15112043_wachid nuraziz musthafa_makalah uas tad

8/19/2019 15112043_wachid Nuraziz Musthafa_makalah Uas Tad

1/38

METODE

UNTUK ANALISIS DATA

MAKALAH

Digunakan untuk memenuhi tugas mata kuliah GD5102 Teknik Analisis Data

Disusun oleh:

Wachid Nuraziz Musthafa 15112043

PROGRAM STUDI TEKNIK GEODESI DAN GEOMATIKA

FAKULTAS ILMU DAN TEKNOLOGI KEBUMIAN

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2015


2/38

BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang

Sebuah penelitian dilakukan dengan menerapkan beberapa tahapan yang digunakan

untuk mencapai sebuah tujuan tertentu. Biasanya terdapat suatu siklus yang

digunakan dalam sebuah penelitian. Siklus tersebut terdiri dari beberapa tahapan

seperti menentukan persoalan riset (hipotesis), pengambilan data sistematis, analisis

data, dan menentukan kerangka konseptual yang digunakan (landasan teori dan

literatur).

Salah satu tahapan yang sangat penting dilaksanakan dalam sebuah penelitian adalah

analisis data. Analisis data digunakan sebagai sarana atau alat untuk mendeskripsikan

data dan mendapatkan pola-pola atau sebaran data yang didapat saat pengamatan atau

pengukuran. Selanjutnya dengan menggunakan metode analisis yang sudah

ditentukan, pola-pola tersebut digunakan untuk mendapatkan informasi sehingga

karakteristik dan sifat dari suatu fenomena dapat dipelajari untuk menjawab

pertanyaan-pertanyaan tentang masalah yang berkaitan dengan kegiatan penelitian

tersebut.

Beberapa metode dapat digunakan dalam analisis data yang secara umum terbagi

menjadi dua yaitu deskriptif dan inferesial. Teknik analisis data deskriptif

merupakan teknik analisis yang dipakai untuk menganalisis data dengan

mendeskripsikan atau menggambarkan data-data yang sudah dikumpulkan seadanya

tanpa ada maksud membuat generalisasi dari hasil penelitian. Sedangkan teknik

analisis data inferensia merupakan statistik yang dipakai untuk melakukan analisis

data dengan cara membuat kesimpulan yang berlaku secara umum.


3/38

Dalam makalah ini akan dibahas mengenai beberapa metode yang cukup sering

digunakan dalam analisis data. Metode-metode ini juga sangat menunjang proses

pengolahan data yang berhubungan dengan data-data spasial. Metode-metode tersebut

diantaranya adalah statistik, statistik spasial, wavelet, dan kalman filter.

I.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang sudah diuraikan di atas, beberapa masalah yang

ingin dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:

1.

Apa yang yang dimaksud dengan metode analisis data statistik, statistikspasial, wavelet, dan kalman filter?

2. Mengapa metode-metode tersebut digunakan dalam analisis data?

3. Bagaimana metode-metode tersebut diterapkan dalam proses analisis data?

I.3 Tujuan

Makalah yang berjudul “Metode Analisis Data” ini memiliki tujuan yang ingin

dicapai yaitu mengetahui penggunaan metode-metode tersebut dalam analisis datasesuai dengan pengertiannya, sebab digunakannya, dan cara penggunaannya.


4/38

BAB II

METODE ANALISIS DATA

II.1 Metode Statistik

Statistik merupakan kumpulan angka yang disusun, diatur, atau disajikan ke dalam

bentuk daftar atau tabel. Dalam perkembangannya penyajian data statistik ini juga

disertai dengan gambar-gambar yang biasa disebut diagram atau grafik.

Statistika merupakan pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisaannya dan penarikan kesimpulan

atau interprestasi terhadap hasil analisis kumpulan data tersebut. Statistika

dikelompokkan dalam dua kelompok yaitu statistika deskriptif dan statistika

inferensia. Statistika deskriptif adalah metode yang berkaitan dengan

pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi

yang berguna atau dalam hal ini analisis data tidak dikuti dengan pembuatan

kesimpulan tentang populasi atau kelompok yang lebih besar. Sedangkan statistika

inferensia adalah metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data untuk

kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan tentang seluruh gugus

data induknya

Metode statistik dikembangkan karena memiliki beberapa kegunaan diantaranya

dapat menjelaskan hubungan antarvariabel, melakukan estimasi dan perbandingan,

menyusun perencanaan dan ramalan, mengatasi berbagai perubahan, membuat

keputusan secara lebih baik, serta menampilkan hasil penelitian dan analisis praktisdalam berbagi bentuk.

Statistik tidak lepas dari istilah data. Data adalah ukuran dari variabel yang diperoleh

dengan mengukur nilai satu atau lebih variabel dalam sampel (atau populasi). Data


5/38

dapat diklasifikasikan menurut jenis, menurut dimensi waktu, dan menurut

sumbernya.

Menurut jenisnya, data terdiri dari data kuantitatif dan data kualitatif.

a. Data kuantitatif adalah data yang diukur dalam suatu skala numerik (angka).

Data kuantitatif dapat dibedakan menjadi:

1) Data interval, yaitu data yang diukur dengan jarak di antara dua titik pada

skala yang sudah diketahui. Sebagai contoh: usia produktif (interval 15 hingga

55 tahun); suhu udara dalam Celcius (interval 0 hingga 100 derajat).

2) Data rasio, yaitu data yang diukur dengan suatu proporsi. Sebagai contoh:

persentase jumlah usia kerja di Propinsi Sumatera Barta; tingkat pendidikan

rata-rataIndonesia pada tahun 2000.

b. Data kualitatif, adalah data yang tidak dapat diukur dalam skala numerik. Namun

karena dalam statistik semua data harus dalam bentuk angka, maka data kualitatif

umumnya dikuantifikasi agar dapat diproses. Kuantifikasi dapat dilakukan

dengan mengklasifikasikan data dalam bentuk kategori. Data kualitatif dapat

dibedakan menjadi:

1) Data nominal, yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk kategori. Salah satu

contohnya adalah kategori untuk kota besar di Indonesia yaitu:

Kategori 4 untuk kota metropolitan Kategori 3untuk kota besar

Kategori 2 untuk kota sedang Kategori 1 untuk kota kecil

Angka yang menyatakan kategori ini menunjukkan bahwa posisi data sama

derajatnya. Dalam contoh di atas, angka 4 tidak berarti kota besar nilainya


6/38

lebih tinggi dibanding kota kecil yang angkanya 1. Angka ini sekedar

menunjukkan kode kategori yang berbeda.

2) Data ordinal, yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk kategori, namun posisi

data tidak sama derajatnya karena dinyatakan dalam skala peringkat. Sebagai

contoh, dalam skala likert.

