3 42 2 1 3 2 2 4 2 4 2 2 45o · menentukan nilai eksak perbandingan fungsi trigonometri sudut 15o...

21 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

224

223

224

125,22sin

BC

CD

224

224

224

223

8

224 22

2

1

224

1

224

15,22cos

BC

BD

224

224

224

1

8

224 22

2

1

121

125,22tan

BD

CD

224

1

224

15,67sin

BC

BD

224

224

224

1

22

2

1

8

224

224

223

224

125,67cos

BC

CD

224

224

224

223

8

224 22

2

1

2112

15,67tan

CD

BD

Alternatif 3:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki. 90B dan BCAB .

2. Buatlah garis bagi CD. Akibatnya 5,22BCD dan 5,67BDC .

3. Ambillah 2AC , maka 1 BCAB .

4. Menentukan panjang CD menggunakan Dalil Garis Bagi:

1:2:: CBCADBDA

2DBDA

22

1ADBD

1AB

1 BDAD

122

1 ADAD

222 AD

22

2

AD 22

122222

12

2

1 ADBD

DBADBCACCD 2

1222122 CD 222222 224

224 CD 2

4

2

4 pp

, karena 22224

22 p (bukan bilangan rasional).

Sehingga bentuk 224 tidak dapat disederhanakan.

Menentukan panjang CD dengan menggumakan Dalil Pythagoras:

A

D

C

B

45o

22,5o

45o

4

Gambar 22

A

D

B

C

22,5o

22,5o

45o

67,5o

Gambar 23


Perhatikan BCD siku-siku di B, dengan 1BC dan 12 BD

222 BDBCCD

222 121 CD 224

224 CD2

4

2

4 pp

, karena 22224



Dengan demikian,

Perhatikan BCD siku-siku di B:

224

223

224

125,22sin

CD

BD

224

224

224

223

8

224 22

2

1

224

1

224

15,22cos

CD

BC

224

224

224

1

8

224 22

2

1

121

125,22tan

BC

BD

224

1

224

15,67sin

CD

BC

224

224

224

1

8

224 22

2

1

224

223

224

125,67cos

CD

BD 22 224

224223

8

224 22

2

1

2112

15,67tan

BD

BC

1. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15o dan 75

o

Menggunakan Pertolongan Geometri, Aturan Kosinus atau Aturan Sinus, dan Sudut

Berelasi.

Alternatif 1:

1. Buatlah ABC sama kaki, dengan 5,67BA , 45C , dan BCAC .

2. Tarik garis tinggi dari titik C ke sisi AB sehingga memotongnya di D. Akibatnya BDAD .

3. Ambillah 1BCAC .

Menurut Aturan Kosinus:

CBCACBCACAB cos2222

45cos11211 222AB 22

22 AB2

2

2

2 pp

, karena 222

22 p

(bukan bilangan rasional).


222

1

2

1 ABBDAD

4. Lihat ADC siku-siku di D, dengan

5,67DAC , 5,22ACD , 1AC , dan 222

1AD .

Menurut Pythagoras:

D B

A

C

22,5o 22,5

o

67,5o

67,5o

Gambar 24


22 ADACCD

2

2 222

11

22

2

1

2

2

2

2 pp

, karena 222



Dengan demikian,

Perhatikan ACD siku-siku di D:

222

1

1

222

1

5,22sin

AC

AD

222

1

1

222

1

5,22cos

AC

CD

22

22

22

22

222

1

222

1

5,22tan

CD

AD223

2

3

2

3 pp

, dengan 1223

22 p (harus bilangan rasional)

2

13

2

13

12

222

1

1

222

1

5,67sin

AC

CD

222

1

1

222

1

5,67cos

AC

AD

22

22

22

22

222

1

222

1

5,67tan

AD

CD223

2

3

2

3 pp

, dengan 1223

22 p (harus bilangan rasional)

2

13

2

13

12

Alternatif 2:

Buatlah segitiga ABC sama kaki, dengan 5,22BA , 135C , dan BCAC .

