Analisis Real - Fungsi-funpi Kontinu

5 FUNGST-FUNGSI KONTINU

5.1 Fungsi-fungsi Kontinu

Pada bagian ini akan dibahas mengenai perilaku dau sifat-sifat yang

dimiliki oleh sekelompok fungsi yang sangat berperan dalam Analisis Real yaitufungsi-fungsi kontinu. Kekontinuan fungsi merupakan salah satu topik inti dalamAnalisis Real.

Istilah kontinu sudah dipokenalkan sejak jaman Isaac Newton ( 1642-1747) yang mengaitkan dengan grafik kurva yang tak terputus. Tetapipengungkapmnya masih belum tepat. Kerrudian pada tahun 1817 BernhardBolzano ,lan tahun 1821 Augustin Louis Cauchy mengidentifikasi bahwakekontinuan sebagai suatu sifd yang sangat berarti dari fungsi dan mencobamembuat definisi yang lebih tepat. Tetapi pendefinisiannya dikaitkan dengankonsep limit. Oleh kaena itu pada tahun 1870 Karl Weierstrass mencobamenyempumakan pengertian atau ide/gagasan mengenai kekontinuan ini.

Bagian pertama, pada uraian di bawah ini, dibahas mengenaikekontinuan fungsi di satu titik dan kekontinuan fungsi pada suatu himpunan.Selanjutqa diperlihatkan kombinasi dri fungsi-fungsi kontinu yallgmengftasilkan fungsi baru yang juga kontinu. Selain itu terdapat suatu sifat yangmendasar dan penting, bahwa suatu fungsi png kontinu pada suatu intervaltertutup terbatas mempunyai nilai maksimum dan minimum. Demikian pula akandituqiukkan, bahwa untuk suatu firngsi kontinu, jika diberikan sebarang dua nilaifungsi itu, maka terdapat suatu titik pada daerah asalnya sehingga nilai fungsi dititik itu merupakan nilai pertengahan dari dua nilai fungsi yang diberikan. Sifat-sifat seperti yang diuraikan di atas tidak dimiliki oleh fungsi-fungsi secara umun.

Pada bagian selanjutnya, diperkenalkan istilah kekontinuan serag:rmdengan beberapa aplikasiny4 salah satu diantaranya adalah mernbuataproksimasi firngsi kontinu dengan menggunakan fungsi-firngsi elementer(misalnya fungsi polinom).

Pada bagian terakhir, dibahas mengenai kaitan antara kekontinuan,kernonotonan dan fungsi invers.

5.1.1 DefinisiMisallan Ac R,fungsi f :A+ Rserta c e A Fungsif disebutkontinu di titik c jika dan hanya jika untuk setiap e> 0 terdapat 6> 0,

sehinggajikax € A dan lx-.1 .6, maka l(*) -(.) I . ".

Jika fungsi f tidak kontinu di c, dikatakan bahwa fungsi f diskontinu di c.

Seperti halnya dengan definisi limit, definisi kekontinuan di satu titikdapat diformulasi dengan menggunakan notasi/istilah lingkungar-L sepertidiungkapkan dalmr teorema di bawah ini.

r21Kosim Ruhneta - hrDikMa UPI 2006

An ulisis Real - Fangsi'f*ngsi Kontinu

5.1,2 TeorcmaStatu fungsi f : A -+ R lantinu di titik ce A iika dan hanya iika di-berilran sebarang linglatngan-e %(f(c) dari f(c\ terdapat lingkungan-E

Y6(c) dari c, sehingga jika x e A ^ Vs(c), maka f(x) e Y"(f(c)) ataudengan kata lain (A.t %(c)) q V*((c))

Ilustrasi dari teorema di atas dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Gambar5.I.l Lingkungan %(f(c) menentukan lingkungan Vs(c)

Catatan:(1) Jika c e A dan c titik limit dari A maka dengan membandingkan definisi

4.1.4 dan definisi 5.1.1, dapat dikatakan bahwa, fungsi f kontinu di cjika dan hanyajika f(c) = limf(x)

x-+cJadi, jika c titik limit dari ,\ maka tiga kondisi berikut harus dipenuhi supayafunggsi f kontinu di c:

(i) f terdefinisi di c (f(c) nilainya ada)(ii) limit dari f di c ada ( i m f(x) ada di R)

x->c(iii) nilai di (i) dan (ii) harus sama (f(c) : I i m f(x))

x-)c(2) Jika c e A dan c bukan titik limit dari A maka terdapat suatu

lingkungan-6 Vs(c) daric sehinggaAnVs (c) =c. Jadi jikac e Adanc bukan titik limit dari A "secara otomatis" fiurgsi f kontinu di c. Inimenjadi kurang menarik, sehingga kondisi (1) dipandang sebagai suatukarakteristik untuk kekontinuan fungsi dititik c.

Dengan sedikit modifikasi dari bul$i teorerna lfunit fungsi 4.1.8, berikutini diberikan teorema kriteria barisan untuk menguji kekontinuan fungsi di satutitik.

y: (x)

t22 Kosim Rubnnna - JurDikMn WI 2006

Anatitis Real - Fanpi'fungsi Kontka

5.1.3 Krtteria barisan untuk Kekontinuan

Suatu fimgsi f : A' -+ R kontinu di titik c e L j ika dan lgya i ika untuk

setiapbaisant*"la,Ayangkotwergenlrea,barisan(f(x"))konvergenket(c).

Berikut ini teorema yang merupakar triteria kediskontinuan sebagai

suatu konnsekuensi d* ;;e;ta -o ua,

-( uu"ai"gt* dengan kriteria divergensi

4.1.9 (a) dengm L = (c) ).

5.1.4 Kriteria Kediskontinuan

MisalkanAcR,f:A+R'danceAFungsifdiskontinudititikciika dnl norryo'ii*o'i)a'yi io'" baisan (xJ ai A'yang konvergen ke

"c, tetapi barisan (f(c)) tidak k'onvergen kc f(c)'

Iika semua pembahasan di aus mengeryr,\e'koryinual suatu fungsi di

satu titik, maka berikut ini akan rlibahas mengenai kekontinuan fungsi pada suatu

himpunar. .. _- _r^Secara sederhana, suatu fungsi disebut kontinu pada suatu himpunan

jika dan nada himmrnan itu- Secara formalil*v" jin" firngsi itu kontinu di setiap titik pada hi-pllq'P' .l

kekontinuann,"g'ipuau'"utoht-p,*-rlinyaakmolehddrnisiberikutini'

5.1.5 Definisi

MisaltanesR,danf:A-+R.FungsifkontinupadaA'iikadanhanyafungsif kontinu di setiap titikx e A'

5.1.6 Contoh

I. Fungsi konsan f(x) : b kontinu pada R

Pada contoh +.t.1 (a) dapat dilihat bahwa' jika c e R' maka

lim f(x)=b.x-tcKrcna f(c) = b, maka I i m f(x) = f(c)' Jadi fungsi f kontinu di

x->csetiaptitikcdiRBerdasrkaudefinisi5.l'5diatas,makafungsifkontinu Pada R

2. Fungsi d*gu, aturaxr g(x) = x kontinu pada R'

Parla cont& 4.1.7 (b) dapat dilihat bahwa' jika c e R' maka

lim g(x):c.x-)cKarena g(c) = c, maka I i m g(x) = g(c)' Jadi fungsi g kontinu di

x-)cKosim Rnhlfluna - JurDiklWst WI 20M 123

Analhis Real - Fangsi-fungsi Kontinu

setiap titik c di R. Berdasarkan ddrnisi 5.1.5 di atas, maka fungsi gkontinu pada R.

3. Fungsi dengan atur:m h(x): x2 kontinu pada R.Pada contoh a.I.7 (c) dapat dilihat, jika c e R, maka I i m h(x) : 62.

x-)cKarena h(c) : c2, maka I i m h(x) : h(c). Jadi fungsi h kontinu di

x-)Csetiap titik c di R. Bqdasarkan definisi 5.1.5 di atas, maka fungsi hkontinu pada R.

4. Fungsi f terdefinisi pada R dengan atuan:

r/*\ _ [ t iika x bilanganrasionalr\^'' - | o lita x bilangan irrasional

Fungsi dengan aturan seperti di aas disebut/angsi Diichlet.Fungsi Dirichlet di_skontinu di setiap titik di R.Sebagai bukti, jika c bilangan rasional, misalkan ( x, ) suatu baiisanbilangan irasional yang konvergen ke c ( teorema kepadatanmenjamin keberadaan barisan seperti ini ). Karqa f(x,) = 0 untuksetiap n e N, diperoleh lim (""):0, sedangkan f(c) : 1. Olehkarena itu fungsi f diskontinu di setiap bilangan rasional c.Di sisi laiq jika b bilangan irasional, misalkan ( y" ) suatu barismbilangau rasional yang konvergen ke b. Karena f(yo) = 1 untuksetiap n e N, diperoleh lim (f(y,) = 1, sedangkan (b) = O. OlehkarEra itu fungsi f diskontinu di setiap bilangan irasional b. Jadiftssinpulannya funggsi f diskontinu di setiap titik di R.

