31003-10-396626676478

MATA KULIAH MANAJEMEN KUANTITATIF 3SKS

MODUL 10

MODEL RANTAI MARKOV

TATAP MUKA PENYUSUN

: 14 (empat belas) : NURMATIAS, SE,MM

FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS MERCU BUANA JAKARTA TA. 2006/2007

MODEL RANTAI MARKOV

1. PENDAHULUAN Konsep dasar Rantai Markov baru diperkenalkan sekitar tahun 1907, oleh seorang Matematisi Rusia Andrei A. Markov (1856 1922). Model ini berhubungan dengan suatu rangkaian proses dimana kejadian akibat suatu eksperimen hanya tergantung pada kejadian yang langsung mendahuluinya dan tidak tergantung pada rangkaian kejadian sebelum-sebelumnya yang lain.Markov Chain bisa diterapkan diberbagai bidang antara lain ekonomi, politik, kependudukan, industri, pertanian dan lain-lain. Apabila suatu kejadian tertentu dari suatu rangkaian eksperimen tergantung dari beberapa kemungkinan kejadian, maka rangkaian eksperimen tersebut disebut Proses Stokastik. Proses dikatakan terhingga (finite), apabila seluruh kemungkinan kejadian yang dapat terjadi, terhingga. Rantai Markov dalam proses stokastik seringkali digunakan dalam penentuan sebuah market share. Dalam hal ini parameter waktu digunakan untuk menentukan perubahan ataupun besarnya market share yang didapat oleh sebuah produk. Untuk itulah maka konsep dari Rantai Markov pada proses stokastik harus diperluas ke dalam sebuah proses yang disebut sebagai Markov Random Fields. Selanjutnya dibawah ini kita berikan berbagai notasi yang diperlukan untuk model matematika dari pengambilan keputusan Markov.:

1. State Suatu keadaan, akibat, atau kejadian( alamiah ) pada suatu waktu dimana pengambil keputusan hanya mempunyai sedikit kontrol atau bahkan tidak memiliki control terhadapnya. State ditandai dengan I = 0,1,2 , N dan lokasi sebuah peralihan state j = 0,1,2, ,N. Himpunan semua state yang mungkin dilambangkan dengan I. 2. Alternatif keputusan Suatu bagian dari aksi atau strategi yang mungkin dipilih oleh seorang pengambil keputusan disetiap state I, dilambangkan dengan notasi k A(i) = {1,2.} 3. Probabilitas Transisi Probabilitas ( peluang ) suatu proses bergerak dari suatu state ke state yang lain pada suatu alternative keputusan ke- k. Probabilitas transisi di notasikan dengan Pij(k); i,j =1,2,.,N

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

NURMATIAS,SE,MMMANAJEMEN KUANTITATIF

4. Reward Transisi Pendapatan yang diperoleh sebagai implikasi terjadinya transisi antar state pada alternatif keputusan ke-k.Reward dinotasikan dengan r ij(k). Misal matriks probabilitas transisi P berukuran N x N dan elemen elemennya Pij, maka matriks reward R juga berukuran N x N yang elemen-elemennya r ij. 5. Policy Suatu langkah mengambil suatu aksi sebagai kebijakan secara procedural untuk mencapai langkah strategis yaitu mendapatkan keputusan optimal. Secara matematis dinyatakan sebagai himpunan semua keputusan yang diambil dalam setiap state. 6. Policy optimal Suatu kebijakan yang terbaik dari sekian banyak aksi yang mungkin sebagai hasil menjalankan serangkaian proses pengambilan keputusan . Secara matematis dinyatakan sebagai himpunan semua keputusan di setiap state yang memberikan reward maksimal atau cost minimal. Mendapatkan satu keputusan inilah yang sebenarnya menjadi tujuan kita menggunakan tehnik tehnik pengambilan keputusan. 7. EIR (Expectation Immediate Reward) Ekspektasi reward yang secara mudah didapat, dan dilihat, dari tiap satu state pada satu alternatif yang dijajaki dari suatu transisi tunggal. EIR dinotasikan oleh q, dengan

Indeks k di atas menunjukkan bahwa proses menjalani alternatif keputusan ke-k di state i. 8. v = nilai variabel reward / cost relatif yang dipergunakan untuk menyelesaikan persamaanpersamaan linear :

Dengan R adalah policy yang sedang dijalankan. 9. g ( R ) = nilai ekspektasi reward per unit waktu jika sistem telah berjalan sampai dengan waktu tak berhingga (long run expectation revenue) dan digunakan policy R untuk mengambil keputusan



