misbahpati.files.wordpress.com€¦ · web viewnilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat. untuk...

FUNGSI KUADRAT, PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN

A. Fungsi Kuadrat

1. Pengertian

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c

bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x

yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.

Contoh 1:

Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7

Ditanyakan:

1. nilai pembuat nol fungsi f

2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x2 – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7 atau x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1

2. Untuk x = 0 maka f(0) = –7

x = –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9

Contoh 2:

Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p – 1) + 3 merupakan bentuk

kuadrat sempurna.

Jawab :

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0

p2 – 2p – 35 = 0

(p – 7) (p + 5) = 0

p = 7 atau p = –5

Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7

atau p = –5.

Periksalah jawaban itu.

2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan

uraian berikut:

1) f(x) = x2 – 2x – 3

= x2 – 2x + 1 – 4

=(x – 1)2 – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai

paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 – 4

mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

2) f(x) = –x2 + 4x + 5

= –x2 + 4x – 4 + 9

= –(x2 – 4x + 4) + 9

= –(x – 2)2 + 9

Nilai terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f(x) = –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar

(maksimum) 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum f(x) = ax2 + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum untuk

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum untuk

Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7

Jawab:

f(x) = 2x2 + 4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c = 7

Nilai minimum fungsi f = 5

Latihan 5

1. Diketahui: f(x) = x2 – 4x – 6

Ditanya:

a. nilai pembuat nol fungsi

b. nilai f(x) , jika x = 0

c. f(2) , f(–1) , f(p)

1. Tentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi berikut ini:

2. Fungsi kuadrat f(x) = 2x2 – px + 3 mempunyai nilai minimum untuk x =

2. Hitunglah nilai minimum itu!

3. Nilai maksimum f(x) = ax2 + 4x + a adalah 3. Hitunglah nilai a !

4. Selisih dua bilangan positif adalah 3. Tentukan kedua bilangan itu agar

hasilkalinya minimum!

5. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3, dan

mempunyai nilai 6 untuk x = 1. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!

1. f(x) = x2 + 4x + 4

2. f(x) = 2x2 – 4x + 3

3. f(x) = –3 x2 + 12x – 8

4. f(x) = –7 + 12x – 3x2

5. f(x) = (2x + 1) (x =- 3)

6. f(x) = (2x – 1)2

3. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat f : x ® y = a x2 + b x + c grafiknya berbentuk parabola.

Gambar 7.1 Gambar 7.2

Perhatikan Gambar 7.1 dan 7.2

Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.

Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.

Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.

Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.

Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:

1) Titik potong grafik dengan sumbu-X.

Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0,

maka

a x2 + b x + c = 0. Karena a x2 + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka

banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).

D > 0 ® terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0).

D = 0 ® terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.

D < 0 ® tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.

2) Titik potong dengan sumbu-Y.

Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika

x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).

3) Sumbu simetri

Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka

persamaan sumbu simetri adalah:

4) Titik Puncak/ Balik

Koordinat titik puncak

Catatan:

Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x2 + b x + c berbentuk parabola.

Parabola terbuka ke atas jika a > 0.

Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.

Contoh:

Buatlah sketsa grafik y = x2 – 2x – 3 untuk x e R.

Jawab:

Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.

x2 – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0

x = 3 dan x = –1

Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)

Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0

y = 0 – 0 – 3 = – 3

Koordinat titik potongnya C(0 , –3)

Sumbu simetri, garis

Titik puncak ® D(1 , –4)

Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsi

y = x3 – 2x – 3.

Latihan 6

1. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat berikut ini, dengan sumbu

koordinat:

1. y = x2 – 4x – 5 c. y = -2x2 + 5x – 3

2. y = x2 + 4x + 4 d. y = 2x2 – 5x + 4

1. Tentukan koordinat titik puncak/balik grafik fungsi pada soal no. 1 di atas!

1. Grafik fungsi kuadrat y = 2x2 – px + 3 mempunyai sumbu simetri garis x = 2.

Tentukan koordinat titik puncak !

1. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut ini dengan langkah-langkah:

1. y = x2 – 6x + 8 d. y = x2 – 2

2. y = (x – 5)2 e. y = –x2 + 3

3. y = 16 – x2 f. y = x2 + 2x + 2

4. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:

1. melalui tiga titik yang berlainan.

2. memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.

3. melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.

4. menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.

1. a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik

Contoh:

Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2,

6 ).

Jawab :

Misal persamaan grafik adalah y = a x2 + b x + c

Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–1)2 + b (–1) + c

0 = a – b + c ………………. (1)

Grafik melalui titik (1 , 8) ® 8 =a (1)2 + b (1) + c

8 = a + b + c ………………. (2)

Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6 = a (2)2 + b (2) + c

6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.