Berdasarkan cara perolehannya data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit

dan data kontinu. Data-data yang diperoleh dari hasil menghitung atau membilang

termasuk dalam data diskrit, sedangkan data-data yang diperoleh dari hasil

mengukur termasuk dalam data kontinu.

Data dalam statistik mempunyai karakteristik yang berbeda-beda . setiap data

mempunyai pola persebarannya masing-masing. Setelah data kuantitatif diperoleh,

maka dilakukan pengolahan data dan pengujian beberapa hipotesis. Pengolahan data

yang dilakukan adalah mencari ukuran pemusatan data, dalam hal ini adalah mean

dan mencari ukuran penyebaran data dalam hal ini variance dan simpangan baku.

Beberapa ukuran yang sering digunakan dalam pengolahan data statistik diantaranyaadalah ukuran gelaja pusat dan ukuran penyebaran. Ukuran gejala pusat bisa terdiri

dari mean, median, modus. Sedangkan untuk ukuran penyebaran dapat terdiri dari

range, distribusi antar kuantil, dan variansi.

Mean merupakan nilai rata-rata dari semua data observasi. Mean dapat digambarkan

pada persamaan 1 dibawah ini.

∑ (1)Dengan , N adalah jumlah data, adalah nilai data observasidan ∑ adalah banyaknya data observasi.


7/38

Median atau nilai-tengah adalah salah satu ukuran pemusatan data, yaitu, jika segugus

data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau yang terbesar sampai

yang terkecil, nilai pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila jumlah datanya

ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila banyaknya pengamatan

genap. Contoh perhitungannya Untuk data 9,10,8. Pertama data diurutkan menjadi 8,

9,10. Sehingga dengan mudah diketahui median adalah 9

Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi terbanyak dalam seperangkat data.

Modus untuk data yang disusun dalam bentuk kelas interval (data berkelompok) bisa

ditentukan berdasarkan nilai tengah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak.

( ) (2)Mo adalah modus, b adalah batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak, p

adalah panjang kelas interval, b1 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas

sebelumnya, b2 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya.

Hubungan dari mean, median dan modus dapat digunakan untuk mengetahui kurva

poligon distribusi frekuensi data observasi. Terdapat beberapa kondisi, yaitu :

a.

b.

c.

Ukuran penyebaran memberikan gambaran seberapa besara data menyebar dalam

kumpulannya. Melalui ukuran penyebaran dapat diketahui seberapa jauh data-data

menyebar dari titik pemusatannya. Ukuran-ukuran penyebaran yang sering digunakan

antara lain : range/jangkauan, jangkauan antar kuartil dan varians.

Range merupakan selisih data yang terbesar dengan yang terkecil, range cukup baik

digunakan untuk mengukur penyebaran data yang simetrik dan nilai datanya


8/38

menyebar merata. Ukuran ini menjadi tidak relevan jika nilai data maksimum dan

minimumnya merupakan data-data yang ekstrem.

Jangkauan antar kuartil mengukur penyebaran 50% data di tengah-tengah setelah data

diurutkan. Ukuran penyebaran ini meruapakan ukuran penyebaran data yang

terpangkas 25% yaitu membuang 25% data yang terbesar dan 25% data yang terkecil.

Jangkauan antar kuartil sangat baik digunakan bila data yang dkumpulkan banyaj

mengandung data pencicilan. Jangkauan antar kuartil merupakan selisih antara kuartil

atas dengan kuartil bawah. Ukuran ini biasanya dirumuskan seperti pada persamaan

di bawah ini:JAK=k3-k1 (3)

Dimana, k3 adalah kuartil atas dan k1 adalah kuartil bawah.

Varians merupakan ukuran penyebaran data yang sering digunakan. Varians

merupakan ukuran penyebaran data yang mengukur rata-rata jarak kuadrat semua

titik pnegamatan terhadap titik pusat (rata-rata), jika x1,x2,x3,...xN adalah anggota

suatu populasi terhingga berukuran N, maka variansi populasinya adalah

= , jika x1,x2,x3,...xN adalah anggota suatu sample terhingga berukuran n, maka varians sample tersebut adalah adalah = dimana n < N. Akar dari variansi adalah simpangan baku, dinotasikan dengan . sedangkan

simpangan baku sample dinotasikan dengan s.

Setelah itu, baru dilakukan pengujian normalitas, homogenitas dan uji hipotesis.

Ketika data terdistribusi normal maka dapat dilakukan pengujian parametik dan

sebaliknya ketika data tidak terdistribusi normal maka dapat dilakukan pengujiannonparametik

Untuk dapat melihat distribusi data terdapat 4 macam distribusi yaitu :

1. Distribusi gauss / distribusi normal


9/38

Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan

simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng ( bell curve ) karena

grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu

sosial. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika,

misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi

populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak

digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian

hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

Contoh distribusi normal :

Gambar 1. Distribusi Normal

2.

Distribusi chi- square

Distribusi X^2 chi square merupakan uji statistik yang meninjau distribusi variansi

dari sample populasi. Untuk distribusi X^2 chi square didefinisikan sebagai :

∑ X (4)


10/38

(5) (6)Dimana, 2 adalah distribusi chi-square, r adalah r = banyak ukuran lebih (degree of

freedom/derajat kebebasan) , S2 = variansi sampel, 2 = variansi populasi

Distribusi chi-square ( 2 ) digunakan untuk menentukan selang (range) di dalam

mana diharapkan nilai variansi populasi berada, berdasarkan :

Nilai prosentase probabilitas tertentu (tingkat kepercayaan)

Nilai variansi sampel

Banyak ukuran lebih

Bentuk Umum fungsi distribusi adalah ⁄ ⁄ (7)

Gambar 2. Kurva chi square untuk N=103. Distribusi t (student)


11/38

Pola distribusi ini digunakan untuk membandingkan nilai rerata populasi dengan nilai

rerata sampel berdasarkan banyak ukuran lebih ( degree of freedom ) pada sampel.

Distribusi t banyak digunakan untuk hal-hal mengenai mean suatu populasi juga

mengenai perbandingan mean-mean beberapa sampel.

Karakteristik dari distribusi t ( t-distribution )

Bentuk distribusi t mirip seperti distribusi Normal, berbentuk genta dan simetris

dengan nilai t = 0 pada titik tengahnya.

Distribusi t mempunyai ragam yang lebih lebar dibanding dengan distribusi

normal. Nilai ragamnya > 1 sedangkan ragam Distribusi Normal = 1.

