O

AB

C

0

y

x

A(x1,y1)C

B(x2,y2)

KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMAMATERI TENTANG“LINGKARAN”

A. PERSAMAAN LINGKARAN

1. Definisi LingkaranPerhatikan gambar lingkaran di samping!Sebuah lingkaran mempunyai beberapa unsure, diantaranya jari – jari dan pusat lingkaran .O merupakan titik pusat.OA, OB , dan OC adalah jari – jari .Jari – jari (r) pada lingkaran memiliki panjang yang sama. Sehingga, OA = OB = OCDengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa :Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik (himpunan titik) yang jaraknya terhadap satu titik tertentu adalah sama ( konstan ) .Titik tertentu disebut pusat lingkaran,dan jarak konstan disebut jari – jari lingkaran.

2. Jarak Dua TitikSebelum memasuki persamaan lingkaran, diperlukan penguasaan terlebih dahulu mengenai jarak dua titik. Dengan menggunakan Theorema Phytagoras, kita dapat menemukan jarak antara dua titik (d) yaitu dengan pemisalan titik A (x1,y1) dan B (x2,y2,) .

Pada segitiga ABC di atas, berlaku :AB ²=AC ²+BC ²AB ²=¿

AB=√¿¿

1

Y

X

P(x0,y0)

O

Dengan menggunakan definisi lingkaran dan mencari jarak antara dua titik tersebut, diharapkan siswa dapat menemukan rumus persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan

3.Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r

Misalkan titik P(x0,y0) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran, maka:

OP=r

√¿¿¿

x02+ y0

2=r2

Untuk memudahkan penulisan rumus, kita dapat menghilangkan indeks 0 pada x0 dan y0, sebab maknanya akan sama saja. Sehingga akan menjadi x2+ y2=r2.

Jadi , persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah :

x2+ y2=r2

2

O

P ( x0,y0 )

M (a,b)

Y

X

Contoh Soal Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari – jari r

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dengan jari – jari:a. 5 b. 10 c. 8

Jawab :a. x2+ y2=25b. x2+ y2=100c. x2+ y2=64

Tentukan panjang jari – jari lingkaran apabila diketahui persamaannya :a. x2+ y2=12b. x2+ y2=49

Jawab :a. r=√12=2√3b. r=√49=7

3. Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari r

Jarak MP = r = jari –jari. Titik M (a,b) adalah pusat lingkaran. Andaikata P (x0,y0) adalah titik yang terletak pada lingkaran, maka dengan menggunakan definisi lingkaran didapat :

3

MP=r√¿¿

¿

Dengan menghilangkan indeks 0, maka didapat : (x−a¿¿2+¿ Jadi, persamaan Lingkaran dengan pusat M (a,b) dan jari – jari r adalah :

¿

. Contoh Soal Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari –

jari r Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat M(5,2) dan jari jari 4.

Jawab : ¿

x2−10 x+25+ y2−4 y+4=16

x2+ y2−10 x−4 y+25+4−16=0

x2+ y2−10 x−4 y+13=0

Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran bila diketahui persamaan lingkaran :

x2+ y2−10 x−4 y+71=0

Jawab : x2+ y2−10 x−4 y+71=0

x2−10 x+52+ y2−4 y+22−52−22=71

¿

¿

Jadi, pusat lingkaran (5,2) dan jari – jari lingkaran 10

4

4. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

x2+ y2+ Ax+By+C=0

Dengan menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk umum, siswa dapat menemukan pusat dan jari – jari lingkaran, dengan cara sebagai berikut :

Persamaan Lingkaran

x2+ y2+ Ax+By+C=0

x2+ Ax+( 12

A) ²+ y2+By+( 12

B) ²+C−( 12

A )²−(12

B)²=0

¿Dari bentuk terakhir ini, siswa dapat menentukan pusat dan jari – jari lingkaran. Sehingga, didapat rumus untuk pusat lingkaran adalah

P(−12

A ,−12

B) dan jari – jari lingkaran R=√ 14

A2+ 14

B2−C

R=−√ 14

A2+14

B2−C tidak diambil, karena jari – jari lingkaran selalu

positif.