2. PROSES MODEL RANTAI MARKOV Prosedur 1 - Menyusun Matriks Probabilitas Transisi Untuk menggambarkan proses Markov, akan disajikan suatu contoh masalah tentang kegiatan-kegiatan pemilihan merek dan peramalan probabilitas transisi yang kemungkinan dilakukan para konsumen, yaitu pergantian dari satu merek ke merek lain. Anggapan bahwa sampel konsumen terdiri dari kombinasi 1.000 responden yang tersebar pada 4 merek, A, B, C dan D. Anggapan selanjutnya adalah bahwa sampel tersebut telah mewakili keseluruhan kelompok dalam kesetiaannya terhadap suatu merek dan pola pergantian dari satu merek ke merek lain. Konsumen berpindah dari satu merek ke merek lain dapat karena pengiklanan, promosi khusus, harga, ketidakpuasan, dan lain-lain. Dalam Tabel 12.1, sebagian besar pelanggan yang mula-mula membeli merek A, tetap memilih merek tersebut pada periode kedua. Meskipun demikian, ada 50 konsumen tambahan dibanding 45 konsumen yang berpindah dari merek A ke merek-merek lain.

Tabel 12.1. Pertukaran-pertukaran pelanggan untuk satu tahun Merek Periode pertama jumlah pelanggan A B C D 220 300 230 250 1.000 Perubahan selama periode Mendapatkan 50 60 25 40 175 Kehilangan 45 70 25 35 175 Periode pertama jumlah pelanggan 225 290 230 255 1.000

Tabel 12.1 ini tidak menjelaskan informasi yang lengkap, sehingga suatu analisa yang lebih terperinci dibutuhkan untuk mengkuantifikasikan tingkat "mendapatkan" dan "kehilangan" bersih di antara empat merek. Tanpa tipe analisa ini, tidak akan diketahui berapa di antara 45 bilangan yang meninggalkan merek A berpindah ke B, C atau D, dan sebaliknya tambahan 50 pelanggan ke merek A berasal dari merek yang mana. Sebelum membicarakan "komponen yang tidak berpindah" (switching component), perhatian dipusatkan pada "hard core component" atau kelompok yang tidak berpindah merek. Ini memerlukan perhitungan probabilitas transisi untuk keempat merek. Probabilitas transisi didefinisikan sebagai probabilitas suatu merek tertentu (atau penjual) akan tetap menguasai para pelangganannya. Dari contoh, merek A kehilangan 45 pelanggan dan tetap menguasai 175 pelanggan (220-45). Untuk menentukan faktor probabilitas, jumlah pelanggan yang tetap dikuasai untuk periode pengamatan Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB


dibagijumlah pelanggan pada permulaan periode, hasilnya adalah probabilitas transisi untuk merek A sebesar 0,796 (175/1220). Probabilitas transisi untuk B, C dan D adalah 0,767;0,891 dan 0,860. Atas dasar suatu survey konsumen telah diketahui informasi pola-pola perpindahan merek berikut ini. Di antara 220 pembeli merek A, 175 pembeli adalah loyal, 20 pembeli berpindah ke merek B, l0 pembeli berpindah ke merek C dan l5 pembeli ke merek D. Begitu juga, dari 300 pembeli merek B, 230 tetap setia pada merek B, sedangkan 40 pembeli berpindah ke merek A, 5 pembeli berpindah ke merek C dan 25 pembeli ke merek D. Ini berlaku juga untuk para penrbeli merek C dan D. Informasi lebih lengkap tentang pola perpindahan merek tersebut ditunjukkan oleh Tabel 12.2. Dalam Tabel 12.2 diuraikan pula, selain informasi tentang jumlah "kehilangan" ke merek para pesaing informasijumlah "mendapatkan" langganan dari merek-merek saingan. Sebagai contoh, merek A kehilangan 45 langganannya, tetapi secara bersamaan nrendapatkan 50 langganan dari merek-merek lain (40 langganan dari merek B dan l0 langganan dari merek D), sehingga merek A memperoleh tambahan bersih 5 langganan; dan seterusnya. Meskipun kita mempunyai informasi pola perpindahan merek langganan dalam tabel, tetapi tidak ada perubahan dalam jumlah merek dan langganan total. Hal ini merupakan karakteristiK dasar proses-proses Markov, yaitu serangkaian perubahan progresif dan saling ketergantungan. Tabel I2.2. Pergantian merek - mendapatkan dan kehilangan Mere k Periode pertama jumlah pelanggan A B C D 220 300 230 250 1.000 A 0 20 10 15 B 40 0 5 25 Mendapatkan dari C 0 25 0 0 D 10 15 10 0 A 0 40 0 10 B 20 0 25 15 Kehilangan ke C 10 5 0 10 D 15 25 0 0 225 290 230 255 1.000 Periode pertama jumlah pelanggan



