwa skalar z dapat ditulis sebagai fungsi dari k variabel

dan dinyatakan sebagai berikut :

dengan

merupakan vektor kolom yang mempunyai elemen ke-i adalah

, sehingga

Aturan Differensial

Beberapa aturan differensial untuk vektor (Suliyanto, 2010) :

1. Misalkan z = a’y, dengan a adalah vektor scalar, maka

2. misalkan z = y’y, maka




10

3. misalkan z = y’Ay, dengan A adalah matriks berukuran k x k, maka

2.5. Metode Maximum Likelihood

Misalkan merupakan variabel random identik independen dari

suatu distribusi PDF , untuk dengan ruang parameter. PDF

bersama antara adalah Jika PDF bersama

tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap maka dinamakan fungsi Likelihood

yang dinotasikan L atau ditulis :

Jika statistik memaksimumkan fungsi likelihood

, maka statistik adalah maximum

likelihood estimator (MLE) dari (Hogg and Craig, 1995).

2.6. Metode Weighted Least Square

Menurut Suliyanto, dalam sebagian pengamatan yang digunakan dalam

analisis regresi biasanya mengalami sebuah penyimpangan asumsi galat.

Penyimpangan tersebut biasanya terlihat dari , melainkan suatu

matriks diagonal dengan unsur-unsur pada diagonal utama tidak sama. Dimisalkan

terdapat sebuah model regresi :




11

(2.4)

dengan

dan (2.5)

Dari (2.5) dapat dilihat bentuk penyimpangannya, yaitu matriks , hal

ini mengakibatkan rumus pendugaan kuadrat terkecil tidak

berlaku, sehingga perlu mengubah prosedur untuk memperoleh nilai dugaan

tersebut yaitu menggunakan estimator WLS. Prinsip dari metode ini adalah

mencari nilai parameter yang meminimumkan fungsi . Sehingga

diperoleh

(2.6)

2.7. Matriks Pembobot Keluarga Generalized Lnier Model (GLM)

Residual tidak identik mengakibatkan var(i) tidak sama untuk setiap i,

dinotasikan var(i) = 2i (Pada OLS var(i) = 2). Agar i memenuhi asumsi

identik maka dilakukan transformasi, dengan cara mengalikan i dengan , atau

vektor dengan matriks W-1 dari sisi kiri. W adalah matrik diagonal dengan

elemen (Agresti, 2002)

(2.7)

dengan




12

dan komponen kolom W. Matrik diagonal yang elemennya terdiri dari

komponen vektor W dinamai Matrik Pembobot (Wiwiek, S. W., 2009).

2.8. Prosedur Klasifikasi

Evaluasi prosedur klasifikasi adalah suatu evaluasi yang melihat peluang

kesalahan klasifikasi yang dilakukan oleh suatu fungsi klasifikasi. Ukuran yang

dipakai adalah apparent error rate (APER). Nilai APER menyatakan nilai

proporsi sampel yang salah diklasifikasikan oleh fungsi klasifikasi (Johnson dan

Wichern, 1992; Alvin C. R., 2002). Penentuan kesalahan pengklasifikasian dapat

diketahui melalui tabel klasifikasi berikut :

Table 2.1 Tabel Klasifikasi

Actual Group

Number of Observation

Predicted Group 1 2

1

2

Keterangan :

= Jumlah pengamatan dari Actual Group 1 tepat diklasifikasikan pada

= Jumlah pengamatan dari Actual Group 1 salah diklasifikasikan pada

= Jumlah pengamatan dari Actual Group 2 salah diklasifikasikan pada

= Jumlah pengamatan dari Actual Group 2 tepat diklasifikasikan pada




13

(merupakan jumlah pengamatan Actual Group 1)

(merupakan jumlah pengamatan Actual Group 2)

Predicted Group of 1

Predicted Group of 2

Apparent Error Rate (dalam %)

(2.8)

2.9. Mean Square Error (MSE)

Dalam statistika, Mean Square Error atau MSE dari suatu estimator adalah

nilai ekspektasi dari kuadrat error.

Definisi 2.4

MSE dari estimator terhadap parameter didefinisikan sebagai berikut

(Johnson, 2004)

(2.9)

2.10. Algoritma Newton Raphson

Algoritma Newton Raphson adalah suatu metode iterasi numerik yang dapat

digunakan untuk menghitung hampiran akar-akar sistem persamaan linier dan

tidak linier. Misalkan adalah vektor berdimensi n dan merupakan fungsi

berdimensi n sedemikian hingga




14

dan

(2.10)

Prinsip dari metode Newton Raphson adalah mencari nilai yang

memenuhi persamaan . Untuk memperoleh yang memenuhi

persamaan dengan memperbaharui proses iterasi terhadap adalah

(Lawless, 1982)

(2.11)

dengan

, H

dan t adalah indeks

iterasi.

2.11. S-PLUS 2000

Menurut Everit (1994), S-Plus adalah suatu paket program yang

memungkinkan membuat program sendiri walaupun di dalamnya sudah tersedia

banyak program internal yang siap digunakan. Kelebihan dari paket program ini

adalah baik program internal maupun yang pernah dibuat dapat digunakan sebagai

subprogram yang akan dibuat.

Beberapa perintah internal yang digunakan dalam S-PLUS 2000 diantaranya:

a. function ( )

Merupakan perintah untuk menunjukkan fungsi yang akan digunakan

dalam program.




15

Bentuknya : function(...)

b. length ( )

Merupakan perintah length( )digunakan untuk menunjukkan banyaknya

data.

Bentuknya : length(...)

c. for ( )

Merupakan perintah for ( ) digunakan untuk mengulang satu blok

pernyataan berulang kali sesuai dengan kondisi yang telah ditentukan.

Bentuknya: for(kondisi){pernyataan}

d. sum ( )

Merupakan perintah untuk menjumlahkan semua anggota dari suatu

vektor.

Bentuknya : sum(...)

e. cat ( )

Merupakan perintah untuk menuliskan argumentasi dalam bentuk

karakter dan kemudian mencetak hasil atau file yang telah ditetapkan.

Bentuknya : cat(”...”)

f. rep (a,b)

Merupakan perintah untuk membentuk sebuah vektor yang anggotanya a

sebanyak b.

