8/17/2019 4Turunan

1/14

Turunan

Kalkulus

Referensi:Purcell, Varberg, Rigdon “Kalkulus Jilid 1” , Erlangga 

K. A. Stroud, “Matematika Teknik”, Erlangga

8/17/2019 4Turunan

2/14

Definisi Turunan

• Turunan sebuah fungsi  adalah fungsi lain ′ ( ) yang nilainya pada sembarangbilangan c :

 ′ = →

  ()

 

 ′ = →

  ()

 

asal limit ini ada dan bukan ∞ atau ∞.

•   ′     terdiferensiasikan di  • Pencarian turunan diferensiasi

• Kalkulus yang berhubungan dengan turunan kalkulus diferensial

8/17/2019 4Turunan

3/14

Pencarian Turunan

•   = 13 6, ′ 4  

 ′ 4 = limℎ→ +ℎ −()

ℎ  

= limℎ→

+ℎ − −[ −]

ℎ 

= limℎ→[+ℎ−−+]

ℎ  

= limℎ→

ℎ

ℎ  = 13 

8/17/2019 4Turunan

4/14

Pencarian Turunan … 

• Tentukan ′  jika :  = 7

  =

 

   = , > 0 

8/17/2019 4Turunan

5/14

Teorema Pencarian Turunan•

   

 mengambil turunan terhadap peubah , dan sebagai tanda operasi diferensiasi,sehingga   = ′  

• Aturan fungsi Konstanta

Jika  =  dengan  suatu konstanta, maka utk sembarang , ′ =      =  

• Aturan fungsi identitasJika  =  maka ′ =      =  

• Aturan pangkat

Jika  =  dengan n bil bulat positif, maka ′ = − 

 

  = − 

• Aturan Kelipatan konstanta

Jika  suatu konstanta dan  suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka   ′ =. ′() 

   . = .     suatu pengali konstanta dapat dikeluarkan dari operator

 

8/17/2019 4Turunan

6/14

Teorema Pencarian Turunan… 

• Aturan jumlah

Jika  dan  adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasikan, maka

    ′ = ′ ′()     () =   ()  turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan-turunan

• Aturan selisih

Jika  dan  adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasikan, maka    ′ = ′ ′()  

  () =

 

() 

• Contoh:

Turunan dari 5 7 6 =? 

8/17/2019 4Turunan

7/14

Teorema Pencarian Turunan… 

• Aturan hasilkali

Jika  dan  adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasikan, maka .   ′ = . ′ . ′      () = () () ()    (35)(2 ) =? 

• Aturan Hasilbagi

Jika  dan  adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasikan dengan ≠ . Maka

 

′ =

  . − .  

() 

    ()   =  ()  −()()

() 

Turunan dari−

+

′? 

8/17/2019 4Turunan

8/14

Turunan sinus dan kosinus

1. Untuk  =  dan = , turunanfungsi tersebut adalah   =  dan   =  

2.   =   

3.   =   4.   =  5.   =  

Tentukan:•  (3 sin 2 cos ) •  (3sin2) 

8/17/2019 4Turunan

9/14

Aturan rantai

• Notasi   turunan  terhadap , mengukur seberapa cepat  berubah terhadap .

  sebagai peubah dasar

• Andaikan = () dan = . Jika  terdiferensiasikan di  dan  terdiferensiasikan di = (), maka fungsi komposit ,didefinisikan oleh   = ( ) terdiferensiasikan di  dan

()′ = ′( )′(), yakni ( ) = ′( )′() 

atau =  

• Tentukan  untuk = (2 4 1) dan =   (−) 

8/17/2019 4Turunan

10/14

Notasi Leibniz untuk turunan

• Notasi Leibniz untuk turunan 

 

• Contoh: = 3 7,   ? 

• Andaikan = () dan = , turunanuntuk fungsi komposit   dalam notasiLeibniz:

 =

 

 

8/17/2019 4Turunan

11/14

Turunan yang lebih tinggi

• Notasi untuk turunan = () 

• Jika diketahui = sin 2 , carilah

,

 dan

 

Turunan Notasi ′  Notasi ′  Notasi D NotasiLeibniz

Pertama 

′

() 

′ 

 

 

Kedua  ′′()  ′′   

 

Ketiga  ′′′()  ′′′   

 

Ke-n  ()()  ()   

 

8/17/2019 4Turunan

12/14

Diferensiasi Implisit

• sebuah fungsi yang suku  dan  tidak dapatdipisahkan fungsi implisit

• Diferensiasi implisit diferensiasi fungsi

implisit

• Contoh :

• Carilah / jika 4 3 = 1.Penyelesaiannya secara eksplisit ataumenggunakan diferensiasi implisit

8/17/2019 4Turunan

13/14

Implementasi Turunan

• Garis Singgung

 – Garis singgung kurva = () pada titik (,()) adalah garis yangmelalui  dengan kemiringan

= limℎ→  ()

 

Menunjukkan bahwa limit ini ada dan bukan ∞ atau ∞.

• Kecepatan Sesaat• Jika sebuah benda bergerak sepanjang sebuah garis koordinat dengan fungsi

kedudukan  , maka kecepataan sesaatnya pada waktu  adalah

= limℎ→− = limℎ→  ()

 Menunjukkan bahwa limit ini ada dan bukan ∞ atau ∞.

• Percepatan turunan dari kecepatan

8/17/2019 4Turunan

14/14

Implementasi Turunan … 

• Carilah kemiringan garis singgung pada kurva = =  di titik(2,4)

• Jika fungsi jarak berubah terhadap waktu didefinisikan sebagai  = 16, hitunglah kecepatan sesaat suatu benda jatuhberanjak dari posisi diam pada t=3.8 detik dan pada t=5.4 detik.

• Sebuah benda bergerak sepanjang koordinat sehingga posisinya smemenuhi = 2 12 8 dengan s diukur dalam cm dan t dlmdetik dengan ≥ 0. Tentukan kecepatan benda ketika = 1 danketika = 6. Kapankah kecepatannya 0? Kapankah kecepatannyapositif?

• Untuk = 12 36 30, s dalam dm, t dalam detik. Kapankecepatannya 0? Kapan kecepatannya positif? Kapan titik bergerakmundur?kapan percepatannya positif?