Mempunyai derajat bebas (n-1), dimana n adalah ukuran sampel. Apabila ukuran sampel semakin besar, bentuk distribusi-t hampir mendekati

distribusi Normal. Hal ini dikarenakan dengan semakin besarnya ukuran sampel,

maka nilai ragamnya akan mendekati 1.

Distribusi t-student merupakan uji statistik yang meninjau distribusi mean dari

sample populasi tersebut. Nilai t untuk sebarang populasi didefinsikan sebagai:

X X (8)

Kita tahu bahwa nilai mean dan standar deviasi dari suatu sampel akan berbeda untuk

setiap ukuran sampel N , sehingga nilai t akan bergantung pada nilai N .

⁄√ ⁄ (9)Contoh kurva distribusi t untuk t untuk N=8


12/38

Gambar 3. Kurva distribusi t

4. Distribusi Fisher

Distribusi ini digunakan untuk membandingkan hasil hitungan variansi dari 2 set

sampel data. uji statistik Fisher akan meninjau perubahan relatif distribusi variansi

dari dua sample populasi dalam satu populasi yang sama, dengan menggunakandistribusi F dapat menarik kesimpulan mengenai variansi populasi dari variansi dua

sample tersebut. Nilai F didefinisikan sebagai :

⁄ ⁄ (10)

(11)


13/38

Dengan bentuk fungsi umum :

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄⁄ (12)

Gambar 4. Kurva F untuk N1=3 N2=5

Penyajian data merupakan sesuatu yang sangat penting dalam statistik. Karena

dengan penyajian data yang baik menyebabkan data tersebut lebih mudah untuk

dipahami. Suatu data yang telah diperoleh dan telah diolah, maka dilakukan

interpretasi dan penyajian data tersebut. Secara garis besar ada dua macam cara

penyajian data dalam statistika yaitu:

a. Tabel

Tabel adalah daftar yang berisi ikhtisar sejumlah data-data informasi yang biasanya

berupa kata-kata maupun bilangan yang tersusun dengan garis pembatas. Tabel atau

daftar yang dapat berbentuk:

- Daftar baris kolom - Daftar kontingensi

- Daftar distribusi frekuensi

Bentuk penyajian data dalam tabel dapat dilihat pada Tabel 1 di bawah ini.

Tabel 1. Data luas kecamatan di Kota Bandung


14/38

Kecamatan Luas (m2)

Coblong 5600

Andir 3657

b. Diagram

Bagan / Diagram adalah suatu gambaran/sketsa buram untuk memperlihatkan atau

menerangkan sesuatu. Data maupun informasi yang ingin disampaikan direalisasikan

melalui gambar. Bagan ada yang berbentuk diagram mempunyai bentuk yang

beragam, antara lain: lingkaran, garis, pohon, dan batang. Contoh dari penyajian data

dalam bentuk diagram dapat dilihat pada Gambar 5 di bawah ini.

Gambar 5. Contoh penyajian data dalam bentuk diagram batang

II.2 Metode Statistik Spasial

Statistik spasial merupakan aplikasi dari konsep statistik dan metode untuk mendekati

dan memahami yang secara eksplisit memiliki struktur spasial. Pemahaman mengenai


15/38

struktur spasial ini dapat dilakukan dengan mendeskripsikan dan memodelkan data

spasial. Selain itu digunakan juga unsur keruangan dan hubungan spasial seperti

jarak, luas, volume, panjang, tinggi, orientasi, dll secara langsung dalam perhitungan

matematisnya. Secara umum statistik spasial lebih memberikan data-data spasial dan

digunakan untuk mendeteksi pola-pola spasial, jarak yang lebih kompleks daripada

statistik biasa.

Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya bahwa statistik spasial dapat digunakan

untuk mendeskripsikan karakteristik, dan memahami pola spasial (Arcbald 2015).

Statistik spasial digunakan pada berbagai jenis analisis, termasuk analisis pola,

bentuk, pemodelan dan prediksi permukaan, regresi spasial, komparasi statistik antara

dua set data, pemodelan statistik, prediksi dari interaksi spasial dan banyak lagi. Tipe

dari statistik spasial adalah deskriptif, inferential, exploratory, geostatistikal, dan

economoctric .

Tujuan utama statistik spasial adalah :

1. Mendeksripsikan pola spasial ( exploration )

2. Mengetes hipotesis suatu pola ( inference )

3. Memprediksi pola ( mapping atau interpolation )

Dalam mempelajari statistik spasial perlu diketahui beberapa konsep yang digunakan

sebagai dasar untuk menjelaskan fungsi dari statistik spasial itu sendiri diantaranya

sebagai berikut:

Autokorelasi spasial

Variansi, Kovariansi, dan Korelasi Semi-Variansi dan Variogram


16/38

Autokorelasi sendiri dapat diartikan sebagai suatu variabel yang memiliki korelasi

terhadap dirinya sendiri. Ilustrasi sederhana dari konsep ini ditunjukkan oleh Gambar

6 di bawah ini.

Gambar 6. Konsep Autokorelasi

Berdasarkan Gambar 6 di atas sepasang objek dengan jarak yang dekat yaitu 1 dan 2

akan memiliki kemiripan yang lebih tinggi sedangkan untuk objek dengan jarak yang

lebih jauh yaitu 1 dan 3 akan memiliki nilai kemiripan yang lebih kecil.

Korelasi ini dapat bervariasi tergantung dari struktur dan pola dari data spasial.

Sebagai contoh gradien atau clusters memiliki autokorelasi positif, sedangkan

korelasi negatif akan terjadi apabila terdapat pola checkerboard . Ketika suatu data

terautokorelasi secara spasial, menjadi mungkin untuk memprediksi nilai suatu lokasi berdasarkan nilai yang diambil jika dekat dengan lokasi data tersebut. Data-data

spasial dapat bersifat independen jika tidak saling memiliki autokorelasi.

Autokorelasi dapat terjadi karena desain percobaan yang digunakan, sampel tidak

dipilih dengan benar-benar acak atau biasa disebut Spurious autocorrelation . Selain

itu juga terdapat Real autocorrelation yang didefinisikan sebagai alasan dari interaksi

dari suatu variabel dengan dirinya sendiri ( univariate ) atau dengan variabel

independen (lain) berdasarkan sifat dasar dari variabel tersebut.

Terdapat hubungan yang erat antara autokorelasi spasial dengan variansi, kovariansi,

serta korelasi. Variansi merupakan ukuran persebaran suatu populasi sedangkan

kovariansi merupakan ukuran dari hubungan antardua variabel. Berdasarkan

2

1


17/38

hubungan tersebut dapat diturunkan persamaan untuk mendapatkan nilai harapan dan

hasil variansi dari dua variabel seperti pada persamaan 13 di bawah ini.