Bentuknya : rep(...,...)




16

g. matrix(a,b,c)

merupakan perintah untuk membentuk sebuah matrik yang anggotanya a

dengan jumlah baris sebanyak b dan jumlah kolom sebanyak c.

Bentuknya : matrix(...,...,...)

h. if else

Merupakan perintah untuk menjalankan pernyataan pertama jika kondisi

benar dan pernyataan kedua akan dieksekusi jika kondisi bernilai salah.

Bentuknya : if(kondisi)pernyataan pertama

else pernyataan kedua

i. win.graph()

merupakan perintah awal dalam membuat gambar

Bentuknya : win.graph( )

j. plot()

merupakan perintah untuk membuat plot atau grafik

Bentuknya : plot(x, y, ...)

k. while

merupakan perintah untuk mengulang satu blok pernyataan terus

menerus selama kondisi ungkapan logika pada while berlaku benar.

Bentuknya : while(logika)

{ pernyataan

}




17

l. repeat

merupakan perintah untuk mengulang eksekusi pernyataan secara terus

menerus, sehingga diperlukan pernyataan lain untuk menghentikan

perulangan eksekusi.

Bentuknya : repeat

{ pernyataan

if(pernyataan kedua) break

}

2.12. Aedes aegypti

2.12.1. Morfologi Aedes aegypti

Menurut Sudarto (1972) secara umum nyamuk Aedes aegypti sebagaimana

serangga lainnya mempunyai bentuk morfologi sebagai berrikut:

a. Terdiri dari tiga bagian, yaitu : kepala, dada, dan perut

b. Pada kepala terdapat sepasang antena yang berbulu dan moncong yang

panjang (proboscis) untuk menusuk kulit hewan atau manusia dan

menghisap darahnya.

c. Pada dada ada 3 pasang kaki yang beruas serta sepasang sayap depan dan

sayap belakang yang mengecil yang berfungsi sebagai penyeimbang

(halter).




18

2.12.2 Siklus Hidup Aedes aegypti

Siklus hidup nyamuk Aedes aegypti secara sempurna terdiri dari 4 (empat)

stadium, yaitu telur, larva, pupa, dan dewasa (Sudarto, 1972; Cahyaningsih,

2011).

1. Telur

Pada waktu dikeluarkan, telur aedes berwarna putih, dan berubah

menjadi hitam dalam waktu 30 menit. Telur dapat bertahan sampai berbulan-

bulan dalam suhu – , namun akan menetas dalam waktu 1 – 2 hari

pada kelembaban rendah. Telur yang diletakkan di dalam air kan menetas

dalam waktu 1 – 3 hari pada suhu , tetapi membutuhkan waktu 7 hari

pada suhu . Pada kondisi normal, telur Aedes aegypti yang direndam di

dalam air akan menetas sebanyak 80% pada hari pertama dan 95% pada hari

kedua.

2. Larva

Setelah menetas, telur akan berkembang menjadi larva (jentik-jentik).

Pada stadium ini, kelangsungan hidup larva dipengaruhi suhu, pH air

perindukan, ketersediaan makanan, cahaya, kepadatan larva, lingkungan hidup,

serta adanya predator. Temperatur optimal untuk perkembangan larva ini

adalah – . Larva berubah menjadi pupa memerlukan waktu 4 – 9

hari dan melewati 4 fase atau biasa disebut instar. Perubahan instar tersebut

disebabkan larva mengalami pengelupasan pada kulit atau biasa disebut

ecdisi/moulting.




19

3. Pupa

Larva instar IV akan berubah menjadi pupa yang berbentuk bulat gemuk

menyerupai tanda koma. Untuk menjadi nyamuk dewasa diperlukan 21 waktu

2 – 3 hari. Suhu untuk perkembangan pupa yang optimal adalah sekitar

– . Stadium pupa tidak memerlukan makanan. Bentuk nyamuk dewasa

timbul setelah sobeknya selongsong pupa oleh gelembung udara karena

gerakan aktif pupa.

4. Dewasa

Setelah keluar dari selongsong pupa, nyamuk akan diam beberapa saat di

selongsong pupa untuk mengeringkan sayapnya. Nyamuk betina dewasa

menghisap darah sebagai makanannya, sedangkan nyamuk jantan hanya makan

cairan buah-buahan dan bunga. Nyamuk dapat hidup dengan baik pada suhu

– dan akan mati bila berada pada suhu dalam 24 jam.

Nyamuk dapat hidup pada suhu – Rata-rata lama hidup nyamuk

betina Aedes aegypti selama 10 hari.

2.13. Daun Mimba (Azadirachta indica)

Tanaman mimba (Azadirachta indica) termasuk familia Meliaceae. Mimba,

terutama dalam biji dan daunnya mengandung beberapa komponen dari produksi

metabolit sekunder yang diduga sangat bermanfaat, baik dalam bidang pertanian

(pestisida dan pupuk), maupun farmasi (kosmetik dan obat-obatan). Diantaranya

adalah azadirachtin, salanin, meliantriol, nimbin dan nimbidin yang merupakan




20

kandungan bermanfaat baik dalam bidang pertanian (pestisida dan pupuk)

maupun farmasi (kosmetik dan obat-obatan) (Kardiman dkk, 2004, Cahyaningsih,

2011).

Daun mimba dan biji mimba bisa digunakan sebagai antibiotik, antimikroba,

antifungi, antihelmintik dan antivirus. Selain itu daun mimba dapat digunakan

untuk menurunkan gula darah, menyembuhkan penyakit kulit (Csurhes, 2008),

memiliki efek gastro protektif pada mukosa lambung terhadap ulkus peptikum,

menurunkan total kolesterol dalam darah, LDL- and VLDL-cholesterol,

triglyserid dan total lipid dalam serum (Chattopadhyay dkk, 2005, Cahyaningsih,

2011).

Efek primer azadirachtin terhadap serangga berupa antifeedant dengan

menghasilkan stimulan detteren spesifik berupa reseptor kimia (chemoreseptor)

pada bagian mulut (mouth part) yang bekerja bersama-sama dengan reseptor

kimia yang mengganggu persepsi rangsangan untuk makan (phagostimulant).