Perhitungan secara matematis adalah dengan menggunakan matriks probabilitas transisi seperti yang terlihat pada Tabel 12.3 berikut. Tabel 12.3. Matriks probabilitas transisi Mendapatkan dari Kehilangan A B C D A 175 20 10 15 B 40 230 5 25 C 0 25 205 0 D 10 15 10 225 290 230 A B C D Merek Atau Merek

0,796 0,133 0,000 0,040 0,091 0,767 0,109 0,060 0,046 0,017 0,891 0,040 0,067 0,083 0,000 0,860 Kehilangan

215 255

220 300 230 250

Tetap dalam penguasaan (pemilikan)

Tetap dalam penguasaan (pemilikan)

Baris dalam matriks menunjukkan "retention" dan "mendapatkan" pelanggan sedang kolom menunjukkan "retention" dan kehilangan pelanggan. Dalam Tabel 12.3, matriks pertama adalah perihal jumlah para pelanggan nyata, sedangkan matriks kedua adalah perihal probabilitas transisi. Perhitungan untuk matriks probabilitas dalam Tabel 12.3 adalah sebagai berikut: Merek A A 175 = 0,796 220 B 20 = 0,091 220 C 10 = 0,046 220 D 15 = 0,067 220 B 40 = 0,133 300 230 = 0,767 300 5 = 0,017 0 230 25 = 0,109 230 205 = 0,891 230 0 230 =0 =0 C D 10 = 0,040 220 15 = 0,060 250 10 = 0,040 250 215 = 0,860 225

300 25 = 0,083 300

Sebagai contoh bagaimana membaca baris-baris dan kolom-kolom tersebut: baris I menunjukkan bahwa A tetap menguasai 0,796 dari para pelanggannya dan mendapatkan 0,133 dari para pelanggan B dan 0,040 dari para pelanggan D serta tidak mendapatkan dari para pelanggan C; kolom I menunjukkan bahwa merek A tetap menguasai 0,796 dari para pelanggannya dan kehilangan 0,091, 0,046, dan 0,067 para pelanggannya ke B, C, dan D.

Data ini dapat meramalkan tingkat di mana suatu merek akan mendapatkan atau kehilangan market share-nya dan dapat menunjukkan kemungkinan market equilibrium diPusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB


waktu yang akan datang sehingga manajemen dapat mengarahkan usaha-usaha promosinya.

First-Order dan Higher-Order Analisa Markov Bagian sebelumnya membahas "hard-core component" dan "switching

component" para pelanggan dalam hubungannya dengan suatu merek versus merekmerek lain. Anggapan dasar adalah bahwa para pelanggan tidak rnengubah dari satu merek ke suatu merek lain secara acak, di samping itu mereka membeli merek-merek pada waktu yang akan datang yang mencerminkan pilihan-pilihan mereka yang dibuat di waktu yang lalu. Proses Markov dapat berbeda order. First order hanya mempertimbangkan pilihan-pilihan merek yang dibuat selama suatu periode untuk penentuan probabilitas pilihan dalam periode berikutnya. Second- order analisa Markov menganggap pilihanpilihan untuk suatu merek tertentu dalam periode berikutnya tergantung pada pilihanpilihan merek yang dibuat oleh para pelanggan selama dua periode terakhir. Begitu juga untuk third-order, proses Markov yang digunakan untuk meramal perilaku periode berikutnya terhadap merek-merek tertentu berdasarkan pola pemilihan merek para pelanggan selama tiga periode terakhir. Banyak riset pemasaran telah membuktikan bahwa penggunaan anggapan firstorder untuk maksud-maksud peramalan adalah valid. Pembicaraan berikut akan menggunakan first-order analisa Markov.