5. Misalkan A = { x e R I x > 0 }. Untuk setiap bilmgm irasional x > 0definisikan h(x) = g. Untuk bilangan rasional di A dengan bentukrnln, dimana bilangan asli m, dan n tidak mempunyai faktorposekutuan kecuali 1, definisikan h(nr/n) : l/n ( kadang-kadangtlidefinisikan juga h(0) = 1).Fungsi h kontinu disetiap bilangan irasional di ,\ dan diskontinu disetiap bilangan rasional di ASebagai bukti, misalkan a > 0 bilangm rasional sembarang, dan ( x" )suatu barisan bilangan irasional di A yang konvergen ke a. Kaenalim (h(x") = 0, sedangkan h(a) > 0, maka h diskontinu di a. Di sisilain, misalkm b bilangan irasional senrbrang dan a > 0.Berdasarkan sifat Archimedes terdapat bilangan asli ne sehinggal/no < e. Terdapat hanya sejumlah hingga bilangan rasional denganpenyebut lebih kecil dari no pada interval (b - 1, b + 1). ( Mengapa?).Oleh karena itu 6 > 0 dapat dipilih cukup kecil sehingga lingkunganO - 6, b - 6) tidak memuat bilangan rasional dengan penyebut lebihkecil dari no. Jika!* -bl<6, x e An makalnf.> -fiOil.e. Jadidengan demikian ftngsi h kontinu di bilangan inasional b.

124 Kosim Rabnma - JurDi*Md UPI 2006

Analitis Real - Fnngsi-fu ngsli Kontinu

5.1.7 Bahan Diskusi

1. Buktikm teorema 5.1.3 tenAng kritoia barisan untuk kekontinuau-

2. MisalkanAc R dan f : A+ R kontinudititikc e A. Tunjukkanbahwa

untuk setiap e > 0, terd4at suatu lingkungan-8 vo (c) sehingga jika x, y e A

n vs (c) maka lfu) - f0) I < e.

3. \disalkan f : R + R kontinu di c dan(c) > 0. Tunjukl€n, bahwatodapat

suatu lingkungm$ Vs (c) sehinggajika x e Vs (c), maka (x) > 0'

5.{.8 Latihan

1. l4isalkan a < b < c. Misalkan pula frrngsi f kontinu pada [q b], dan fungsi g

kontinu pada [b, o] serta f(b): g(b). Definisikan h pada [a, c] oleh h(x) =

(x)unhrkxe[a,b]danh(x)=g(x)untukx€(b,c].Buktikanbahwah kontinu pada [a c].

2. Jika x e R, didefinisikan I x ] adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil

atau sma dengan x. Fungsi x + [ x ] disebut fungsi bilangal bulat terbesar'

Tentukanlah titlt-titit kekontinuan dari fungsi-fungsi di bawah ini:

(a) (x)=[x] O) g(x):xlxl(c) h(x)= [sinx] (d) k(x)= [ Ux]

3. Mirutt* Ac & dsrf : A+ R kontinu dititik c e A Turi,kkm, untuk

setiap e > 0 terdapat lingkungm$ %(c) d6i s 5ehingga jika x, y e Anyrlst,maka l(*) -r0)l .r.

4.Misalkanf:R-+Rkontinudicdanf(c)>0'Tunjukkan,terdapatlingkungan-S %(c) dari c sehingga jika x e V6(c), maka (x) > 0'

5. Misalkan A c B c & f : B + R dan g adalah restriksi dari f pada A ( g(x) :(x) untuk setiap x e A).(a) Jikafkonyinu di c e A" tunjukkan bahwa g kontinu di c-

G) r*j,'tt- dengan contoh bahwa jika g kontinu di c, maka ini tidak perlu

mermgakibatkar f kontinu di c. o

6. Misalkan f : R + R kontinu pada R dan f(r) = 0 untuk setiap bilangan

rasional r. Buktikan, bahwa (x) = 0 untuk setiap x e R'

7. Misalkan A = (0, @) dan k: A -+ R didefinisikan sebagai berikut, untuk x e

d x irrasional didefinisikan k(x) = 0, dan untuk x e A x rasional dengan

bentuk m/n dengan m, n bilangan asli, m dan n tidak mempunyai faktor

sekutu kecuali t, Aaennisltan k(D = n. Buktikan, bahwa k tak terbatas pada

setiap interval di A Tunj r kkan pula bahwa k diskontinu di sebarang titik dali

A8. Misalkm f : (0,1) -+ R terbatas tetapi limimya di x = 0 tidak ada Tunjukkan,

terdapat dua barisan (x") dan (yJ di (0,1) dengan masing-masing limitrya 0

teapilim ((xJ) dan lim ( f(y") masing-masing ada tetapi tidak sama.

125Kosim Rt&lnans - JurDiHtId UPI 2006

Analisis Real - Fungsi-fungsi Kontinu

5.2 Kombinasi Fungsi-fungsi Kontinu

Misalkan A c R, f dan g masing-masing adalah fungsi yang

didefinisikan pada A ke R ssta b e R. Jumlah, selisih, hasilkali, dan kelipatanfungsi yang boturut-turut dinyaakan oleh f + g f - g, fg, dan bg pada babterdatrulu telah diddrnisikan. Demikian pul4 jika h: A + R sehingga h(x) * 0

untuk semua x € A telah didefinisikan hasil bagi fungsi yang dinyatakanoleh flh.

Di bawah ini diperlihatkan suatu teorema yang berkaitan denganpenddnisian di atas. Jika diperhatikan, teorema ini serupa dengan tgorema 4.2.4pada bab 4 mengenai limitfungsi.

52.1 Teorcma

Misalkan A c R, f dan g masing-masingfungsi dari Ake R serta cr e R.

Jika c e d f dan g kontinu di o, maka :

(a) f + g, f - g,fg, dan af kontinu di c(b) Jika h: A-+ Rkontinu dic e Adanh(x) + 0untuk setiap x e d

maka flh kontinu di c

Bukti:(a) Jika c e A bukan titik limit dari A maka secara 'ootomatis"kesimpulan terbukti. Oleh karena itu misalkan c adalah titik limit dari A.Karena f, dan g kontinu di c, maka '

lim(x) = (c) dan limg(x)=g(c)x-)c x-+c

Berdasarkan teorema I .2.4 (a), maka:tim (f+ gXx): limf(x) + lim g(x):(c) + g(c) = (f + gxc)x-+c x-+c x-)c

Oleh karena itu f + g kontinu di c.Dengan cara yang serupa, untuk yang lainnya silakan penrbacamernbuktikan sendiri sebagai latihan.(b) Karena c € A, makah(c) * 0. Teapi karenah(c; :1i- h(x), dan

x -+cberdasarkan teorerna 4.2.4 (b) diperoleh:

(flexc) = f(c/h(c) = lim (x)Aim .F(x) = lim ( flhXx)

oleh karena itu flh kontinu di c. x -) c x -) c x -) c

Teorema berikut ini merupakan konsekwensi dari teorema 5.2.1,digunakan untuk setiap titik dari himpunan A Secaa formal, teorema tersebutdinyaakan sebagai berikut:

126 Kosim Ruhrnana - JurDikMot UPI 2006

Analitis Real - Ftngsi-fingsi Kofiiw

5.2.2 Teorema

Jika Ae R' dan f, gmasing-masing fungsi yang kontinu dari A ke R'

serta b eRmaka:(a) Fungsi-fui6, * E, f - E, fg' danbf masing-masing kontinu pada A

@) Jikah: e'+ yiintto" pia" ldanh(x)*0 untukxe A"maka

fungsi hasilb agi flh lwntimr Pada A

Catatan: Jikarp: A+R, Ar = { x e AIQ(X) t0 }' makahasilbagiflrp

didefinnisikan pada hinopunan Ar oleh: ,,*\igqXrl = 1x/9(x) untukxeAr """"""(-')