Sedangkan efek sekunder Azadirachtin yang dikandung mimba berperan sebagai

ecdyson blocker atau zat yang dapat menghambat kerja hormon ecdyson, yaitu

hormon yang berfungsi dalam menghambat metamorfosa serangga sehingga dapat

mengakibatkan kematian pada serangga (Samsudin, 2008; Cahyaningsih, 2011).




21

BAB III

METODE PENULISAN

Metode penulisan yang digunakan dalam penelitian ini melalui langkah-

langkah sebagai berikut ini:

3.1. Estimasi model regresi logistik biner berdasarkan metode :

3.1.1. Maximum Likelihood Estimation (MLE) dengan langkah-langkah

sebagai berikut :

Langkah 1.

Mengasumsikan data yang mempunyai struktur

i

1.

2.

N

dengan jumlah sukses dalam sampel pengamatan ke- i

ukuran sampel pengamatan ke- i

nilai-nilai prediktor ke- i sampai ke- k dari

pengamatan ke- i




22

dan memenuhi model logit

dengan

,

,

dan

Langkah 2.

Menentukan fungsi likelihood berdasarkan model logit.

Langkah 3.

Menentukan fungsi log likelihood.

Langkah 4.

Menentukan differensial parsial fungsi log likelihood terhadap parameter

dan disamadengankan nol.

Langkah 5.

Mencari nilai yang memaksimumkan fungsi log likelihood dengan cara

menyelesaikan persamaan-persamaan pada langkah 4. Jika masih dalam

bentuk implisit, maka digunakan metode numerik. Dalam skripsi ini

digunakan metode Newton Raphson.




23

3.1.2. Metode Weighted Least Square (WLS) dengan langkah-langkah

sebagai berikut :

Langkah 1.

Mengasumsikan data yang mempunyai struktur

i

1.

2.

N

dengan banyaknya peluang sukses dalam sampel pengamatan ke- i


nilai-nilai prediktor ke- i sampai ke- k dari

pengamatan ke- i

dan memenuhi fungsi logit

dengan

,

dan




24

Langkah 2.

Menyatakan model regresi logistik dalam bentuk matriks

dengan

,

, dan

dan diasumsikan .

Langkah 3.

Mendefinisikan fungsi jumlah kuadrat galat dengan

dan

Langkah 4.

Mencari nilai yang meminimumkan fungsi Q dengan cara menurunkan

fungsi Q terhadap dan disamadengankan nol.

Langkah 5.

Menyelesaikan persamaan yang diperoleh dari langkah 4 untuk

mendapatkan estimasi parameter model regresi logistik dengan

menggunakan metode WLS.

3.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square dengan langkah-langkah

sebagai berikut :

Langkah 1.

Menentukan nilai awal matriks pembobot .




25

Langkah 2.

Menentukan nilai estimator dengan menggunakan rumus yang telah

didapat dari metode WLS berdasarkan .

Langkah 3.

Menentukan kembali matriks pembobot yang dihitung berdasarkan

nilai .

Langkah 4.

Menentukan kembali nilai estimator dengan menggunakan rumus yang

telah diperoleh dari metode WLS berdasarkan .

Langkah 5.

Proses yang sama untuk mendapatkan dan seterusnya sampai

konvergen.

3.2. Membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner menggunakan

metode MLE dengan metode WLS berdasarkan kriteria nilai APPER dan

MSE dengan langkah-langkah sebagai berikut :

Langkah 1.

Menghitung nilai APPER dan MSE dari masing-masing metode.

Langkah 2.

Membandingkan kedua nilai APPER dan MSE yang telah diperoleh.




26

Langkah 3.

Mendapatkan metode yang lebih baik yaitu metode yang mempunyai nilai

APPER dan nilai MSE terkecil.

3.3. Menerapkan model regresi logistik biner pada data uji efektivitas larvasida

ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes

aegypti dengan langlah-langkah sebagai berikut :

Langkah 1.

Input data.

Langkah 2.

Menaksir parameter regresi logistik biner pada data tersebut dengan

menggunakan metode Maximum Likelihood, metode WLS dan IRWLS.

Langkah 3.

Menghitung nilai APPER dan MSE dari masing-masing metode.

Langkah 4.

Membandingkan kedua nilai APPER dan MSE yang telah diperoleh.

Langkah 5.

Mendapatkan metode yang lebih baik yaitu metode yang mempunyai nilai

APPER dan nilai MSE terkecil.




27

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan diuraikan tiga metode untuk mengestimasi parameter

model regresi logistik, dilengkapi dengan algoritma untuk pemrograman

komputasi estimator. Selanjutnya diuraikan prosedur untuk perhitungan APPER

dan MSE. Pada akhir bab ini akan disajikan contoh penerapan pemodelan regresi

logistik pada kasus uji efektifitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba terhadap

larva Aedes aegypti. Pada contoh kasus tersebut dilakukan estimasi parameter

model regresi logistik dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, WLS

dan IRWLS. Selanjutnya dibandingkan hasil estimasi dari ketiga metode tersebut

dengan kriteria APPER dan MSE untuk mendapatkan metode yang lebih baik.

4.1. Estimasi Parameter Model Regresi Logistik

Misalkan Y adalah variabel respon yang menyatakan jumlah sukses dalam

sampel berukuran n dengan probabilitas sukses . x1, x2, …, xk adalah variabel-

variabel prediktor yang berpengaruh terhadap probabilitas sukses . Misalkan

dalam sebuah penelitian dicatat data pengamatan dengan struktur sebagai berikut :

i

1.

2.

N




28

dengan jumlah sukses dalam sampel pengamatan ke- i


nilai-nilai prediktor ke- 1 sampai ke- k dari

pengamatan ke- i

dan memenuhi model logit

dengan

,

,

dan

Berikut ini akan diuraikan tiga metode untuk mengestimasi parameter .

4.1.1. Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE)

Jika diasumsikan independen identik dari distribusi Binomial

maka fungsi likelihood untuk model regresi logistik biner adalah

(4.1)

Secara matematis akan lebih mudah jika persamaan (4.1) dibawa ke fungsi log

likelihood dan memaksimalkan log Likelihood yang dinotasikan , yaitu

dengan cara mendifferensialkan terhadap lalu menyamakan dengan nol.

