BUKU AJAR KALKULUS I

Penulis Robertus Heri, S.Si, M.Si

PROYEK SP4 T AHUN 2005 JURUSAN MA TEMA TIKA FMIP A

UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2005

KATA PENGANTAR

Terima kasih kepada Tuhan alas penyertaanNya selama penyusunan sampm

selesainya buku ajar ini. Pembuatan buku ajar Kalkulus I merupakan salah satu kegiatan Hibah Pengajaran tahun kedua yang didanai oleh proyek SP4. Kegiatan yang lain adalah magang perkuliahan dan kuliah wawasan, yang juga telah usai dilaksanakan.

Buku ajar ini dilengkapi dengan soal-soal yang berorientasi pada real problem solving yang merupakan lema kegiatan SP4. Kiranya buku ajar ini semakin melengkapi referensi Kalkulus I yang sudah ada, dan akan menjadi buku pegangan utama dalam pelaksanaan kuliah Kalkulus I.

Ucapan terima kasih juga kami sampaikan kepada lbu Ora. Dwi lspriyanti, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UN DIP,

2 lbu Ora. Sunarsih, M.Si, Sekretaris Jurusan Matematika FMIPA UNDIP yang juga Ketua Program SP4,

3 Bapak Dr. Supama, M.Si, dosen Kalkulus I Jurusan Matematika FMIPA

UGM sebagai pembimbing dalam magang pembuatan buku ajar Kalkulus I, 4 lbu Drs. Sintarsih dan lbu Dr. Widowati, M.Si, tim pengajar Kalkulus

jurusan Matematika FMIPA UNDIP, 5 Rekan-rekan dosen Jurusan Matematika FMIPA UNDIP,

yang telah memberikan kesempatan dan dukungan semangat kepada penulis untuk

menambah pengetahuan dan wawasan dengan mengikuti program Hibah Pengajaran ini. Kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan untuk kesempurnaan buku

Semarang, Desember 2005

Penulis.

II

DAFTAR ISI

Kata Pengantar II Daftar lsi Ill Kontrak Perkuliahan

Garis-garis Besar Program Pengajaran 6 1. Himpunan

I .I. Relasi An tar Himpunan 10 I .2. Operasi An tar Himpunan II

2. Sistem Bilangan Real 2.1. Sistem Bilangan Real 16

a. Aksioma Lapangan 16 b. Komponen Bilangan Real 17 c. Aksioma Urutan 18 d. Aksioma Kelengkapan 20

e. Interval 21

f. Bentuk Aljabar 21 2.2. Pertidaksamaan 22

2.3. Nilai Mutlak 23

2.4. Petidaksamaan Dalam Nilai Mutlak 24

3. Sis tern Koordinat dan Fungsi 3.1. Sistem Koordinat Kartesius 27

3.2. Sistem Koordinat Kutub 30 a. Hubungan Antara Koordinat Kartesius

dan Koordinat Kutub 32

b. Menggambar Grafik dalam Koordinat Kutub 33

3.3. Fungsi 36 a. Penyajian Suatu Fungsi 37 b . .Ienis Fungsi dan Grafiknya 40

c. Operasi pada Fungsi 52

iii

d. Komposisi Fungsi e. Transformasi Fungsi

f. Fungsi lnvers

4. Limit dan Kekontinuan Fungsi

4. I. Konsep Limit Fungsi

a. Pendekatan Limit Secara Numerik

b. Pendekatan Limit Secma Grafik c. Sifat-sifat Limit Fungsi d. Limit Fungsi

e. Lim it Fungsi Trigonometri

f. Limit Tak Hingga 4.2. Kekontinuan Fungsi

a. Kekontinuan Fungsi di Satu Titik b. Kekontinuan Fungsi di Suatu Interval

5. Turunan

54 56 59

63 65 66 68 70 76 78 82

82

87

5. I. Masalah-masalah yang Ditafsirkan Sebagai Turunan 93 5.2. Definisi Turunan 94 5.3. Sifat-sifat Turunan 97 5.4. Tafsiran Geometris dari Turunan 99 5.5. Turunan Kiri dan Turunan Kanan I 00 5.6. Diferensial I 0 I 5.7. Aturan Rantai I 04

5.8. Turunan Fungsi-fungsi I 06 6. Penerapan Turunan

6. I. Titik Ekstrim Fungsi I 2 I 6.2. Titik Belak Fungsi I 3 I 6.3. Penggambaran Grafik Fungsi I 35 6.4. Gerak Rektilinear 140 6.5. Masalah Laju yang Berkaitan 142 6.6. Bentuk Tak Tentu dan Aturan L'I-Iospital 145

6.7. Terapan Masalah Ekstrim 147

IV

6.8. Penerapan di Bidang Ekonomi

7. Integral Tak Tentu dan Teknik Pengintegralan 7.1. Integral Tak Tentu

7.2. Teknik Pengintegralan

a. Integral Parsial

b. Integral Fungsi Trigonometri

c. Integral Substitusi Trigonometri

d. Integral Fungsi Rasional

e. Substitusi yang Merasionalkan

f. Strategi Penginte1,rralan 8. Integral tentu dan Penerapannya

8.1. Integral Tentu

8.2. Penerapan Integral Tentu

a. Menentukan Luas Daerah

b. Menentukan Volume Daerab

c. Menentukan Panjang Busur Suatu Kurva d. Menentukan Luas Pennukaan Benda Putar

Daftar Pustaka

Satuan Acara Pengajaran

!50

160

163

163

164

167

169

175

176

179

186

\86

188

192 195

200

201

v

KONTRAK PERKULIAHAN

Nama Mala Kuliah

Kode Mata Kuliah

Pengajar

Semester

Hari Pertemuan/Jam

Tempat Pertemuan

1. Manfaat Mata Kuliah

: Kalkulus I

:MAT I03

: Dr. Widowati, M,Si Robertus Heri, M.Si

: l/2005-2006 : Selasa, 07.30-09 .I 0 Jum 'at, 07.30-09. I 0

: Ruang Kuliah E I 0 I & B I 03

Matematika sebagai ilmu dasar digunakan sebagai alat untuk pemecahan dan penyelesaian masalah kehidupan sehari-hari termasuk di dalamnya ilmu pengetahuan dan teknologi. Matematika mempunyai banyak keunggulan: bahasa dan aturannya terdefinisi dengan baik, penalarannya jelas dan sistematik, dan strukturnya sangat kuat. Dengan matematika suatu masalah nyata dapat dibuat dalam suatu model yang strukturnya jelas dan tepa!

Kalkulus merupakan suatu mata kuliah dasar yang sangat perlu dikuasai dengan

baik oleh setiap mahasiswa sains dan teknik, sehingga mahasiswa mempunyai pola pikir

ilmiah yang kritis, logis dan sistematik, mampu merancang model matematika sederhana, serta terampil da!am teknis matematika yang baku dengan didukung oleh konsep, penalaran, rum us dan metode yang benar.

2. Deskri psi Perkuliahan

Mata kulaih ini merupakan prasyarat untuk matakuliah Kalkulus II dan kalkulus peubah banyak yang membahas sistem bilangan real, himpunan, fungsi, limit fungsi dan

kekontinuan, tunman dan penerapannya, integral, teknik pengintegralan, dan penerapan integral.

Mata kuliah ini berusaha sejauh mungkin memberikan dasar-dasar teori maupun yang sangat diperlukan oleh mata kuliah lain, yang berupa definisi, teorema dan disertai contoh soal dan penyelesaian serta dilengkapi dengan latihan soal dengan tingkat kesulitan yang bertingkat.

3. Tujuan Instruksional 3.1 Umum

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester 1), mahasiswa mempunyai pemahaman konseptual yang benar tentang topik-topik utama dalam Kalkulus (limit, kekontinuan, diferensial, integral) beserta teorema dan sifat-sifat serata teknik-teknik penting didalamnya.

3.2 Khusus

Pada akhir perkuliahan diharapkan mahasiswa mampu: I. Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke I), mahasiswa akan

dapat menjelaskan definisi himpunan dan operasi-operasi antar himpunan 2. Sctclah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertcmuan ke 4), mahasiswa akan

dapat menjelaskan sistem bilangan real dan aksioma-aksioma di dalamnya, serta menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan biasa maupun pertidaksamaan

dalam harga mutlak. 3. Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke 7) mahasiswa akan

dapat menjelaskan perbedaan sistem koordinat kartesius dan koordinat kutub, serta menjelaskan definisi fungsi dan mengetahui jenis-jenis fungsi.

4. Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke I 0), mahasiswa akan dapat menjelaskan konsep yang tepat tentang limit dan kekontinuan suatu fungsi, serta hubungan limit dan kekontinuan.

5. Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhit pertemuan ke 14), mahasiswa akan dapat menjelaskan pengertian tunman sebagai suatu limit fungsi, hubungan tunman dan kekontinuan, aturan rantai, tunman fungsi aljabar,turunan fungsi

2

mvers, tunman fungsi trigonometri, tunman fungsi eksponensial, tunman fungsi siklometri., tunman fungsi hiperbolik.

G. Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke 17), mahasiswa akan dapat menjelaskan penggunanaan tunman untuk menentukan nilai maksimum/minimum, kecekungan fungsi, teorema Rolle, penggambaran

fungsi, bentuk tak tentu limit fungsi, masalah laju yang berkaitan, dan masalah ekstrem.

7. Setelah mengikuti kuliah ini (pad a akhir pertemuan ke 21 ), mahasiswa akan dapat memahami pengertian integral tak tentu sebagai suatu anti tunman, menyelesaikan soal integral fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, fungsi logaritma dengan teknik integral parsial, integral sunstitusi trigonometri, integral fungsi rasional, serta menguasai startegi

pengintegralan.

8. Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke 25), mahasiswa akan dapat menjelaskan pengertian integral tentu, dan hubungannya dengan integral tak tentu dengan teorema dasar kalulus, serta menyelesaikan soal-soal integral

tentu. Selain itu, juga mampu menggunakan integral tak tentu untuk menghitung luas daerah, menghitung volume benda putar, menghitung

panjang busur suatu kurva, menghitung luas permukaan benda putar.

4. Strategi Perlmliahan Metode perkuliahan dilakukan dengan ceramah, diskusi dan latihan soal. Lama

perkuliahan 2x I 00 men it, masing-masing dialokasikan 50 men it untuk membahas teori pokok bahasan, 20 menit berikutnya dikusi, dan 30 menit sisanya untuk memberikan kesempatan kepada mahasiswa untuk menge1jakan latihan soal. Mahasiswa yang mengikuti perkuliahan sebanyak 33 mahasiswa.

5. Referensi

I. Edwin J Purcell, Dale Yarberg, Calculus With Analitic Geometry, Prentice-1-lall. Inc,

New York, 1987 2. Frank Ayres, Calculus, Mac. Graw 1-lills, 1964

3

3. Louis Leithold, Calculus With Analytic Geometri, Harper and Row Publisher, New York

4. K.A. Stroud, Engeenering Mathematics, MacMillan Press Ltd, 1987.

5. James Stewart, Calculus, Fourth Edition, Brooks/Cole Publishing Company, 1999

6. Tugas Tugas diberikan kepada mahasiswa setelah selesai membahas setiap poko bahasan. Tugas merupakan salah satu komponen penilaian.

7. Kriteria Penilaian. Kriteria penilaian yg digunakan adalah :

I.Nilai A :91-100 2. Nilai AB : 81-90 3. Nilai B : 71-80 4. Nilai BC : 61-70 5. Nilai c : 51-60 6. Nilai CD : 41-50 7. Nilai D : 31-40 8. Nilai E :

Real, Aksioma Urutan, Aksioma Kelengka- Robertus Heri, M.Si pan, Bentuk Umum Pertidaksamaan, Harga Mutlak, Pertidaksamaan dalam Harga Mutlak

V-VI Sistem Koordinat Kartesius, Sistem Koordinat Dr. Widowati, M.Si Kutub, Definisi Fungsi, Jenis-jenis Fungsi, Robertus Heri, M.Si Operasi Fungsi, Fungsi Jnvers.

V!f-VJII Konsep Limit Fungsi, Definisi Limit Fungsi, Dt. Widowati, M.Si Limit Fungsi Trigonometri, Limit Tak Robertus Heri, M.Si Hingga, Kekontinuan Fungsi.

IX UJJAN TENGAH SEMESTER Panitia Ujian. IX Kuliah Wawasan Dr. Suryasatriya

Trihandaru, M.Sc X-XI Masalah-masalah yang Berkaitan dengan Dr. Widowati, M.Si

Turunan, Definisi Turunan, Sifat-sifat Robertus Heri, M.Si Turunan, Tafsiran Geometris dari Turunan, Diferensial, Diferensiabel, Aturan Rantai, Turunan Fungsi aljabar, fungsi transenden, fungsi trigonometri, fungsi invers.

XII-XIII Nilai Max/Min, Fungsi Naik/Turun, Dr. Widowati, M.Si Kecekungan Fungsi, Penggambaran Grafik Robertus Heri, M.Si Fungsi, Gerak Rektilinear, Masalah Laju yang Berkaitan, Bentuk Tak tentu dan Aturan L'I-Iospital, Penerapan Masalah Ekstrim. Penerapan di Bidang_ Ekonomi

XIV-XV Integral Tak tentu, Rumus Integral Tak Tentu, Dr. Widowati, M.Si Teknik Pengintegralan Robertus Heri, M.Si

XVI Integral Tentu, Teorema Dasar Kalkulus, Dr. Widowati, M.Si Penerapan Integral Tentu. Robertus Heri, M.Si

XVII UJIAN AKI-IIR SEMESTER Panitia Uj ian.