Jika I kontinnu di titik;A; ,*urortri 9r dari a pada Ar iugakontinu di

ceArBerdasarkan teorema 5.2.1 (b) digunakan pada gr' maka flrpr fontinu

di c e A

Karcna (f/q)(x) = (Agt)l;i;*i x e-er' .mata

flrp kontinu di c e Ar

Dengan.*u.r.*pu,'i* tdan.q. kontinu ppada A maka fimesi f/o yang

aiAehnisitan pada At, kontinu pada A1

5.2.3 Gontoh

1. Jika P suatu firngsi

untuksetiaPxeR,= I i mp(x)

oolinom sehingga p(x) = aoxo + a"-tx"-t * '."' * a1x* 8o

';}.l1*d^iri* rii"it untuk tungsi polinim vaitu p(c)

x-+cuntuk sembarang c € & maka fungsi polinim p kontinu pada R

2. Jika p da q masing-masing fuirgsi polinom pada R' maka terdapat sejumlah

hinggatl,r,..., *'rt*-'t*;d;tiq' Jikax # { cr1' "''cuo} makaq(x)

+ 0 sehinggu Ouput OiJtn'isikan firngsirasional ryang dinlatakan oleh:

r(x) =p(x/q(x), untukx 4 { ct'1, "', cr.' }

Oleh karena itu diPeroleh:R(c) = P(c)/q(o) =

sehingga fungsi rasional r kontinu di c'

Karena , .*uu*og"tl*g* r*"r yang bukan merupakan akar dari q, dapat

disimpulkan bah;;;;i;;d r-kontinu di setiap bilargan real vang

merupakan domainnYa.

3, Akan ditunjukkan bahwa fungsi sinus kontinu pada R'

Untuk setiaP x, r,, jrt rtruti,(buktiuntuk lsinrl < lzl silahtan

lim P(x/q(x)=limr(x)x-)c x ->c

dan I cos ,l <lpenrbaca membuktikan sendiri )

Kii* not**a - JutDikltld WI 2006 127

An alisis Real * Fun gsi-fangsi Kontinu

sin x -sin y = 2 sin(ll2(x-y)) ms (1/2(x +y).Oleh lkarena iitu, jika c G R, diperoleh:

lsin*-sincl < z.ll2lx-.1.t = l*-. I

Dari sini dapat disimpulkan fuagsi sinus kontinu di c ( mengapa? ).Karcna c sembarang, maka firngsi sinus kontinu pada RUntuk sela4juhy4 silahkan pembaca membuktikan sendiri, bahwa fungsikosinus kontinu pada Rl Demikian pula untuk fungsi-fungsi tangen,cotangm, secan dan cosecan masing-masing kontinu pada domainnya ( ingat,tan x = sin x/ cos x ).

5,2.4 TeoremaMisallanAcR, f :A+R dq lfl aiar@"itikanoleh:

I rl r*l = l(*) | ,untuk x e A(r) Jika f kontinu di titikc e Aa matm ltl lantinu at c(ii) Jika f lCIntinu pada Aemata ltl *rntin pada A

Bukti:Ini merupakan konsekuensi dari bahan diskusi 4.2.10 Q)

5.2.5 Teorema

MisalkanAc R, f : A -+ R dm(x) > 0, untuk setiap x e AMisalkanpula {f didefinisikanoleh: ({0(*) = {(r), x e A(r) Jika f kantinudititikce ly mata.,lf kantinudic(ii) Jika f trontinu pada A, matra ,l f trontinu pada A

Bukti:Ini merupakan konsekuensi dari bahan diskusi 4.2.10 (4)

Komposisi dari Fungsi-fungsi Kontinu

Di bawah ini diberikan suatu teorema mengenai kekontinuan fungsikomposisi dari dua buah fungsi yang dibaikan yang masing-masing kontinu.Secara formal teorema tersebut dinyatakan sebagai berikut:

5,2.6 Teorcma

Misalkan A, B cR, f : A-+R dang: B+R masing-masingadalahfungsi sehingga (A) c B.Jikaf kontinu di c e \ dan gkontinu dib:f(c) eB , mala knmposisigof:A-+R kontinudic.

128 Kosim ktkmota - JurDikMut WI 2006

Analisis Real - Fan gsi-fanpi Konthu

Buliti:Misalkan V"(gO)) adalah sembarang lingkungan+ dari g(b)' Karena g

kontinu di b : f(c), maka terdapat suatu lingkungan-8 dai b yaitu %O) atau

Vs(f(c) sehingga jikay e B n V6@) maka g(v) e v"(g(b))' """ :""(*)Karerla f kontinu di c, maka untuk lingkungan %(f(c) di atas, terdapat

lingkungan-y dari c yaitu Vr(c) sehingga jika x e A n Vr(c) ' maka

r1x) e VoG(c)).

Selmjutnya,karemf(x)eBmakaf(x)eBnvo(f(c))'Berdasarkan(*)ini mengakibatkan (g o D(x) : g(x)) e %(g(b)).

-Karena %(g(b)) sembarang lingkungan-e dari g@) maka (g o 0

kontinu di c.

52.7 TeorcmaMisalkanA, B E R, f : A + R kontinupada Adan g:B +R kontinu

padaBJikat(A)c.Bmatrafungsilramposlsigof:A+RkontinupadaA.

Bukti:Teorema di atas merupakan akibat dari teorema 5.2.6,iikafi'rngsi f dan g

berturut-turut kontinu di setiap titik dari A dat B'

Teorema 5.2.6 dan 5.2.7 sangat bennanfaat dalam menentukan bahwa

suatu fungsi tertentu adalah kontinu iebagaimana dipolihatkan pada contoh

berikut dibawah ini. Kedua teorema di atas sering digunakan dalam banyak

situasi fli mana jika digunakan dengan definisi kekontinuan secara langsung

akan menjadi sulit.

5.2.8 Gontoh

1. Misalkang(x)= lxl, x e R.

Dengan menggunakan ketidaksarnaan,segitiga akan diperoleh:

I g(*) - g(c)l < I * -"1 untuk setiap x, c e R'

Oleh karena itu g kontinudi c e R (mengapa?)

Jika f : A + R sembarang fungsi yang kontinu pp+ A, maka berdasarkan

teorema 5.2.7 akan mengakibatkan g o f = lfl kontinu pada A. Ini

merupakm juga sebuahbukti lain dari teorcma5'2'4'

2. Misallkanh(x)={x, untuk x >0Dari teorema brisan 3.2.10 dm teore,ma 5.1.3 maka diperoleh bahwa h

kontinu di sebarang c > 0.

Jikaf:A+RkontinupadaAdanjika(x)>0untuksetiapxedmaka dari teorema 5.2.7 ;kandiperoleh hasil bahwa h o f = { f kontinu

pada A Ini merupakan sebuah bukti lain dari teorema 5'2'5

Kosim Rubnqna - JurDikMd UPI 2006 r29

Analhis Reol - Fungsi-fungsi Kontinu

Misalkan s(x) : sin x untuk x e R.

Dalam contoh 5.2.3 Q) terlihat bahwa s kontinu pada R.

Jika f : A -+ R kontinu pada A maka bardasarkan teorema 5.2.7, fungsis o f kontinu pada A. Secara khusus, jika (x) = llx , uutuk x * 0, maka

fungsi g(x) = sin (1/x) kontinu di setiap titik c * 0

52.9 Bahan Diskusi

1. Misalkan f,g masing-masing didefinisikan padaR dan ceR. Misalkan

Pulal im f(x) =b dan gkontinu di b.

x -+cTunjukkan, bahwa I i m (g o 0(x) : gO)

x -)cBandingkan dengan teorema 5.2.7 dan soal latihan 5.2.10 (4), apa yang

dapat dikomentari dari hasil ini?

2. Misalkan f, g masing-masing kontinu dari R ke R, dan (r) : g(r) untuk- setiap bilangan rasional r. Benarkah pernlataan bahwa f(x) = g(x) untuk

setiap x e R.

3. MisalLan { g : R + R masing-masing kontinu di titik c, dan h(x) = sup

{ f(x), g(x) } untuk x e R. Tunjukkan bahwa h(x) = %(f(x) + g(x)) +yrlf$) - g(x) | untuk setiq x e R. Gunakan ini untuk menunjukkan bahwah kontinu di c.

4. Misalkan g : R -+ R mernenuhi hubungan g(x + y) = g(x)g(y) untuk setiapx, y di R. Tunjukkan, jika g kontinu di x = 0, maka g kontinu di setiap titikdari R. Juga tuqfukkan, jika g(a) : 0 untuk suatu a e R, maka g(x) : 0

untuksetiapxeR.

5.2.10 Latihan

1. Tunjukkanbahwajikaf :A+ Rkontinupada Ac R, n e N, makafungsif " yang didefinisikan oleh f "(x) : (f(x))" untuk x e A, kontinu pada A

2. Berikan contoh suatu fungsi f dan g keduaqa diskontinu di titik c e Rsehingga:(a) jurnlah f + g kontinu di c.(b) hasil kdi fg kontinu di c.