Untuk tujuan tersebut, berikut ini adalah fungsi log likelihood :




29

Karena

maka




30

(4.2)

Selanjutnya persamaan (4.2) diturunkan terhadap . Hasil penurunan

tersebut disamadengankan nol sehingga diperoleh :




31

Sehingga diperoleh persamaan umumnya

(4.3)

dengan

Selanjutnya estimator diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan (4.3).

Namun persamaan (4.3) masih dalam bentuk implisit dan tidak bisa diselesaikan,

sehingga dibutuhkan metode numerik. Dalam skripsi ini digunakan metode

Newton Raphson. Berdasarkan iterasi Newton Raphson dalam (2.11), maka

berikut ini akan ditentukan turunan kedua dari fungsi log likelihood terhadap

masing-masing parameter.




32




33

Sehingga diperoleh persamaan umumnya

(4.4)

Dari (4.3) diperoleh vektor kolom berikut :

Dari (4.4) diperoleh matriks persegi Hessian dengan

Algoritma iterasi Newton Raphson untuk mendapatkan nilai melalui langkah-

langkah sebagai berikut :

1. Masukkan nilai dugaan awal yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil

(OLS)

kemudian masukkan pada persamaan (2.2).

2. Menentukan dan .

3. Untuk m > 0 dengan menggunakan




34

Nilai digunakan untuk mencari sehingga diperoleh nilai

dan . Kemudian diperoleh nilai , dan seterusnya untuk setiap j

sampai mencapai

dengan adalah tingkat ketelitian, misalkan .

4.1.2. Metode Weighted Least Square (WLS)

Misalkan model logit

dengan asumsi .

Estimator parameter regresi logistik dapat diperoleh dengan menggunakan metode

WLS, diperoleh dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galat terboboti

. Misalkan terdapat suatu matriks non singular P yang bersifat

, maka dengan mengalikan kedua sisi pada model logit dengan

diperoleh

dengan dengan . Sehingga

fungsi Q dapat diuraikan sebagai berikut :




35

Syarat cukup agar fungsi Q mencapai nilai minimum adalah

Maka diperoleh estimasi parameter model regresi logistik

(4.5)

Berdasarkan (2.7), maka elemen-elemen dari Matriks pembobot untuk model

regresi logistik ini adalah

(4.6)

4.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS)

Metode ini dikembangkan dari metode WLS. Berdasarkan (4.6) dapat

dilihat bahwa elemen pembobot masih tergantung pada . Jika diambil




36

maka dalam persamaan (4.6) terlihat bahwa pembobot masih terdapat

estimator . Oleh karena itu, jika estimator yang telah diperoleh dari (4.5)

selanjutnya digunakan untuk menghitung pembobot yang baru dan menghitung

ulang nilai estimator yang baru, demikian seterusnya maka metode seperti ini

disebut Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS). Untuk lebih jelasnya,

berikut akan diberikan langkah-langkah IRWLS dalam model regresi logistik :

i. Menentukan dengan menggunakan persamaan (4.6).

ii. Menghitung dengan menggunakan persamaan (4.5)

iii. Menghitung

iv. Melakukan perhitungan iterasi dengan dan seterusnya maka

dan

v. Jika maka proses iterasi dihentikan. Jika tidak maka

hitung :

dan kembali ke langkah iv.




37

4.2. Membandingkan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner

Menggunakan Metode ML dan Metode WLS berdasarkan Kriteria Nilai

APER dan MSE

Setelah mendapatkan hasil estimasi dari metode Maximum Likelihood dan

metode WLS maka langkah selanjutnya adalah membandingkan kedua hasil

estimator tersebut berdasarkan kriteria nilai APPER dan MSE. Untuk itu, berikut

ini akan diuraikan terlebih dahulu cara menghitung APPER dan MSE.

Berdasarkan struktur data sebelumnya, berikut ditulis kembali penggalan

struktur data beserta probabilitas sukses dan estimasinya :

i

Kelompok Prediksi Kelompok

1.

2.

3.

N

Pengisian kelompok dan prediksi kelompok adalah dengan cara sebagai berikut :

i. Jika maka , sebaliknya jika maka .

ii. Jika maka , sebaliknya jika maka .

Selanjutnya diisi dengan nilai-nilai berikut :

banyaknya pengamatan dengan nilai dan




38

untuk i = 1, 2, …, N.


untuk i = 1, 2, …, N.


untuk i = 1, 2, …, N.


untuk i = 1, 2, …, N.

Selanjutnya APPER dihitung dengan rumus :

APPER

Sedangkan MSE dihitung dengan rumus :

(4.7)

dengan

dan

4.2.1. Metode ML

Telah diketahui hasil estimasi model regresi logistik biner dari metode

maximum likelihood pada persamaan (4.6) berupa bentuk implisit maka

digunakan metode numerik dengan ditentukan nilai awal terlebih dahulu lalu

dimasukkan dalam persamaan (2.2). Kemudian menentukan matrik u dan matrik




39

Hessian H. Setelah melalui proses iterasi, maka diperoleh nilai . Kemudian

ditentukan nilai MSE dan APPER.

4.2.2.Metode WLS

Telah diketahui hasil estimasi model regresi logistik biner dari metode WLS

pada persamaan (4.5) maka ditentukan nilai terlebih dahulu untuk

mendapatkan nilai lalu disubstitusikan dalam persamaan (4.5). Kemudian

menentukan nilai . Setelah mendapatkan nilai , selanjutnya hitung nilai

APPER dan MSE.

4.2.3.Metode IRWLS

Metode IRWLS dalam menentukan nilai sama halnya dengan metode

WLS. Namun terlebih dahulu hitung nilai lalu disubstitusikan ke persamaan

(4.5). Kemudian dengan melalui proses iterasi IRWLS, maka diperoleh nilai

yang terkecil yang mendekati nol. Kemudian ditentukan nilai MSE dan APPER.

Setelah mendapatkan nilai MSE dan APPER dari masing-masing metode,

lalu dibandingkan. Nilai MSE dan APPER yang paling kecil itulah metode yang

baik.