Contoh Soal .Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran jika persamaan lingkarannya adalah :

a. x2+ y2−10 x+8 y−23=0

b. x2+ y2−10 y−24=0

Jawab :

a. A=−10 , B=8 dan C=−23

Pusat lingkaran P=(−12

A ,−12

B)=(5 ,−4 )

jari− jari lingakran R=√ 14

A2+ 14

B2−C

5

R=√ 14

(−10)2+ 14

8+23

¿√25+16+23

= √64=8

b. A=0 , B=−10 , dan C=−24

Pusat Lingkaran P=(−12

A ,−12

B)=(0,5)

Jari− jari Lingkaran R=√ 14

A2+14

B2−C

¿√ 14

02+ 14

¿¿

¿√0+25+24=√49=7

Kesimpulan yang dapat diperoleh adalah :

Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan jari – jari r adalah

x2+ y2=r2

Persamaan Lingkaran dengan pusat M(a,b) dan jari jari r adalah

¿

Persamaan Lingkaran dengan bentuk Umum :

x2+ y2+ Ax+By+C=0

Memiliki pusat lingkaran P(−12

A ,−12

B)Dan jari - jari R=√ 1

4A2+

14

B2−C

6

P(a,b)

9

99

r

A(x1,y2)

D=0 g≡Garis Singgung

O(0,0)

Y=mx+c T(X1,y1)

Y=m+c2

Y=m+c1

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1. Definisi Garis SinggungGaris singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu

titik. Titik tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut!

g ≡ Garis singgung A(x1,Y1) titik singgung AP⊥ g

Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c. Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti digambarkan berikut ini:

Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran

Garis singgung bergradien m

7

Y=m2x+c2

R(x1,y1)

Y=m1x+c1

Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada LingkaranRumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut:

Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgungx2+ y2=r2 xx1+ yy1=r2

(x−a)2+( y−b)2=r2 ( x−a ) ( x1−a )+( y−b )( y¿¿1−b)=r2 ¿x2+ y2+ Ax+By+C=0 xx1+ yy1+

12

A ( x+x1 )+12

B ( y+ y1 )+C=0

Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran.

Contoh Soal .Tentukan Persamaan Garis singgung Lingkaran L ≡ x2+ y2=10 yang melalui titik (-3,1).Jawab :Titik (-3,1)⇒ x1=−3 dan y1=1, terletak pada L ≡ x2+ y2=10Persamaan garis singgungnya xx1+ yy1=r2

(−3 ) x+(1 ) y=10 −3 x+ y=10 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2+ y2=10 yang melalui titik (-3,1) adalah −3+ y=10

8

3. Persamaan Garis Singgung Bergradien m

Rumus persamaan Garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau unsure lain yang berhubungan dengan gradient. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah

Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgungx2+ y2=r2 y=mx ±r √1+m2

(x−a)2+( y−b)2=r2 y−b=m(x−a)± r √1+m2

x2+ y2+ Ax+By+C=0 Ubah bentuk persamaan ke(x−a)2+( y−b)2=r2 gunakan rumus

y−b=m(x−a)± r √1+m2

4. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara lain: menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m.

a. Menggunakan rumus Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1 , y1) pada lingkaran (x−a)2+( y−b)2=r2 adalah y− y1=m¿ adalah dengan

m=( y1−b ) ( x1−a ) ±√( y1−b )2+( x1−a )2−r 2

( x1−a )2−r2

b. Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien mTeknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui A(x1 , y1) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgng bergradien m.

Contoh :Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, x2+ y2=25 yang malalui (7,1)JawabPersamaan 1 : y− y1=m ( x−x1 )

y−1=m(x−7)y=mx−7 m+1

Persamaan 2 : y=mx ±r √1+m2

y=mx ±5√1+m2

9

y=mx ±5√1+m2→ y=mx−7 m+15√1+m2=7m+1

25 (1+m2 )=49 m2−14 m+125+25m2=49m2−14 m+1

24−14−24=0(4 m+3 ) (3 m−4 )=0

m1=−34

ataum2=43

Persamaan Garis singgung 1m1= y=mx−7 m+1

y=−34

x−7(−34 )+1

4 y=−3 x+21+43 x+4 y=25

Persamaan Garis singgung ke 2m2= y=mx−7 m+1

y=43

x−7 ( 43 )+1

3 y=4 x−28+3 4 x−3 y=25

10

P

Y

X

A

C

B

0

A

B

C. HUBUNGAN ANTARA GARIS DAN LINGKARAN

Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar lingkaran, misalnya titik P. Melalui titik P diminta untuk menggambar garis l1 yang memotong lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan titik B, garis l2 yang memotong lingkaran di satu titik saja, yaitu titik C dan garis l3 yang tidak memotong lingkaran. Sehingga posisi garis terhadap lingkaran ada 3 macam, yaitu:

1. Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda

D>0 garis memotong pada 2 titik yang berbeda

11

A

2. Garis Memotong Lingkaran pada Satu Titik Saja dan Ini Disebut Garis Menyinggung Lingkaran

D= 0 garis menyinggung pada satu titik

3. Garis Tidak Memotong Lingkaran Maupun Menyinggung Lingkaran

D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

12

Posisi garis terhadap lingkaran dapat juga dilihat dari nilai diskriminan:

D=b2−4ac

1. Jika D < 0 Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang BerbedaD= 0 garis menyinggung pada satu titikD>0 garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Contoh Soal