5

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP)

JUDUL MATA KULIAH NOMOR KODE/SKS DESKRIPSI SINGKAT

TUJUAN !NSTRUKSIONAL UMUM

No Tujuan Instruksional Khusus I 2 I Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir

pertemuan ke I), mahasiswa akan dapat menjelaskan definisi himpunan dan operasi-operasi antar him_g~man

2 Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke 4), mahasiswa akan dapat menjelaskan sistem bilangan real dan aksioma-aksioma di dalamnya, serta menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan biasa maupun pertidaksamaan dalam harga mutlak.

3 Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pet1emuan ke 7) mahasiswa akan dapat menjelaskan perbedaan sistem koordinat km1esius dan koordinat kutub, serta menjelaskan definisi fungsi dan mengetahui jenis-jenis fungsi.

: Kalkulus I :MATI03/4SKS : Mata kuliah ini membahas tentang sistem bilangan real, fungsi dan jenis-jenis fungsi, konsep limit dan sifat-

sifat limit, turunan dan penerapannya, integral dan teknik integrasi beserta penerapan integral. : Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester), mahasiswa akan mempunyai pemahaman

konseptual yang benar tentang topik-topik utama dalam kalkulus (limit, diferensial, integral) beserta teorema-teorema dan sifat-sifat penting yang ada di dalamnya.

Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Estimasi Waktu Daftar Pustaka

3 4 5 6 Himpunan I. Definisi himpunan I kali pertemuan [1]-[5]

2, Relasi dan operasi antar (I 00 menit) himpunan

Sistem Bilangan Real ], Aksioma Lapangan. 3 kali pertemuan (1]-[5] 2, Komponen Bilangan real (2 x I 00 men it) 3, Aksioma Urutan, 4. Aksioma Kelengkapan 5, Bentuk Umum

Pertidaksamaan, 6. Harga Mutlak 7, Pertidaksamaan dalam Harga

Mutlak. Sistem Koordinat dan ], Sistem Koordinat Kartesius 3 kali pet1emuan (1]-(5] Fungsi 2, Sistem Koordinat Kutub (I 00 men it)

3. Definisi Fungsi 4. Jenis-jenis Fungsi 5. Operasi pada Fungsi 6. Fungsi Invers.

6

4 Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir Limit dan Kekontinuan I. Konsep Limit Fungsi 32 kali [l]-[5] pertemuan ke J 0), mahasiswa akan dapat Fungsi 2. Definisi Limit Fungsi pertemuan (2 x menjelaskan konsep yang tepat tentang limit 3. Limit Fungsi Trigonometri 100 menit) dan kekontinuan suatu fungsi, serta 4. Limit Tak Hingga. hubungan limit dan kekontinuan. 5. Kekontinuan Fungsi

5 Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir Turunan I. Penjelasan Masalah-masalah 4 kali pe1temuan [I]-[5] pertemuan ke 14), mahasiswa akan dapat yang Berkaitan dengan (4x IOOmenit) menjelaskan pengertian turunan sebagai Turunan. suatu limit fungsi, hubungan turunan dan 2. Definisi Turunan kekontinuan, aturan rantai, turunan fungsi 3. Sifat-sifat Terunan aljabar,turunan fungsi invers, turunan fungsi 4. Tafsiran Geometris dari trigonometri, turunan fungsi eksponensial, Turunan turunan fungsi siklometri., turunan fungsi 5. Diferensial hiperbolik. 6. Diferensiabel

7. Aturan Rantai 8. Turunan Fungsi

6 Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir Penerapan Turunan I. Nilai Max/Min 3 kal i pertemuan [I]-[5] pe1temuan ke 17), mahasiswa akan dapat 2. Fungsi Naik/Turun (100 menit) menjelaskan penggunanaan turunan untuk 3. Kecekungan Fungsi menentukan nilai maksimum/minimum, 4. Penggambaran Grafik Fungsi kecekungan fungsi, teorema Rolle, 5. Gerak Rektilinear penggambaran fungsi, bentuk tak tentu limit 6. Masalah Laju yang Berkaitan fungsi, masalah laju yang berkaitan, dan 7. Bentuk Tak Tentu dan Aturan masalah ekstrem L'Hospital

8. Penerapan Masalah Ekstrim 9. Penerapan di Bidang

Ekonomi __j

7 Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir Integral tak Tentu dan I. Integral Tak Tentu 4 kali pertemuan [1]-[5] pe1temuan ke 21 ), mahasiswa akan dapat Teknik Pengintegralan 2. Rum us Integral Tak Tentu (3 x I 00 men it) memahami pengertian integral tak tentu 3. Integral Parsial sebagai suatu anti turunan, menyelesaikan 4. Integral Fungsi Trigonometri soal integral fungsi aljabar, fungsi 5. Integral Substitusi trigonometri, fungsi eksponensial, fungsi Trigonometri Iogaritma dengan teknik integral parsial, 6. Integral Fungsi Rasional integral sunstitusi trigonometri, integral 7. Substitusi yang

7

fungsi rasional, serta menguasai startegi Merasionalkan. pengintegralan.

8 Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir Integral Tentu dan I. Integral Tentu 4 kali pettemuan [ 1]-[5] pertemuan ke 25), mahasiswa akan dapat Penerapannya 2. Teorema Dasar Kalkulus (2 x I 00 men it) menjelaskan pengertian integral tentu, dan 3. Penggunaan Integral tentu hubungannya dengan integral tak tentu untuk Menentukan Luas dengan teorema dasar kalulus, se11a Daerah menyelesaikan soal-soal integral tentu. 4. Penggunaan Integral tentu Selain itu, juga mampu menggunakan untuk Menentukan Volume integral tak tentu untuk menghitung luas Daerah daerah, menghitung volume benda putar, 5. Penggunaan Integral tentu menghitung panjang busur suatu kurva, untuk Menentukan Panjang menghitung luas permukaan benda putar. Busur

6. Penggunaan Integral tentu untuk Menentukan Luas Volume Benda Putar.

Daftar Pustaka: I. Edwin J Purcell, Dale Varberg, Calculus With Analitic Geometry, Prentice-Hall. Inc, New York, 1987 2. Frank Ayres, Calculus, Mac. Graw Hills, 1964 3. Louis Leithold, Calculus With Analytic Geometri, Harper and Row Publisher, New York 4. K.A. Stroud, Engeenering Mathematics, MacMillan Press Ltd, 1987. 5. James Stewart, Calculus, Fourth Edition, Brooks/Cole Publishing Company, 1999

8

TUJUAN INSTRUKSIONAL

Umum

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pacta akhir semester 1), mahasiswa mempunyai pemahaman konseptual yang benar tentang topik-topik utama dalam

Kalkulus (limit, kekontinuan, diferensial, integral) beserta teorema dan sifat-sifat serata teknik-teknik penting didalamnya.

Khusus

Pacta akhir perkuliahan ini (pada akhir pertemuan ke 1), mahasiswa akan dapat menjelaskan definisi himpunan dan operasi-operasi antar himpunan

9

1. HIMPUNAN

Sebelum memulai pembahasan bilangan real, akan dibahas terlebih dahulu pengertian himpunan.

Himpunan adalah kumpulan obyek yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Obyek dari

himpunan S disebut elemen atau anggota dari S dan dilambangkan dengan E. Himpunan

yang tidak mempunyai elemen disebut himpunan kosong atau null set, disimbolkan

dengan 0.

Jika a adalah elemen dari himpunan S, ditulis a E S dan dibaca "a elemen S" atau

"a di dalam S". Sedangkan untuk menyatakan bahwa a bukan elemen S ditulis a li! S dan

dibaca "a bukan elemen S" atau "a bukan di dalam S" ..

Suatu himpunan dapat disajikan dalam dua cara yang berbeda. Sebagai contoh, misalnya himpunan A mempunyai elemen 0, I ,2,3,4,5. Penyajian pertama untuk A adalah A={O, I ,2,3,4,5} dan dibaca "A adalah himpunan yang memuat elemen 0, I ,2,3,4,5". Penyajian yang lain adalah A={x/x adalah bilangan bulat non negatifyang kurang dari 6} dan dibaca "A adalah himpunan semua x dimana x adalah bilangan bulat non negatif yang kurang dari 6".

Sekarang perhatikan himpunan C={2,3} dan D={2,3,5} dimana setiap elemen C juga di dalam D. Ketika elemen-elemen himpunan C juga merupakan elemen himpunan D, dikatakan bahwa C himpunan bagian (subset) D dan dinotasikan dengan C

Saling Lepas Himpunan A dan 8 dikatakan saling lepas jika antma himpunan A dan 8 tidak terdapat elemen yang sama

+ Sarna Dua himpunan A dan 8 dikatakan sama bila elemen himpunan A sama dengan

elemen himpunan 8

+ Ekivalen

Dua himpunan A dan 8 dikatakan ekivalen bila himpunan A dan 8 mempunyai elemen yang sam a ban yak, tapi elemen-elemen itu tidak sama.

1.2 Operasi An tar Himpunan + Irisan dari Dua Himpunan (Intersection)

lrisan (inlerseclion) dari A dan 8, dan dinotasikan dengan Au8 adalah himpunan yang anggotanya elemen-elemen himpunan A dan 8 Penyajian dalam notasi matematik adalah sebagai berikut

x s AuB x sA dan x s B

Gabungan Dua Himpunan (Union) Gabungan (Union) himpunan A dan 8, dinotasikan dengan An8 adalah himpunan yang anggotanya elemen anggota A atau 8 Penyajian dalam notasi matematik adalah sebagai berikut

x s AnB x sA a tau x s B

+ Selisih Dua Himpunan Selisih dua himpunan A dan 8 dinotasikan dengan A-8 adalah himpunan yang

anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A tapi bukan merupakan

anggota himpunan 8

Penyajian dalam notasi matematika adalah sebagai berikut x s A-B x sA dan x 10 B

Komplemen

II

Komplemen dari himpunan A didefinisikan sebagai himpunan selain himpunan A

tapi masih dalam semesta pembicaraan. Komplemen A ditulis A'. Penyajian dalam notasi matematika adalah sebagai berikut

A'={x/xii"A, XES} Soal-soallatihan

I. Jika D = {0,4,7} kita katakan 7 ED dan {7} c:;; D, tetapi bukanlah 7 c:;; D. Tentukan mana yang benar dian tara pernyataan berikut:

a. 4 ED c. ~ED

b. 4 c:;; D d. ~ c:;; D g. Oc:;;D i. 0 * ~

2. Misalkan himpunan semesta S ={x lx bilangan ganjil positif} tentukan Ac bila

a. A= {I} c. A=~

b. A= {I ,3,5,7} d. A= S

3. Misalkan A= {1,2,3}, B = {2,4,6}, C = {3,4,5} tentukanlah:

a. Au B b. Au C c.C u D d. Au B u C e. An BuC

f. An B g. An C h.C n D i. Au B nC j. An Bu C

4. Diketahui S = {0,1,2,3, ... ,8,9}, A= {0,1,2,4,8}, B = {0,3,5,7} tentukanlah:

a. (S-A)n(S-B) b. (S-A)u(S-B)

c. Au(S-A) d. An(S-A)

5. Tentukanlah syarat agar operasi antar himpunan A dan Bini dipenuhi :

a. AnB=~ b. AnB = U c. AuB=U

d. AuB =~ e. AnB=A f.AuB=A

0 An~=~ h. AnU=A I. AuU=U ""

J. AuU=A k. Au~=U I. Au~=~

12

dimana U himpunan semesta.

6. Buktikanlah :

a. (AnB)nBc =~

b. [rcu(PnQ)f =PnQc

c. (AnB)u(AnBc)=A

7. Dalam suatu survey pemakaian sabun cuci pada 1.000 rumah tangga diperoleh data

sebagai berikut :

550 rumah tangga memakai sabun detergen A

480 rumah tangga memakai sabun cuci cap B

600 rumah tangga memakai sabun detergen C

250 rumah tangga memakai sabun detergen A dan sabun cuci cap B

380 rumah tangga memakai sabun detergen C dan sabun detergen A

I I 0 rumah tangga memakai sabun detergen C dan sabun cuci cap B

Berapa rumah yang memakai ketiga macam sabun tersebut (A,B,C)

8. Dalam pertemuan 60 orang mahasiswa suatu universitas disediakan minuman merk A

dan B, setelah diadakan pencatatan ternyata :

30 orang minum A

25 orang minum B

15 orang minum A dan B

Buatlah diagram Venn dan hitunglah:

a. Berapa orang yang tidak minum apa-apa

b. Berapa orang yang minum A saja

c. Berapa orang yang minum B saja

13

9. Dari basil wawancara di suatu daerah duiperoleh data mengenai prosentase pembaca

majalah X,Y,Z sebagai berikut:

50% membaca majalah X 50% membaca majalah Y

70% membaca majalah Z

40% membaca majalah X dan Z

30% membaca majalah Y dan Z

20% membaca m~ualah X dan Y

I 0% membaca majalah ketiga-tiganya

Pertanyaan:

a. Berapa persen yang membaca tepa! dua majalah

b. Berapa persen yang tidak membaca salah satupun dari ketiga majalah terse but.