4.3. Menerapkan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner pada Data Uji

Efektivitas Larvasida Ekstrak Ethanol Daun Mimba (Azadirachta

indica) terhadap Larva Aedes aegypti

4.3.1.Data

Dalam skripsi ini, penulis menggunakan data dari hasil penelitian Aradilla

(2009) dalam tugas akhirnya. Penelitian tersebut mengenai uji efektivitas




40

larvasida ekstrak ethanol daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes

aegypti. Variabel respon dari data tersebut adalah jumlah kematian larva Aedes

aegypti. Sedangkan variabel prediktor yang digunakan adalah konsentrasi ekstrak

ethanol daun Mimba dalam g/L dan lama waktu pengamatan larva Aedes

aegypti dalam jam . Data selengkapnya dapat dilihat di lampiran 1.

4.3.2. Analisa Data

Langkah awal dalam menganalisa data ini adalah membuat struktur data

sesuai model regresi logistik biner seperti berikut ini

i

1.

2.

N

dengan :

jumlah larva nyamuk Aedes aegypti yang mati

jumlah larva nyamuk Aedes aegypti keseluruhan

konsentrasi ekstrak ethanol daun Mimba g/L

lama waktu pengamatan larva Aedes aegypti dalam jam

Kemudian data dimasukkan pada masing-masing metode.




41

4.3.2.1. Metode ML

Terlebih dahulu menentukan nilai awal dengan menggunakan metode

OLS (program lihat pada Lampiran 2) dan diperoleh (hasil output lihat pada

Lampiran 5.a)

Kemudian melalui proses iterasi dengan menggunakan algoritma Newton Raphson

(program lihat pada Lampiran 2) maka diperoleh estimator (hasil output lihat

pada Lampiran 5.b)

Lalu dimasukkan kedalam persamaan (2.3) maka diperoleh hasil estimasi dan

model regresi logistik biner sebagai berikut :

Berdasarkan hasil output pada Lampiran 5.c, maka diperoleh nilai MSE yaitu

0,6566313. Untuk APPER, berikut akan diuraikan perhitungannya :

Berdasarkan hasil output pada Lampiran 5.c maka :

27

1

1

16

maka nilai APPER-nya adalah




42

APPER

4.3.2.2. Metode WLS

Langkah awal pada metode ini adalah ditentukan nilai .

Kemudian substitusikan ke

dan persamaan (4.5), maka akan

didapatkan (hasil output lihat pada Lampiran 6.a)

Sehingga model regresi logistik biner menjadi

Berdasarkan hasil output pada Lampiran 6.b maka diperoleh nilai MSE yaitu

0,8861757. Untuk nilai APPER, berikut akan diuraikan perhitungannya :

Berdasarkan hasil output pada Lampiran 6.b maka :

25

3

0

17


APPER

4.3.2.3. Metode IRWLS

Langkah awal pada metode ini adalah ditentukan nilai dengan

menggunakan persamaan (2.7) dengan . Kemudian menghitung




43

nilai dengan

sampai dengan

melalui proses iterasi (program lihat pada Lampiran 4) sehingga

mendapatkan hasil estimasi

Maka model regresi logistik biner adalah

Berdasarkan hasil output pada Lampiran 7.b maka diperoleh nilai MSE

0,6763576. Untuk nilai APPER, berikut akan diuraikan perhitngannya :

Berdasarkan hasil output pada Lampiran 7.b maka :

26

2

1

16


APPER

Setelah mendapatkan nilai MSE dan APPER dari masing-masing metode, langkah

selanjutnya adalah membandingkan metode-metode tersebut. Dari hasil yang

diperoleh, menunjukkan bahwa nilai MSE dan APPER pada metode maximum

likelihood adalah 0,6566313 dan 4,44%. Sedangkan pada metode WLS nilai MSE




44

dan APPER pada metode WLS adalah 0,8861757 dan 6,67%. Dan nilai MSE dan

APPER pada metode IRWLS adalah 0,6763576 dan 6,67%.




44

BAB V

PENUTUP

5.1. Kesimpulan

Dari hasil pembahasan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan sebagai

berikut :

1. Hasil estimasi parameter model regresi logistik biner adalah sebagai brikut :

a. Berdasarkan metode Maximum likelihood :

Estimator diperoleh dengan menyelesaikan system

persamaan

dengan

menggunakan metode numerik.

b. Berdasarkan metode WLS :

Estimator diperoleh dengan rumus

dengan

,

c. Berdasarkan metode IRWLS :

Estimator diperoleh dengan iterasi




45

dengan

,

,

adalah indeks iterasi.

2. Perbandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner yang lebih baik dari

metode Maximum Likelihood, metode WLS dan IRWLS berdasarkan kriteria

nilai MSE dan APPER diperoleh dengan memilih nilai MSE dan APPER yang

terkecil.

3. Berdasarkan hasil penerapan pada kasus uji efektivitas larvasida ekstrak

ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti maka

diperoleh metode yang lebih baik adalah metode Maximum Likelihood

dengan nilai MSE dan APPER masing-masing adalah 0,6566313 dan 4,44%.

5.2. Saran

1. Berdasarkan hasil yang telah diperoleh, maka penulis menyarankan

penggunaan metode Maximum likelihood dalam pemodelan regresi

logistik biner.

2. Perbandingan hasil estimasi dengan ketiga metode ini dapat

dikembangkan untuk pembahasan pada model regresi logistik

multinomial atau ordinal.




46

DAFTAR PUSTAKA

1. Agresti, A., 2002, Categorical Data Analysis, John Wiley and Sons, Inc,

New York

2. Anton, H., 2005, Elementary Linear Algebra Ninth Edition, John Wiley & Sons, Inc, Canada

3. Aradilla, A.S., 2009, Uji Efektivitas Larvasida Ekstrak Ethanol Daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti, Laporan Akhir Penelitian, Fakultas Kedokteran Universitas Diponegoro, Semarang

4. Cahyaningsih, T, 2011, Estimasi Model Regresi Probit Nonparametrik Aditif Berdasarkan Estimator Kernel, Skripsi, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya

5. Chattopadhyay RR and Bandyopadhyay M., 2005, Effect of Azadirachta indica Leaf Extract on Serum Lipid Profile Changes in Normal and Streptozotocin Induced Diabetic Rats, African Journal of Biomedical Research, Vol. 8; 101 – 104 ISSN 1119 – 5096 © Ibadan Biomedical Communications Group