∑ ̅ ∑ ̅ (13)

Dimana = sampel variansi dari variabel x i. xi = nilai dari variabel x dari i hingga n,

̅ = rata-rata sampel dari variabel x, n = banyaknya sampel, = sampel kovariansiantara variabel x dan y, y i = nilai dari variabel y dari i hingga n, = rata-rata sampel

dari variabel y.

Di sisi lain koefisien korelasi juga dapat menunjukkan nilai yang mengindikasikan

betapa besar dua variabel saling berhubungan. Nilai ini biasanya ditunjukan dengan 0

sampai 1 untuk mengindikasikan asosiasi positif antarvariabel dan 0 sampai -1 untuk

asosiasi negative, serta 0 jika tidak ada korelasi antarvariabel. Persamaan 14 ini

menggambarkan koefesien korelasi Pearson.

∑ ̅ (14)Dimana r = sampel dari koefisien korelasi antara variabel x dan y dan dan s x s y =

produk dari variansi variabel x dan y.

Perhitungan dan representasi suatu nilai sampel berdasarkan interval jarak yang

berbeda-beda akan menjadi lebih informatif karena struktur spasial dari data tersebut

akan lebih terlihat. Jarak antarsampel ini biasa disebut lag yang ditentukan

berdasarkan priori. Setiap titik yang sudah digambarkan akan merepresentasikan

variansi atau korelasi untuk keseluruhan titik pada interval tertentu. Penggambaran

atau pengeplotan semi-variansi dikatakan sebagai variogram sedangkan pengeplotan


18/38

dari koefisien korelasi disebut dengan correlograms. Kedua hasil tersebut biasa

digambarkan dengan memberntuk suatu matriks jarak antartitik yang ada.

Hasil pengeplotan sebuah semivariansi terhadap fungsi jarak biasa disebut semi-

variogram. Semivariansi ini akan menunjukkan tentang perbedaan dari suatu subjek

diantara satu variabel dengan kovariansi yang mengukur hubungan anatar satu atau

lebih variabel. Semi-variansi biasanya tidak dinormalisasi seperti pada korelasi.

Variogram digambarkan oleh Greary‟s C melalui persamaan di bawah ini.

∑ ∑ (15)

dengan = semi-variansi sebagai fungsi dari jarak, W = jumlah dari seluruh nilai

whi pada matriks bobot, n = jumlah sampel, whi = elemen bobot sebagai matriks dari

jarak, y h, y i = sepasang poin sampel.

Salah satu contoh dari variogram adalah variogram klasik yang dihitung berdasarkan

data independen dimana semi-variansinya meningkat seiring dengan jarak antartitik

atau lag yang bertambah. Istilah yang sering digunakan dalam konsep variogram

adala range yang menunjukkan jarak lag ketika data menjadi independen, sill yang

merepresentasikan nilai variansi yang berhubungan terhadap range, nugget adalah

jarak pada sumbu y antara titik 0 dan perpotongannya pada nilai y yang

merepresentasikan variabilitas yang tidak dapat dihitung karena masih terdapat error .

Sedangkan rumus untuk menghitung autokorelasi spasial pada suatu variabel

kuantitatif tunggal dirmuskan oleh Moran‟s I sebagai

∑ ∑ ̿∑ ̿ (16)dengan I(d) = koefisien korelasi sebagai fungsi dari jarak.


19/38

Berdasarkan tipe datanya Balley dan Gatrel (1995) membagi teknik analisis data

menjadi 4 kategori yaitu:

1. Point Pattern Data

Metode ini biasanya digunakan untuk menganalisis distribusi spasial dari

suatu fenomena yang dapat dimodelkan secara diskrit. Beberapa metode yang

dikembangkan diantaranya:

Quadrat analysis Kernel estimation

Nearest neighbor analysis K-function

2. Spatially Continuous Data

Metode ini digunakan untuk menganalisis data kontinu pada suatu unsur data

spasial. Beberapa metode yang dikembangkan diantaranya:

Spatial moving averages Trend surface analysis Delauney triangulation / Thiesen polygons / TINs Kernel estimation Variograms / covariograms / kriging Principal components analysis / factor analysis Procrustes analysis Cluster analysis Canonical correlation

3. Areal Data

Metode ini digunakan untuk menganalisis data atribut pada suatu poligon atau

area tertentu. Bebrapa metode yang dikembangkan diantaranya:

Spatial moving averages Kernel estimation


20/38

Spatial autocorrelation (Moran’s I, Geary’s c) Spatial correlation and regression

4. Interaction Data

Metode ini dikembangkan untuk mempelajari interaksi berdasarkan model

gravitasi, yang menyatakan bahwa tingkat interaksi antar dua tempat adalah

fungsi dari ukurannya dan berbanding terbalik dengan jarak antar keduanya.

Jarak dapat diukur dengan suatu garis lurus pada suatu jaringan.

Sedangkan berdasarkan fungsinya, statistik spasial biasa digunakan dalam berbagai

hal sebagai berikut:

Deskripsi pola spasial ( exploration ) Membuktikan hipotesis suatu pola ( inference ) Memprediksi pola ( mapping/interpolation )

Deskripsi pola spasial dikembangkan untuk mendefinisikan suatu fenomena yang

terjadi pada lokasi dan waktu yang spesifik. Indentifikasi pola ini dilakukan denganmemahami proses yang membentuk pola tersebut. Suatu kejadian mungkin saja

terpisah satu sama yang lain, berkelompok, atau justru terpisah secara acak seperti

diilustrasikan pada Gambar 7. Contohnya, suatu penyakit misalnya kanker paru-paru,

dapat terjadi pada suatu kelompok area karena lingkungan lokal yang ada di daerah

tersebut. Mengetahui hubungan antara pola dan proses adalah tujuan dari identifikasi

pola spasial suatu kejadian (Legendre, 1993).


21/38

Gambar 7. Jenis pola spasial (Gavin, 2011)

Setelah mengetahui proses yang membentuk pola tersebut, pola spasial dapat

diidentifikasi menggunakan analisis average nearest neighbor (Fortin et al, 2002).

Metode ini akan mengukur jarak rata-rata terdekat untuk semua titik dan

mengasumsikan semua titik pada area survey telah diukur. Kemudian jarak rata-rata

tersbeut akan dibandingkan dengan nilai rata-rata hipotesis awal yang distribusinya

masih acak. Hasil dari nilai rata-rata pengamatan dapat bervariasi dari nilai hipotesis

awalnya. Hal ini menunjukkan bahwa titik tersebut terpisah secara acak atau

terkelompok. Suatu nilai z digunakan untuk mengetes apakah suatu pola spasial

dikatakan acak atau justru jauh dari kata acak.