14

TUJUAN INSTRUKSIONAL

Urn urn

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester !), mahasiswa mempunyai pemahaman konseptual yang benar tentang topik-topik utama dalam

Kalkulus (limit, kekontinuan, diferensial, integral) beserta teorema dan sifat-sifat serata teknik-teknik penting didalamnya.

Khusus

Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke 4), mahasiswa akan dapat menjelaskan sistem bilangan real dan aksioma-aksioma di dalamnya, serta menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan biasa maupun pertidaksamaan dalam

harga mutlak.

15

2. SISTEM BILANGAN REAL

2.1 Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real R adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian, sehingga memenuhi aksioma tertentu. Terdapat tiga aksioma dalam sistem bilangan real, yaitu:

a. Aksioma Lapangan

b. Aksioma Urutan.

c. Aksioma Kelengkapan.

a. Aksioma Lapangan

Operasi penjumlahan dan perkalian yang berlaku pada R memenuhi aksioma: Jika a, b E R, maka a+b E R dan ab s R (Tertutup terhadap penjumlahan dan

perkalian). Jika a,b s R, mal

a( b-e )=ab-ac -(-a)=a dan untuk a;tO, (a'r'=a. + a.O=O.a=O, a(-b)=-a(b)=-ab, (-a)(-b)=ab. + Jika ab=O maim a=O atau b=O

a c + - = - ad = be b ;t 0, d ;t 0

b d '

b. Komponen Bilangan Real

Berikut ini disajikan himpunan-himpunan penting dari bilangan Himpunan bilangan asli: {I ,2,3, ... } digunakan untuk menghitung banyaknya

obyek suatu himpunan. Dinotasikan dengan N={ l ,2,3, ... } + Himpunan bilangan prima: {2,3,5,7, ... } yaitu himpunan bilangan yang hanya

mempunyai dua faktor, yaitu I dan dirinya sendiri.

Himpunan bilangan komposit: {4,6,8,9, ... } yaitu himpunan bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor.

+ Himpunan bilangan cacah: {0,1,2,3, ... } yaitu himpunan bilangan asli beserta angka no!.

+ Himpunan bilangan bulat: Z={ ... ,-2,-l,O,l,2, ... ). Himpunan bilangan cacah disebutjuga dengan himpunan bilangan bulat non negatif.

+ Himpunan bilangan genap: { ... ,-4,-2,0,2,4, ... } yaitu himpunan bilangan bulat kelipatan dua

+ Himpunan bilangan ganjil: { ... ,-3,-l,l,3, ... ) yaitu himpunan bilangan bulat bukan kelipatan dua.

Himpunan bilangan rasional: Q={x/x=~, a dan b adalah bilangan bulat dengan b

b;tO) Jika a habis dibagi b maka disebut bilangan bulat dan bila a tidak habis dibagi b disebut bilangan pecahan. Bilangan rasional selalu mempunyai bentuk

desimal yang

(terminating). berulang (repeating) atau bentuk desimal yang berakhir

Himpunan bilangan irasional, yaitu himpunan bilangan yang anggotanya bukan bilangan rasional, bukan basil bagi antma bilangan bulat dan bilangan asli.

17

.fi yang merupakan panjang sisi miring dari segitiga siku-siku dengan sisi siku-sikunya masing-masing I, dan n yang merupakan perbandingan dari keliling

lingkaran dan panjang diameternya adalah contoh bilangan irasional. 1-limpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional bergabung

membentuk himpunan bilangan real R.

1-limpunan bilangan real dan komponen-komponennya dapat juga disajikan dengan diagram bcrikut:

gcnap cacah

komposit

c. Al{sioma Urutan

rasional

Q R

ecahan

Keterangan

R: bilangan asli Q: bilangan rasional Z: bi!angan bulat

N: bilangan asli

Berdasarkan aksioma ini bilangan real dapat diurutkan dari kecil ke besar. Aksioma ini juga merupakan dasar untuk menye!esaikan suatu pertidaksamaan. Pada R terdapat himpunan bagian yang disebut bilangan positif, yang memenuhi

aksioma:

Jika a E R, maka a=O, atau a positif atau -a positif

+ Jumlah dan basil kali dua bilangan positifadalah bilangan positif.

Definisi 2.1

Misalkan a dan b bilangan real

Bilangan a dikatakan lebih besar dari b ditulis a>b

Bilangan a dikatakan lebih kecil dari b ditulis a,

Bilangan real a dikatakannegatifjika -a positif.

Teorema 2.2

Misalkan a,b,c dan d bilangan real, maka:

a. a < b dan b < c ::::;. a < c (transitif) b. a < b dan c sembarang::::;. a+ c < b + c

c. a < b dan c < d ::::;. a + c < b + d

d. a < b dan c > 0::::;. ac be

f. 0 -a b

Selain bilangannol, positifdannegatifterdapatjuga bentuk akar, yaitu bilangan yang berbentuk !!.{;., n=l,2,3, ... yang hasilnya bukan bilangan rasional. Bilangan berbentuk akar didefinisikan sebagai berikut

Definisi 2.2

Akar kuadrat dari bilangan positif a ( J;.) didefinisikan sebagai bilangan positif x I . 2 yang memenu 11 x =a

~ 'i/a dcngan n genap positif didcfinisikan sebagai bilangan positif x yang memenuhi x"=a

Akar kubik dari bilangan positif a ( Va) didefinisikan sebagai bilangan real x I . 3 yang memenu11 x =a

'i/a dengan n ganjil positif didefinisikan sebagai bilangan real x yang memenuhi

Contoh

+ ..J9 bukan merupakan bentuk akar karena basil ..J9 adalah bilangan rasional dan menurut definisi ..J9 =3

19

Sesuai definisi V-125 = -5, karena -5 adalah bilangan real yang memenuhi ( -5)3=-125

d. Aksioma Kelengkapan

Aksioma ini menyalakan bahwa, seliap himpunan bagian lak kosong R yang lerbatas di alas selalu mempunyai balas alas lerkecil , dan seliap himpunan bagian lak kosong R yang lerbalas di bawah selalu mempunyai balas alas lerbesar.

Definisi 3

1-limpunan tidak kosong S

bilangan real, batas alas terkecilnya adalah fS, karena bilangan irasional termasuk bilangan real.

e. Interval

Interval (selang) didefinisikan sebagai himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Ada dua macam interval, yaitu interval hingga dan tak hingga.

Interval hingga adalah himpunan bagian dari yang terbatas di bawah atau di atas.

Sedangkan interval tak hingga tidak terbatas di atas atau di bawah. Interval hingga Interval tak hingga

(a,b)={xE la

c. 17,153153153 ...

2. Bila pernyataan berikut benar, berikan argumentasinya. Bila salah berikan alasan penyangkalannya

a. Jika x=2 maim x2=4

b. Jika x2=4 maka x=2

c. Jika x4

e. Jika x22

g. Jika -2

2. Uraikan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktor linearnya 3. Tentukan tanda pertidaksamaan pad a garis bilangan

4. Tentukan solusinya dalam bentuk interval.

Contoh

Tentukan solusi pertidaksamaan berikut:

a. 2:Sx2-x:S6

6 b. X--::; I X

x+l x c. --

b. lxl2 a q x 2 a atau x S-a q x 2 2 a 2

IV. Ketaksamaan segitiga

a. lx + Yl :o+I+IYI

b. lx- Yl slxl+lyl

c. lxi-IYI six- Yl

d. llxi-IYII six- Yi

v. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku

a. !xYI = lxiiYI b. x lxl y=jY[,y,tO

Contoh

Selesaiakan setiap soal berikut I. Menurut definisi tuliskan bentuk berikut tanpa notasi harga mutlak

a. l3x+21

b. 2lxl +lx -II

c. l21x-ll+xl

2. ~X 2 - 4x + 4 = 2- X

2.4 Pertidaksamaan Dalam Nilai Mutlak

Penyelesaian pertidaksamaan dalam harga mutlak adalah dengan menggunakan detinisi harga mutlak, mengubah pertidaksamaan, sedemikian sehingga notasi harga

mutlak tidak ada lagi dalam pertidaksamaan tersebut.

Misalkan untuk menentukan solusi dari l3x- 21 >I, lx 2 - xl S 2 dapat digunakan sifat

harga mutlak iii (a) atau iii (b).

24

Jika diketahui soal 2/x/ +/x-I/ s; 2 (pertidaksamaan yang memuat lebih dari satu harga mutlak), maim solusinya dapat dicari dengan menggunakan definisi harga mutlak, dan menerapkannya pada garis bilangan.

Contoh

Tentukan solusi dari pertidaksamaan berikut

I. x/x/ S/x -2/

2. /2x-3/S/x+2/

3. 2s/x 2 -x/s6

4. 3/x/S/x-1/+5

5. 2(x-1) 2 -/x-l/SI

25

TUJUAN INSTRUKSIONAL

Urn urn

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester 1), mahasiswa mempunyai pemahaman konseptual yang benar tentang topik-topik utama dalam Kalkulus (limit, kekontinuan, diferensial, integral) beserta teorema dan sifat-sifat serata teknik-teknik pen ling didalamnya.

Khusus

Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke 7) mahasiswa akan dapat menjelaskan perbedaan sistem koordinat kartesius dan koordinat kutub, serta menjelaskan definisi fungsi dan mengetahui jenis-jenis fungsi.

26

3. SISTEM KOORDINAT DAN FUNGSI

3.1 Sistem Koordinat Kartesius

Sembarang titik pad a bidang diukur terhadap dua garis lurus yang saling tegak lurus

yang keduanya beririsan di satu titik 0 (Gam bar 3.1 ). Kedua garis lurus ini disebut sumbu koordinat. Garis mendatar disebut sumbu horisontal (sumbu x) dan setiap titik yang ada padanya dinotasikan dengan x, dimana semakin ke kanan semakin bertambah besar. Garis tegak disebut sumbu vertikal (sumbu y) dan setiap titik yang ada padanya dinotasikan dengan , dimana semakin ke atas semakin besar. Titik dimana x dan y keduanya 0 disebut titik asal dan dinotasikan dengan 0.

Jika P adalah sembarang titik pada bidang, maka melalui titik P dapat dibuat garis

yang tegal lurus dengan sumbu koordinat. Misalkan garis memotong sumbu x di titik a,

dan memotong sumbu y di titik b, mal

Contoh

Jarak an tara A(2,4) dan B( -1 ,6), maka [AB[ = Jc -1- 2) 2 + (6- 4) 2 = -)9 + 4 = fJ3 b. Garis Lurus

Bentuk umum persamaan garis 1urus ax+ by+ c = 0, dengan a dan b tidak semuanya no!.

Dari bentuk umum ini:

+ bi1a garis sejajar sumbu y, persamaannya x=a + bi1a garis sejajar sumbu x, persamaannya y=b + bi1a garis tidak sejajar salah satu sumbu, persamaannya y=mx+c. + bila garis melalui (0,0), persamaannya ax+by=O + bila garis melalui (xi,Yi) dan bergradien 111, persamaannya y-y 1=m(x-x 1)

Misalkan terdapat dua garis k: ax+by+c=O dan garis 1: px+gy+r=O, maka

+ k dan! sejajar (k//l),jika ~=.!?_*~dan p g r

berimpit (k = 1), jika ~ = .!?_ = ~ p g r

+ k dan I berpotongan,jika ~ * .!?_ p g

dan berpotongan tegak Jurus,jika ~ = _.!?_ p g

a Persamaan umum gans lurus adalah ax+by+c=O, atau y=mx+d, dengan m = -- dan b

d = _.:_. Besaran m disebut gradien garis yang menyatakan Iangen sudut antma garis b

dengan sumbu x positif

c. Jarak titik ke garis. Jarak dari titik A(x0,y0) ke garis dengan persamaan k: ax+by+c=O, adalah

d. Grafik

Gratik dari sebuah persamaan atau pertidaksamaan yang memuat peubah x dan y adalah himpunan semua titik P(x,y) yang koordinatnya memenuhi persamaan atau pertidaksama-

28

an itu.

Gam bar 3.2a merupakan gratik keliling lingkaran, dimana setiap titiknya memenuhi

persamaan lingkaran x2+/=I, sedangkan gambar 3.2b menyatakan grafik luas lingkaran,

dimana setiap titiknya memenuhi persamaan x2 +/:s;I

x2 +l=1 x2 +/::;;t

~ ---. .__ __ ~------

/" "--// " -,,

/ , 0.5 \ / 0.5 I \., / ' 'I -0.5 0.5

\ -0.5 0.5 -0. J \

-0.5 // \ ,, ''-.

-1 ........... __ /

_.-""'

Gambar 2a '-~-1 '"....------Gam bar 2b

Latihan

I. Tentukan persamaan garis yang gradiennya -1/3 dan meialui titik potong garis y=x

dan garis y=6-2x.

2. Tentukan persamaan garis yang membuat sudut 5"/6 dengan sumbu x positif dan

betjarak 2 satuan dari titik (0,0) 3. Bila cliketahui titik A( I ,2), 8(3,-4), C(-2,0), tentukan

a. persamaan garis g melalui A dan sejajar BC b. persamaan garis melalui titik tengah AB dan tegak lurus g

c. jarak dari A ke garis BC d. luas segitiga ABC

4. Gambarkan grafik

a. y- I :s; x :s; y +I

b. y = 11-lxll c. y :s; lxl

d. IYI < 2lxl

29

3.2 Sistem Koordinat Kutub

Dalam mendefinisikan koordinat polar, pertama ditetapkan terlebih dulu titik asal 0 yang disebut pole, dan sinar awal dari 0.