Prosedur 2 - Menghitung Kemungkinan Market Share di Waktu yang Akan Datang Kembali ke contoh, market share untuk merek A, B, C, dan D sekarang adalah 22, 30, 23 dan 25 persen untuk periode pertama. Manajemen akan memperoleh manfaat bila mereka mengetahui berapa market share-nya di periode waktu yang akan datang. Perhitungan market share yang mungkin untuk merek A, B, C, dan D dalam periode kedua dapat diperoleh dengan mengalikan matriks probabilitas transisi dengan market share pada periode pertama: Probabilitas transisi Market share Periode pertama Kemungkinan Market Share Periode Kedua A A B 0,796 0,091 B 0,133 0,767 C 0,000 0,109 D 0,040 0,060 X 0,22 0,30 = 0,225 0,290



C D

0,046 0,067 1,0

0,017 0,083 1,0

0,891 0,000 1,0

0,040 0,860 1,0

0,23 0,25 1,0

0,230 0,255 1,0

Perhitungan merek A (baris pertama x kolom pertama): (1) Kemampuan A untuk tetap menguasai langganannya sendiri dikalikan bagian pasar A: (2) Kemampuan A untuk mendapatkan langganan B dikalikan bagian pasar B: (3) Kemampuan A untuk mendapatkan langganan C dikalikan bagian pasar C: (4) Kemampuan A untuk mendapatkan langganan D dikalikan bagian pasar D: Bagian pasar merek A pada periode kedua Perhitungan yang sama dilakukan untuk merek B, C, dan D. Perhitungan merek B (baris kedua x kolom pertama): 0,091 x 0,22= 0,020 0,767 x 0,30= 0,230 0,109 x 0,23 = 0,025 0,060 x 0,25= 0,015 Bagian pasar merek B pada periode kedua Perhitungan merek C (baris ketiga x kolom pertama): 0,046 x 0,22 = 0,010 0,017 x 0,30= 0,005 0,891 x 0,23= 0,205 0,040 x 0,25 = 0,010 Bagian pasar merek C pada periode kedua Perhitungan merek D (baris keempat x kolom pertama): 0,067 x 0,22 = 0,015 0,083 x 0,30= 0,025 0 x 0,23= 0 = 0,230 = 0,290 0,040 x 0,25 = 0,010 = 0,225 0 x 0,23 = 0 0,133 x 0,30 = 0,040 0,796 x 0,22 = 0,175

0,860 x 0,25 = 0,215 Bagian pasar merek D pada periode kedua = 0,255



Setelah pemecahan untuk periode kedua, periode ketiga dapat ditentukan dengan dua cara. Metode pertama adalahkelanjutan pendekatan perhitungan terdahulu, mengalikan matriks probabilitas transisi mula-mula dengan market share periode kedua yang akan menghasilkan market share untuk periode ketiga. Metode kedua adalah mengkuadratkan matriks probabilitas transisi untuk jumlah periode yang diinginkan dan kemudian mengelikan matrils yang dihasilkan dengan market share awal, Market share baru untuk periode ketiga dengan mempergunakan metode-metode tersebut ditunjuktan berikut ini.

Perhitungan Metode Pertama Perkalian matriks digunakan lagi untuk mencari market share setiap merek. Perhitungan terperinci di bawah ini hanya diberikan untuk baris pertama dan kolom pertama:

Probabilitas transisi

Market share Periode pertama

Kemungkinan Market Share Periode Kedua

A A B C D 0,796 0,091 0,046 0,067 1,0

B 0,133 0,767 0,017 0,083 1,0

C 0,000 0,109 0,891 0,000 1,0

D 0,040 0,060 0,040 0,860 1,0 X 0,225 0,290 0,230 0,255 1,0 = 0,228 0,283 0,231 0,258 1,0

Perhitungan merek A (baris pertama x kolom pertama): 0,796 x 0,225 = 0,179 0,133 x 0,290 = 0,039 0 x 0,230 = 0

0,040 x 0,255 = 0,010 0,228 Perhitungan merek B (baris kedua x kolom pertama) Perhitungan merek C (Baris ketiga x kolom pertama) Perhitungan merek D (baris keempat x kolom pertama) = 0,283 = 0,231 = 0,258



Kelebihan dari metode ini adalah bahwa perubahan yang terjadi dari periode ke periode dapat diamati. Bagaimanapun juga, manajemen mungkin memerlukan informasi market share merek tertentu untuk periode tertentu di waktu yang akan datang, bila hal ini hanya merupakan kasus, metode kedua akan lebih disukai. Metode ini pada dasarnya menaikkan manfaat matriks probabilitas transisi sebagai cara untuk menunjukkan suatu jumlah periode di waktu yang akan datang. langsung