3. Misalkan x -+ [ x ] menyatakan fungsi bilangan bulat terbesar ( lihat soal

latihan 5.1.S (2) ). Tentukan titik-titik kekontinuan dari firngsi f(x) = x - [ *] ,

xeR.

130 Kosim Rulonana - JurDihMa UPI 20M

Anolisis Real * Fungsi-fanpi Kontinu

4. Misalkan firngsi g diddlrisikan pda R oleh g(1) = 0, dan g(x) = 2 jika x * 1'

Misalkan pula f(x) = x * I untrksetiap x e R'

Tunjukkan I i m (g o 0G) * G o 0(0). Mengapatidak berte,ntangan dengan

x +0teorcma5.2.6?

5. Berikan contoh suatu fungsi f : [0, l] + R yang diskontinu di setiap titik dari

[0, 1] tetapi lfl tontinu Pada [0, ll.

6. Misalkan h : R + R kontinu pada R dan menrenuhi h(rrtlr) = 0 untuk setiap

m e Z,n e N. Tunjul&ao, bahwah(x):0 untuk setiap x e R'

?. Misalkanf:R+R kontinupadaR, danmisalkanP={xe n I (x)>0}'Jika c e P, tunjukkan, bahwa terdapat suatu lingkungan Vo(c) c P'

g. Jikafdang keduanyakontinupad4& danmisalkanS=txen I f(x) >g(x) ). Jika (s,) c S dan lim (s") = s, tunjukkaq bahwa s e S'

9. Suatu fungsi f : R + R disebut *additivd' jika dan hanya jlta frram

f(x + y) = rtx) + f(y) untuk setiap x, y di R Buktikan, jika f kontinu di suat,

titik xo, maka f kontinu di seti4 titik dari R.

10. Misalkan f suatu fungsi additive kontinu pada R' Jika c = (l), tunjul&an

f(x) : cx untuk setiap x e R. ( Peunjuk Terlebih dahulu, tunj'rkkan bahhwa

jika r bilangan rasional, maka (r) = cr. ).

5.3 Kekontinuan Fungsi pada lnterval

Fungsi-firngsi yang kontinu pada interval , nnempunyai sejumlah sifat-

sifat yang sangat perti"g yaog tiaak dimiliki oleh fungsi-fungsi kontinu

u**"yrl paaa Uanasan Ai Ui*uU ini, akan dibahas beberapa sifat-sifat penting

itu dengan beberapa aPlikasinYa.

5.3.1 Definisi

suatu fungsi f : A + R disebut terbatas pada Aiika dan hanya iikaterdapat suatu bilangan realM> 0 sehingga l(x) I < M , untuk setiap

xeA

Dengan perkataan lain, suatu firngsi terbatas pada suatu himpunan jika

rangenya (dieralr,hasil) terbatas dalam R. Ilntuk mengatakan bahwa suatu fungsi

At terlaEs pada himpunan ymg diberikan adalah dengan mengatakan bahwa

Kosim Rthmana - JurDikMd UPI 2006 131

An alisis Real - Fungsi-fungsi Kontina

tidak terdapat bilangan yang menjadi batas untuk rangenya Secara matematisformal, suatu fungsi tak terbatas p@ himpunan A jika diberikan sernbarang

M > 0, terdapat titik xr.,r e A sehingga l(x) I > M.Sebagai contoh, fungsi f yang diddefinisikan pada interval A = (0, oo)

oleh f(x) = l/x adalah tak terbaas pada Ao sebab untuk setiap M > 0 terdapat(dapatdiammbil)xua: l/(M+ l) sehinggaf(xy):l/xu=M+ I >M. Contohini menunjulkan bahwa fungsi kontinu tidak perlu terbatas.

Pada teorema di bawah ini, ditunjukkan bahwa suatu fungsi kontinu pada

suatu interval totentu perlu terbatas.

5.3.2 Teorcma KeterbatasanJikal=[a"bl interval tertutup terbatas danf :I->R kontinupadal,malu fungsi f terbatas padaI.

Bukti:Andaikan fungsi f ak terbatas pada I.

Ini berarti untuk sembarang n e N, terdappatKarena I terbatas, maka barisan X = (*")

x,eI sehingga lr(*Jl to.terbatas. Menurut teorema

Bolzano-Weierstrass(untuk barisan) terdapat baisan bagian X' : (x-) dri X yang konvergen kesuatu bilangan x. Kemudian, karena I tertutup dan unsur-unsur dri X' tedetakpada I, maka x e I (torema barisan dalam Bab 3). Karena f kontinu di x e I,maka baisan ( (&") ) konvergen ke (x). Oleh karena itu barisan ( (x*) )haruslah terbatas. Tetapi ini konfiadiksi dengan I fG-) l, + > r untuk r e N.Jadi pengandaian ftakterbatas padaladalah salah, yangbenaradatah fterbataspadaI.

Dapatlah pembaca memberikan beberapa contoh, bahwa invers dariteorema di atas belum tentu berlaku.

Teorcma Maksimum-Minimum

Sebelum sampaibpada t@rema mengenai maksimum-minimum, dibawah ini terlebih dahulu diberikan definisi yang menerangkan pengertianmaksimum mutlak dan minimum mutlak.

5.3.3 Definisi

Misalkan A c & dan f : A -+ R. Fungsi f disebut mempunyai malaimummutlak pada Ajika dan hanya jika terdapat suatu titikx* e Asehingga(x*) > f(x), untuk setiap x e A.Fungsi f disebut mempunyai minimum mutlak pada A jika dan hanyajika terdapat suatu titik x. e A sehingga (x.) < f(x) , untuk setiap x e ATitik x* adalah titik nalaimum mutlak untuk f pada A dan titik x-adalah titik minimum mutlak untukf pada A" jika masing-masing titikada.

t32 Kosim Rukrnqna - hrDikMa UPI 2006

An alisis Reol - FungsLfangsl Kontina

Perlu dicaUt bahwa suatu ftngsi kontinu pada A tidak perlu memrpunyai

maksimum atau minimum mutlak pada A Sebagai contoh, f(x) : l/x tidak

mempunyai maksimum mutlak dan minimun mutlak pada himpunan/interval

A = ( 0, co ) ( lihat gambar 2.3.1). Fungsi f tidak merrpunyai maksimummutlak

oada A: ( 0. co ) krena f tak tobatas di atas pada A dan tidak m€muat titik 0

: inf { f(D [ * e A ]. Fungsi di atas juga tidak mempunyai maksimum mutlak

dan minimum mutlak.jika dibatasi pada himpunan (0, l), teapi firngsi itu

mempunyai maksiiltum mutlak dm minimum mutlak bila dibatasi pada

ni^p** tr, z]. selanjunya fungsi (x) = l/x mempunyai rnaksimum mutlak

tetapi tidakme,mpunyai minimum mutlak bila dibatasi pada himpunan [1' * ) dTtiAui ...p*ya -atsi*r* mutlak it41 minimum mutlak bila dibatasi pada

(1, .o ).Jika suatu fungsi fungsi mempunyai titik maksimum mutlak, maka titik

ini tidak perlu nik (tuigeal).iebagaicontoh fungsi g(x) = x2 yan di4efial5ikan

untukx e A= [-1, I ] merrpunyaiduatitikx=-l danx= -l yangmasing-

masing muupakan titit matsimum mutlak pada A dan titik x = 0 -di

mana titikitu meiupakan titik minimum mutlak pada A ( lihat gmbar 5.3.2). Suatu contoh

khusus/&sdms yaitu ftngsi konstan h(x) = l, setiap titik x e R merupakan titikmaksimummutlak dan minimum mutlak dai h

Gambar 5.3.1 Fungsi f(x): l/x(x>o)

Gambar 5.3.2 Fungsi g(x) = 12

r l*l < t;

5.3.4 Teorcma Maksimum-minimum

Jikal= [ a, b ] interval tertutup terbatas danf :l -+ R kontinu padaI,malraf mempinyai mataimum mutlalc dan minimum mutlak'

Bukti:Misalkan f(D : { f(x) I x e I }. Menurutteorema 5'3'2, f(D

terbatas pada R. Selaniutrya, misalkan s* = sup (D dan s. = inf f(f)'Akan tlitunjukkan, terdQat titik x+ dan titik x' di I sehingga s* = f(x*)dm s, = f(x,).