Tentukan posisi garis y = 2 x+3 terhadap lingkaran x2+ y2=49!Penyelesaian:

y = 2 x+3 subsitusi pada x2+ y2=49x2+ (2 x+3 )2=49x2+4 x2+12 x+9=495 x2+12 x−40=0

D=b2−4ac=122−4(5)(40)=944D>0Maka garis memotong pada dua titik yang berbeda

13

D. HUBUNGAN ANTAR LINGKARAN

Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran :Pada gambar a lngkaran l1 dan l2 berpotongan di dua titik yang berlainan

- Jika pusat lingkaran l2 berada di lingkaran l1, atau sebaliknya dikatakan l1 dan l2 berpotongan didalam. Perhatikan gambar a(i)

- Jika pusat lingkaran l2 di luar lingkaran l1 atau sebaliknya ,dikatakan l1 dan l2 berpotongan di luar. Perhatikan gambar a(ii)

(b) l1 dan l2 bersinggungan

Pada gambar b (i) lingkaran l1 dan l2 bersinggungan di dalam sedangkan gambar b(ii), lingkaran l1 dan l2bersinggungan di luar

14

(i)

(ii)

(c). l1 dan l2 Tidak berpotongan maupun bersinggungan

Pada gambar c(i), lingkaran l1 dan l2 tidak berpotongan maupun bersinggung didalam Pada gambar c(ii), lingkaran l1 dan l2 tidak berpotongan maupun bersinggung diluar Jika lingkaran l1 dan l2 tidak berpotongan maupun bersinggungan di kataka l1 dan l2 saling lepas. Disamping posisi dua lingkaran yang telah dibicarakan di atas , masih ada dua kemungkinan posisi dua lingkaran yang khusus yaitu:

Dua lingkaran sepusat atau kosentris

Lingkaran l1dikatakan sepusat dengan lingkaran l2 , jika pusat lingkaran l1 berimpit dengan pusat lingkaran l2 , tetapi jari – jari lingkaran l1 tidak sama dengan jari – jari lingkaran l2

Dua lingkaran berimpit Lingaran l1dikatakan berimpit dengan lingkaran l2 jika pusat dan jari – jari lingkaran l1 sama dengan pusat dan jari – jari lingkaran l2

CONTOH SOALTentukan Posisi dua Lingkaran berikut.

L1≡ x2+ y2=9 dan L2≡ x2+ y2−6 x−6 y+9=0

15

(i) (ii)

Jawab :L1≡ x2+ y2=9

L2≡ x2+ y2−6 x−6 y+9=0

6 x+6 y−18=0

x+ y−3=0

y=−x+3

Substitusi y=−x+3 ke x2+ y2−9=0 diperoleh :

x2+¿

x2+ x2−6 x+9−9=0

2 x2−6 x=0

x2−3 x=0

Nilai Diskriminan persamaan kuadrat x2−3 x=0 adalah:

D=b2−4ac

D=¿

karena D>0 ,maka L1 dan L2berpotongan didua titik yangberbeda

16

KUMPULAN SOAL – SOAL LINGKARAN

1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari a. 3 b. 5√2 c. 7 d.√13 e. 2√7

2. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat dan jari-jari sebagai berikut:

a. pusat (5, 1) dan jari-jari 4b. pusat (2, –3) dan jari-jari 12c. pusat (–3, 4) dan jari-jari 9d. pusat (–1, –5) dan jari-jari 3

3. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran jika persamaannya :a. x2+ y2−8 x−2 y−8=0b. x2+ y2−10 x+6 y−2=0c. x2+ y2−10 x−56=0d. x2+ y2+8 y−33=0e. x2+ y2=18f. 2 x2+2 y2−15 x=0

4. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik O(0,0), pusatnya pada garis x + 2y = 5, dan jari-jarinya 5.

5. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu y dititik asal dan melalui titik (6, –3).

6. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu x, r = 2 dan pusatnya pada garis 2x + y = 4.

7. Bagaimana Posisi :

a. Garis y=x−5 terhadap lingkaran x2+ y2−6 x−6 y=0b. Garis y=x+5√2 terhadap lingkaran x2+ y2=25c. Garis y=−x−5 terhadap lingkaran x2+ y2−4 x+2 y−4=0

8. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (2, - 1 ), (4,5), dan ( - 3, - 2 ).

9. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran yang melalui titik – titik (0,5),(12,0) dan titik pusat O.

10. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui :a. Titik (24, - 7) pada lingkaran x2+ y2=625

17

11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2+ y2=16 dan mempunyai gradient 3!

12. Sebuah lingkaran berpusat pada O(0,0) dan berjari – jari 5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran itu dan yang harus sejajar dengan garis y=2 x−3

13. Tentukan Posisi dari dua Lingkaran berikut!L1≡ x2+ y2−2 x−4 y+1=0

dan L2≡ x2+ y2−8 x−12 y+43=0

18

19