Perhitungan Metode Kedua Perkalian matriks digunakan lagi. Pengkuadratan matriks probabilitas transisi berarti bahwa probabilitas baru pada "retention", "mendapatkan" dan "kehilangan" harus dipcrhitungkan. Matriks probabilitas transisi yang telah dikuadratkan kemudian dikalikan dengan market share awal. Untuk menggambarkan, bermacam-macam baris dalam matriks probabilitas transisi dikalikan dengan kolom hubungannya untuk membentuk suatu matrik probabilitas transisi yang telah dikuadratkan. Dengan cara yang sama dapat dihitung l5 hubungan lainnya. Hasil matriks probabilitas transisi yang telah dikuadra&an sekarang dikalikan dengan market share awar. Hasilnya adalah sebagai berikut : Matriks segi empat Probabilitas transisi Market share Periode pertama Kemungkinan Market Share Periode Kedua A A B C D 0,6484 0,1513 0,0818 0,1185 1,0 B 0,2112 0,6073 0,0375 0,1440 1,0 C 0,0145 0,1808 0,7957 0,0090 1,0 D 0,0742 0,1056 X 0,0729 0,7473 1,0 0,22 0,30 0,23 0,25 1,0 = 0,228 0,283 0,231 0,258 1,0

Prosedur 3 - Menentukan Kondisi-kondisi EkuilibriumKondisi ekuilibrium tercapai hanya bila tidak ada pesaing yang mengubah matriks probabilitas transisi. Dalam keadaan ekuilibrium pertukaran para pelanggan berkenaan dengan "retention", "mendapatkan" dan "kehilangan" akan statik. Masalahnya, berapa besarnya market share equilibrium? Beberapa matrils probabilitas transisi dapat digunakan untuk menggambarkan kondisi-kondisi ekuilibrium. Matriks probabilitas transisi di mana A tidak mendapatkan tetapi kehilangan ke B dan C adalah:



A A B C 0,85 0,10 0,05 1,0

B 0 0,80 0,20 1,0

C 0 0,25 0,75 1,0

Tampak bahwa B dan C akan "merebut" pelanggan-pelanggan A dengan A kehilangan 0,10 ke B dan 0,05 ke C, Tetapi yang lebih penting, A tidak mendapatkan pelangganpelanggan dari B dan C. Tipe ekuilibrium lainnya yang mungkin terjadi adalah kondisi di mana A tak pernah kehilangan para pelanggannya:

A A B C 1,0 0 0 1,0

B 0,10 0,80 0,10 1,0

C 0,05 0,05 0,90 1,0

Gambaran yang lebih umum terjadi adalah bila tidak ada satu perusahaan pun yang mendapatkan terus seruruh peranggannya, yang berarti kondisi ekuilibrium akhir tercapai berdasarkan matriks probabilitas transisi yang tetap. Hal ini akan diuraikan dengan contoh di bawah.

Penyelesaian Persamaan-persamaan Secara Simultan Perusahaan G mempunyai dua pesaing dalam suatu segmen pasar dunia bisnisnya. Pada tahun ini, market share yang dikuasai rnuiingmasing perusahaan adalah sebagai berikut: Perusahaan G 30%, pesaing pertama A 20% dan pesaing kedua B 50%. Matriks probabilitas transisi (rantai Markov firs-orderj, yang menunjukkan arus para pelanggan, adalah sebagai berikut: Perusahaan G Pesaing Pertama A Perusahaan G Pesaing Pertama A Pesaing Kedua B 0,6 0,1 0,3 1,0 0,2 0,6 0,2 1,0 Pesaing Kedua B 0,2 0,2 0,6 1,0

Persamaan untuk market share perusahaan G pada ekuilibrium sama dengan 0,6 kali bagian perusahaan yang dikuasai dalam periode ekuilibrium sebelumnya (atau eq.-l) ditambah 0,2 kali bagian pesaing pertama pada periode ekuilibrium dikurangi satu Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB


periode, dan 0,2 kali bagian pesaing kedua pada periode ekuilibrium dikurangi satu periode. Persamaan tersebut dapat ditulis:

Geq.-1 = 0,6G eq.-1 + 0,2 Aeq.-1 = 0,2B eq.-1

Bentuk persamaan yang sama dapat dibuat untuk kedua pesaing. Tiga persamaan dalam contoh dapat dinyatakan berikut ini: G = 0,6G + 0,2A + 0,2B A = 0,1G + 0,6A + 0,2B G = 0,3G + 0,2A + 0,6B 1,0 = G + A + B (12-1) (12-2) (12-3) (12-4)