Kosim Rubnsta-JwDikllld WI 20M 133

Analisis Real - Fungsi-fangsi Kontinu

Karena s* = sup (D, iika n e N, maka s* - l/n bukan batas atas dariF(t). Akibahya terdryatbilangan x" e I sehingga :

s*-iln<f(x")Ss*,rmhrksetiapneN ... ........,(1)Karena I terbatas, maka barisan X : (x") terbatas. Dengan mengggunakanteorema Bolzano-Weiersrass ( Analisis Real 1), terdapat barisan bagianX' = (x*) dari X yang konvergen ke suatu bilangan x*. Kemudian, katenauruilHmsur dari X' terletak pada I = [a, b], maka menurut teor€ma barisan(Analisis Real l), x+ e I. Selar{utnya, karena f kontinu di x*, makalim f(x*) = (x*).Dari (1) diperoletr:

s* - l/n <f(x*) S s*, untuk setiap r e NBerdasarkan teorema Apit dalam barisan, dapat disimpulkan, bahwalim (f(u) = s*. Oleh karena itq diperoleh:

f(x*) = lim ( (x*) ) - s+ = sup f@sehingga x+ perupakan titik maksimum mmutlak dari f pada I.

Di bawah ini dibberikan suatu teorema yang bermanfaat untukmenentukan lokasi/letak akm-akar dai suatu fungsi kontinu atau menemukansolusi dari persamaan dengm bentuk f(x) = 0, di mana f merupakan firngsi yangkontinu. Pmbuktian teoremanya, diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

5.3.5 Teorema ( MengenaiLokasi Akar )

Misalkan I = [a, bl dan f : I -+ R fungsi kontinu padn I.Jikaf(a) < 0 <f@) atau jika f(a)> 0>f(b), makn terdapat bilanganc e (a, b) sehingga f(c) = 0.

Generalisasi dari teorerna di atas dapat diungkapkan dengan teoremayang dinlatakan sebagai berikut.

5.3.6 Teorema Nilai Pertengahan dari Bolzano

Misallan I suatu interval dan f : I -+ R fungsi kontinu pada I. Jika a,bel dan k e R memenuhi f(a) <k <f(b), maka terdapat titikc e Iantara a danb sehingga (c) = k.

Bukti:Misalkan a< b dan g(x) = (x) -k. Diperoleh g(a) < 0 < gO).

Menurut teorema 5.3.5 terdapat titik c dengan a < c < b sehinggag(c) = (c) - k : 0 atau dengan ungkapan lain (c) = ft.

Jikab <a, misalkanh(x) =k-(x) sehinggah(b) < 0 <h(a).Berdasarkan teorema 5.3.5, terdapat c denganb <c <a sehingga0=h(c)=k-(c).Akibatnya (c) = k.

134 Kosim Rubnina - JurDikMd aPI 20M

An alisi s Real - Fangsi-fungsi Kontku

5.3.7 Akibat

Misatkanl= [q bJ intental tertutup terbatas danf :l-+R kontinu pada

l.Jil(ak eRmemenuhi:Inff(I) <k<suPf([),

malea terdapat bilangm c el sehingga (c) = k

Bukti:Benlasarkau teorr€,ma Maksimum-Minimum 2.3.4, t€rdapat c' dan c*

dil sehingga:Infru):(c.) < k < f(c*) = suPf(!.

Grnakan selanjutrya-teorenna Bolzano 2.3.7 dM terbuktilah apa yang akan

dibuktikan.

Teorema yang akan dinyahkan berikut di bawah ini, mengungkapkan

bahwa peta dari iot.*a tertutup terbatas oleh suatu fungsi yang kontinu akan

*"*pui* interval tertutup tertitas pula. Titik+itik ujung dari interval peta ilt**rputr, nilai minimum mutlak-dan nilai maksimum mutlak dari frrngsi

kontinu itu.

5.3.8 Teorcma

Jika I intterval tertutup terbatas dan f : I -+ R l<ontina pada I, maka

f(t) = { f(x) I x e I J merupakan intertal tertutup tterbatas'

Bulrti:\dlsalkan m : inf fCI dan M : suP f0. Akibatnya (D c [q M]'

Selanjueya, jika k e [q M , k sembarang, maka menurut teore'ma 5'3'7

( Akibat ) terdapat titik c e I sehingga f(c) = k. oleh karena itu k e I(D dan

inimenunjul&anbahwa tqM cf(D. Jadi (t) = [m,M.

Perhafian!1. Jika I : [a, b] suatu interval dan f: I -+ R kontinu pada I, telah ditunjukkan

bahwa f(I) adatah interval [q Mi.Ilhati-hati, bahwa f(D + t (a), f(b) I ( lihat gambar 5'3'3 )'

Z. Peta dari intterval terbuka oleh suatu funsi korrtinu belum tentu interval

terbuka lagi. Sebagai ontoh, jika (x) = ll(* + 1) , I1 : (-1, 1), maka

f(Ir) = QlL,ll, ini bukan interval terbuka

3. Peta dari interval tertutup tak terbatas belum tentu interval tertutup'

Contohnya, untuk f(x) = Il(* + 1), jika Iz = [0, oo) makaf(Iz) = (0, U,ini bukan interval tertutup ( lihat gambar 5.3.4).

Kosim Rnhnana - JurDihllld UPI 2006 135

Gambar 5.3.3f(D = [no,M]

Analhis Real - Fangsi-fangsi Konlinu

Gambar5.3.4Grafikf(x):171*z+ 1)(x e R

5.3.9 Teorcma ( Pengawetan lnterval )Jika I suatu interval dan f : I -+ R kontinu pada 1,

merupakan interval.maka f@

5.3.10 Bahan Diskusi

1. Misalkan f kontinu pada interval [0, 1] ke R. jika f(0) = f(1), tunjrrkkanterdapat c e [0, Yzl sehingga (c) = f(c + YS. Interpretasi soal ini adalah:bahwa pada setiap waktu terdappat dua tempat yang antipodal( bedawanan/bertolak belakang) di khatulistiwa di permuk6sa $t mi yangmempunlai suhu ymg sama ).Untuk me,njawab soal ini: Tentukan g(x) = (x) - t(x + Y)

2. Misalkan I- [0, nl2l danf : I+R dide]Erdsikan olehf(x) = sup { x2, cos x }. Tunjullcan todapat titik minimum mutlak xo € Iuntuk f. Tuqiukkan pul4 bahwa xe su?tu solusi dari ppersam&m cos x = x'.

3. Susun suatu pembuktian lengkap dan formal dari eorrema 5.3.9.

5.3.11 Latihan

1. Misalkan I = [q b] rlan f : I -+ Rfungsi kontinu sehingga(x)> 0 untuksetiap x di I. Buktikan terdapat suatu bilangan o > 0 sehingga f(x) > cr,

untuksetiapxelMisalkan I = [a, b] dan f :I -+R, g:I -+R masing-masingkontinuppadal. Tunjukkanbahwahimpunan E = { x e t I f(x) = g(x) } mempunyai sifat:

Jika (x") S E dan xn J Xo, maka xe € E

2.

136 Kosim Rabnons - JurDikMd UPI 2006

An alisis Real - Fungsi-funpi Konrina

3. fiisalkan I:[qbl danf :I-+nf.u"gsikontinSpa4al sehingga untuk

setiap x di I todapatydi I sehingga lfo)l < Ul(Dl. Buktkanterdapatsuatu titik c di I sehingga (c) = 0

4. Tut$t'kkan setiap polinom yang berderajat ganjil dengan koefisien real

mempunyai paling sedikit satu akarreal.S. Tunjukkam p-oli"i* p(x) = sa + 7x3 - 9 mempunyai paling sedikit dua akar

real.6. Tunjr t'kan persaruun x = cos x mempunyai solusi dalam interval 10, %xl7. Misalkan I = [a, b] dan f:.I -+ R kontinu pada I serta (a) < 0, f(b) > 0'

DidefinisikanW={ xell(x)<0}, danmisalkan w = supW. Buktikan

bahwa f(w) = 0.

8. Misalkan f : R+R kontinupadaR danlim (x) = 0 dan lim f(x) : 0

Buktikan bahwa r t.tutur'p?au? au, -.*#***rurri-o* uot'minimumpadaR

9. Misalkan f:R+R kontinupadaR dan pe R. TunjukkanjikaxoeRsehingga f(xo) < P, -aka terdapat suatu lingkunganS dari xo yaitu Vo(xo)

sehingga (x) < F untuk setiap x € V6(xo).

10. Jika f : [0, 1] -+ R kontinu dan hanya me,mpunyai nilai rasional, maka

tunjukkan bahwa f merupakan firngsi kkonstan.