(1) a – b + c = 0 (2) a + b + c = 8 a – b + c = 0

(2) a + b + c = 8 (3) 4a + 2b + c = 6 –2 – 4 + c = 0

–2b = –8 3a – b = 2 c = 6

b = 4 – 3a – 4 = 2

a = –2

Jadi, fungsi kuadrat itu adalah y = –2x2 + 4x + 6.

b. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X

Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).

(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga 0= ap2 + bp + c dan

0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:

0 = a(p2 – q2) + b(p – q)

b(p – q) = –a(p2 – q2)

= –a(p + q) (p – q)

b = – a(p + q)

Substitusikan b = – a(p + q) ke ap2 + bp + c = 0

ap2 + (– a(p + q)) p + c = 0

ap2 – ap2 – pqa + c = 0

c = pqa

Untuk b = – a(p + q) dan c = pqa maka

y = a x2 + b x + c Û y = ax2 – a(p + q)x + pqa

= a(x2 – (p + q)x + pq)

= a(x – p) (x – q)

Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di

(p,0) dan (q,0).

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0),

serta melalui titik (–3, –8) !

Jawab:

Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya

y = a(x – (–5)) (x – 1)

= a(x + 5) (x – 1)

Grafik melalui titik (–3, –8), berarti

–8 = a(–3+5) (–3 – 1)

= –8a

a = 1

Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh y = x2 + 4x – 5.

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x – 5.

1. c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu

diketahui

Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .

Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat

dinyatakan dengan .

Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2 + q

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui

titik (0,0).

Jawab:

Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 + 3

Grafik melalui titik (0,0) berarti:

0 = a(0 – 1) + 3

0 = a + 3

a = –3

Substitusikan a = –3 pada y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh

y = –3 (x – 1)2 + 3

y = –3 (x2 – 2x + 1) + 3

y = –3x2 + 6x

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.

d. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X

Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan

menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi

atau terendah adalah (,0).

Sehingga .

Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .

Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan

melalui titik (0,4) !

Jawab:

Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah

y = a (x – 2)2

Grafik melalui titik (0,4) berarti :

4 = a(0 – 2)2 = 4a

a = 1

Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)2 atau y = x2 – 4x + 4.

Latihan 7

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (–2, 12), (1, –3), dan (5, 5) !

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (3, –2), (5, 4), dan (1,-1 !

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0), dan

(4, 0) serta melalui titik (0, 2) !

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (4, 0) dan

(1, 0) serta melalui titik (2, –2)

1. Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat adalah (–1, 1). Tentukan fungsi

kuadrat itu jika grafiknya melalui titik (0, 1) !

1. Koordinat titik puncak grafik fungsi y = ax2 + bx + 5 adalah (4, 9). Tentukan

fungsi kuadratnya!

1. Suatu parabola menyinggung sumbu-X di titik (–2, 0) dan melalui titik (0, –1).

Tentukan persamaan parabola!

1. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai tertinggi –3 untuk x = 2, sedangkan

grafiknya melalui titik

(–2, –11). Tentukan fungsi kuadratnya!

1. Suatu fungsi kuadrat, grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0) dan (5, 0),

sedang fungsi itu mempunyai nilai maksimum 9. Tentukan fungsi kuadrat

tersebut!

1. Grafik fungsi y = (p+3)2 – 2(p – 1)x + (2p – 5) mempunyai titik puncak yang

absisnya p. Tentukan fungsi kuadrat itu!

. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0 a, b dan c adalah bilangan real.

1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

a) memfaktorkan,

b) melengkapkan kuadrat sempurna,

c) menggunakan rumus.

Uraian:

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh 1 :

Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0

Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0 atau x – 1 = 0

x = 3 atau x = 1

Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.

Jawab: (x – 2)2 = x – 2

x2 – 4 x + 4 = x – 2

x2 – 5 x + 6 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0 atau x – 2 = 0

x = 3 atau x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.

Contoh 3 :

Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.

Jawab: 2 x2 + 7 x + 6 = 0

2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0

2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(x + 2) (2 x + 3) = 0

x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0

x = –2 atau x = – 1

Jadi, penyelesaiannya adalah –2 dan –1.

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat

sempurna

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan

mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.

Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0

x2 – 6 x + 9 – 4 = 0

x2 – 6 x + 9 = 4

(x – 3)2 = 4

x – 3 = 2 atau x – 3 = –2

x = 5 atau x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari 2 x2 – 8 x + 7 = 0.

Jawab: 2 x2 – 8 x + 7 = 0

2 x2 – 8 x + 8 – 1 = 0

2 x2 – 8 x + 8 = 1

2 (x2 – 4 x + 4) = 1

2 (x – 2)2 = 1

(x – 2)2 = ½

x – 2 = atau x – 2 = –

x = 2 + Ö2 atau x = 2 –Ö2

Jadi, penyelesaiannya adalah 2 + Ö2 dan 2 – Ö2.

c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.