Persamaan keempat digunakan untuk menunjukkan bahwa total ketiga market share baru = 1,0. Dengan ada bilangan yang sama pada kedua sisi persamaan, dapat dihasilkan persamaan yang menunjukkan tambahan dan kehilangan untuk setiap perusahaan sebagai berikut:

0 0 0

= -0,4G + 0,2A + 0,2B = 0,1G + 0,6A + 0,2B = 0,3G + 0,2A + 0,4B

(12-5) (12-6) (12-7) (12-8)

1,0 = G + A + B

Dengan ada empat persamaan dan tiga bilangan "X" (yang belum diketahui), dapat dicari market share equilibrium untuk masing-masing perusahaan, berikut ini: Persamaan-persamaan simultan pertarna 0 = - O,4G + 0,2A + 0,2B 0 = - 0,3G- 0,2A + 0,4B (ubah tanda) 0 = - 0,7G + 0,6B 0,7G = 0,6 B (12-7) (12-5)

G = 6/7 B atau 0,857B

Persamaan-persamaan simultan kedua 0 = - O,4G + 0,2A + 0,2B



0 = + 0,4G + 0,267A - 0,533B (kalikan dengan 1 1/3) 0 = 0,467A - 0,333B 0,467A = 0,333 B

(12-7)

A = 333 B atau 0,715B 467

Substitusi nilai-nilai G dan A : 1=G+A+B 1 = 0,857B + 0,715B + 1,0B 1 = 2,572B B = 0,389 (B pada ekuilibrium) G = 6/7 B = 6/7 (0,389) = 0,333 (G pada ekuilibrium) A = 333 B = 333 (0,389) = 0,278 (A pada ekuilibrium) 467 467 (12-8)

Suatu cara yang efektif untuk membuktikan bahwa telah tercapai kondisi ekuilibrium adalah dengan mengalikan matriks probabilitas transisi dengan market share ekuilibrium. Ini dapat dihitung dengan menggunakan aljabar marils dan ditunjukkan sebagai berikut:

Matriks Probabilitas transisi

Market share equilibrium

G Perusahaan G Pesaing pertama A Pesaing Kedua B 0,6 0,1 0,3 1,0

B 0,2 0,6 0,2 1,0

C 0,2 0,2 0,6 1,0 X 0,333 0,278 0,389 1,0 = 0,333 0,278 0,389 1,0

Penyelesaian dengan Determinan Penyelesaian di atas kadang-kadang lebih mudah dengan menggunakan determinandeterminan. Misal, kita gunakan contoh di muka (di mana ada 4 bilangan "X" dengan 5 persamaan), maka kondisi ekuilibrium dapat dicapai melalui:

A A B 0,796 0,091

B 0,133 0,767

C 0 0,109

D 0,040 0,060 X 0,22 0,30 = equilibrium market



share C D 0,046 0,067 0,017 0,083 0,891 0 0,040 0,860 0,23 0,25

Dengan menggunakan aturan Cramer untuk mengembangkan suatu determinan, langkah pertama adalah mengembangkan determinan pembilang untuk A dengan kolom pertamanya. Ingat bahwa dalam determinan 4 x 4 bila suatu baris dan kolom dihilangkan, akan tetap ada determinan 3 x 3 dalam setiap masalah. Hal ini tampak pada langkahlangkah a, b, c, dan d. Pada langkah-langkah a, b, dan c, nilai determinan 4 x 4 harus nol karena nilai determinan 3 x 3 dikalikan dengan elemen yang dilingkari (= 0). Langkah d merupakan jumlah langkah-langkah e, f dan g = 0,00145 + 0,00102 - 0,00007 = 0,00240 (nilai determinan 3 x 3). Dengan menggunakan prosedur yang sama, nilai-nilai penyebut B, dan D adalah 0,00282, -0,00249 dan -0,00281.

Pendekatan yang sama dapat digunakan untuk menentukan pembilang yang nilainya -0,01052. Metode yang lebih cepat untuk mencari determinan-determinan melalui penggunaan baris 4, adalah dengan penjumlahan nilai-nilai determinan untuk penyebut-penyebut A , B , C dan D (-0,00240 - 0,00282 - 0,00249 - 0,00281 = -0,01052). Hasil Market share merek merek A, B, C dan D adalah :

A = - 0,00240 = 22,8% - 0,01052

B = - 0,00282 = 26,8% - 0,01052

C = - 0,00249 = 23,7% - 0,01052

D = - 0,00281 = 26,7% - 0,01052 100 % Hasil di atas dapat dibuktikan dengan mengalikan matriks probabilitas transisi dengan market share equilibrium.



31003-10-396626676478

Documents