5.4 Kekontinuan Seragam

Misalkan Ac R, dan f : A+R. Defnisi 2.l.l manyatakanbahwa

pernyataan berikut ekuivale,n;

(1) fkontinu di setiap titik u e A

@ jikaditberikan t> 0 dapu e d terdqat6> 0 sehinggauntuk setiap xe A, l*-ul <6maka l(x)-(u)l <e

Dalam hal ini nilai S tergantung dari nilai e dan letak u fang diambil.

Tergantung dari u mempunyai ati bahwa mungkin nilai f berubah cepat di dekat

titik tertentu dan mungkin berubah lmrbat di dekat titik yang lainrya ( contoh:

(x)=sin(l/x);x>o).Untuk selanjutnya, akan dibahas firngsi-fungsi dengan kondisi bahwa 6 >

0 dapat d-ipilih sehingga tidak tergantung dri titik u e A ( hmya tergantung dari

e ). Sebagai mntoh" jika f(x) = 2x untuk setiap x e R, maka lf(x) - (u) | : 2x-2u = 2lx-ol. Ot"nt&arenaitudapatdipilih 6=el2 untuksetiape> 0

yang diboikan dm u e R.

Di sisi lain, jika g(x) = l/a x > 0, maka :

lrir.>-iir>l = l(r-xyuxl =.I/ux l,*-ul ... (-)Jikadiaurbil 6=inf {%i,yro'e}, *aiadari lx-ol .6 diperoleh l*-ol.Z u sehinnesayzu<x<312u. Olehkmenaitu l/x <2h. Iadi (+) menjadi:

I e(*) - g(u)l = l1u-x,;ruxl= i/* l'*-rl <ztri lr-ol . ztt%u's=E

Kosim Rabnana - J*rDikLId WI 2006 137

An alhit Re al - F un gs i-fu n gs i K ont in u

Di sini terlihat bahwa 6 yang diambil nilainya tergantung dari e dan u.Situasi di atas dapat ditampilkaa dengan ilustasi di bawah ini. Ilustasi

ini memperlihatkan bahwa untuk suatu e > 0, pemilihan 6 yang berbeda untuktitik u yang berbeda. Jika u mendekati nol, maka nilai 6 yarg diambil jugamendekati nol.

%(2)

_Gambar5.4.l g(x): l/x, x)0 Gambar5.4.2 g(x)= l/x, x> 0

5.4.1 Definisi

Misalknn Ac & f :A-+ R. Fungsif disebutkontinu seragampada A,jika dan hyya j lka untuk setiap e > 0, terdapal 6 > 0 sehingga iika x, yed l*-yl <6,maka lf(x)-f(y)l<e.

Definisi di atas, dapat diartikan bahwa'Jika f kontinu seragam pada Lmaka f kontinu pada setiap titik dari A". Secara unnum, konvers dari pernyataanini tidak berlaku ( misalnya untuk g(x) = l/x, x > 0 ). Ini berguna untukmemformulasikan suatu kondisi ymg ekuivalen dengan pemyataan f tidakkontinu seragam pada A seperti yang dinyatakan di bawah ini ( buktinyadiserrahkan kepada pembaca sebagai ktihan).

5.4.2 Kriteria Kekontinuan Tidak Seragam

Misalkan Ac & f :A-+k. Pernyatoanbeilatt ehtivalen:(l) f tidak kontinu seragam pada At

Q) Terdapat suatu en> 0 sehingga untuk setiap 6> 0 terdapat x, u eA l*-ol <6rctapi l(*)-(o)l>"0.

Q) Terdapat suatu en> 0 dan dua barisan (x") dan (u") pada Adenganlim(x"-u,) = 0, tetapi lrt*,,1-(Ul >eo untukserrapn e N.

Kriteria ini dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa g(x) = l/x tidakkontinuseragamnada ={ x eRl x>0}, Amhil(.r-):(l/q)dan dan138 Kosim Rabnana - Jr.rDikMd WI 2006

An olicis Real - Fungsi-fungsi Kontkt

(u,)= ( l/(n+ 1) ). Lim (xo-u,) = 0, tetapi I g(*") -g(u") | = ln-1n+ 1) | = 1

untuk setiap n e N. (adi dapat diambil s4=yr).

Di bawah ini diberikan suatu teorema yang berkaitan dengankekontinuan seragam suatu frmgsi pada suatu interval tertutup t€6atas I.

5.4.3 Teorema Kekontinuan SeriagamJika I suatu interval tertutup terbattas dan f : I + R lcontinu pada I,malra f kontinu seragam pada l.

Bukti:Andaikan f tidak kontinu semgam pada I.

maka tadapat Eo > 0 dan dua barisan (x,) dan (uJ< l/n dan l(*J - (u") I > eo untuk setiap n e N.

Berdasarkan twrelrlra 5.4.2,padal sehinggga l*"-*l

Karena I terbatas, maka barisan (x) terbatas. Dengan menggunakanteore,ma Bolzano-Weierstrass, terdapat barisan bagian (&,k) dari (x") yangkonvergen ke suatu unsur z. Kemudian , karena I tertutup, maka z terletakpada I.

Selanjutnya, dari ketidaksanuumlo* - rl < lo* - x*l + lr* - ,lmaka dapat {isimpulkan bahwa barisan bagian (u*) dm (uJ juga konvergenkez.

Jika f kontinu di titik z, mak kedua barisan ( (x*) ) dan ( f(u*) )konvergen ke f(z). Tetapi ini bertenungan dengan lffr"l - fu") I > eo untuksetiap n e N. (mengapa?). Jadi peng;andaian di atas adalah salah, yang benaradalah fkontinu seragam pada I.

Fungsi Lipschitz

Jika suatu fungsi kontinu seragam pada suatu himpunan yang bukaninterval tertutup terbatas, maka kadang-kadang didapat kesulian dalammenentukan kekontinuan seragamnya. Meskipun demikian, teorema png akandinyatakan di bawah ini, menjamin k*ontinuan seragam fungsi tersebut.Sebelumnya di berikan definisi mengenai fungsi ymg mmenuhi suatu kondisitertentu yang selanjutnya disebut fungsi Lipschitz.

5.4.4 Definisi

Misalkan A c R, f :A+R. Fungsif disebutfungsi Lipschitz(memenuhi kondisi Lipschitz) pada A jika dan hanya jika terdapatlanstantaK> 0 sehingga lq*>-f<"> lsf I * -ul, untuksetiapx, ueA

Untuk A : t dan I suatu interval, fungsi Lipschiitz seperti yangdidefinisikan di atas dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai berikut.Kosim Rabnota-JurDikMd UPI 20M 139

Analisis Real - Fungsi-fungsi Kontinu

Jika kondisi Lipschitz dipenuhi, maka I ( f(x) - (u) )(x - u) I < K, x, u€ I, x * u. Nilai ( f(x) - f(u) /(x - u) adalah gradien dari ruas ggaris yangmenghubungkan titik ( x, (x) ) dan (u, (u) ). Jadi fungsi f memenuhi kondisiLipschitz jika dan hanya jika gradien dari semua ruas gds yangmenghubungkan dua titik dari $afik y: (x) atas I terbatas oleh K.

5.4.5 Teorcma

Jilcaf : A -+ R suatufungsi Lipschrtz, makafkontinu seragatn pada At

Bukti:

Misalkan e > 0 diberikan sembarang.

Ambil6 = e/I(.Jika x, u e A dan I x - o I . 6 maka I f(x) -(o) I < r I * - o I . K.6 = K.eA( = e.

Jadi flrngsi fkontinu seragam pada A

5.4.6 Contoh

l. Jika f(x) = * padaA: [ 0, b ], maka :

l(*)-r("ll = I *'-o'l = l** ul l*-"1

0,blDengan demikian firngsi f meme,nuhi kondisi LipschiE dengm K = 2b > 0.

Oleh krena itu fungsi kontinu seragam pada A = [ 0, b ].Catatan: Fungsi f tidak kontinu seragam pada [ 0, o ] ( mengapa? ).