Terdapat dua cara untuk mengukur autokorelasi spasial dari suatu data yang biasa

digunakan yaitu Moran‟s dan Geary‟s. Kedua cara tersebut mengukur korelasi antara

lokasi spasial dari titik-titik sampel dan nilai dari titik-titik tersebut. Mantel Test bisa

digunakan untuk mengevaluasi atau melakukan tes untuk mengetahui korelasi antara

dua matriks yang mirip menggunakan autokorelasi spasial. Salah satu cara yang bisa

digunakan adalah dengan analisis regresi.

Prediksi pola dapat dilakukan dengan metode interpilasi yang dapat menghasilkan

nilai-nilai kontinu yang didasarkan pada nilai yang telah ada. Interpolasi ini

menggunakan asumsi awal yaitu nilai-nilai yang ada pada suatu fenomena kontinu

tersebut dan memiliki autokorelasi secara spasial dengan lokasinya. Hal ini dapat

menyebabkan nilai untuk sesuatu yang lokasinya tidak terlalu jauh dapat diprediksi

dan akan lebih mirip daripada nilai yang terlalu jauh. Dengan adanya model ini nilai

diantara nilai yang sudah diketahui bisa didapatkan.

Metode yang paling general adalah trend analysis yang mencocokkan suatu

polynomial terhadap titik-titik hasil observasi untuk menghasilkan permukaan yang

bagus. Metode lain untuk menginterpolasi ini bervariasi mulai dari kriging, splining


22/38

dan inverse distance weighting. Kriging menginterpolasi berdasarkan nilai variogram

yang mengukur tingkat autokorelasi spasial antara titik-titik yang ada dan kemudian

digunakan untuk memprediksi nilai yang belum diketahui. Karena digunakan prediksi

berdasarkan autokorelasi spasial, nilai hasil prediksi pasti memiliki error standar.

Sebaliknya, inverse distance weighting dan splining menggunakan fungsi spesifik

untuk memprediksi bagaimana suatu nilai berubah berdasarkan jarak. Metode ini

mengasumsikan autokorelasi spasial generik dibandingkan pengukuran suatu nilai

berdasarkan suatu set data autokorelasi spasial.

II.3 Metode Wavelet

Wavelet merupakan suatu model matematika yang digunakan untuk memperlajari

fenomena fisik yang ada di dunia dengan konsep matematik. Konsep ini dapat

melihat sebuah fenomena menjadi hal yang lebih sederhana dan menggunakan

perangkat matematik untuk mendapatkan pemahaman yang lebih baik dari perbedaan

fenomena yang terjadi di dunia ini.

Konsep tentang penyederhanaan suatu fenomena menggunakan konsep matematikayang kemudian direpresentasikan dan direkonstruksi menggunakan suatu fungsi dapat

dilihat pada Gambar 8 di bawah ini.

Gambar 8. Penyederhanaan fenomena menggunakan konsep matematika.


23/38

Berdasarkan gambar di atas fungsi dari wavelet yang terkait dengan penyederhanaan

fenomena menggunakan konsep matematika dapat dibedakan menjadi dua hal yaitu

representasi dan rekonstruksi fungsi serta representasi multi resolusi.

Wavelet dikembangkan karena dapat memberikan solusi yang lebih kuat dan fleksibel

dalam mendiskritasi fungsi dan merekonstruksi ulang. Wavelet dikembangkan

sebagai suatu solusi yang lebih untuk menanggulangi keterbatasan dari transformasi

fourier. Transformasi wavelet merupakan pengembangan dari STFT ( Short Time

Fourier Transform ). Hal ini terjadi karena untuk melakukan pengamatan pada

komponen spektral berbeda, STFT menggunakan fungsi jendela dengan lebar yang

sama sehingga resolusi waktu dan frekuesni yang buruk pada komponen berfrekuensi

tinggi. Secara umum perbedaan dari Fourier transform, wavelet transform, dan STFT

dapat dilihat pada tabel 2 di bawah ini.

Table 2. Perbandingan transformasi Fourier (FT), transformasi Fourier jangka pendek

(STFT), dan transformasi wavelet (WT)

Komponen FT STFT WT

Domain Frekuensi Waktu-frekuesi Skala-pergeseran

Fungsi Basis Sinusoid kompleks Sinusoid kompleks

dimodulasi fungsi

jendela sembarang

Fungsi wavelet

induk (mother

function)

Resolusi Waktu Tidak ada Konstan untuk

semua frekuensi

Baik untuk skala

rendah (frekuensitinggi)

Resolusi Frekuensi Sangat baik Konstan untuk Baik untuk skala

rendah (frekuensi


24/38

semua frekuensi tinggi)

Wavelet merupakan suatu gelombang dengan durasi terbatas sebagai sebuah fungsi

osilasi dari waktu ( space ) yang memiliki nilai rata-rata nol. Karakteristik dari wavelet

antara lain adalah berosilasi singkat, translasi (pergeseran), dilatasi (skala), dapat

berbentuk tidak simetris, iiregular, dan durasinya terbatas. Sebagai sebuah fungsi

matematika wavelet dapat menguraikan data atau fungsi menjadi komponen-

komponen frekuensi yang berbeda-beda.

Gambar 9. Perbedaan antara gelombang sinus yang tak berhingga dan wavelet dengan

panjang berhingga

Transformasi wavelet merujuk pada aproksimasi sinyal menggunakan suatu

gelombang singkat yang mengalami translasi dan dilatasi untu keperluan analisis

frekuensi temporal sinyal. Analisis temporal dilakukan menggunakan variasi lokal

gelombang singkat pada waktu tertentu dan analisis frekuensi menggunakan variasi

dilatasi gelombang singkat yang sama.

Wavelet menggunakan suatu fungsi dasar atau fungsi induk ( mother function ) yang

memiliki skala yang bervariasi. Fungsi induk ini akan digunakan sebagai dasar untuk

menurunkan fungsi-fungsi lainnya untuk analisis lokasi dan frekuensi tertentu.

Berberapa fungsi induk yang sering digunakan adalah wavelet Haar dan Daubechies.

Fungsi tersebut dapat digambarkan dalam domain frekuensi seperti Gambar 10 di

bawah ini.


25/38

(a) (b) (c)

Gambar 10. (a) Wavelet Induk Haar, (a) Wavelet Induk Daubechies-2, (c) Wavelet

Induk Daubechies-3

Funsi induk dapat didefinisikan dalam lebar dari fungsi modulasi sehingga akan

mempunyai skala yang tidak pasti serta lokalisasi waktu yang baik. Selanjutnya perlu

mendefinisikan sebuah fungsi sebagai kandidat dari fungsi modulasi dengan

menentukan ρ > 0 dan untuk semua s € Ɍ, s ≠ 0 yaitu :

|| () || () (17)Jika ψ memiliki lebar T sehingga lebar dari ψs = sT. Fungsi modulasi ψ dengan faktor

1/|s| akan bertambah amplitudonya ketika skalanya s berkurang atau sebaliknya.