1. Tarik garis tinggi dari titik C ke sisi AB sehingga memotongnya di D, sehingga BDAD .

2. Ambillah 1BCAC .

67,5o

C

D B

A

22,5o 22,5

o

67,5o

1

1


Menurut Aturan Kosinus:

CBCACBCACAB cos2222

135cos11211 222AB 22

22 AB2

2

2

2 pp

, karena 222



222

1

2

1 ABBDAD

3. Lihat ADC siku-siku di D, dengan 5,22DAC ,

5,67ACD , 1AC , dan 222

1AD

Menurut Pythagoras:

22 ADACCD

2

2 222

11

22

2

1

2

2

2

2

2

1 pp, karena 222



Dengan demikian,

Perhatikan ACD siku-siku di B:

222

1

1

222

1

5,22sin

AC

CD

222

1

1

222

1

5,22cos

AC

AD

22

22

22

22

222

1

222

1

5,22tan

CD

AD223

2

3

2

3 pp

, karena 1223

22 p (bilangan rasional)

2

13

2

13

12

222

1

1

222

1

5,67sin

AC

CD

222

1

1

222

1

5,67cos

AC

AD

22

22

22

22

222

1

222

1

5,67tan

AD

CD223


2

3

2

3 pp

, karena 1223


2

13

2

13

12

2. Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 22,5o dan 22,5

o

Menggunakan Pertolongan Perbandingan Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

dan Sudut Rangkap

Untuk menentukan nilai perbandingan fungsi trigonometri, kita menggunakan pertolongan perbandingan

fungsi trigonometri sudut rangkap sebagai berikut.

xxx 22 sincos2cos

xx 2sin212cos 2

2cos1sin

xx

, dengan x sudut lancip

1cos22cos 2 xx 2

2cos1cos

xx


1. Menentukan 5,22sin

Alternatif 1:

2

45cos15,22sin

2

2

21

222

1 ,

2

2

2

2

2

1 pp , karena 222



Alternatif 2:

5,22x

904x

xx 2902

xx 290sin2sin

xx 2cos2sin

xxx 2sin21cossin2

xxx 22 sin21sin1sin2

xxxx 4222 sin4sin41sin1sin4

01sin8sin8 24 xx

16

32648sin2

x16

348

4

22

4

22sin2

x (ditolak) atau 4

22sin2

x (diterima)

4

22sin2

x

4

22sin

x 22

2

1

222

15,22sin


2. Menentukan 5,22cos

Alternatif 1:

1cos22cos 2 xx 2

2cos1cos

xx


2

45cos15,22cos

2

2

21

222

1

2

2

2

2

2

1 pp, karena 222



Alternatif 2:

5,22x

904x

xx 2902

xx 290cos2cos

xx 2sin2cos

xxx cossin21cos2 2

xxx 22 cos1cos21cos2

xxxx 2224 cos1cos41cos4cos4

01cos8cos8 24 xx

16

32648cos2

x16

348

4

22

4

22cos2

x (diterima) atau 4

22cos2

x (ditolak)

4

22cos2

x

4

22cos

x 22

2

1

222

15,22cos

3. Menentukan 5,22tan

Alternatif 1:

x

xx

cos1

cos1

2tan

45cos1

45cos15,22tan

22

11

22

11

22

22

24

222

2

246 223

2

3

2

3 pp

, karena 1223



2

13

2

13

12

Alternatif 2:

x

xx

2tan1

tan22tan

xxxx tan2tan2tan2tan 2

02tantan2tan2tan 2 xxxx

x

xx

2tan2

2tan442tan

2

x

x

2tan

2tan11 2

Karena x sudut lancip, maka x

xx

2tan

2tan11tan

2

45tan

45tan115,22tan

2

1

111 2 12

Alternatif 3:

5,22x

904x

xx 2902

xx 290tan2tan

xx 2cot2tan

12tan 2 x

1tan1

tan22

2

x

x

1tantan21

tan442

2

xx

x

xxx 422 tantan21tan4

01tan6tan 24 xx

2

4366tan 2

x2

246 223 , dengan 0tan x

223tan 2 x (diterima) atau 223tan 2 x (ditolak)

223tan 2 x

223tan x2

3

2

3 pp

karena 1223


2

13

2

13

12

125,22tan

4. Menentukan 5,67sin

Alternatif 1:

xxx 22 sincos2cos

xx 2sin212cos 2

2cos1sin

xx

, x sudut lancip


2

135cos15,67sin

2

2

21

222

1

2

2

2

2

2

1 pp, karena 222



Alternatif 2:

5,67x

2704x

xx 22702

xx 2270sin2sin

xx 2cos2sin

1sin2cossin2 2 xxx

1sin2sin1sin2 22 xxx

1sin4sin4sin1sin4 2422 xxxx

01sin8sin8 24 xx

16

32648sin2

x16

248

4

22 , dengan 0sin x

4

22sin2

x (ditolak) atau 4

22sin2

x (diterima)

4

22sin

x 22

2

1

2

2

2

2

2

1 pp , karena 222

22 p (bukan bilangan rasional)


222

15,67sin .

9. Menentukan 5,67cos

Alternatif 1:

xxx 22 sincos2cos

1cos22cos 2 xx 2

2cos1cos

xx

, x sudut lancip

2

135cos15,67cos

2

2

21

222

1

2

2

2

2

2

1 pp, karena 222

22 p (bukan bilangan rasional)


Alternatif 2:

5,67x


2704x

xx 22702

xx 2270cos2cos

xx 2sin2cos

xxx cossin21cos2 2

xxx 22 cos1cos21cos2

xxxx 224 cos1cos412cos4cos4

01cos8cos8 24 xx

16

32648cos2

x16

248

4

22 , dengan 0cos x

4

22cos2

x (diterima) atau 4

22cos2

x (ditolak)

4

22cos

x 22

2

1

2

2

2

2

2

1 pp, karena 222

22 p (bukan

bilangan rasional)


222

15,67cos .

10. Menentukan 5,67tan

Alternatif 1:

x

xx

cos1

cos1

2tan

135cos1

135cos15,22tan

22

11

22

11

22

22

24

222

2

246 223

2

3

2

3

2

1 pp, karena 1223


2

13

2

13

12

Alternatif 2:

x

xx

2tan1

tan22tan

xxxx tan2tan2tan2tan 2

02tantan2tan2tan 2 xxxx

x

xx

2tan2

2tan442tan

2

x

x

2tan

2tan11 2

Karena x2 sudut tumpul, maka x

xx

2tan

2tan11tan

2

135tan

135tan115,67tan

2 1

1112

21


Alternatif 3:

5,67x

2704x

xx 22702

xx 2270tan2tan

xx 2cot2tan

12tan 2 x

1tan1

tan22

2

x

x

1tantan21

tan442

2

xx

x

xxx 422 tantan21tan4

01tan6tan 24 xx

2

4366tan 2

x2

246 223 , dengan 0tan x

223tan 2 x (ditolak) atau 223tan 2 x (diterima)

223tan 2 x

223tan x

2

3

2

3

2

1 pp, karena 1223


2

13

2

13

12

125,67tan

10. Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 18o, 36

o, 54

o, dan 72

o

1. Menentukan Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 18o , 36

o , 54

o, dan 72

o

Menggunakan Pertolongan Geometri

Ambillah segi lima beraturan ABCDE. Titik F adalah perpotongan AC dan BE, dan G adalah

perpotongan AC dan BD.