P(r,0)

0 sinar awal

Gam bar 3

Setiap titik P dalam koordinat polar ditulis

P(r,0). dim ana r menyatakan jarak berarah dari 0 ke P, dan 8 menyatakan sudut berarah dari sinar awal ke sinar OP, yang arah posititl1ya, berlawanan arah dengan arah jarum jam

Seperti halnya pad a trigonometri, sudut yang menyatakan posisi suatu titik tidaklah tunggal. Perhatikan contoh berikut

P(2,0)=P(2, -II n/6)

sinar awal 8-

Gambar 4

Misalkan titik P yang be1jarak 2 satuan dari 0 dengan posisi sinar 0=n/6 dan ditulis

P(2, n/6), dapat juga ditulis P(2,-lln/6). Posisi sinar n/6 dan -lln/6 sama saja, bedanya kalau -lln/6 diukur dari 8=0

dengan arah searah jarum jam, jadi bertanda negatif. (Gam bar 3.4)

Meskipun r menyatakan suatu jarak, namun jarak terse but adalah jarak yang berarah, sehingga r bisa saja negatif, bila arah sinarnya berlawanan (berbeda 180), denga arah mula-mula.

P(2, 7n/6)=P( -2,

Gam bar 5

Perhatikan Gam bar 3.5. Misalkan kita akanmenggambar titik P dengan koordinat

(2,7n/6), maka itu dapatjuga digambar dengan cara sbb: karena n/6 berbeda n

radian dengan 7n/6, makajarak berarahnya berubah menjadi -2. Jadi titik P dapat juga digambar dengan dengan koordinat (-2,n/6).

30

Dapat pula, koordinat polar disajikan dalam bentuk r=a saja atau 8=80 saja .. Persamaan r=a menyatakan menyatakan suatu lingkaran denganjari-jari I a I Sedangkan 8=80 menyatakan suatu garis melalui 0 yang bermah 80 dengan panjang dari -(f) sampai dengan (f),

Contoh

I. Jelaskan apa artinya pernyataan ini dan gambarkan grafiknya

a. r= I dan r=-1

b. G=n/6, 8=7rc/6, 8=-Sn/6

2. Gambarkan grafiknya ketidaksamaan berikut

a.! ~r~2 dan o~e~rc/2

b.-2~r~3 dan 8=n/6

c. r~O dan 8=rc/4 Penyelesaian

I. r= I dan r=-1 keduanya menyatakan lingkaran dengan pusat 0 dan jari jari I (Gam bar 3.6a) 8=rc/6, 8=7n/6, 8=-Sn/6 ketiganya menyatakan panjang garis tak hingga yang arahnya n/6 dari sinar awal. (Gambar 6b)

Y. y

Gam bar 6a Gambar Gb

31

2.a 2.b 2.c

r

5

4

x2+(y-3)'~9 a ur=6sin8

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,3) dan be1jari-jari 3, dapat disajikan dalam koordinat kutub dengan persamaan

-3

3

2

3 Gam bar 9

r = 6sin 8

b. Analog dengan !.a, dihasilkan rsin 2 8 = 4cos8

c. Parabola menghadap ke kanan y2 = 4x dapat disajikan dalam koordinat

kutub rsin 2 8=4cos8

2 2 2? 2? ?2 . a.r =4rcos8~x +y-=4x~x -4x+y-=0~(x-2)-+y =4

4 4 b. r = ~ r = ~ y = 2x- 4, merupakan persamaan 2cos8- sin 8 2 ~ _I

r r

garis lurus melalui (0,-4) dan bergradien 2

b. Menggambat Grafik cia lam Koordinat Polar Sebelum menggambar grafik dalam koordinat polar akan dibahas dulu tentang

kesimetrisan grafik dalam koordinat polar terhadap sumbu x sumbu y dan titik asal (0,0) yang dapat mempermudah dan mempercepat penggambaran grafik dalam koordinat polar.

Uji simetris untuk grafik koordinat polar I. Simetris terhadap sumbu x

Jika titik (r, 8) terletak pad a grafik mal

.lika titik (r,0) terletak pada grafik maka titik (-r,8) atau (r,rc+8) JUga terletak pada grafik.

Contoh

Gambarkan grafik berikut

a. Misalkan (r, 8) terletak pada grafik r = 1- cos 8, maka (r,-0) juga terletak pada grafik r = 1- cos 0, sebab r =\-cos( -8) =\-cos 0, sehingga grafik r = I -cos 8 simetris terhadap sumbu x.

Bila 8 bergerak dari 0 sampai dengan rc, maka r bergerak dari 0 ke 2. Berikut tabelnilai 0 dan r.

,.~ I-eos 8

Gam bar I 0

8 0 rc/3 rc/2 2rc/3 TC r = 1- cos0 0 112 I 1/2 0

Karena grafik simetns terhadap sumbu x,

maka untuk 8 dari rc sampai dengan 2rc

merupakan pencerminan kurva yang

diperoleh dari 0 sampai rc terhadap sumbu x.

Tanda panah pada grafik menyatakan arah

pergerakan 8

? b. Misalkan (r,8) terletak pada grafik r- = 4cos8, maka (r,-8) juga terletak

pada grafik r2 = 4cos8, sebab r2 = 4cos(-8) = 4cos8, sehingga grafik

r2 = 4cos8 simetris terhadap sumbu x.

Se\ain itu ( -r, 8) JUga terletak pada grafik ? r- = 4cos8, sebab

(-r) 2 = 4cos8 ~ r2 = 4cos8, sehingga grafik r2 = 4cos8 JUga simetris terhadap titik asal.

Karena grafik simetris terhadap sumbu x dan titik asa\ maka grafik simetris

terhadap sumbu y.

34

0.6

0.

-0.6

Latihan I. Bentuklah koordinat kutub berikut ke dalam koordinat kartesius

5 a. r=

sine- 2cos0

b. r=cot0csc8

c. r =tan 8sec0

d. rsin(0+~)= 2 2. Bentuklah koordinat kartesius berikut ke dalam koordinat kutub

a. x 2 + (y- 2) 2 = 4

b. x 2 +xy+y 2 =1

C. X- y = 3

3. Gambarkan fungsi berikut dalam koordinat kutub

a. r = 2 +sin 8

b. r2 =4cos28

4. Gambarkan daerah yang dinyatakan oleh ketidaksamaan berikut

a. - I S r S 2 dan -;li S 8 S ;5'i b. 0SrS2sec8 dan-y,;ses%

c. 0 S r S2-2cos8

d. 0 S r S cos8

0 r = -!4 cose 0 2

rr/6 1,9

rr/4 1,7

rr/3 1,4

rr/2 0

35

3.3 Fungsi

Sebelum memahami definisi fungsi, akan dibicarakan terlebih dahulu fenomena berikut: -Biaya pemakaian taksi bergantung pada jarak yang ditempuh. Misalkan untuk pemakaian 2 km pertama ongkosnya Rp. 5000, dan tiap km berikutnya ongkosnya Rp. 2000, maka j ika seseorang akan bepergian sejauh 20 km, ongkos yang harus dibayarkan adalah: ONGKOS=Rp5000 + 18.Rp 2000.

-Biaya pemakaian air PAM kota semarang adalah I 0 m3 pertama Rp.l425/m 3, I Om 3

kedua Rp. I 985/m3, I Om 3 ketiga 2730/m3, 20m3 keempat Rp.3075/m 3, pemkaian di atas 50m3 Rp.4265/m3 lni masih ditambah lagi, untuk pemakaian berapapun ditambah ongkos lain-lain sebesar Rp.8500. Jadi misalkan sebuah keluarga pad a satu bulan tertentu menggunakan air sebanyak 55m3, biaya yang harus dibayar adalah

BIA Y A=1 0(1425+ 1985+2730)+ 20(3075)+5( 4265)+8500. Kedua contoh di atas menguraikan suatu aturan bahwa untuk setiap nilai tertentu Uarak yang ditempuh atau banyaknya pemakaian air), dihasilkan suatu nilai tertentu pula (yaitu ongkos pemakaian taksi atau biaya pemakaian air). Di sini dikatakan bahwa nilai kedua merupakan fungsi dari nilai pertama.

Dcfinisi 3.1

M isalkan A, B ~ R. Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap elemen x dalam himpunan A dengan tepat satu elemen y dalam himpunan B.

Unsur y yang berkaitan dengan x ini dilambangkan dengan y=f(x). Di sini x dinamakan peubah bebas dan y yang nilainya bergantung pada x dinamakan peubah tak bebas.

1-Jimpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi dan ditulis Dr. Jika tidak disebutkan secara eksplisit, maka Dr adalah subset terbesar dari bilangan real ( ), dan didefinisikan dengan D1={xE /f(x) terdefinisi}. 1-limpunan B disebut kodomain. Bilangan f(x)EB disebut nilai f untuk x, dan himpunan f(x) dimana x mempunyai nilai disebut daerah nilai (range), ditulis Rrdan didefinisikan dengan R1={yEB/y=f(x), xEA} Daerah asal dan daerah nilai dari fungsi di atas semuanya adalah himpunan bagian dari

sehingga dinamakan fungsi dengan peubah real atau disingkat fungsi real.

36

a. Penyajhm Suatu Fungsi + Dengan Diagram Panah

0 X

f

Gambar 12

+ Dengan Grafik

f(x)

of( a)

Cara yang paling umum untuk

menggambarkan suatu fungsi adalah clengan grafik. Jika f adalah

fungsi dengan domain A, maka grafiknya adalah himpunan

pasangan berurutan {(x,f(x))/xEA}

+ Aljabar

Masing-masing panah mengaitkan

suatu elemen dari A ke suatu elemen dari B. Panah menunjukkan bahwa f(x) dipadankan dengan x, dan f(a) clipaclankan dengan a, dan seterusnya.

Daerah nilai

------------/---.._,-!v=f(x) (x,f(x))

Gam bar 3.13 Daerah asal

Penyajian fungsi dengan menggunakan rumus matematis. Misalnya luas lingkaran adalah L=n r2 Disini domainnya adalah jari-jari (r) dan rangenya adalah luas (L)

Contoh

Dari soal berikut ini, manakah yang merupakan fungsi dan bukan fungsi

a. y=x2, dengan Dr={x/x

titik.

sangat rapat. Grafik a berupa titik, sedangkan grafik b sampai d berupa kurva mulus. Berikut grafik dari keempat soal tersebut.

0.1 ~

0.1

0.05

-2 -1 -0 .05

-0.1

-0.15 4

' 20 Gambar 14 Gambar 15 a. Untuk setiap domain x yang berbeda dihasilkan b. Analog dengan a, y = :xl merupakan fungsi

nilai y yang berbeda pula. Artinya, tidak ada elemen pada domain mempunyai dua nilai berbeda pada range. Jadi y=x2 ini adalah fungsi.

l

0.5

0.5 l 1.5 2

-0.5

-1

Gambar 16

c. Bukan fungsi, karena untuk nilai x=l dihasilkan y~l dan y~-1

Uji Garis Vertikal

_, -1

-1

Gam bar I 7

b. Bukan fungsi, karena untuk x=O, dihasilkan y=2 dan y=-2.

2

Kurva di bidang xy merupakan suatu fungsi jika dan hanya jika tidak terdapat garis vertikal yang memotong gralik lebih dari satu kali.

Bagaimana menentukan domain dan range suatu fungsi? Perhatikan contoh berikut

Contoh

Tentukan domain dan range dari fungsi berikut:

a. f(x) = .J x' + 2x- 3

38

a.

x-1 b. g(x)=r== ~x 2 -9 Penyelesaian

a. Akan ditentukan domain terlebih dulu, kemudian dari domain tersebut ditentukan rangenya.

Sesuai dengan definisi bentuk akar kuadrat, bahwa bilangan dalam tanda akar

harus no! atau positif, maka x 2 + 2x - 3 :2: 0 (x + 3)(x- I) 2 0

-3

c. d.

y y

X X

2. Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut ? e. h(t) = l2t + 31 h(y) = ~(y +I)-I a. f(x) = I+ x- I.

b. f(t) = 1-.Jl f. g(z) =~4-z2 4-x 2 J. f(x) =

2 6 I I x -x-c. H(t) =- g . g(z) = ~ ? .Jt 4 -z-

k. ( ) ~x(x-2) I g Ill = d. f(s) = --- h. g(z) = .J1- 2sin z x-1

I +.Js

b. Jenis Fungsi dan Grafiknya

1. Fungsi Aljabar Fungsi aljabar adalah fungsi yang diperoleh dari sejumlah berhingga operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan, dan penarikan akar) terhadap fungsi y=k, k=konstan dan fungsi y=x.

Fungsi f(x) = + , g(x) = Fx + 2, h(x) = 2x 2 -3x +I adalah beberapa contoh x- +I

fungsi aljabar.