Dalam konteks frekuensi, untuk skala yang kecil s, fungsi modulasi akan memiliki

frekuensi yang besar atau sebaliknya.

Fungsi hasil turunan merupakan fungsi wavelet induk yang mengalami translasi atau

dilatasi atau telah dilokalisasi dalam waktu. Untuk menyatakan hubungan antara

induk wavelet dan fungsi turunannya dapat diberlakukan persamaan 18 dibawah ini:

|| () || () (18)dimana ψ € L 2 ( R ) , sehingga € L 2 ( R )


26/38

Berdasarkan persamaan di atas sebuah transformasi pada L 2 ( R ) dapat didefinisikan

menggunakan fungsi dari ψs,t sebagai fungsi modulasinya maka akan didapatkan

persamaan di bawah ini

̅ ∫ (19)Persamaan 19 di atas merupakan formulasi matematika dari representasi sinyal yang

dikenal dengan transformasi wavelet. Transformasi ini sendiri dilakukan dengan

menguraikan sinyal dengan menggunakan suatu himpunan fungsi basis ortonormal

yang disebut wavelet.

Transformasi wavelet pada umumnya mempunyai 3 sifat utama yaitu:

Self-similarity

Wavelet melakukan konvolusi yaitu penggabungan sinyal antara fungsi asli dengan

mother function dan menggeser fungsi basis untuk mencari korelasi yang paling

dekat antara kedua fungsi tersebut. Dalam melihat korelasi tersebut akan didapatkan

nilai yang besarnya menunjukkan tingkat korelasi atau kemiripan pada 2 fungsitersebut.

Well localized

Wavelet dapat mengaproksimasi sinyal menggunakan suatu gelombang singkat yang

mengalami translasi dan dilatasi untuk keperluan analisis frekuensi-frekuensi sinyal.

Multi resolution

Sinyal yang asli dapat direkonstruksi menggunakan koefisien yang dihasilkan dari

proses filtering dalam frekuensi tertentu. Hal ini dapat dilakukan dengan memotong

nilai koefisien tersebut dalam ambang batas ( threshold ) tertentu. Kemampuan ini


27/38

biasa disebut multi resolution yang dilakukan dengan memperbesar dan memperkecil

matriks fungsi basis dari wavelet .

Pada dasarnya transformasi wavelet dapat dibedakan menjadi 2 tipe berdasarkan nilai

parameter translasi dan dilatasinya. Tipe dari transformasi wavelet tersebut adalah

sebagai berikut:

Discrete Wavelet Transform (DWT)

o Undecimated Discrete Wavelet Transform (UDWT)

o Conventional Discrete Wavelet Transform (CDWT)

Continuous Wavelet Transform (CWT)

Transformasi wavelet diskrit menggunakan 3 filter yaitu low pass decomposition

filter , high pass decomposition filter , dan reconstruction filter . Dilatasi dan translasi

dilakukan dengan menggunakan faktor integer pangkat 2 yaitu 2,4,8,16,dst.

Transformasi ini memiliki kemampyan untuk menganalisis suatu data dalam domain

waktu dan frekuensi secara simultan. Analisis data dapat dilakukan dengan

mendekomposisikan suatu sinyal ke dalam komponen-komponen frekuensi yang

berbeda-beda yang selanjutnya dapat dianalisis sesuai dengan skala resolusi atau level

dekomposisi yang digunakan. Hal ini dapat digunakan untuk melihat dimana sinyal

tersebut dalam domain waktu dapat dilewatkan ke dalam high pass atau low pass

untuk memisahkan komponen frekuensi tinggi dan rendahnya.

Koefisien dari transformasi wavelet diskrit secara matematis dapat dinyatakan

sebagai berikut:

∫ √ () (20)Dimana : a = 2 j = dyadic scale ; b = k2 j = dyadic translation ; j = level decomposition,

k = discrete time constant .


28/38

Transformasi wavelet diskrit dapat dilakukan dalam dua tahap yaitu dekomposisi dan

rekonstruksi. Proses dekomposisi adalah mengurai suatu sinyal ke dalam komponen-

komponen subband frekuensi yang berbeda dan selanjutnya masing-masing

komponen tersebut dianalisis sesuai dengan skala resolusinya atau level

dekomposisinya. Pada prosesnya sinyal akan dilewatkan pada wavelet decomposition

filter yaitu high dan low. Hasil keluaran yang didapat dari Low pass filter adalah

koefisien cA dan untuk high pass filter adalah koefisien cD. Proses filtering dapat

dilihat pada skema seperti yang tersaji pada gambar 11 di bawah ini.

Gambar 11. Skema dekomposisi pada transformasi wavelet diskrit

Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa bagian aproksimasi A(t) mengandung nilaifrekuensi yang rendah, sedangkan untuk bagian D(t) mengandung nilai frekuensi

yang tinggi.

Proses rekonstruksi adalah menggabungkan kembali komponen-komponen subband

frekuensi yang berasal dari hasil proses dekomposisi. Proses yang dilakukan adalah

melewatkan komponen tersebut pada wavelet reconstruction filter yaitu high pass dan

low pass reconstruction filter . Proses rekonstruksi ini sering disebut inverse discrete

wavelet transform . Keberhasilannya ditentukan oleh nilai kesalahan yang berasal dari

selisih sinyal S‟. semakin kecil nilai kesalahannya semakin sempurna hasil

rekosntruksinya. Secara lengkap proses dekomposisi dan rekonstruksi sinyal

disajikan pada gambar 12 di bawah ini.


29/38

Gambar 20. Skema dekomposisi dan rekonstruksi sinyal dengan menggunakan DWT.

Menurut D Lee Fugal, High pass reconstruction filter sering disebut wavelet function

sedangkan untuk low pass reconstruction filter disebut scaling factor . Perbedaan

diantara keduanya dapat dilihat dalam Tabel 3 di bawah ini.

Tabel 3. Komponen fungsi transformasi wavelet diskrit

Komponen Scaling Function Wavelet Function

Nama Lain Low Pass Reconstruction Filter High Pass Reconstruction Filter

Persamaan √ ( )

√ ( )

Sifat

Fungsi Menentukan aproksimasi (A) Menentukan detail (D)


30/38

Continuous Wavelet Transform (CWT) menganalisis sinyal dengan perubahan skala

pada jendela yang dianalisis, pergeseran jendela dalam waktu dan perkalian sinyal

serta mengintegral semuanya sepanjang waktu. Secara matematis transformasi

wavelet kontinu dapat dirumuskan sebgai berikut:

∫ √ () (21)Dimana transformasi ini ditentukan oleh nilai parameter dilatasi (a) dan translasi (b)

yang bervariasi secara kontinu.