Misalnya FGx dan BGy . Segitiga BFG sama kaki, dengan yFGBF . Segitiga ABF sama kaki,

dengan yBFAF . Maka yxAG , sehingga segitiga ABG sama kaki, dengan yxAB

Perhatikan bahwa ABG BFG

FG

BF

BG

AB

x

y

y

yx

022 xxyy

xxxx

y2

51

2

4 22

xy2

51 (ditolak, karena negatif)

atau xy2

51 (diterima)

Perhatikan bahwa ABC AFG

E D

C

B

A F G

36o

36o

72o 72

o x y

y y x + y

108o

36o

Gambar 26


AF

AB

AB

AC

x

y

y

yx

2

51

Sehingga:

xy2

51

xxxyx2

53

2

51

Perhatikan AGB .

Tarik garis tinggi dari titik G ke sisi AB

sehingga memotongnya di titik H

Ambillah HB = a, maka ayxHA

ax

2

53.

Perhatikan AGH siku-siku di H.

222 HAAGGH …. (1)

Perhatikan BGH siku-siku di H.

222 HBBGGH …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 2222 HBBGHAAG

2

222

2

51

2

53

2

53axaxx

2

2

2

22

2

51

2

532

2

53

2

53axaxaxx

2

2

51

2

532

xxa

2

2

53

2

532 xxa

xa2

1

xHB2

1

xxxHBABHA2

52

2

1

2

53

222 HBBGGH

22

2

2

1

2

51

xxGH 22

4

1

2

53xx

2

4

525x

5252

1

4

525 2

xxGH , karena 552522 p (bukan bilangan rasional).


A

G B

H

36o

54o 72

o

18o

x + y

y

Gambar 27


Perhatikan BGH siku-siku di H.

x

x

BG

HB

2

51

2

1

18sin

51

1

15

4

1

x

x

BG

GH

2

51

5252

1

18cos

526

525

2036

526525

2036

2051251030

52104

1

5252

12

1

18tan

x

x

GH

HB

525

1

2025

525

51025

5

1

x

x

BG

GH

2

51

5252

1

72sin

526

525

2036

526525

2036

2051251030

52104

1

x

x

BG

HB

2

51

2

1

72cos

51

1

15

4

1

x

x

HB

GH

2

1

5252

1

72tan

525

Perhatikan AGH siku-siku di H.

x

x

AG

GH

2

53

5252

1

36sin

5614

525

180196

5614525

16

6052853070

52104

1

x

x

AG

HA

2

53

2

52

36cos

53

52

15

4

1

x

x

HA

GH

2

52

5252

1

36tan

549

525

8081

549525

525

x

x

AG

HA

2

53

2

52

54sin

53

52

15

4

1


x

x

AG

GH

2

53

5252

1

54cos

5614

525

180196

5614525

6052853070

4

1

52104

1

5252

12

52

54tan

x

x

GH

HA

525

549

2025

525549

5

4052051845

510255

1

2. Menentukan Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 18o , 36

o , 54

o, dan 72

o

Menggunakan Pertolongan Perbandingan Trigonometri Sudut Rangkap, Perbandingan

Fungsi Trigonometri, dan Sudut Berelasi

1. Menentukan 18sin

18x

905x

xx 3902

xx 390sin2sin

xx 3cos2sin

xxxx cos3cos4cossin2 3 , dengan 0cos x

3cos4sin2 2 xx

3sin14sin2 2 xx

01sin2sin4 2 xx

8

1642sin

x

8

522

4

51

Karena 0sin x , maka 4

51sin

x

154

118sin

2. Menentukan 18cos

Alternatif 1:

18x

905x

xx 3902

xx 390sin2sin

xx 3cos2sin


3cos4sin2 2 xx

3cos4cos12 22 xx

9cos24cos16cos14 242 xxx

05cos20cos16 24 xx


32

32040020cos2

x32

5420

8

55

8

55cos2

x (ditolak, sudut 18x ) atau 8

55cos2

x (diterima)

5210

4

1

8

5518cos

Alternatif 2:

2

2 154

1118sin118cos

52616

4

1 5210

4

1

3. Menentukan 18tan

Alternatif 1:

18x

905x

xx 3902

xx 390tan2tan

xx 3cot2tan

13tan2tan xx

1tan2tan1

tan2tan2tan

xx

xxx

xxxxx tan2tan1tan2tan2tan 2

01tan2tan22tan 2 xxx

01tan1

tan2tan2

tan1

tan22

2

2

x

xx

x

x

0tan1tan1tan4tan422222 xxxx

0tantan21tan4tan4tan4 42422 xxxxx

01tan10tan5 24 xx

10

2010010tan 2

x10

5410

5

525

5

525tan 2

x (ditolak, karena 18x ) atau 5

525tan 2

x

5

525tan 2

x

5

525tan

x 51025

5

1

510255

118tan

Alternatif 2:

18cos

18sin18tan

52104

1

154

1

5210

526

20100

5210526

80

2052051260

80

53280

5

525 51025

5

1


4. Menentukan 36sin

Alternatif 1:

36x

1805x

xx 31802

xx 3180sin2sin

xx 3sin2sin

xxxx 3sin4sin3cossin2 , dengan 0sin x

xx 2sin43cos2

xx 22 sin43sin12


05sin20sin16 24 xx

32

32040020sin2

x32

5420

8

55

8

55sin2

x (ditolak, karena 36x ) atau 8

55sin2

x (diterima)

8

55sin2

x

8

55sin

x 5210

4

1

52104

136sin

Alternatif 2:

Nilai 36sin dapat ditentukan menggunakan rumus sudut rangkap, setelah sebelumnya nilai

18sin dan 18cos diketahui.

18cos18sin236sin

5210

4

115

4

12 5210526

8

1

20520512608

1 5840

8

1 5210

4

1

5. Menentukan 36cos

Alternatif 1:

36x

1805x

xx 31802

xx 3180sin2sin

xx 3sin2sin

xxxx 3sin4sin3cossin2 , dengan 0sin x

xx 2sin43cos2

xx 2cos143cos2

01cos2cos4 2 xx

8

1642cos

x

8

522 51

4

1

514

1cos x (ditolak, karena 36x ) atau 15

4

1cos x (diterima)


154

136cos

Alternatif 2:

Nilai 36cos dapat ditentukan menggunakan rumus sudut rangkap, setelah sebelumnya nilai

18sin diketahui.

18sin2136cos 2 2

154

121

526

16

121 53

4

11 15

4

1

6. Menentukan 36tan

Alternatif 1:

36x

1805x

xx 31802

xx 3180tan2tan

xx 3tan2tan

13tan2tan xx

xx

xxx

tan2tan1

tan2tan2tan

xxxxx tan2tantan2tan2tan 2

0tan2tan2tan2tan 2 xxxx , dengan 0tan x

01tan

2tan22tan 2

x

xx

01tan

tan1

tan2

2tan1

tan2 22

2

x

x

x

x

x

01tan1

4

tan1

tan22

2

2

xx

x

0tantan21tan44tan4 4222 xxxx

05tan10tan 24 xx

2

2010010tan 2

x2

5410 525

525tan 2 x (ditolak, karena 36x ) atau 525tan 2 x (diterima)

525tan 2 x

525tan x

52536tan

Alternatif 2:

36cos

36sin36tan

154

1

52104

1

526

5210

2036

5265210

16

2051252060

16

23280 525

7. Menentukan 54sin


Alternatif 1:

54x

2705x

xx 32702

xx 3270sin2sin

xx 3cos2sin


3cos4sin2 2 xx

3sin14sin2 2 xx

3sin44sin2 2 xx

01sin2sin4 2 xx

8

1642sin

x

8

522 51

4

1

154

1sin x (ditolak, karena 54x ) atau 15

4

1sin x (diterima)

154

154sin

Alternatif 2:


36cos diketahui.

