Tujuan: Integral Lipat Dua

1. Mengingat kembali integral lipat dua dan mahir menghitungnya.

2. Memahami arti arti fisik dan geometri dari integral lipat dua.

3. Memahami cara transformasi koordinat pada integral lipat dua: koordinat kartesius dan kutub/polar.

Contoh: Contoh: Hitung jumlah Riemann untuk f(x) = (x+1)(x-2)(x-4) pada interval [0,5]

Integral

integral tentu integral lipat dua Integral lipat dua

kkk yxA ∆∆=∆

∑=

∆=n

kkkn xxfJ

1)(

∑=

∆=n

kkkkn AyxfJ

1),(

∫=b

a

dxxfJ )( ∫∫∫∫ ==RR

dAyxfdxdyyxfJ ),(),(

Sifat integral lipat dua:

21,

)(

21

RRRdxdyfdxdyfdxdyf

dxdygdxdyfdxdygf

dxdyfkdxdykf

RRR

RRR

RR

+=+=

+=+

=

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

Teorema Mean Value (Nilai Rata-rata) Terdapat paling sedikit satu titik (x*,y*) di R yang memenuhi:

AyxfdxdyyxfR

*)*,(),( =∫∫

dimana A adalah luas daerah R.

Δx

Δy

Δx b a

Penghitungan integral lipat dua:

Jika a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x), dimana y=g(x) dan y=h(x) adalah batas daerah R maka

∫ ∫∫∫

=

b

a

xh

xgR

dxdyyxfdxdyyxf)(

)(

),(),(

Jika c ≤ y ≤ d, p(y) ≤ x ≤ q(y), dimana x=p(y) dan x=q(y) adalah batas daerah R maka

∫ ∫∫∫

=

b

a

yq

ypR

dydxyxfdxdyyxf)(

)(

),(),(

Contoh: fungsi 22cos),( xyxyxf += memiliki domain R merupakan lingkaran 1)1()1( 22 =−+− yx . Hitunglah ∫∫R

dxdyyxf ),( .

Domain R dapat didefinisikan sebagai berikut:

a b c

d

0 ≤ x ≤ 2, g(x) ≤ y ≤ h(x), dimana g(x) = 1)1(1 2 +−−= xy dan h(x) = 1)1(1 2 +−−−= xy (gambar kiri) Atau 0 ≤ y ≤ 2, p(y) ≤ y ≤ q(y), dimana p(y) = 1)1(1 2 +−−= yx dan h(x) = 1)1(1 2 +−−−= yx (gambar kanan)

Luas daerah R : Aplikasi fisik dan geometri

AdxdyR

=∫∫

Volume di bawah permukaan z = f(x,y) (>0) dan di atas daerah R di bidang xy: ∫∫=

R

dxdyyxfV ),(

z

x

y z=f(x,y)

1

1

0 2 1

1

0

2

Jika f adalah kepadatan (density) dari suatu distribusi massa maka massa total adalah: ∫∫=

R

dxdyyxfM ),(

Contoh lainnya: Momen inersia, Titik pusat gravitasi Perubahan variabel di integral lipat dua Ingat teknik pengintegralan substitusi pada integral tentu:

∫∫ =*

*

))(()(b

a

b

a

dududxuxfdxxf

Apabila x=x(u,v), y=y(u,v) maka

∫∫∫∫ ∂∂

=* ),(

),()),(),,((),(RR

dudvvuyxvuyvuxfdxdyyxf

dimana vy

uy

vx

ux

vuyxJ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=),(),(

Jacobi

Jika perubahan dari koordinat kartesius ke polar yaitu x= r cos θ, y = r sin θ maka

rrr

ryxJ =

−=

∂∂

=θθθθ

θ cossinsincos

),(),(

jadi *

( , ) ( cos , sin )R R

f x y dxdy f r r rdrdθθ θ=∫∫ ∫∫