Dilatasi dilakukan dengan ukuran skala untuk mendapatkan frekuesni yang sama

dengan anomali atau kejadian lain. Sedangkan translasi atau pergerseran dilakukan

dalam domain waktu sehingga dapat sejajar dengan kejadian yang dianalisis.

Informasi tentang kapan dan frekuenis dari suatu kejadian dalam sinyal diperoleh

dengan mengetahui skala dilatasi dan besar pergeseran saat wavelet tersebut sejajar

dan berkorelasi dengan kejadian tersebut. Hal ini dapat ditunjukkan dengan nilai

korelasi (C(a,b)):

∑ (22)Dimana a merupakan faktor skala (dilatasi) dan b merupakan faktor translasi.

Aplikasi dari wavelet ini mencakup beberapa bidang diantaranya untuk memperbaiki

komposisi citra misalnya untuk mempertajam citra, memperbaiki data radar misalnya

untuk mendapatkan nilai reflektansi pada daerah yang tertutup awan, peramalan

gempa bumi, dll.

II.4 Metode Kalman Filter

Kalman filtering dikembangkan untuk mengestimasi linear-quadratic problem . Inti

permasalahan yang ingin diselesaikan oleh metode ini adalah mengestimasi


31/38

nilai/keadaan ( state) dari sistem dinamik linier dari pengukuran yang mempunyai

hubungan linier dengan nilai „state‟ yang sudah dimaksud sebelumnya

(Grewal,2011). Dengan metode ini nilai yang dianggap benar dari suatu data dari

pengumpulan ( co-processing ) dapat diestimasi dengan parameter berupa hasil ukuran

dan ketidakpastian ( uncertainty ).

Kalman filter disusun oleh persamaan-persamaan matematika yang digunakan untuk

menghitung nilai „ state’ secara rekursif dengan prinsip kuadrat terkecil atau least

squares (Welch, 2006). Gambar 13 di bawah ini dapat menunjukkan proses

terbentuknya Kalman filter yang diperoleh berdasarkan prinsip-prinsip matematika.

Gambar 13. Konsep dasar pembentuk Kalman filter

(Sumber : Grewal, 2001)

Suatu sistem dinamik dapat diestimasi nilai atau keadaannya dengan Kalman filter.

Proses ini dilakukan dengan memperhitungkan seluruh data ukuran yang telah ada

beserta karakteristik statistiknya misalnya kovariansi. Kalman filter juga digunakan

untuk menghitung nilai/keadaan pada waktu yang akan datang disesuaikan dengan

model proses dan kontrol yang digunakan. selanjutnya nilai prediksi yang didapatkan

akan dibandingkan dengan data ukuran yang baru, dan digunakan untuk

mengestimasi nilai „state‟ y ang actual. Proses ini berlangsung secara berulang

(rekursif) sehingga Kalman filter disebut sistem yang belajar.


32/38

Kalman dikembangkan karena memiliki beberapa kegunaan yang sangat penting

terutama dalam teori estimasi. Beberapa kegunaan dari Kalman filter adalah sebagi

kontrol terhadap suatu sistem dinamik yang kompleks. Kalman filter juga bisa

digunakan dalam tracking objek yang bergerak seperti pada satelit GPS.

Beberapa keunggulan yang dimiliki Kalman filter adalah kemampuan untuk

menyelesaikan masalah untuk multi-variabel serta kombinasinya. Metode ini

memungkinkan untuk pemrosesan data secara real time karena tidak perlu menunggu

hingga data pengukuran cukup atau fix bahkan proses ini dapat mengaktualkan sistem

fitering -nya setiap kali pengukuran dilakukan (Zaknic, 2005).

Akan tetapi Kalman Filter juga memiliki beberapa kekurangan diantaranya hanya

dapat diguankan pada sistem dengan distribusi error Gaussian atau distribusi normal

dan sistem yang linier.

Algoritma perhitungan Klaman filter sendiri memiliki 3 proses penting. Proses

tersebut berlangsung secara berulang dan rekursif. Di bawah ini adalah ketiga proses

tersebut berserta persamaan yang dapat memperlihatkan prosesnya.

1. Perhitungan Kalman gain

(23)

2. Perhitungan current state (nilai aktual)

(24)

3. Perhitungan New Error

(25)

di mana KG adalah Kalman gain , E est dan E mea berturut-turut adalah error atau

ketidakpastian dari nilai estimasi dan nilai ukuran, EST t adalah nilai „state‟ pada saat

t, MEA adalah hasil ukuran.


33/38

Kalman gain merupakan bobot yang didapatkan dari perbandingan nilai error

estimasi dengan nilai error total ( error estimasi + error pengukuran) seperti yang

ditunjukkan persamaan 1. Nilai Kalman gain ini dapat bervariasi dari 0 sampai 1 yang

menandakan kualitas dari pengukuran dan stabilitas sistem. Nilai ini akan digunakan

untuk menghitung nilai aktual berdasarkan nilai sebelumnya seperti yang ditunjukkan

pada persamaan 2.

Sebagai contoh jika nilai error pengukuran kecil maka KG akan mendekati 1, dengan

bobot yang besar maka pengukuran akan dianggap benar. Hal ini menyebabkan nilai

„state‟ yang abru akan mendekati hasil ukuran. Nilai Kalman gain akan semakin

menurun sebanding dengan konvergennya estimasi „state‟ pada suatu nilai/ harga.

Setelah itu nilai error estimasi baru akan dihitung dengan persamaan 3. Proses

tersebut merupakan penggabaran dari bagaimana Kalman filter bekerja.

Berikut ini akan dijelaskan bagaimana Kalman filter mencoba mengestimasi nilai

„state‟ yang baru berdasarkan suatu model proses seperti ya ng ditunjukkan oleh

persamaan 26 dan 27 di bawah ini.

(26)

dan suatu model pengukuran

(28)

di mana

xk adalah vektor „state‟ yang mengandung parameter sistem yang ingin diestimasi,

uk adalah vektor kontrol yang mengandung variable yang mengontrol „ state ‟,

wk adalah vektor yang menyatakan noise pada modelestimasi tersebut,

A adalah matriks yang menghubungkan estimasi pada k-1 dengan estimasi pada k ,


34/38

B adalah matriks yang menghubungkan „ state ‟ dengan input u atau perubahan x

terhadap u.

z k adalah vektor pengukuran,

vk adalah vektor noise pada pengukuran dan H adalah matrik yang

mentransformasikan ukuran „ state ‟ dari pengukuran.