36cos3690sin54sin 154

1

8. Menentukan 54cos

Alternatif 1:

54x

2705x

xx 32702

xx 3270sin2sin

xx 3cos2sin


3cos4sin2 2 xx

3cos4cos12 22 xx


05cos20cos16 24 xx

32

32040020cos2

x8

522 51

4

1

514

1cos2 x (diterima) atau 15

4

1cos2 x (ditolak, 54x )

514

1cos x 5210

4

1

52104

154cos

Alternatif 2:


Nilai 54cos dapat ditentukan menggunakan rumus sudut berelasi, setelah sebelumnya nilai

36sin diketahui.

36sin3690cos54cos 52104

1

9. Menentukan 54tan

Alternatif 1:

54x

2705x

xx 32702

xx 3270tan2tan

xx 3cot2tan

13tan2tan xx

1tan2tan1

tan2tan2tan

xx

xxx

xxxxx tan2tan1tan2tan2tan 2

01tan2tan22tan 2 xxx

01tantan1

tan22

tan1

tan22

2

2

x

x

x

x

x

0tantan21tan4tan4tan4 42422 xxxxx

01tan10tan5 24 xx

10

2010010tan 2

x10

5410

5

525

5

525tan 2

x (diterima) atau 5

525tan 2

x (ditolak, 54x )

5

525tan

x 51025

5

1

510255

154tan

Alternatif 2:

Nilai 54tan dapat ditentukan menggunakan rumus sudut berelasi, setelah sebelumnya nilai

36tan diketahui.

36tan

136cot3690tan54tan

525

1

525

1

2025

525

51025

5

1

10. Menentukan 72sin

Alternatif 1:

72x

3605x

xx 33602

xx 3360sin2sin

xx 3sin2sin

xxx 3sin4sin3cossin2 , dengan 0sin x

xx 2sin43cos2

xx 22 sin43sin12



05sin20sin16 24 xx

32

32040020sin2

x32

5420 55

8

1

558

1sin2 x (diterima) atau 55

8

1sin2 x (ditolak, 72x )

558

1sin x 5210

4

1

52104

172sin

Alternatif 2:


36sin dan 36cos diketahui.

36cos36sin272sin 154

15210

4

12 5265210

8

1

20512520608

1 5840

8

1 5210

4

1

11. Menentukan 72cos

Alternatif 1:

72x

3605x

xx 33602

xx 3360cos2cos

xx 3cos2cos

xxx cos3cos41cos2 32


01cos2cos41cos 2 xxx

1cos x (ditolak) atau 01cos2cos4 2 xx (diterima)

01cos2cos4 2 xx

8

1642cos

x

8

522 51

4

1

154

1cos x (diterima) atau 51

4

1cos x (ditolak)

154

172cos

Alternatif 2:

Nilai 72cos dapat ditentukan menggunakan rumus sudut rangkap, setelah sebelumnya nilai

36cos diketahui.

136cos272cos 2 1154

12

2

1526

16

12

153

4

1 15

4

1

12. Menentukan 72tan

Alternatif 1:

72x


3605x

xx 33602

xx 3360tan2tan

xx 3tan2tan

xx

xxx

tan2tan1

tan2tan2tan

xxxxx tan2tantan2tan2tan 2

0tan2tan2tan2tan 2 xxxx

0tantan1

tan22tan

tan1

tan22

2

2

x

x

xx

x

x

0tantan2tantan4tan4tan4 5333 xxxxxx , dengan 0tan x

0tantan21tan44tan4 4222 xxxx

05tan10tan 24 xx

2

2010010tan 2

x2

5410 525

525tan 2 x (diterima) atau 5250tan 2 x (ditolak, 72x )

525tan x

52572tan

Alternatif 2:

Nilai 72tan dapat ditentukan menggunakan rumus sudut berelasi, setelah sebelumnya nilai

18tan diketahui.

18tan

118cot1890tan72tan

510255

1

1

51025

15

500625

510255

525

3 42 2 1 3 2 2 4 2 4 2 2 45o · menentukan nilai eksak perbandingan fungsi trigonometri sudut 15o...

Documents