3 Limit dan Kontinuitas1.Pengertian Limit fungsi di suatu titik 2. Sifat-sifat limit 3. Limit Sepihak (kiri & kanan) 4. Hubungan limit dan limit sepihak 5. Kekontinuan fungsi dan sketsa grafik 6. Jenis-jenis kekontinuan fungsi 7. Contoh / ilustrasi

Limit Cermati dengan saksama ANIMASIberikut

Perhatikan bahwa jika x dekat dengan c, dan x c , maka f(x) dekat dengan L

Definisi Limit

Dengan kata lain , Untuk sembarang >0 yang dipilih selalu terdapat >0 sedemikian sehingga f(x) mendekati L bila x dekat ke c, x cPerhatikan bahwa ekivalen dengan ekivalen dengan

Cermati dengan saksama tahapan2 animasi berikutf(x) f(x) f(x) f(x) L + L c c

x

x

x C- c C+

c

x

Ilustrasi TunjukkanSolusi : Apakah Perhatikan bahwa bahwa

Jawaban dari pertanyaan diatas adalah ya, kita dapat memilih

atau yang lebih kecil dariyang menjamin

Dalam hal ini, misalnya pilih =0.01, maka diperoleh =0.01/2=0.005

Contoh lain :Solusi: Akan ditunjukkan bahwa >0, >0 sedmikian sehingga Now

yang memenuhi kondisi diatas

Kembali contoh hal 35-36 or 5152Solus i:

Hal dapat pula dilakukan dengan membuat tabel untuk beberapa nilai x disekitar 1x0 1 0.5 0.9 0.99 0.999 2.97 2.997

1 3

1.001 1.01 1.1

1.5

2

1.75 2.70

3.003 3.03 3.31 4.75 6

Sifat-sifat Limit

(

limit dari (b). Tentukan nilai limit dari c). Tunjukkan bahwa Solusi a) b) c). Akan ditunjukkan bahwa

Soal Bonus di a). Tentukan nilai kelas

(**)

>0, >0 sedmikian sehingga

Sekarang , untuk x2

Maka dapat dipilih

atau

yang memenuhi kondisi diatas.

Soal MandiriTunjukkan bahwa

Petunjuk :(a)

(b) Pilih maka akibatnya

,

,

Limit Sepihak (Kiri dan Kanan) Jika x mendekati c dari sebelahkanan, maka f(x) mendekati L Jika x mendekati c dari sebelah kiri, maka f(x) mendekati L

xTeore ma

c

x

Contoh 3, hal 38 Tentuka or 60Solusi n

f(x)

karena0 x

Contoh 2.14, hal 41 or 64Tentuka n Solusi Pembagian wilayah (domain) fungsi digambarkan sebagai berikut

x

xdi titik Limit kanan limit kiri a) di titik b)

f(x)

3

1 -1 -1 1

x

Baca penjelasan hal 41 or 64

Contoh 2.15, hal 44 or hal 87 Diketahu i

SolusiSederhanakan f(x) menjadi

atau

Syarat (i) dipenuhi (diketahui dari persamaan fungsi f) Syarat (ii) dipenuhi

Syarat kekontiuan (ii) dilanggar (tidak terpenuhi)

(a) Kesimpulan : Fungsi f tidak kontinu (diskontinu) di x = 1y

(b). Sketsa grafik f

1 1/ 2 0 1x

Akibatnya, f kontinu dimana-mana (untuk semua bilangan riil x).Dan Grafiknya menjadi

y

1 0 1 / 2 1x

Soal Bonus : Perhatikan grafik fungsi f berikut:a) b) c) d) f(x ) e) f) g) h)

x

Soal limit hal 42 ( Mandiri ) or hal 67

Nomor : 7 ; 9 ; 11 ; 12 ; 13; 14; 16

Lihat nomor urut soal

Jawaban Tugas mandiri hal 42 or 14) a). 67

0 Tdk b). ada c). 1 d). 1 Grafik

13) 2 1 0 1 Grafik soal 16) 2 dan -21 2

Kontinuitas (Kekontinuan fungsi)Definisi: Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika

Jadi fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika memenuhi 3 syarat :

Jika salah satu syarat kekontinuan dilanggar, maka dikatakan fungsi f diskontinu di c

Perhatikan situasi Trio gambar berikut y y a b

y

c

c

x

c

x

c

x

Contoh7) .

Selidiki kekontinuan fungsi f di titik t=3

(soal latihan hal.46 No.7 & 8) Matdas

(i) (ii) (iii)

Kesimpulan: fungsi 8)Diskontinu (syarat (iii) tidak dipenuhi)

Bagaimana dengan

y

0 x Definis i Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a,b) jika fungsi f kontinu disetiap titik pada (a,b)Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup [a,b] jika fungsi f kontinu pada selang buka (a,b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.

Berdasarkan definisi ini, Fungsi f(x)=x kontinu pada Domainnya [0, ) karena fungsi f kontinu pada selang buka (0,), dan f kontinu kanan di 0. Kekontinuan fungsi ini pada daerah asalnya diperoleh berdasarkan

Jenis-jenis Ketakkontinuan fungsiLimit fungsi f di c ada, namun tidak sama dengan f(c) , kasusnya dinamakan ketakkontinuan terhapuskan atau ketakkontinuan yang dapat dihapuskan. Dalam hal ini f dapat dibuat kontinu dengan cara mengganti f(c) oleh nilai fungsi di c. Lihat gambar Trio (b) Limit kiri dan limit kanan fungsi f di c ada, namun tidak sama , kasusnya dinamakan ketakkontinuan loncat , Lihat gambar trio (a)

Soal Bonus Kakap

entukan nilai a dan b agar f kontinu dimana-mana, dan sketsa grafiknya Jawaban1 0 -1 1

Selidiki kekontinuan fungsi f di titik c=1, dan sketsa grafiknya

a

b

c

Soal Diberikan fungsi f dengan persamaan Diskusi(a) Tuliskan fungsi f tanpa mengandung tanda nilai mutlak (b) Selidiki kekontinuan fungsi di titik x = 0, x = 2, dan sebutkan jenis kekontinuannya (c) Sketsa grafik fungsi f (d) Bagaimana memanipulasi fungsi bagian kedua (parabola) agar fungsi f kontinu dimana-mana

Solusi(a) KarenaPembagian domain fungsi dapat digambarkan sebagai

(b) di titik x = 0

0

2

Kesimpulan : (i). (ii) dan (iii) terpenuhi, maka

Fungsi f kontinu di titik x=o

Di titik x = 2

Kesimpulan

Fungsi f tidak kontinu (diskontinu) di x = 2 Jenisnya, disebut ketakkontinuan loncat, karena limit kiri ada dan limit kanan ada, tetapi nilainya tidak sama (c) Sketsa grafik2

0

2

0

2

(d). Agar f kontinu dimana-mana, maka limit f di x = 2 harus ada dan haruslah sama dengan 2, untuk memenuhi hal tersebut, salah satu cara adalah fungsi (parabola) haruslah ditambah 2, yaitu , sehingga persamaan fungsi menjad

dan f menjadi kontinu dimana-mana, dan grfiknya menjadi

2

0

2

KUNCI Soal latihan kontinuitas hal 46Selidiki kekontinuan fungsi di x=3 dan jelaskan alasannya Kontinu karenaKontinu karena Diskontinu karna Diskontinu, karena

( likir =1 likan =-1)

Diskontinu, karena limit fungsi ada tetapi nilai fungsi f(3) tidak ada Diskontinu, karena limit fungsi ada tetapi nilai fungsi f(3) tidak ada

Kontinu, karena