Fungsi-fungsi yang termasuk fungsi aljabar adalah: a. Fungsi Polinomial

Fungsi f disebut fungsi polinomial derajat n, jika berbentuk f( ) " ,_, x =3 11 X +a 11 _ 1x + ... +a 1x+a 0

40

dengan n adalah bilangan bulat tak negatif, a0, a1, ... , a11 E dan a11 ;O, parabola menghadap ke atas, 6

mempunyai titik balik minimum. Jika a0, parabola memotong sumbu x di -3 dua titik yang berbcda Jika 0

f(x)-x3

-5 5

3 Gambar I 9b

11. Bila a=l/n, n bilangan asli

Fungsi f(x)=x 11", n bilangan asli adalah fungsi akar. Analog dengan f(x)=x", n bilangan asli, fungsi f(x)=x 11", untuk n genap grafiknya serupa dengan f(x) = ?,Jx dengan domain [O,co) dan range juga [O,co). Untuk n

ganjil grafiknya serupa dengan f(x) = v;. dengan domain (-co,co) dan range juga (-co,co) (ingat bahwa setiap bilangan real mempunyai akar kubik)

iii. Bila a=- I

40 Gratik f(x)=l/x berbentuk hiperbola 20 dengan sumbu x dan y sebagai asimtot

-20

-40 Gam bar I 9c

c. Fungsi Rasional

Fungsi rasional berbentuk f(x) = P(x) , dengan P clan Q keduanya polinom. Q(x) Domain fungsi rasional adalah xE yang memenuhi Q(x)

42

7 4 2 I -X ;x +

x--4

-4 -2

25

-25

simtot egak -75

2. Fungsi Transenden

L 2 4

Gambar 20

Contoh

Domain fungsi f(x) = 2x4 ~x 2 +I, x-- 4

adalah XE yang memenuhi penyebut g(x)=x2 -4;e0. Sehingga domainnya adalah D1= -{ -2,2), dan garis x=-2 dan x=2 merupakan asimtot tegak

Yaitu fungsi yang bukan fungsi aljabar. Contoh fungsi transenden: f(x) = cosx, h(x) =ex tan x, g(x) = 2x Fungsi transenden meliputi:

a. Fungsi Trigonometri

Untuk sudut lancip a, enam fungsi trigonometri berikut didetinisikan sebagai hasil

bagi panjang sisi dari segitiga siku-siku, sebagai berikut.

P(x,y) sisi mi g ting i

a

tinaoi sin a= .. ~b.

alas

SISI tnll'lng

alas cos a

sisi miring

Gam bar 2 I a

tinggi tana=--

alas

esc a sisi miring

tinggi

r

a

0 Gam bar 21 b

. . . .

sec a SISI ITIII'IIlg

alas

alas cota=--

tinggi

Detinisi ini tidak berlaku untuk sudut tumpul dan negatif, sehingga untuk sudut

umum a dalam posisi baku, dimisalkan P(x,y) adalah sembarang titik pada sisi akhir dari a dan r adalah jarak IOPI.

43

3

-6

40

20

-2 6 -3 -2, -1 1 ' 2 ' ' '

-20

-40

Gam bar 22a f(x)=sin x Gam bar 22b f(x)~cos x Gam bar 22c f(x)'"tan x

' L 1 j 1 . 1 1 __): 3 2 1 n _,n n

6 I I

' ' I - 0 : -10 -]5

-15 '

-6 - -2 2 4 -YO -20 -30

'

Gambar 22d f(x)~csc x Gambar 22e f(x)=sec x Gam bar 22ff(x)~cot x

ldentitas trigonometri

. ? ? I sm-a+cos-a = l+tan 2 a=sec2 a

I +cot 2 a= csc 2 a

( ) tan x + tan y tan x + y = -----'-1 -tan :

-4

f[x]=e'

Gam bar 3.22 -2 -1 1

c. Fungsi Logaritma

2 3

Gratik timgsi eksponensial tidak pernah memotong sumbu x (sumbu x sebagai asimtot datar), dan memotong sumbu y di titik (0, I). Semakin besar bilangan dasarnya, grafiknya semakin mendekati sumbu y. e adalah bilangan alam, nilainya o;;2,71828

Jika a>O dan a,t 1, mal

-2

dimsir, seperti halnya dalam kasus trigonometri, t menyatakan dua kali luas sektor

lingkaran yang diarsir.

Definisi fungsi hiperbolik

. ex-e-x Slllh X = ----

2

ex +e-x coshx =----

2

Grafik fungsi hiperbol ik

y=e~f2

-1 1 2

Gam bar 23a

-2

ldentitas fungsi

trigonometri, yaitu:

hiperbolik

sinh (-x)=-sinh x cosh ( -x)=cosh x cosh2x - sinllx= I

I - tanh2 x=sech2x

ex -e-x tanhx=----

ex +e-x

I cschx =--

sinh x

3 y= X/2

2

1

y=-e-x/2

Gam bar 23b

2

mempunyai kesamaan

I sech x=--

coshx

coshx e'+e-x coth x = = ----

sinhx ex-e-x

y~cosh x I

2.

y~t, \X 2

-2.5 =sinh x

Gambar 23c

dengan identitas fungsi

sinh(x+y)=sinh x cosh y+sinh y cosh x cosh(x+y)=cosh x cosh y+sinh y cosh x sinh 2x=2sinh x cosh x

cosh 2x=cosll x + sinh2x

4. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi f dikatakan fungsi genap j ika f( -x)=f(x) untuk setiap x dalam daerah asal, dan fungsi f dikatakan fungsi ganjil jika f(-x)=-f(x) untuk setiap x dalam daerah asal. Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu y, dan grafik fungsi ganjil simetris terhaclap titik asal (0,0). Contoh Tcntukan apakah

46

a. f(x)=x 3+x b. f(x)=ixl c. f(x)=x+cos x

merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil Penyelesaian

a. f(x) = x3 + x f( -x) = ( -x)3 + ( -x) f(-x) = -x 3 - x f(-x) = -(x 3 + x) f( -x) = -f(x)

Menurut definisi f(x)=x3+x fungsi ganjil, dan terlihat dari grafik fungsinya yang simetris terhadap (0,0)

b.Menurut clefinisi ni lai mutlak: lxl = x,x > 0

= -x,x < 0 Sehingga f(x) = lxl f( -x) = 1- xl

rc -xJ = 1-IIIxl f(-x) = lxl = f(x)

Menurut definisi f(x)=lxl fungsi genap, dan terlihat dari grafik fungsinya yang simetris terhadap sb y

c. f(x) = x +cos x f( -x) = -x +cos( -x) f(-x) = -x +cosx f( -x) * -f(x) * f(x)

Menurut definisi f{x)=x+cosx bukan fungsi genap maupun fungsi ganjil, dan terlihat dari grafik fungsinya tidak simetris terhadap titik (0,0) maupun sb y

5. Fungsi Eksplisit dan Fungsi Implisit

1

f(x)=x3+x 5

-2 2

-1 Gam bar 3.24a

1\x)=jxj

1

-2 1 2 Gam bar 3.24b

f(x)=x+cos x 6 4

2

-6 -4 -2 2 4 6

-4 Gam bar 3.24c

Fungsi Eksplisit y terhadap x aclalah fungsi dengan aturan y=f(x) yang memasangkan setiap unsur eli daerah asalnya clengan tepat satu unsur di daerah nilainya

Contoh: y=-i(a2 -x2)

47

Jika F(x,y)=O adalah fungsi dengan peubah x dan y, maka pada aturan F(x,y)=O, terkandung pengertian y sebagai fungsi dari x, tetapi tidak dapat secma eksplisit

dinyatakan y sebagai fungsi dari x atau x sebagai fungsi dari y. Fungsi yang demikian dinamakan fungsi implisit. Contoh

Pada fungsi x5+3xi-2/-2=0 kita tidak dapat menyatakan y eksplisit terhadap x

6. Fungi Parameter Dari persamaan lingkaran x2+l=c2, kita hanya dapat mengetahui bahwa lingkaran

tersebut berpusat di (0,0) dan betjari-jari c. Tetapi kita tidal< tahu bagaimana arah yang dijalani lengkungannya sehingga dapat membentuk lingkaran, dimana titik awal dan titik akhir pergerakan lengkungannya. Jika P(x,y) adalah sembarang titik pada lingkaran dengan jari-jari c, dan 0 adalah sudut antara garis OP dan sumbu x positif, maka

{x =ccos0

,0,; 0,; 2n y = csin0

merupakan fungsi parameter dengan parameter 0 yang

memuat informasi mengenai arab pergerakan titik (c,O) yang bergerak berputar satu kali dan kembali ke titik (c,O)

7. Fungsi yang Terdefinisi Sepotong-sepotong (Piecewise Function) Yaitu fungsi yang domainnya dibagi dalam beberapa interval, dan untuk tiap interval

dell nisi fungsinya berbeda. Contoh

{l-x 2 ,x,; I

f(x) = 4x + 3, x > I 4 -3

8. Fungsi Periodik

15 10 5-

-10

-15

Gambar 3.25

2 3 4 X

48

Fungsi f dikatakan periodik dengan peri ode p, j ika terdapat p;tO, sedemikian sehingga f(x+p)=f(x) untuk setiap x dalam daerah asal f. Contoh

a. Fungsi f(x)=sin x, adalah fungsi periodik dengan periode 2rr, karena f(x+2rr)=sin(x+2rr)=sinx. cos2rr +sin 2rr.cosx =sin x

b. Karen a sin 2 x = h-h cos 2x, cos 2 x = h + h cos 2x dan peri ode dari cos 2x adalah rr, maka periode dari sin2x dan cos2x juga rr

a. f(x)=sin x, xE(-3rr,3rr] b. f(x)~sin2 x, xE[-3rr,3rr] [\ 1\ [\ 1 [\ {\ !\

8

0

0 4

0.'2

1 \1 -7.5 -5 5 7. 5

Gam bar 3.26a Gam bar 3.26b Tampak bahwa bukit dan lembah grafik f(x)=sin x dan f(x)=sin 2x, berulang setiap 2rr

9. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar

Jika x adalah bilangan real, maka terdapat tak hingga banyaknya bilangan bulat yang

lebih kecil atau sama dengan x. Di antma semua bilangan bulat tersebut, tentunya ada

yang terbesar. Fungsi bilangan bulat terbesar dinotasikan dengan [x] atau L x J, dan didefinisikan dengan [x] = n ::> n :> x :> n +I Contoh

[1 ,5] = I karen a I :> I ,5 :> 2 , [- I ,5] = -2 , karen a - 2 :> -I ,5 :> -I , [ 2] = 2 Grafiknya adalah sebagai berikut

a. Fungsi bilangan bulat terbesar b. Fungsi bilangan bulat terkecil

., I--

--

49

Gam bar 3.26a Gam bar 3.26b

Soul

I. Tunjukkan bahwa: a. fungsi f(x)=tan x adalah fungsi periodik dengan periode n b. fungsi f(x)=sin x dan f(x)=cos x adalah fungsi periodik dengan periode 2n

2. Manakah yang merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil c. f(x)=x(x 2+ I)

xz d. f(x)=-~-

1- xj e. h(t) = ltl3

c k(c) = -?--c- -1

3. Gambarkan fungsi berikut

!3 , X< -5 g. f(x)= x+l, -5:'>x:'>5 Fx, x>5 jx2 , x

Nyatakan biaya petjalanan C sebagai fungsi jarak tempuh untuk O

x:>20

2040 ' 1 entukan

Rp 385

Rp 445

Rp 495

39.130 dan pajak penerangan jalan sebesar 8% dari akumulasi biaya total kWh dan TDL

a. Rumus fungsi untuk menentukan biaya pemakaian listrik setiap bulannya.

b. Bila sebuah keluarga pada bulan tertentu memakai listrik sebesar 182 kWh berapa

biaya yang harus clibayar?

12. Gaji tetap seorang cleaning service losmen aclalah Rp 7.500/hari. Selain itu, setiap mend a pat tambahan gaji Rp I 000/kamar/hari. Penghasilan bersih setelah dipotong pajak adalah 85% dari total upah perhari. a. Berapa penghasilan persih setiap petugas cleaning service, bila pacta hari itu ada x

kamar yang disewa? b. Jika penghasilannya pada suatu hari kurang dari Rp. 15.000, ada berapa kamar

yang disewa?

c. Operasi pada Fungsi

Definisi I

Jika fdan g keduanya fungsi, makajumlahan, selisih, perkalian, dan pembagian f dang didefinisikan dengan:

a. (f+g)x=f(x)+g(x) b. (f-g)x=f(x)-g(x) c. (f.g).x=f(x).g(x) d. (f/g)x=f(x)/g(x), g(x);tO

Pada tiap tiap operasi eli alas, domain basil pengoperasian adalah interseksi (irisan) dari domain f dan domain g, kecuali untuk d, eli mana g(x);eO

Contoh

I. Bila f dan g didefinisikan dengan f(x) = .fi+2 dan g(x) = ~, tentukan a. (f+g)x b. (t~g)x

52

c. (f.g).x d. (f/g)x

2. Diketahui fungsi yang terdefinisi sepotong-sepotong berikut ini

f(x) = ' - dan g(x) = {l-x 2 x

11 +2x-x 2 ,x :0:0

b. f(x)- g(x) = 3x ,0 < x

... ~~. . ~ ~~ ~~

Secma umum, diketahui dua fungsi sembarang f dan x, dan dimulai dari bilangan t dalam domain g dan mencari nilai g(t). Bila nilai g(t) ini berada dalam domain f, maka dapat dihitung nilai dari f(g(t)). Hasilnya adalah fungsi baru k(t)=f(g(t)) yang diperoleh clengan cara mensubstitusi g ke dalam f.