2. Tidak setiap firngsi kontinu sercgam merupakan fungsi Lipschitz.Misalkan g(x) : {x, untuk x e [ 0, 2 ].Karena g kontinu pada interval tertutup terbatas I A, 2l, maka g kontinuseragam pada[0,2].Selanjutnya perhatikan pemyataim :

Terdapat K > 0 sehingga I gC) -g(u) | < K I x - u l, *, u e [ 0, 2 ] ... .... ( * )Ambil x e [ 0, 2f, x* 0 dan u = 0, maka :

)K>0selalutodapatSelanjutnya, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap

x e [0,2], x*0sehingga(**) tidakberlah.Untuk 0<K<1, terdapatx:l e[0,2] sehinggaf l{*l =K.1=K<1UntukK> 1,terdapat x:Ll4* e [0,2] sehinggaf |{*|=K.|l2K=Yz<|Ini artinya bahwa pernyataan ( * ) adalah salah yang benm adalah tidakterdapat K > 0ymg *smenrrhi lg(x) -e(u)ls fl* - rl, *, u e [ 0, 2 ].Dengan d€xnikian fungsi g bukan ftngsi Lipschitz.

t40 Kosim Rubnana - hrDihMd UPI 2006

Analirts Reo, - FangsLfangsi Kontinu

3. Teorema Kekontinuan Seragam dan teorema 5.4.5 kadang-kadang dapatdigabungkan untuk menentukan kekontinuan seragam suatu fungsi pada

suduhiryrman.Misalkan g(x) : {x, x e [ 0, o).Fungsi g kontinu seragam pada interval I = [ 0, 2 ], sebagaimana ditunjukkanpada contoh 2.

Jika J: I l, @ ), maka'r4tuk x e J, diperoleh

I g(x) -e(u) l:l!* - {+ |: l* -ulll{* + {"1

Jadi fungsi g merupakan fungsi Lipschitz pfu I ( dengan K= Y.), dandengan menggunakan teorema 5.4.5, dapat disimpulkan bahwa fungsi g

kontinu seragampada J.

KamaA=Ir;Jdandenganmengambil6-inf { 1, &(s), &(e) } makagkontinu s€ragam pada A Bukti detail untuk ini diserahkan pada pembaca

sebagai latrhan.

Teorcma Perluasan Kontinu

Telah diperlihatkan contoh dirnana suatr ftngsi yang kontinu mungkin

tidakkontinuseragam(f(x) = l/x, x e (0,1 )). Disisilain, dengan

menggmakan teorema kekontinuan, suatu fungsi 5ang kontinu pada intervaltertutup terbatas selalu kontinu seragam pada interval tersebut.

Sekarang mungkin muncul pertanyaan: "Dengan kondisi bagaimanasuatu frmgsi kontinu seragam pada suatu interval terbuka?"Jawaban atas pertanyam di atas dapat dinyatakan sebagai teorema berikut dibawah ini

5.4.7 Teorcma

Jilraf : A + R kontinu seragam padahimpunan Ac R, dan (xn)suatubarisan Cauchy pada A,, maleo (f(x")) merupakan barisan Cauclry padaR.

Bukti:Misalkan (n) barisan Cauchy pada A dan misalkan e > 0 diberikan.

Karena f kontinu seragrm pada d maka dapat dipilih 6 > 0 se.hingga jika x, u €Amernenuhi [*-ul <61, maka l(rl-f(u)l <e. Karena (x,)bmisan Cauchy, maka terdapat H e N sehingga I *, - ** I . a uotot setiap n,

m > H. Ini mmgakibatkan l(*J - f(uJ I < e. Oleh karena itu d4atdisimpulkan bahwa barisan ( f(x") ) adalah barisan Cauchy.

Untuk fungsi f dengan persanuran f(x) : lix , tidak kontinu seragampada ( 0, 1 ). Barisan yang diberikan oleh xo = 1/n di ( 0, I ) adalah barisanCauchy, teapi barisan ( (x") ) = ( n ) bukan barisan Cauchy.

Kosim Rrbnaaa - JurDilcltlu WI 2006 741

Analhis Real - Fangsi-fangsi Kontinu

5.4.8 Teorcma Perluasan Kontinu

Suatu fungsi f adolah kontina seragam pada interval (a, b) iika danhanya j i ka fiin gs i f i ni dap at di defi ni s i kan di t i ti k uiung a dan b s ehi ng ga

fungsi perluasan dari f kontinu.pada lubl

Bukti:(e ) Ini adalah trivial ( teorema 5.4.3 )(= ) Misalkar f kontinu seragam pada (a b). Akar ditunjukkan

bagaimana f dipoluas untuk titik a ( serupa untuk titik b). Caranya adalahdengan menunjuli&anbahwa 1i m f(*) = L ada ( dengm menggunakan kriteria barisan ).

x-)aMisalkan (x") suatu barisan di (a, b) yang konvergen ke a. Ini berarti barisan

1x") adalah barisan Cauchy dan dengan menggunakan teorern 5.4.7mengakibatkan barisan ( f(x") ) juga barisan Cauchy. Oleh kharena itu barisan (f(x") ) konvergan. Misalkan lim ( f(x) ) : L. jika (u") sembarang barisan lainyang konvergen ke a maka lim ( u" - xo ) = a - a : 0.Karena f kontinu seragrun, diperoleh:

Lim((u"))= lim(f(u") - (x")) + lim((""))=0+L=L

Jadi untuk setiap barisan (x") di (q b) yang konvergen ke q maka barisan ( (x") )konvergen ke L, dan ini artinya lim (x) = L

x -+aDengan mmendefinisikan (a) : L, maka f kontinu di a. Dengan cara yangserupa,dmikian pula untuk b, yaitu dengan mengambil fO) : lim f(x)

x-+bOleh kmena itu perluasan f pada [a" b] kontinu pada [a, b].

Karena lim sin (1/x ) tidak ada maka berdasarkan teorema di atas ( 5.4.8 )x+0

dapat disimpulkan bahwa flmgsi (D : sin (1/x) tidak kontinu seragam pada(0, bl, untuk setiap b > 0.Di sisi lain, karena lim x sin (1/x ): 0 maka fungsi g(x) = x sin (1/x) adalah

x-+0kontinu seragam pada (0, bl untuk setiap b > 0

5.4.9 Bahan Diskusi

1. Gunakan kriteria kontinu tidak seragam 5.4.2 untuk menunjukkan bahwafungsi di bawah ini tidak kontinu seragam pada himpunan yang diberikan.(a) (x) = X' , A=[0,.o).O) g(x) = sin (1/x) , B = ( 0, co ).

t42 Kosim Rabnana - JarDikMd UPI 2006

Analfuis Real- Fungsi-funpi Kontinu

2. Buktikan, jika f dan g masing-masing kontinu seragam pada R, makakonnposisi fungsi f o g kontinu seragam pada R.

3. Misalkan Ac R dan f : A+ Rmempunyai sifat-sifat sebagai berikut:"Untuk setiap e > 0,terdapat suatu fungsi g; : A + R sehingga g" kontinuseragampadaA aan l(x) - g"(x) | < e untuk seti4 x e A Buktikar bahwafkontinu seragam pada A

5.4.10latihan

1. Tunjrrkkan bahwa firngsi f(x) = l/x kontinu seragam pada himpunanA = [u, .o ), di mana a konstanta positif.

2. Tunjulkan bahwa fungsi f(x) = 1/x2 kontinu seragam pada himpunanA = [1, o ), tetryi tidak kontinu seragam pada B : (0, oo ).

3. Tunjukkan bahwa firngsi f(x) : ll(* + 1) untuk xeR kontinu seragampada R.

4. Tunj,lkkan, jika f dan g kontinu seragampadaAc R, makaf + g kontinuseragam pada A

5. Tuqi,kkan, jika f dan g kontinu seragan pada A c R, dan jika keduanyaterbatas pada A maka perkalian fg kontinu seragam pada A

6. Jika f(x) = x dan g(x) = sin x , tunjukkan f dan g keduanya kontinu seragampada R, tetapi perkalian fg tidak kontinu seragam pada R

7. Jrkafkontinu seragampada A c R, Oan l(x) I >t, 0 untuk setiap x e dtunjukkm, bahwa l/f kontinu seragampada A

8. Bultikan jika f kontinu seragam pada suatu himpunan bagian A dari R yangterbatas, maka fterbatas pada A.

9. Tuqinlrk6, jika f kontinu pada [0, o ) dan kontinu seragam pada [a, o )untuk suatukonst nta positif a, maka f kontinu seragam pada [0, o ).

10. Suatu fungsi f: R -+ R disebut periodik pada R jika terdapat bilangan p > 0sehingga (x + p) = (x) untuk setiap x e R. Buktikan, bahwa fungsiperiodik yang kontinu pada R terbatas dan kontinu seragam pada R.

143Kosim Ryhnana. - JarDihMd UPI 2A06

An alisis Reol * Fun pi-fangsi Kontinu

5.5 Fungsi Monoton dan Fungsi lnvers

Pada bagian ini akan dibahas kaitan antara kekontinum suatu ftngsidengan sifat-sifat kemonotonan fungsi inr, dilanjutkan kaitan antaxa kekontinuansuatu ftngsi dengan keberadaan fimsi invasnya.