6. Csurhes S., 2008, Pest Plant Risk Assessment, Neem Tree (Azadirachta indica), Department of Primary Industries and Fisheries, Queensland, Australia

7. Danardono, Dr., MPH, 2006, Bahan Ajar Biostatistika dan Epidemiologi, Jurusan Matematika, FMIPA UGM, Yogyakarta

8. Daniel, 2008, Ketika Larva dan Nyamuk Dewasa Sudah Kebal Terhadap Insektisida, FARMACIA Vol.7 No.7

9. Everiit, S, 1994, A Handbook of Statistical Analysis Using S-PLUS, Chapman & Hall, London

10. Grill, J., 2001, Generalized Linier Model: A Unified Approach, University of Florida, London

11. Hosmer, D.W. dan S. Lemeshow, 2000, Applied Logistic Regression, John Wiley and Sons, Inc, New York




47

12. Indra, P., R., 2009, Faktor-faktor Yang Mempengaruhi Resiko Penyebab Penderita Kanker Payudara Dengan Menggunakan Pendekatan Regresi Logistik, Makalah, Mahasiswa Jurusan Statistika FMIPA ITS, Surabaya

13. Johnson, R. A. dan Wichern, D. W., 1992, Applied Multivariate Statistical Analysis, Prentice Hall, New Jersey

14. Judarwanto SpA, Dr. Widodo, 2007, Profil Nyamuk Aedes dan Pembasmiannya, Artikel, http://medicastore.com/artikel/184/Profil_Nyamuk_Aedes_dan_Pembasmiannya.html, download tanggal 1 Agustus 2012

15. Kardiman, A. dan Dhalimi A., 2003, Mimba (Azadirachta indica A.Juss) Tanaman Multi Manfaat. Perkembangan Teknologi TRO Vol. XV, No. 1

16. Rencher, Alvin C., 2002, Methods of Multivariate Analysis, John Wiley and Sons, Inc, New York

17. Rokhman, M. S., 2008, Perbandingan Antara Model Logit Dengan Probit Sebagai Regresi Untuk Peubah Respon Kategori, Jurnal OSEATEK UPS, Tegal

18. Samsudin, 2008, Azadirachtin Metabolit Sekunder dari Tanaman Mimba sebagai Bahan Insektisida Botani, Lembaga Pertanian Sehat

19. Sudarto, 1972, Atlas Entomologi Kedokteran, EGC, Jakarta

20. Winahju, W. S., 2009, Bahan Ajar Regresi Terboboti (Weighted Regression atau Weighted Least Square, http://oc.its.ac.id/jurusan.doc, 27 Maret 2012




http://medicastore.com/artikel/184/Profil_Nyamuk_Aedes_dan_Pembasmiannya.html

http://medicastore.com/artikel/184/Profil_Nyamuk_Aedes_dan_Pembasmiannya.html

http://oc.its.ac.id/jurusan.doc

Lampiran 1 : Data Kematian Larva Aedes aegypti

No. Larva mati

(ekor)

Jumlah

larva (ekor)

1. 1 75 2.5 36

2. 4 75 2.5 48

3 8 75 2.5 60

4 10 75 2.5 72

5 11 75 2.5 84

6 13 75 2.5 96

7 15 75 2.5 108

8 16 75 2.5 120

9 19 75 2.5 144

10 21 75 2.5 156

11 22 75 2.5 168

12 2 75 5 12

13 10 75 5 24

14 11 75 5 36

15 17 75 5 48

16 22 75 5 60

17 32 75 5 72

18 33 75 5 96

19 34 75 5 108

20 37 75 5 120

21 41 75 5 132

22 42 75 5 156

23 45 75 5 168

24 3 75 10 12

25 9 75 10 24

26 17 75 10 36

27 27 75 10 48

28 30 75 10 60

29 32 75 10 72

30 34 75 10 84

31 38 75 10 96

32 40 75 10 108




Keterangan:

Sumber : Aradilla, Ashry Sikka, 2009, Uji Efektivitas Larvasida Ekstrak Ethanol

Daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti, Laporan Akhir Penelitian, Fakultas Kedokteran Universitas Diponegoro, Semarang

33 43 75 10 120

34 47 75 10 132

35 50 75 10 144

36 51 75 10 156

37 56 75 10 168

38 9 75 20 12

39 51 75 20 24

40 62 75 20 36

41 66 75 20 48

42 67 75 20 60

43 68 75 20 72

44 73 75 20 84

45 74 75 20 96




Lampiran 2 : Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan APPER

a. Menentukan nilai beta awal

beta.awal<-function(data)

{

data<-as.matrix(data)

N<-nrow(data)

k<-ncol(data)

Pi<-data[,1]/data[,2]

gx<-log(Pi/(1-Pi))

x<-cbind(rep(1,N),data[,3:k])

beta.awal<-solve((t(x)%*%x))%*%((t(x)%*%gx))

return(beta.awal)

}

b. Menentukan nilai estimasi parameter

estimasiMLE<-function(data)

{


N<-nrow(data)

p<-ncol(data)

y<-data[,1]

n<-data[,2]

x<-cbind(rep(1,N),data[,3:p])

k<-ncol(x)

u<-matrix(0,k,1)

H<-matrix(0,k,k)

beta<-beta.awal(data)

it<-1

repeat

{

phix<-rep(0,N)

for(i in 1:N)

{

phix[i]<-exp(x[i,]%*%beta)/(1+exp(x[i,]%*%beta))

}

for(j in 1:k)

{

u[j,]<-sum((y-n*phix)*x[,j])

}

for(a in 1:k)

for(b in 1:k)

{

H[a,b]<--sum(x[,a]*x[,b]*n*phix*(1-phix))

}

betatopi<-beta-solve(H)%*%u

print(max(abs(betatopi-beta)))

if(max(abs(betatopi-beta))<0.001) break

beta<-betatopi

it<-it+1

}

cat("hasil estimasi :\n")




return(betatopi)

}

c. Menentukan nilai MSE dan APPER

MSE.MLE<-function(data)

{


N<-nrow(data)

k<-ncol(data)


gx<-log(Pi/(1-Pi))


beta<-estimasiMLE2(data)