Jadi Rg ;;;Dr :::::> (fog)(x) = f(g(x))

Diagram panah untuk fungsi komposisi aclalah sebagai berikut

g(.x)

Gambar 27

Contoh

I. Misalkan cliketahui I 7 x2 +I f(x) =- + x- dan g(x) = --, maka

X x 4 +I

I 2 x +I x"+l 4 ( 0 )2 (f o g)(x) = f(g(x)) =-+ [g(x)] = - 7- + - 4-g(x) x-+1 x +I 2. Bila diketahui H = - 1-, dan fog= H, mal

x +I I ? b. f(x)=-, g(x)=--, h(x)=x-x 2x+ I

2. Tentukan f sehingga fog= F bila diketahui

I 2 4 a. g(x)=~. F(x)= I+\

l+x 4 l+x-

? I ? ? b. g(x)=-x-, F(x)=va-+x-3. Bentuklah fog dan gof bila

{I -X, X $ 0 {-X X < I

a. f(x) = 2 dan g(x) = ' X 'X > 0 I +X, X ?: I

b. f(x) = dan g(x) = ' {l-2x,x

+

Contoh

y=-f(x), cerminkan grafik y=f(x) terhadap sumbu x y=f(-x), cerminkan grafik y=f(x) terhadap sumbu y

I.Gunakan transfonnasi fungsi untuk menggambarkan grafik fungsi f(x)=x 2 -I, g(x)=x2+ I, h(x)=(x-1 i, k(x)=(x+ ll

2.Gunakan transfonnasi fungsi untuk menggambarkan grafik fungsi f(x)=(cos x)/2, g(x)=2 cos x, h(x)=cos x/2, k(x)=cos 2x

Penyelesaian 3 10

2 8

6 1

4

-2 1 2

-4 -3 -2 -1 Gam bar 3.28a Gam bar 3.28b

Fungsi f(x)=x2-l diperoleh dari grafik f"tx)=x2 Fungsi ftx)=i+l diperoleh dari grafik f(x)=x 2 dengan menggeser ke bawah sejauh I satuan

4

3

2

1

-1 Gam bar 3.28c

dengan menggeser ke atas sejauh I satuan

8

6

-4 -3 Gam bar 3.28d

Fungsi f'\x)=(x-1/ diperoleh dari grafik f(x)=x2 Fungsi f(x)=x 2-l diperoleh dari grafik f(x)=x2

dengan menggeser ke kanan sejauh 1 satuan dengan menggeser ke kiri sejauh I satuan

57

Gam bar 3.28e

Grafik y=(cosx)/2 diperoleh dari grafik y=cosx dengan memampatkan secara tegak dengan faktor 2

Gambar 3.28g

Grafik y=cos 2x diperoleh dari grafik y=cos x dengan memampatkan secara mendatar dengan faktor 2

Soal

Gam bar 3.28f y=2cos x

Grafik y=2cosx diperoleh dari grafik y=cosx dengan meregangkankan secara tegak dengan faktor 2

"

-6 6

-l Gam bar 3.28h

Grafik y=cos (x/2) diperoleh dari gralil< y=cos x dengan meregangkan secara rnendatar dengan faktor 2

I. Dengan transformasi gambarkan keempat fungsi berikut: ' 2 ' a. y=x--2x-3 b. y=x +4x+6 c. y=x--4x+6

2. Dari masing-masing grafik berikut tentukan rumus fungsinya, bila fungsi asalnya

adalah f(x)=-x2

58

e. Fungsi Invers

Berikut ini diberikan tabel jarak dan waktu pe1jalanan seorang pengendara sepeda motor

Waktu Gam) Jarak (km) I 60 2 90 0 120 ~ 4 170

Suatu ketika pengendara berhent1 dt suatu tempat yang betjarak 120 km dari tempat keberangkatannya, dan ketika ia melihat jam pengendara tersebut telah betjalan selama 3 jam. Artinya pengendara tersebut telah menyatakan jarak sebagai fungsi dari waktu. Fungsi ini disebut sebagai fungsi invers dari f dan ditul is C1 Jika jarak sebagai fungsi waktu dinyatakan dengan S=f(t), maka waktu sebagai fungsi jarak (invers dari f) dinyatakan dengan t=f- 1(S), yaitu waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak S km.

59

Tapi tidak setiap fungsi mempunyai invers. Perhatikan fungsi f: x[Jx2 dari himpunan A ke himpunan B yang disajikan dengan himpunan pasangan berurutan {(-2,4),(-I, I),( I, I ),(2,4),(3,9)} Pada contoh pengendara motor, setiap selang I jam, pengendara menempuh jarak yang berbeda. Sementara pada himpunan pasangan terurut, 4 merupakan kuadrat dari

-2 dan 2. Ini artinya terdapat x~, x2EA dengan x1;ex2, tapi f(x 1);ef(xz) Dikatakan bahwa fungsi pada label kedua tidak mempunyai invers.

Definisi 5.2

Fungsi f disebut fungsi satu-satu jika f tidak pernah mencapai nilai yang sama lebih dari satu kali, yaitu x1 ;e x2 0 f(x 1) ;e f(x2) atau f(x 1) = f(x2) 0 x1 = Xz.

Uji Garis Horisontal Sebuah fungsi bersifat satu-satu jika dan hanya jika tidak terdapat garis horisontal yang memotong grafik fungsi tersebut lebih dari satu kali.

Contoh

I. Misalkan diketahui f(x)=3x-5, akan ditunjukkan bahwa f(x) fungsi satu satu dengan menggunakan definisi maupun dengan grafis.

2. Apakah f(x)=x2 fungsi satu-satu? Penyelesaian

I. Sesuai definisi misalkan diketahui f(x 1) dan f(x 2) dengan f(x1)= f(xz) f(x 1)=f(xz) 3x 1 - 5 = 3x 2 - 5

3xl = 3x2 x 1 = x 2

Karena f(x 1) = f(x2) mengakibatkan x1 = xz. maka f(x)=3x-5 merupakan fungsi satu satu

60

A Dari grafik di samping bila ditarik ... -2 -1 1 2

-2 gar is horisontal sem barang, maka y=3x-5

gar is tersebut akan memotong gar is -6

y=3x-5 hanya di satu titilc

-10 Gam bar 3.29

2. f(x)=x2 bukan fungsi satu satu, sebab -2 * 2, tapi f(-2)=f(2)=4. Tidak sesuai dengan definisi) Dari grafik fungsi y=x2, jika ditarik garis sembarang y=c, c>O, pasti akan memotong grafik fungsi di dua titik. (Tidak sesuai denganuji garis horisontal)

Definisi 5.3

Misalkan f fungsi satu-satu dengan daerah asal A dan daerah nilai B. Maka fungsi

invers dari t; yaitu C 1, mempunyai daerah asal B dan daerah nilai A dan didefinisikan dengan

f' 1(y)=x f(x)=y untuk setiap y di B Contoh

Jika f(l)=4, f(2)=8, f(S)=-1, tentukan f' 1(4), f' 1(8), f' 1(-l) Penyelesaian

Dari definisi r 1, diperoleh f- 1(4)=1, f- 1(8)=2, f' 1(-1)=5

Langkah-langkah menentukan fungsi invers dari fungsi satu-satu

I. Tuliskan y=f(x) 2. Selesaikan persamaan y=f(x) sehingga x dinyatakan dalam y 3. Untuk menyatakan f -I sebagai fungsi dari x, tukarkan x dan y. Persamaan yang

dihasilkan adalah y=f- 1(x) Contoh

Tentukan invers dari fungsi y=x2, x

2

Soal

Gambar 3.30

Menurut uji garis horisontal, fungsi y=x2 bukanlah fungsi satu-satu. Tapi dengan

dibatasinya domain x~O, maka fungsi y=x2 menjadi fungsi satu-satu. Sehingga mempunyai invers

Tentukan apakah fungsi berikut satu satu . .lika ya tentukan inversnya. I. f(x)=7x-4 2. f(x)=x3

3. f(x)=x 3 -I 4. f(x)=l-x2

5. f(x)= I+ 3x2

6. f(x)=(x+li+2 7. f(x)=x 2-3x+2

8. f(x)=x+2 x+l

I 9. f(x) =-3-

x +I

I 10. f(x) = x +-X

62

TUJUAN INSTRUKSIONAL

Umum

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester I), mahasiswa mempunyai pemahaman konseptual yang benar tentang topik-topik utama

dalam Kalkulus (limit, kekontinuan, diferensial, integral) beserta teorema dan sifat-sifat serata teknik-teknik penting didalamnya.

Khusus

Setelah mengikuti kuliah ini (pada ald1ir pertemuan ke 1 0), mahasiswa akan dapat menjelaskan konsep yang tepat tentang limit dan kekontinuan suatu fungsi, serta hubungan limit dan kekontinuan.

62

4. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

Limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga merupakan konsep dasar materi kalkulus.

Turunan dan integral yang merupakan materi inti kalkulus, dibangun dengan konsep

limit. Untuk memahami konsep limit, dibutuhkan pengertian tentang harga mutlak

sebagai jarak antma dua titik, dan pertidaksamaan sebagai ukuran kedekatan.

4.1. Konsep Limit Fungsi

Bila kita mempunyai suatu fungsi yang peubah bebasnya menuju suatu titik tertentu di sumbu x, (miinya jarak antara peubah be bas dan titik tertentu terse but semakin lama semakin mengecil tapi tidak harus sama dengan no!), apakah peubah tak bebasnya juga menuju suatu nilai tertentu di sumbu y. Atau, bagaimana perilaku peubah tak be bas jika peubah bebasnya membesar sampai tak hingga? Untuk memahami konsep limit ini, perhatikan contoh berikut:

Masalah garis singgung

Misalnya diketahui grafik y=f(x), dan akan ditentukan gradien garis singgung di

titik P(c, f(c)). Permasalahannya adalah

menentukan kemiringan suatu

diperlukan paling sedikit dua titik.

untuk

gans

y=fi )

Gam bar 4.1

I I I I

EJ Karena yang diketahui hanya titik P(c,f(c)), maka untuk pertolongan ditetapkan satu titik, misalnya Q(x,f(x)), x;tc. Kemiringan garis PQ (mrQ) ditentukan dengan rumus:

f(x) -f(c) mpq =

X-C

Perhatikanlah dari grafik y=f(x), bahwa jika x semakin dekat ke c, maka tali busur PQ berubah menjadi garis yang menyinggung kurva y=f(x) di titik P, yang disebut garis singgung di titik P. Artinya ketika x semakin dekat ke c, gradien tali busur PQ menjadi gradien garis singgung di titik P Bila mpQ adalah gradien garis PQ, maka gradien garis singgung di titik P dinotasikan dengan mr, dan dirumuskan dengan

63

Ide Limit

Apa artinya bahwa suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekati satu titik c?.

Suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekati satu nilai tertentu c, ditulis

dengan notasi lim f(x) = L, mempunyai pengertian sebagai berikut: x->c

"untuk setiap x yang cukup dekat dengan c tapi x;tc, nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L"

Perhatikan grafik berikut

y=f(x) y f(x)

L -------------- L ----------

X c x Gb 4.3a X c X Gb 4.3b

Dari Gam bar 4.3a, fterdefinisi di c. Untuk nilai x yang semakin dekat dengan c, nilai

f(x) juga semakin dekat dengan L. Bagaimana jika f tidak terdefinisi di c?. Dari Gambar 4.3b terlihat, bahwa meskipun f tidak terdefinisi di c, nilai f(x) tetap saja semakin dekat dengan L.

a. Pendekatan Limit Secara Numerik

Contoh

Misalkan f(x)=x2, dan c=3. Perhitungan secara numerik untuk lim x 2 menghasilkan X--73

label sebagai berikut

X f(x)=x2 2 4

2.5 6.25 2.7 7.29 2.8 7.84 2.9 8.41

2.99 8.9401 2.999 8.994001

2.9999 8.9994

Contoh

f(x)=x2 16

12.25 10.89 10.24 9.61

9.0601 9.006001

9.0006

X

4 3.5 3.3 3.2 3.1 3.01

3.001 3.0001

Dari tabel tampak bahwa, bila x dibuat

sedekat mungkin dengan 3, baik sebelum

maupun sesudah 3, nilai f(x) semakin de kat dengan 9.

Berarti lim x 2 = 9 X--73

2 Perhitungan numerik untuk lim _x_-_4 dihasilkan tabel sebagai berikut

X--72 X -2

65

X f(x)-(xA 2-4 )/(x-2) 1 3

1.5 2.25 1.7 2.89 1.8 3.24 1.9 3.61 1.99 3.9601

1.999 3.996001 1.9999 3.99960001

2 Terlihat dari tabel lim x - 4 4

x->2 x-2

Untuk x dekat dengan 2, tapi x;t2 kita

f(x)-(xA 2-4 )/(x-2) X 5 3

6.25 2.5 5.29 2.3 4.84 2.2 4.41 2.1

4.0401 2.01 4.004001 2.001

4.00040001 2.0001

x 2 -4 dapat menyederhanakan = x + 2 .

x-2

Sehingga mudah untuk dipahami bahwa untuk x yang semakin dekat dengan 2, f(x) akan dekat dengan 2+2=4

b. Pendekatan Limit Secara Grafik Beberapa contoh berikut ini akan menggunakan grafik untuk menemukan limit suatu

fungsi.