5.5.1 Definisi

MisalkanA-cR, f:A+R.(i). Fungsi f disebut naik pada Aiika dan hanyaiika untuk setiap x1, x2

e A dan Xr (xz maluf(x) < f(xz).(i) Fungsi f disebut naik lwat pada Aiika dan hanyaiika untuk setiap

xt,Y,ze A'dan Xt (xz nakaf(x) < (xr).(iiD Fungsi f disebut turun pada Aiika dan hanya jika untuk setiap x1,

x2 c A dan xt <* mala (xr) > f(xz).(rO Fungsi f disebut turun kuat pada A jika dan hmya jika untuk setiap

X1, x2 € Adan xr <r"2 maka (xr) > (x).(v) Fungsi f disebut monoton pada Aiikn dan hanya jika salah satu

dipenuhi: fungsi f naik ataufungsi f turun pada A-(vr) Fungsi f disebut monoton kuat pada A,iika dan hanyaiika salah

satu dipenuhi: fungsi f naik htat atau fungsi f turun htat pada A*

Catatan:(1) Jikaf : A + R naik pada Amaka g = -f turun pada A dan jikah : A+ R

turunpada Amaka s = - h naik pada A(2) Fungsi monoton tidak perlu kontinu. Sebagai contoh, (x): 0 untuk x e [0,

1l dan (x) = 1 untukx e (1, 21. Fungsi fnaikpada [0, 2] meskipundi x: 1

fungsi ftidak kontinu.

Teorema di bawatr ini menunjukkan bahwa ftngsi monotton selalumempunyai kedua limit ssepihanya di setiap tittik yang bukan titik ullungdai domainnya.

5.5.2 TeorcmaMisallanlc\ I interval danf : I -+R adalahnaikpadal.Jika c titikyang bukan merupalean titik ujung dari I, mala(r) Lim f(x) : sup { f(x) lx e I, x<c }

x-+c-(ii) lim (D : inf{f(x) lxeI,x>c}

+x-+c

Bukti:(r) Misalkanxel,x(c.

Karena f naik pada I, maka f(x) < f(c).

Selanjutrya, definisikan A= { f(x) lx e I, x<c }. Aterbatasdiatasolehf(c),danmisalkan sup A= sup { f(x) | x e I, x<c } =L. Kemudian,misalkane> 0

diberikan sernbarane.

i44 Kosim Rulemsrra - JarDikMd UPI 20M

Ansllsk Real - Failgsi-fungsi Koninu

Berdasarka4 teorema supremum ( Analisis Real 1) maka L - e bukan batas atas

driA Olehkarcnaitu,terdapaty"e I, yu<c sehingga L- e < f(yJ < t''Ambil6"=c-y" >0. Iika 0<c-y<ft, makay"<y<c. Karenafnaik,maka:

L-e < f(YJ < f$) < L+ s

Olehkaenaitu lf[y)-Ll<s jika0<c-y<6" ,

Kar€nae>0 s€mbarang maka lim -(r) = L= sup {(x) lxe I,x<c}x-)c

(ii) Dengan qua yang serupa, bukti secara detail diserahkan kepada pembaca

sebagai latihan.

Teorema di bawah ini merupakan akibat dari teorema 5.5.2 di atas,

memberikan suatu kriteria untuk bekontinuan di suatu titik yang bukan

merupakar titik ujung suatu int€rval yang menjadi domainnya da'i suatu fungsi

naik.

5.5.3 AkibatMisalkan Ic R suatuintervaldanf :I -+Radalahftngsinaikpada I.

Jika c e I bukan titik ujung dari I, maka pernyataatr berikut ekuivalen:

(r) f kontinu di o(ii) lim (*): (c) = lim (x)

x-)c- x-+c*(iil) sup{f(x) lxeI,x<c}: f(c) = inf{f(x) lxeI,x>c}

untuk buktinya diserahkan kepada pe,mbaca ( gunakan teorema 5.5'2

dm 4.3.3 ).Misalkan I suatu interval dan f : I -+ R suatu fungsi naik pada I. Jika a

titik ujung kiri dari I, dapat ditunjukkan bahwa:

fkontinu di a jika dan hanya jika f(a) = I i 1 . 1?x->aDengan cara serupa, untuk suatu titik ujung kanan b untuk fungsu turun.

Iika?: I -+ R naik pada I dan c bukan titik ujung dari I, didefinisikan loncatan fdi c ('Jump" f di c ) yaug dinyatakan oleh j(c) dan

i(c) = li m f(x) - li m f(x) ( lihat gambar 5'5'1 )+x-+a x-+a

Berdasarkan leorema 5.5.2 diperoleh:

i(r) = irf i(lr) lxeI,x>c) = sup{f(x) lxel'x<c}untuk fungsi naik.Jika titik ujung tiri a dari I terletak palol, didefinisikan loncatan f di a yaitu

i(a) = lim f(x) - (a)x-+a

Jika titik ujung kanan b dari I terletak pada I, didefinisikan loncatan f di b

yaituj(b): lim (x)-f(b)

x+b-

Kosim RabnCIta - JarDikMd UPI 2006 145

AnalTcis Rcal - Funpi-fungsi Kontinu

c

Gambar 5.5.1 Loncatan f di c

5.5.4 TeoremaMisallan Ic & I interval danf:I-+R naikpadal. Jika c el, makafkontinu di c jika dan hanya jikaj(c) = 0

Bulrti:Jika c bukan titik ujung interval, ini trivial ( Akibat 2.5.1)Jika c e [, titik ujung kiri dari I, maka f kontinu di c jika dan

hanya jikaf(c) : I i m (x) yang mana ini ekuivalen dengani(c) : 0

x-)a*Cara serupa untuk kasus c titik ujung kanan dari I.

Fungsi lnvers

Akan ditentukan eksistensi dari invers untuk firngsi konr\tinu pada

suuatu interw'al I c R. Perlu diingat kembali dari Analisis Real 1, bahwa fungsif: I -+ R mempunyai suatu funggsi invers jika dan hanya jika fungsi f injektif( satu-satu ) yaitu untuk setiap 4 y e I, x ;c y maka f(x) :e f(y) atau untuk setiap

x, y e I, (*) : f(y) maka x =y.Selarjufirya fungsi yang monoton kuat adalah satu-satu sehingga

mempunlai fungsi invers.Pada tteorema berikut di bawah ini, ditunjukkan bahwa jika f: I -+ R

flrngsi kontinu monoton kuat, maka f mempunyai suatu frrngsi invers g pada J =f(t) = { f(x) | x e I } dan fungsi invers g ini juga kontinu monoton kuatpada J.

5.5.5 Teorcma lnverc Kontinu

Jika I g R, I interval dcn f: I --> R monoton kuat dan kontinu pada l,malu fungsi invers g dari f adalah monoton htat dan kontinu pada

t46 Kosim Rakmana - JurDikMd WI 2006

Analhit Real- Fangsi-fungsi Kontka

5.5.6 Bahan Diskusi

l. Susun suuatu bukti fomral untuk teorema 5.5,5 di atas!

2. Tunjult<aa jika f dan g fungsi-fungsi naik positif pada suatu interval I, makapokalian f.g naik pada L

3. Misalkan f g masing-masing fimgsi naik pada int€rval I c R, dan (x) > g(x)

untuk setiap x e I. Jikay e f(D ^

g(D, tunjukkan f-r (y) < g-'(y).Petunjuk! Interpretasikan p€nryataan di attas secara geometris.

5.5.7 Latihan

t. Jika I = [a b] suaruintervaldant I + R firngsi nnaikpadal maka titikamerupakan titik minimum mutlak dari f pada I. Jika f naik kuat, maka a

satu-saturya ( unik ) merupakan titik minimum mutlak dari f pada I.2. Tunj\kkan bahwa fungsi f(x) = x dan g(x) = x - 1, masing-masing

merupakan firngsi naik kuat pada I = [0, 1], tetapi pokalian fg tidak naikpada I.

3. Tunjul*an jika I = [q b] dan f: I -+ R naik pada I, maka f kontinu di ajikadanhanyajikaf(a) = inf{f(x) lx e(a,b]}.

4. Misalkan I : [0, U dan f : I -+ R didefnisikan oleh f(x) = x untuk x rasionaldan (x) : I - x untuk x irrasional. Tunjukkan, bahwa f firngsi satu-satupada I dan((x) = xuntuk setiap x e I.Tunjrrkkaor pula bahwa fkontinu hanya di titik x = 1/2 .

5.14isalkanf(x): xuntukxe_[0,1], dan f(x) = l+x untukxe(1,2].Tuniiukkan bahwa f dan f - 1 naik kuat. Apakah f dan f -' kontinu disetiap titik?

Kosim Rahuna - JurDikMd UPI 2006 147