Pix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta))

gxtopi<-log(Pix/(1-Pix))

error<-gx-gxtopi

mse.MLE<-mean(error^2)

cat("Nilai MSE dan APPER dari Metode ML :\n")

#mencari APPER

Pibaru<-round(Pi)

Pixbaru<-round(Pix)

jml<-0

for(i in 1:N)

{

if(Pibaru[i]!=Pixbaru[i]) jml<-jml+1

}

APPER.MLE<-jml/N

M<-cbind(Pi,Pix,Pibaru,Pixbaru)

dimnames(M)<-list(NULL,c("P","Ptopi","P.baru","Ptopi.baru"))

return(mse.MLE,M,APPER.MLE)

}




Lampiran 3 : Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER

a. Menentukan nilai estimasi parameter

estimasi.WLS <- function(data)

{


N<-nrow(data)

p<-ncol(data)

y<-data[,1]

n<-data[,2]


k<-ncol(x)


gx<-log(Pi/(1-Pi))

w<-diag(as.vector(1/(n*Pi*(1-Pi))))

beta<-solve(t(x)%*%w%*%x)%*%(t(x)%*%w%*%gx)

phix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta))

cat("Hasil estimasi :\n")

return(beta)

}

b. Menentukan nilai MSE dan APPER

MSE.WLS<-function(data)

{


N<-nrow(data)

k<-ncol(data)


gx<-log(Pi/(1-Pi))


beta<-estimasi.WLS(data)



error<-gx-gxtopi

mse.WLS<-mean(error^2)

cat("Nilai MSE dan APPER dari Metode WLS :\n")

#mencari APPER

Pibaru<-round(Pi)

Pixbaru<-round(Pix)

jml<-0

for(i in 1:N)

{

if(Pibaru[i]!=Pixbaru[i])jml <- jml + 1

}

APPER.WLS<-jml/N



return(mse.WLS, M, APPER.WLS)

}




Lampiran 4 : Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER

a. Menentukan nilai estimasi parameter

estimasi.IRWLS <- function(data)

{


N<-nrow(data)

p<-ncol(data)

y<-data[,1]

n<-data[,2]


k<-ncol(x)


gx<-log(Pi/(1-Pi))

w<-diag(as.vector(1/(n*Pi*(1-Pi))))

beta<-solve(t(x)%*%w%*%x)%*%(t(x)%*%w%*%gx)

phix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta))

repeat

{

w<-diag(as.vector(1/(n* phix*(1-phix))))

betabaru<-solve(t(x)%*%w%*%x)%*%(t(x)%*%w%*%gx)

phix<-exp(x%*%beta)/(1+ exp(x%*%beta))

if(max(abs(betabaru-beta))<0.001) break

beta<-betabaru

}

cat("Hasil estimasi :\n")

return(betabaru)

}

b. Menentukan nilai MSE dan APPER

MSE.IRWLS<-function(data)

{


N<-nrow(data)

k<-ncol(data)


gx<-log(Pi/(1-Pi))


beta<-estimasi.IRWLS(data)



error<-gx-gxtopi

mse.IRWLS<-mean(error^2)

cat("Nilai MSE dan APPER dari Metode IRWLS :\n")

#mencari APPER

Pibaru<-round(Pi)

Pixbaru<-round(Pix)

jml<-0

for(i in 1:N)

{

if(Pibaru[i]!=Pixbaru[i])jml <- jml + 1

}

APPER.IRWLS<-jml/N



return(mse.IRWLS, M, APPER.IRWLS)

}




Lampiran 5 : Output program menentukan nilai estimasi model regresi

logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan

kriteria MSE dan APPER

a. Beta Awal

beta.awal(larva2)

[,1]

-4.40513698

0.24455729

0.02211002

b. Hasil Estimasi ML

> estimasiMLE2(larva2)

[1] 0.7420654

[1] 0.07895556

[1] 0.00102748

[1] 1.697294e-007

hasil estimasi :

[,1]

-3.74305479

0.20274230

0.01848701

c. MSE dan APPER

> MSE.MLE(larva2)

[1] 0.7420654

[1] 0.07895556

[1] 0.00102748

[1] 1.697294e-007

hasil estimasi :

Nilai MSE dan APPER dari Metode ML :

mse.MLE:

[1] 0.6566313




M:

P Ptopi P.baru Ptopi.baru

[1,] 0.01333333 0.07105028 0 0

[2,] 0.05333333 0.08715940 0 0

[3,] 0.10666667 0.10650217 0 0

[4,] 0.13333333 0.12952845 0 0

[5,] 0.14666667 0.15666026 0 0

[6,] 0.17333333 0.18824622 0 0

[7,] 0.20000000 0.22450523 0 0

[8,] 0.21333333 0.26546432 0 0

[9,] 0.25333333 0.36029824 0 0

[10,] 0.28000000 0.41284276 0 0

[11,] 0.29333333 0.46745066 0 0

[12,] 0.02666667 0.07533413 0 0

[13,] 0.13333333 0.09231799 0 0

[14,] 0.14666667 0.11266427 0 0

[15,] 0.22666667 0.13681883 0 0

[16,] 0.29333333 0.16518793 0 0

[17,] 0.42666667 0.19808939 0 0

[18,] 0.44000000 0.27796256 0 0

[19,] 0.45333333 0.32459232 0 0

[20,] 0.49333333 0.37498201 0 0

[21,] 0.54666667 0.42823443 1 0

[22,] 0.56000000 0.53858063 1 1

[23,] 0.60000000 0.59302239 1 1

[24,] 0.04000000 0.18335389 0 0

[25,] 0.12000000 0.21892471 0 0

[26,] 0.22666667 0.25920598 0 0

[27,] 0.36000000 0.30401407 0 0

[28,] 0.40000000 0.35287825 0 0

[29,] 0.42666667 0.40502580 0 0

[30,] 0.45333333 0.45940873 0 0

[31,] 0.50666667 0.51477592 1 1

[32,] 0.53333333 0.56978279 1 1




[33,] 0.57333333 0.62311925 1 1

[34,] 0.62666667 0.67363086 1 1

[35,] 0.66666667 0.72041021 1 1

[36,] 0.68000000 0.76284508 1 1

[37,] 0.74666667 0.80062185 1 1

[38,] 0.12000000 0.63033057 0 1

[39,] 0.68000000 0.68037144 1 1

[40,] 0.82666667 0.72657680 1 1

[41,] 0.88000000 0.76837665 1 1

[42,] 0.89333333 0.80549695 1 1

[43,] 0.90666667 0.83792313 1 1

[44,] 0.97333333 0.86584380 1 1

[45,] 0.98666667 0.88958842 1 1

APPER.MLE:

[1] 0.04444444





logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan

kriteria MSE dan APPER

a. Hasil Estimasi WLS estimasi.WLS(larva2)

Hasil estimasi :

[,1]

-5.78273716

V3 0.31886588

V4 0.03187675

b. MSE dan APPER

MSE.WLS(larva2)

Hasil estimasi :

Nilai MSE dan APPER dari Metode WLS :

mse.WLS:

[1] 0.8861757

M:


[1,] 0.01333333 0.02108239 0 0

[2,] 0.05333333 0.03060561 0 0

[3,] 0.10666667 0.04423620 0 0

[4,] 0.13333333 0.06353946 0 0

[5,] 0.14666667 0.09046872 0 0

[6,] 0.17333333 0.12726015 0 0

[7,] 0.20000000 0.17611655 0 0

[8,] 0.21333333 0.23860150 0 0

[9,] 0.25333333 0.40243728 0 0

[10,] 0.28000000 0.49680031 0 0

[11,] 0.29333333 0.59139183 0 1

[12,] 0.02666667 0.02175563 0 0

[13,] 0.13333333 0.03157316 0 0

[14,] 0.14666667 0.04561439 0 0




[15,] 0.22666667 0.06547784 0 0

[16,] 0.29333333 0.09314691 0 0

[17,] 0.42666667 0.13087076 0 0

[18,] 0.44000000 0.24448615 0 0

[19,] 0.45333333 0.32175495 0 0

[20,] 0.49333333 0.41018579 0 0

[21,] 0.54666667 0.50483077 1 1

[22,] 0.56000000 0.68662027 1 1

[23,] 0.60000000 0.76258183 1 1

[24,] 0.04000000 0.09871743 0 0

[25,] 0.12000000 0.13835312 0 0

[26,] 0.22666667 0.19053845 0 0

[27,] 0.36000000 0.25654690 0 0

[28,] 0.40000000 0.33593258 0 0

[29,] 0.42666667 0.42581366 0 0

[30,] 0.45333333 0.52088008 0 1

[31,] 0.50666667 0.61445788 1 1

[32,] 0.53333333 0.70027568 1 1

[33,] 0.57333333 0.77401664 1 1

[34,] 0.62666667 0.83391795 1 1

[35,] 0.66666667 0.88039480 1 1

[36,] 0.68000000 0.91518821 1 1

[37,] 0.74666667 0.94054368 1 1

[38,] 0.12000000 0.72653270 0 1

[39,] 0.68000000 0.79569834 1 1

[40,] 0.82666667 0.85095913 1 1

[41,] 0.88000000 0.89327743 1 1

[42,] 0.89333333 0.92464403 1 1

[43,] 0.90666667 0.94733525 1 1

[44,] 0.97333333 0.96346367 1 1

[45,] 0.98666667 0.97478428 1 1

APPER.WLS:

[1] 0.06666667





logistik biner dengan menggunakan metode IRWLS

berdasarkan kriteria MSE dan APPER

a. Hasil Estimasi

>estimasi.IRWLS(larva2)

Hasil estimasi :

[,1]

-4.85354531

0.29216975

0.02383477

b. MSE dan APPER

> MSE.IRWLS(larva2)

Hasil estimasi :

Nilai MSE dan APPER dari Metode IRWLS :

mse.IRWLS:

[1] 0.6763576

M:


[1,] 0.01333333 0.03678916 0 0

[2,] 0.05333333 0.04838126 0 0

[3,] 0.10666667 0.06338563 0 0

[4,] 0.13333333 0.08263916 0 0

[5,] 0.14666667 0.10707243 0 0

[6,] 0.17333333 0.13764576 0 0

[7,] 0.20000000 0.17523574 0 0

[8,] 0.21333333 0.22046680 0 0




[9,] 0.25333333 0.33382987 0 0

[10,] 0.28000000 0.40013652 0 0

[11,] 0.29333333 0.47031520 0 0

[12,] 0.02666667 0.04283258 0 0

[13,] 0.13333333 0.05621780 0 0

[14,] 0.14666667 0.07346486 0 0

[15,] 0.22666667 0.09546793 0 0

[16,] 0.29333333 0.12318485 0 0

[17,] 0.42666667 0.15754716 0 0

[18,] 0.44000000 0.24888678 0 0

[19,] 0.45333333 0.30607344 0 0

[20,] 0.49333333 0.36992845 0 0

[21,] 0.54666667 0.43868356 1 0

[22,] 0.56000000 0.58067089 1 1

[23,] 0.60000000 0.64829324 1 1

[24,] 0.04000000 0.16167326 0 0

[25,] 0.12000000 0.20427066 0 0

[26,] 0.22666667 0.25468187 0 0

[27,] 0.36000000 0.31264583 0 0

[28,] 0.40000000 0.37712682 0 0

[29,] 0.42666667 0.44627221 0 0

[30,] 0.45333333 0.51756107 0 1

[31,] 0.50666667 0.58814216 1 1

[32,] 0.53333333 0.65527494 1 1

[33,] 0.57333333 0.71673534 1 1

[34,] 0.62666667 0.77106636 1 1




[35,] 0.66666667 0.81762810 1 1

[36,] 0.68000000 0.85648249 1 1

[37,] 0.74666667 0.88819094 1 1

[38,] 0.12000000 0.78174543 0 1

[39,] 0.68000000 0.82662357 1 1

[40,] 0.82666667 0.86388054 1 1

[41,] 0.88000000 0.89415646 1 1

[42,] 0.89333333 0.91833495 1 1

[43,] 0.90666667 0.93737703 1 1

[44,] 0.97333333 0.95221007 1 1

[45,] 0.98666667 0.96366590 1 1

APPER.IRWLS:

[1] 0.06666667




adln perpustakaan universitas airlanggarepository.unair.ac.id/25721/1/saputri, sofia...

Documents