Konsep Kalman filter yang dijelaskan sebelumnya bahwa Kalman menestimasi

„ state ‟ beserta ketidakpastiannya. Misalkan P k adalah matriks kovariansi proses yang

menyatakan kovariansi antara nilai- nilai parameter „ state ‟ yang mana secara rekursifdinyatakan sebagai

(29)yang mana jika dianalogikan degan sitem Persmaan 1, 2, dan 3, nilai P k adalah nilai

error dalam estimasi E est.

Estimasi nilai Kalman gain seperti pada Persamaan 1, ditulis sebagai berikut

(30)

di mana R menyatakan matriks kovariansi dari pengukuran atau sensor.

Kemudian persamaan 2 dan 3 untuk mengupdate nilai „ state ‟ dan kovariansiny a

dianalogikan sebagai berikut

(31)

(32)

Berdasarkan persamaan-persamaan di atas dapat dikelompokkan 2 grup persamaan

yaitu time update dan measurenment update . Persamaan time update bertugas untuk


35/38

menentukan estimasi nilai „state‟ beserta kovariansi pada waktu berikutnya,

sementara persamaan measurement update bertugas untuk menghitung estimasi

aposteriori nilai „state‟ dan kovariansi berdasarkan estimasi apriori dan data ukura n.

Pada Gambar 14 di bawah ini ditunjukkan bagaimana proses time dan measurenment

update dilakukan.

Gambar 14.Ilustrasi time dan measurement update.

(Sumber : Welch, 2006)


36/38

BAB III

PENUTUP

III.1 Kesimpulan

Berdasarkan uraian yang sudah dibahas pada Bab sebelumnya didapatkan beberapa

kesimpulan diantaranya sebagai berikut:

1. Statistik merupakan kumpulan angka yang disusun, diatur, atau disajikan ke

dalam bentuk daftar atau tabel.

2. Statistik spasial merupakan aplikasi dari konsep statistik dan metode untuk

mendekati dan memahami yang secara eksplisit memiliki struktur spasial.

3. Wavelet merupakan suatu gelombang dengan durasi terbatas sebagai sebuah

fungsi osilasi dari waktu ( space ) yang memiliki nilai rata-rata nol.

4. Kalman filter disusun oleh persamaan-persamaan matematika yang digunakan

untuk menghitung nilai ‘state’ secara rekursif dengan prinsip kuadrat terkecil

atau least squares (Welch, 2006).

III.2 Saran

Proses analisis data yang dilakukan untuk mendapatkan suatu kesimpulan terhadap

suatu masalah harus dilakukan dengan menggunakan metode-metode yang ada

dengan mempertimbangkan karakteristik data yang didapat serta kesimpulan yang

akan diambil.


37/38

DAFTAR PUSTAKA

Bailet, T.C. and Gatrell, A. C. 1995. Interactive Spatial Data Analysis.

Longman : Harlow

Beylkin, G., Coifman, R., & Rokhlin, V. 1991a. Fast wavelet transforms and

numerical algorithms. Comm. in Pure and Applied Math., 44, 141{183

Bogdan, Robert, C., Biklen, Sari, K. 1998 . Quali tative Research i n E ducation, an

I ntroduction toTheory and M ethods, Third Edition, Boston, Allyn and Bacon.

Chui, C. K. 1992. An introduction to wavelets. Academic Press.

Collins, George W. 2003. Fundamental Numerical Methods and Data Analysis.

Walpole et al. 2012. Probability and Statistiks for Enginners and Scientist 9 th

ed. Pearson Education

Faragher, R. 2012 Understanding the Basis of the Kalman Filter Via a Simple

and Intuitive Derivation. IEEE Signal Processing Magazine pp128-132

Fardi, Adnan, dkk. 2012. Silabus dan Hand-Out Mata Kuliah Statistik.

Padang : UNPFischer, Manfred M and Arthur Getis. 2010. Handbook of Applied Spatial

Analysis : Software Tools, Methods and Applications. New York :

Springer

Fischer, Manfred M. and Jinfeng Wang. 2011. Spatial Data Analysis

Models, Methods, Techniques.

Fortin, Marie-Josee, M. Dale and J. Hoeff, 2002. Spatial Analysis in

Ecology . Encyclopedia of Environmetrics, 4: 2051-2058.

Grewal et al. 2001. Kalman Filtering: Theory and Practice Using MATLAB 2 nd Ed .

Legrendre, Pierre, 1993. Spatial Autocorrelation: Trouble or New

Paradigm? Ecology, 74(6): 1659- 1673.

Legrendre, Pierre and M.J. Fortin, 1989. Spatial pattern and ecological


38/38

analysis . Vegetation 80: 107-138.

Lichstein, Jeremy, T.R. Simons, S.A. Shriner and K.E. Franzreb, 2002.

Spatial Autocorrelation and Autoregressive Models in Ecology .

Ecological Monographs 73(3): 445-463.

Ribeiro, Paulo and P.J. Diggle, 2001. geoR: A Package for Geostatistikal

Analysis . http://spatial.nhh.no/R/Rgeo/rnews1.2.15-18.pdf

Strang, Gilbert, & Strela, Vasily. 1994. Orthogonal multiwavelets with vanishing

moments. Optical Engineering, 33(7), 2104{2107.

Welch, G and Bishop, G. 2006. An Introduction to the Kalman Filter . Dept of

Computer Science, University of North CarolinaZaknich, Anthony. 2005. Principle of Adaptive Filters and Self-learning Systems.

Leipzig: Springer-Verlag

http://bilgin.esme.org/BitsBytes/KalmanFilterforDummies.aspx diakses 15 Desember

2015

http://ilecturesonline.com Special Topics : Kalman Filtering, diakses 14 Desember

2015
http://spatial.nhh.no/R/Rgeo/rnews1.2.15-18.pdfhttp://spatial.nhh.no/R/Rgeo/rnews1.2.15-18.pdfhttp://spatial.nhh.no/R/Rgeo/rnews1.2.15-18.pdfhttp://bilgin.esme.org/BitsBytes/KalmanFilterforDummies.aspxhttp://bilgin.esme.org/BitsBytes/KalmanFilterforDummies.aspxhttp://ilecturesonline.com/http://ilecturesonline.com/http://ilecturesonline.com/http://bilgin.esme.org/BitsBytes/KalmanFilterforDummies.aspxhttp://spatial.nhh.no/R/Rgeo/rnews1.2.15-18.pdf

15112043_wachid nuraziz musthafa_makalah uas tad

Documents