Contoh

{3x + 1,

Gambarkan grafik fungsi f(x) = " J ,

mencari lim f(x) X--72

Penyelesaian

l f --------- + I

--.2-X

Gam bar

X;t2 dan gunakan grafik itu untuk

x=2'

Dari grafik untuk x mendekati 2, nilai

f(x) mendekati 7. Pada kenyataannya, secma numerik, dengan memilih x

sedekat mungkin dengan 2, nilai f(x) juga akan sedekat mungkin dengan 7. Terlihat bahwa

lim f(x) = 7 X--72

f(2)=3, tapi

Dari contoh dan pemahaman limit di atas, dapat disimpulkan prinsip penting tentang

limit, yaitu:

66

Limit L dari suatu fungsi y=f(x) ketika x mendekati suatu titik c tidak bergantung pada nilai f di c.

Contoh

Gunakan garfik untuk menemukan nilai, bila f(x) = - ' { I x < 0

I ' X> 0

Penyelesaian

o.s

-3 -z -l l

-0.5

Gam bar 4.5

Dari grafik ketika x mendekati 0 dan

negatif nilai f sama dengan -I, sedangkan

ketika x mendekati 0 dan positif nilai f sama dengan I. Karena untuk x

mendekati 0 dihasilkan dua nilai f yang

berbeda, malca lim f ( x) tidak ada. x->0

Tiga contoh grafik fungsi berilmt, mungkin dapat lebih membantu pemahaman

tentang limit.

f(a) ----

Gb 4.6a Gb 4.6b lim f(x) = f(a) lim f(x) = L" f(a)

x ->a x ->a

Contoh

Dengan menggunakan grafik tunjukkan, bahwa: a. lim k = k , dengan k sembarang bilangan real

X->C

b. lim x = c x->c

Gam bar lim f(x)=L,tapi 1\a)

x-7a tak terdefinisi

67

Penyelesaian

y ~x

C------ I y~k

X

i -c~

Gam bar Gam bar

Fungsi f(x)~k adalah fungsi konstan, dengan grafiknya berupa garis mendatar. Untuk setiap titik c sembarang, bila x dekat dengan c, nilai f sama dengan k, sehingga li1n k = k

Grafik fungsi f(x)~x berupa garis lurus yang membentuk sudut 45 derajat dengan sumbu x. Untuk titik c sembarang, bila x mendekati c, nilai f juga sama dengan c, sehingga

X-}C lim x = c X-->C

4.2. Sifat-sifat Limit Fungsi

Andaikan k suatu konstanta serta limit lim f(x) dan lim g(x) ada, rnaka: x->a x-->a

I. Limit Jumlah

lim(f(x)+g(x))= lim f(x)+ lim g(x) x ->a x ->a x -+a

2. Limit Selisih

lim (f(x)- g(x)) = lim f(x)- lim g(x) x-->a x-->a

3. Untuk setiap bilangan real k,

4. Limit Pembagian

5. Limit dari [f(x)]"

lim (kf(x)) = k lim f(x) x--+a x--+a

. f(x) lim f(x) hm -- = x-->a , lim g(x) oft 0

x-->a g(x) lim g(x) x-->a x--+a

Jika n adalah bilangan bulat positif: lim (f(x))0 = (lim f(x))0

x->a x--+a

6. Limit dari ~f(x) Jika n22 dan n bilangan bulat: lim ~f(x) = n lim f(x)

x--+a x--+a

68

7. Untuk setiap fungsi polinomial P(x) = a 11 x 11 + a 11 _ 1xn-l + ... + a 1x + a 0 lim P(x) = P(a)

x->a

8. Teorema Apit

Jika f(x):=;g(x):o;h(x) untuk setiap x dalam interval buka yang memuat c (kecuali mungkin di c sendiri), dan lim f(x) = lim h(x) = L maka lim g(x) = L

x->a

Contoh

Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan nilai

a. lim 2(x+4) x->3

Penyelesaian

2 b l . X -9 . UTI

x->3 x-3

_I ___ l d. li1n x+h x

h->0 h

x->a

a. Dengan menggunakan rum us limit konstanta dan limit x, serta sifat limit jumlah: lim 2(x + 4) = lim (2x + 8) x->3 x->3

= lim 2x + lim 8 x---+3 x->3

=2 lim x + lim 8 = 2 (3) + 8 = 14 x->3 x->3

b. Jawaban soal b tidak bisa menggunakan sifat limit pembagian, karena akan

dihasilkan bentuk tak tentu 0/0

Karena x-->3, berarti sehingga x-3;t0, akibatnya

x2

-9 = (x-3)(x+3) =x+ 3 . 2

J d. l' X - 9 l' 3 6 a l UTI = 1111 X + = x-3 x-3 x->3 X- 3 x->3

c. Jawaban soal c, analog dengan b, karena ' lim(x 2 - 4) 0 x -4 lim = x~l =

.H2 3-j;';5 lim(3-.Jx 2 +5) 0

x-~2

(bentuk tak tentu).

. x2 -4 . ( x 2 -4 )(3+.Jx2 +5J 1. (x' -4X3+.Jx' +5) hm = hm = 1m 2 x->

2 3- .J x 2 + 5 x->2 3- .J x 2 + 5 3 + .J x 2 + 5 x~' 9- (x + 5)

69

I. (x2 -4)(3+)x2 +5) llTI-'----'--'--:;----'----'-

.2 -(x2 -4) -lim(3+) x2

+5) = -6 x->2

d. Karena hDO, berarti h#O, sehingga dapat dilakukan operasi pembagian h/h=l . Jadi

lim~--;;: = lim x - (x +h) ho h h->O xh(x +h)

Latihan

Tentukan nilai dari limit berikut

a.

b.

c.

d.

lim t~t 3 - 4 t->2

lim (2x 4 -8x 3 +4x-5) X->1/2

2x3 +5x lim x-+-2 3x-2

I. Fx -J2 lm---X->2 x-2

h lim---,,..., xh(x+h)

f.

g.

h.

I lim---"~' x(x +h) x'

lim h->0

I ___ L (x+h)' x'

h

lim 2-~x 2 +3 x-+-1 1- x 2

Tunjukkan bahwa lim x sin _I_ = 0

x-.+0 X

I . .Jx+h-Fx

!. Jika I::;f(x)::;x2+ 2x+ 2 untuk e. lm-----

h-.+0 h

4.3. Limit Fungsi

Definisi

setiap x, tentukan lim f(x) x-+-1

Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di

a sendiri. Maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan ditulis

lim f(x) = L x-+a

Jika untuk setiap bilangan 8 > 0 terdapat 8>0 sedemikian sehingga lf(x)-LI

Nilai f\x) { berada di sin1 51-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_--.d"':

-E

Gambar 4.8

Contoh: Buktikan bahwa

a. lim(4x-5)=7 X->3

2 b I. X +X -12 7 . Im =

x->3 x-3

c. lim (x 2 -I)= 3 X->-2

Penyelesaian

a. Analisa

d. lim (4- 3;) = 7 X->-5

e. lim .JX = 0 X ---+0+

f. lim x 2 = 9 x->3

Akan dibuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif kecil 1:, I( 4x-5)-71

b. Analisa

Akan dibuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif kecil 8,

x2 +x-12 X -3

7

0 3, a-o0 3, a lim f(x) = 0 X --+C X -+C

Teorema

lim f(x) = L lim f(x) =lim f(x) = L x-Joa x_,.a-+ :.:->a-

Contoh

Tentukan nilai dari limB x->0 X

Penyelesaian.

I I { X, X 20 Menurut definisi x = -x,x < 0

lim B = lim.!: = I , sedangkan X--l-0+ X X--J-0 X

limB= lim -x =-I. Karena x-40- X x->0 X

limB tidak ada. X--)0 X

73

0.

-2 -1 2

-0.

Gb 4.9

Contoh:

J.1 f()-{x'-2x+2,x

c.

2 4 2 2 4

2. Tentukan limit berikut ini , jika ada: 2

l. X -9 nn a.

b.

c.

d.

e.

x->3- x-3

lx-51 lim --x->5. x -5

lim ~2xl] x->2/3-

lim. ~lxl- x x->2

lim. ~~xl]- x x->2

d.

\

25 20

-6 -4 -2 2 4 6 8

f. 2

l . X -1 1111--x->1. lx-11

. 2x 2 -3x g. hm

x->1,5 l2x-3l

l l. ..Jx -x2

1. 1m c

].

x->3- 1--vx

. ..}6-x -2 hm~=~x->2 ..}3-x -I

3. Adakah bilangan a sedemikian sehingga l. 3x 2 +ax+ a+ 3

1m 2 ada? Jika ada X->-2 X +x-2

tentukan nilai a dan limitnya.

4. Tentukan limit kiri dan limit kanan dari fungsi berikut ini di titik c yang

ditentukan, kemudian tentukan apakah limit fungsi di titik tersebut ada.

{2x, x * 0

a. f(x) = , c = 0 I , X= 0

b. f(x)=jx:_-:, u3, 6 , X= 3

l3x -I, x I c =I C=3 l~ ul e. f(x) = x-I ' , 0 , X= I c=l l3x -I, x I c=l l3x-1, x 1

75

5. Diketahui fungsi f(x) =

a. lim f(x) X--+2-

b. lim f(x) X--+2'

-)15- 5x, Fs )9-x2 x-2

X

Dengan menggunakan teorema apit diperoleh lim 5111 x = 1 X-70 X

Dari hasil ini diperoleh rumus limit fungsi trigonometri

a. lim cos x = 1 c. limtanx=O X-70 X-70

b. lim sin x = 0 d. r x x->0 1m --=1

lim tan x e. X-70 X

f. lim X X-70Sin X x-70 tan x

Contoh

Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut ini:

I I. cosx

. 1m H~ (x-~) 3 I. tan x

. ll11 --=--X--'>Ox2 -3x

2 I. 1 +COS X . Im ---X--711: sinx

4. lim (1- cos x) sin_!_ x->0 X

Penyelesaian

. cosx . sin(~- x) hm = hm - = H~ (x- ~) X-'>~ (~- x)

. sin(~ -x) hm x-~--'>0 (~-x) I. -1

2. l. l+cosx

1. l+cos(2.}ix) . 1+(2cos2(}ix)-1)

1m = 1m = hm ---,--,---'-"'-:--,--x--'>n sinx x->n sin(2.}ix) x->n 2sin}ixcos}ix

. cos(}i x) = hm 2 0

x->n sin(}i x)

3. 11.111 tan x 1. tan x 1. tan x 1. __ _ ----::-- = UTI = 1m -- 1m X->0x 2 -3X X-70X(x-3) X-70 X X->O(X-3)

4. lim (1-cosx)sin_!_ = 0 X-70 X

Soal

Tentukan limit berikut

l. xtan3x 1m ---,----X--'>7< sin(2x 2)

2 l. cotx 1m--X-7.3.X-~

l 2

3

=I

=I

77

3

4

I. tan(x- fx- 2) 1111 x--+4 x-4

I. sin(x- I) 1111 ? x--+lx--x-2

4.5. Limit Tak Hingga

Definisi (Limit Tak Hingga) Misalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a, kecuali

mungkin pada a sendiri, maka lim f(x) = oo, berarti bahwa X->O 3 o>O 3 Oa

V NO 3 O

a. Limit di Tak Hingga

+ Misalkan fungsi f terdefinisi pada (a,oo). Limit fungsi f untuk menbesar tanpa batas adalah L ditulis lim f(x)=L jika \is> 03m > 0 3 x > m => /f(x)- L/ < s

.t-Hf.)

+ Misalkan fungsi f terdefinisi pada (-oo,c). Limit fungsi f untuk mengecil tanpa batas adalah L ditulis lim f(x)=L jika \is> 03n > 0 3 x < n => Jf(x)- L/ < s

x-->-rr.l

y y

t ---- -----------------------~---------~----------------

)! f(x)

Gb 4.13a

Contoh

Tentukanlah

. x 2 - 2x a. lr111 ,

x-o~ 2x- +I

3 2 2 +I b I. X - X . 1111 ----;:---x->-~ 2x 3 + 3x

Penyelesaian:

111 X---700

X

n

-cof-x

'_ 2 x'(l-21) l-lil112/ a. limx , x =lim lx = ,_,~lx = x-~ 2x +I ~ x' (2 + 11 ) 2 +lim 112 2 I x2 x--J.Q) I x

3 2 x 3(1-2/ + 11,) bl. x-2x+l 1. lx /x . 1111 = 1111 --,----;;--';-''---?->-~ 2x3 + 3x .H-~ x3 (2 + 3/,)

/x-

b. Limit Tak Hingga di Tak Hingga

y (x)

Gb 4.!3b

Limit tak hingga di tak hingga adalah kasus di mana f(x)-+ oo bila x-+ oo Definisi:

+ lim f(x) = oo jika VM > 03111 > 0 3 x > 111 => f(x) > M X--J.o:l

X

79

+ limf(x) = -CJJ jika liN> 03n > 0 3 x > n => f(x) < N X~~

+ lim f(x) = CJJ jika liM> 03m > 0 3 x < m => f(x) > M x->-w

+ lim f(x) = -CJJ jika \iN < 03m > 0 3 x < m => f(x) < N X-)-')

Contoh

Tentukan

a.

b.

c.

. 1-Fx lim cos x x->oo 2x + x2

lim (x-I) tan I_ X->oo X

2x+3 lim --;=~~= x->oo~x2-x-2 Penyelesaian

a. Untuk berapapun x, nilai Jcos xJ

lim f(x) = -oo dan lim f(x) = oo lim f(x) = oo dan lim f(x) = -oo X-+-00 X --?-00

c. Bentuk-Bentuk Tak Tentu Limit Fungsi

Perhatikan limit fungsi trigonometri lim sm x , dimana limit pembilang dan limit X->0 X

penyebutnya nol. Bentuk demikian disebut bentuk tak tentu. Bentuk-bentuk tak tentu

yang lain adalah 00 ,oo-oo,O.oo,0,oo 0 ,1~. Bentuk talc tentu yang akan dibahas di sini 00

adalah 2., 00 ,oo -oo,O.oo. Bentuk tak tentu yang lain akan dibahas setelah pembahasan 0 00

fungsi berpangkat fungsi dan logaritma natural.

Contoh

x-.Jx-2 Tentukan: a. lim _ _:_ __ x-+4 x-4

x-.Jx -2 b. I i m _:_:___:__:_:___:_ x-+oo x-4

Penyelesaian

I. x-.Jx-2

1. (h-2)(h+l) 3

a. un = 1m =-x-+4 x-4 x->4(h -2)(h +2) 4

I. . I C. 1mX.Sll1-x->w X

d. lim(fx=l- .Jx) X->O'J

b. lim x- .Jx- 2 = lim ( .Jx- 2)( .Jx +I) = lim .Jx + 1 x-.+oo x-4 X->oo(../x -2)(h +2) x-+ooh +2

1 . sin X 1. sin X 1. sin t 1 c. lim x.sin- = Inn ------;;- = 1111 ------;;- = 1m .-- =

x4co X x-+co /x Y,:-+co lx t-Ho t

d. lim(~-fx)= lim(~-.Jx)~+~ =lim r./-l-x') x-.+oo x-.+oo -vx-1 +.YX x->oo\ x-1 +.YX

81

4.6. Kekontinuan Fungsi

a. Kekontinuan Fungsi di Suatu Titik

Pernah dijumpai suatu fungsi dimana lim f(x) ada dan sama dengan f(c), tapi X->C

kadang-kadang lim f(x) ada seclangkan pacla kenyataannya f(c) tidak ada (tak X-+C

terclefinisi). Bagaimana hubungan antara lim f(x) dan f(c)?. Berbagai x->c

kemungkinan hubungan itu dijelaskan oleh grafik berikut:

c

Gam bar Gam bar

lim f(x) ~ lim f(x) ~ f(c) x->c+ x---tc-

lim f(x) ~ lim f(x) 'I' f(c) x-+c+ x~c-

Gb 4.15c Gam bar

lim f(x) ~ lim f(x), f(c) X->C+ X-+C-

lim f(x) '~' lim f(x) 'I' f(c) x->c+ x-+c-

lim f(x) 'I' lim f(x), f(c) tak terdefinisi X-+C+ X-+C-

Gb4.15e

82

Definisi

Misalkan y=f(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada interval buka yang memuat c. Jika

I. lim f(x) ada. X--7C

2. Nilai f(x) untuk x=a ada, atau f(c) ada 3. lim f(x) = f(c).

X--7C

maim dikatakan fungsi itu kontinu di x=c

Jika salah satu dari ketiga syarat tersebut tidak dipenuhi, maim dikatakan fungsi

itu diskontinu di x=a

Sebagai contoh fungsi f(x)=3x3 -5x+4 kontinu di x=l, karena

lim f(x) = lim (3x 2 - 5x + 4) = 2 dan f(1)=2. Sedangkan x->1 x--+1

diskontinu di x=2, karena f(2) tak terdefinisi.

Definisi Formal

2 f(x) = x + 2

x-2

Fungsi f dikatakan kontinu di titik c di daerah asalnyajika 'if s>O 3 8>03 lx-cl3

Jadi f(x) kontinu di x=3

6

4

2

-2 2 Gb 4.16a

3 4

83

2.- lim f(x) = lim (x 2 + 1) = 1 x--+0 x--+0

- f(0)=2 - lim f(x) * f(O)

X--+0

Jadi f(x) diskontinu di x=O _, _, _,

'

Gambar 4.16b

Definisi

Sebuah fungsi f kontinu dari kanan pada sebuah bilangan a, jika lin: f(x) = f(a) X -loll

dan kontinu dari kiri pada a, jika lim f(x) = f(a) x->a

Contoh.

lx2 +2x-8 Selidikilah apakah fungsi f ( x) = x _ 2 ' x * 2 2 , x=2 kontinu di x=2? Penyelesaian

2 +?x 8 1. limf(x)=lim-x __ -_-_ x--)-2 x~2 X- 2

lim (x-2)(x-4) =-2 X42 X -2

2. f(2)=2 3. limf(x) 7o f(2)

X-)2

- -2 2

Gam bar 4.17

lx' +2x-8 Sehungga f(x) = x _ 2 ' x * 2 diskontinu di x=2. 2 , x=2 84

Sifat-sifat kekontinuan fungsi di satu titilc

+ Jika f dang kontinu di c, mal

l.J4 +X , X$ 4 d. f(x)= ~x2_ 16 c=4 ,x>4 x-4 2 Untuk fungsi-fungsi di bawah ini tentukan f(c) sehingga merupakan fungsi yang

kontinu di c

a. 2

f(x) = x - 4 , c=2 x-2

b. f(x) = , {2x , x >I l+x, x

b. Kelwntinuan Pada Snatu Interval

Definisi

Sebuah fungsi f kontinu pada interval buka (a,b) jika fungsi itu kontinu pada setiap bilangan cE(a,b).

Sebuah fungsi f kontinu pada interval [ a,b) jika fungsi itu kontinu pad a (a, b) dan lim f(x) = f(a).

X--)-a+

Sebuah fungsi f kontinu pada interval (a,b] jika fungsi itu kontinu pada (a,b) dan lim f(x) = f(b).

x->b-

Sebuah fungsi f kontinu pada interval [a,b] jika fungsi itu kontinu pada (a,b), lim f(x) = f(a) dan lim f(x) = f(b)

x-ta+ x--+b-

Con to h.

Apakah fungsi f(x) = 1-J1- x2 kontinu pada interval [-1, 1]? Penyelesaian.

Bila -l

Sifat-sifat kelwntinuan fungsi di suatu interval

+ Jika fungsi f kontinu pada [a,b], maka fterbatas pada [a,b] + Teorema Nilai Antara (TNA)

Jika fungsi f kontinu pada [ a,b ], dan k terletak an tara f( a) dan f(b ), maim terdapat CE [a,b] sedemikian sehingga f(c)=k Gam bar 4.17a adalah ilustrasi geometris dari TNA

Akibat TNA

Jika f kontinu pada [a,b] dan f(a).f(b) 3

b. g(x) = {x2 - c2, x < 4 ex+ 20, x ;:o: 4

{X- I, X< 3

c. h(x) = 5-x, x~3

4. Tentukan konstanta c dan d agar fungsi berikut ini kontinu di interval tutup

[0,4]

88

l~xl] , - 2 < X < I f(x) =, 2cx + d, I :S x < 2 X 2 +3d, 2 :S X :S 4 5. Tentukan konstanta p dang, sehungga fungsi berikut ini kontinu di R

lx 3 -x2 +5 x

3. Diketahui f(x) = ( 2

\ ~ x -7x-8;vx- -4

x2

-6x-16

a. Tentukan daerah sehingga f(x) terdefinisi b. Tentukan titik diskontinu f(x)

4. Tentukan a,b,c dan d sehingga fungsi berukut kontinu untuk setiap x

x2 +x-2

-co

sebelumnya. Bila setelah 5 jam tarif parkir dianggap sehari dengan tarif 10 dollar:

a. Sketsakan fungsi yang menggambarkan tarif parkir terse but

b. Apakah sketsa a, merupakan fungsi kontinu/diskontinu?

9. Laju perubahan muatan listrik terhadap waktu dinamakan arus listrik. Apabila

t 3 + t coulomb muatan mengalir melalui suatu kawat penghantar dalam t detik, tentukan besarnya aws listrik dalam ampere setelah 3 detik.

I 0. Sebuah kota dijangkiti oleh epidemi influensa. Petugas menaksir bahwa sampai dengan 40 hari setelah mulainya epidemi, banyaknya warga yang sakit

flu dirumuskan dengan p(t)=120e-2t3 Dengan laju berapa menularnya virus itu pada hari ke I 0.

II. Populasi penduduk di suatu kelurahan X diberikan seperti tabel berikut Tahun 1991 1993 1995 1997

X 793 820 839 874

a. Tentukan laJU pertumbuhan rata-rata

1. dari 1991 sampai dengan 1995

2. dari 1995 sampai dengan 1997

b. Tentukan laju pertumbuhan sesaat tahun 1995, dengan mengambil rata-rata dari dua laju pertumbuhan rata-rata.

c. Taksir pertumbuhan sesaat pada tahun 1995

12. Biaya produksi x unit komoditas tertentu adalah C(x)=5000+ 1 Ox+0,05x2

a. Tentukan rata-rata laju perubahan dari C terhadap x ketika tingkat produksi diu bah

1. dari x=IOO sampai x=105

2. dari x=100 sampai x=101

b. Tentukan laju perubahan sesaat dari C, terhadap x untuk x=IOO 13. Seorang biksu meninggalkan kuil pada pukul 07.00 dan mengikuti jalan ke

puncak, gunung dan tiba pukul 19.00. Pagi hari berikutnya, mulai pukul 07.00

turun mengikuti rute semula dan tiba pukul 19.00. Gunakan teorema nilai

antara untuk memperlihatkan bahwa terdapat lokasi di mana biksu itu

melewatinya pada saat yang sama.

91

TUJUAN INSTRUKSIONAL

Urn urn

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini (pada akhir semester 1), mahasiswa mempunyai pemahaman konseptual yang benar tentang topik-topik utama dalam Kalkulus (limit, kekontinuan, diferensial, integral) beserta teorema dan sifat-sifilt serata teknik-teknik penting didalamnya.

Khusus

Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan ke 14), mahasiswa akan dapat menje!askan pengertian tunman sebagai suatu limit fungsi, hubungan tunman dan kekontinuan, aturan rantai, tunman fungsi aljabar,turunan fungsi invers, tunman fungsi trigonometri, tunman fungsi eksponensial, turunan fungsi sik!ometri.,

!unman fungsi hiperbolik.

92

5. TURUNAN

Dalam bab ini, mulai dibabas mengenai kalkulus diferensia!, yang berkenaan dengan

perubahan suatu besaran terhadap besaran yang Jain. Konsep utama dari pembahasan ini ada/ah tunman, yang merupakan pengembangan dari konsep limit yang sudah dibabas

sebelumnya. Juga akan dibabas, bagaimana penafsiran !unman sebagai laju I kecepatan, kemudian cara menghitung limit, dan penggunaan tunman untuk memeeabkan masalah yang menyangkut Jaju perubaban lainnya.

5.1 Masalah -masalah yang ditafsirlmn sebagai turunan

+ Pada saat membiearakan limit, telab dibabas sebuab eontob gradien garis singgung 2

pada sebuab kurva y=x2 di titik P(2,4), yaitu m p = lim x - 4 x-72 x-2

+ Misalkan sebuah bola dijatubkan dari ketinggian tertentu dengan panjang lintasan setelah x detik ada/ah x2 meter, maka keeepatan bola pada saat x=2, ditentukan dengan eara sebagai berikut. Kecepatan rata-rata adalah basil bagi antara jarak dan waktu selama selang waktu tertentu. Sebingga bila selang waktunya [2,x], mal

m(x)-m(2) x2 -4 p=

x-2 x-2

Dengan konsep limit, dapat dicari rapat massa di titik yang betjarak 2 em, yaitu: . x 2 -4 p = Inn---

x-+2 X -2

Dari ketiga contoh di alas, jika diketahui suatu fungsi y=f(x), maka besaran yang dicari adalah

2 lim _x_--4

x-+2 x-2

Dalam kalkulus, besaran ini menyatakan laju perubahan fungsi f(x) terhadap x di titik x=2, yang selanjutnya disebut turunan f(x) dititik x=2

5.2 Turunan

Definisi 5.1

Misalkan fungsi fterdefinisi pad a interval buka yang memuat c. Turunan fungsi f di titik

c, ditulis dengan (, didefinisikan dengan

!"'() 1 f(x)-f(c) !''() 1. _f(,_c_+_h)'---_f...o.(c_,_) c = tm atau c = tm x-+c x-c h-+0 h

asal limit tersebut ada.

Contoh

I. Diketahui f(x)=x 3+x2 dan g(x) = ~. Tentukan a. Turunan dari f dang

b. Sketsakan grafik f dan f ', serta g dan g '

2. Tentukan r' (5) dari fungsi f(x) = Fx Penyelesaian

I. a. f'(x) = lim !Cx+ h)- f(x) h-+0 h

I. (x+h)3 +(x+h)2 -(x3 +x2)

= 1111 h->0 h

94

I. 3x2h +3xh 2 +h 3 +2xh+h 2

= IITI ---------------h->0 h

I. h(3x2 +3xh+h 2 +2x+h)

= lm ----'----------'-" --+0 h