Jawab: x2 + 7x – 30 = 0

a = 1 , b = 7 , c = – 30

x = 3 atau x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

Latihan 1

1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:

2. Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum,

kemudian tentukanlah akar-akarnya!

3. Salah satu akar x2 – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!

4. Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x2 + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar

yang lain!

5. Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi

panjang dengan panjang dan lebar

1. x2 – 3x + 2 = 0 f. –2x2 + 8x – 9 = 0

2. 3x2 – 9x = 0 g. –6x2 + 10xÖ3 – 9 = 0

3. 6x2 – 13x + 6 = 0 h. x2 – 2xÖ3 – 1 = 0

4. 5p2 + 3p + 2 = 0 i. x2 + x – 506 = 0

5. 9x2 – 3x + 25 = 0 j. x2 – x + Ö2 = 2

1. 2x – x(x + 3) = 0 c. (x – 3)2 + 2(x – 3) – 3 = 0

2. (x – 3) (x + 2) – 2x2 + 12 = 0 d.

berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2. Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!

2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2 –

4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat

ditulis sebagai .

Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.

Apabila:

1. D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat

mempunyai dua akar real berlainan, .

2. D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real

sama. .

3. D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan

kuadrat tidak mempunyai

akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan

kuadrat berikut:

1. x2 + 5 x + 2 = 0

2. x2 – 10 x + 25 = 0

3. 3 x2 – 4 x + 2 = 0

Jawab :

1. x2 + 5 x + 2 = 0

a = 1 , b = 5 , c = 2

D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.

1. x2 – 10 x + 25 = 0

a = 1 , b = -10 , c = 25

D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0

Karena D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0 mempunyai dua akar real sama.

1. 3 x2 – 4 x + 2 = 0

a = 3 , b = –4 , c = 2

D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8

Ternyata bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2 – 4 x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real.

Latihan 2

1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan

kuadrat berikut ini:

1. x2 + 6x + 6 = 0

2. x2 + 2x + 1 = 0

3. 2x2 + 5x + 5 = 0

4. –2x2 – 2x – 1 = 0

5. 6t2 – 5t + 1 = 0

6. 4c2 – 4c + 3 = 0

1. Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama

(kembar)!

1. 4x2 + 8px + 1 = 0

2. 4x2 – 4px + (4p – 3) = 0

3. px2 – 3px + (2p + 1) = 0

1. Persamaan x2 – 4px – (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat

tersebut!

2. Buktikan bahwa persamaan x2 – px – (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real

berlainan!

3. Buktikan bahwa mempunyai dua akar real berlainan!

3. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

1. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.

ax2 + bx + c = 0

x2 + x + = 0

Karena x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :

Jadi, , .

Contoh:

Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan

tersebut, hitunglah nilai:

1. x1 + x2 d.

2. x1.x2 e. x13 + x2

3

3. x12 + x2

2

Jawab: x2 – 3 x + 4 = 0 ® a = 1 , b = –3 , c = 4

a. x1 + x2 = 3

b. x1.x2 = 4

c. x12 + x2

2 = x12 + x2

2 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2

= (x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1

e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x1

2 x2 + 3 x1 x22 + x2

3

= x13 + 3 x1 x2 (x1 + x2) + x2

3

x13 + x2

3 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)

= 33 – 3 . 4 (3)

= 27 – 36 = –9

Latihan 3

1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar

persamaan berikut:

2. Akar-akar persamaan x2 + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan

persamaan itu, hitunglah:

3. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 – (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah

nilai k.

4. Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax2 – (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah

nilai a.

5. Akar-akar persamaan x2 + ax + b = 0 adalah x1 dan x2.

1. x2 – 5x + 7 = 0 d. bx2 + ax + c = 0

2. 2x2 – 7 = 0 e.

3. 4x2 – 3x = 0 f. (x – p)2 + (x – q)2 = p2 + q2

1. p2 + q2

2. (p + 2) (q + 2)

3. (p – 2q) (q – 2p)

Tentukan hubungan antara a dan b jika diketahui xi2 – x1x2 + x2

2 = 5.

4. Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:

v menggunakan perkalian faktor,

v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.

Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai

(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan

demikian jika akar-akar

persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.

Contoh 1:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.

Jawab: (x – x1) (x – x2) = 0

(x – 3) (x – (-2)) = 0

(x – 3) (x + 2) = 0

x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0

x2 – x – 6 = 0.

Contoh 2:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan !

Jawab: (x – ) (x – ) = 0

= 0

6 x2 – 2 x – 3 x + 1 = 0

6 x2 – 5 x + 1 = 0

1. b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar

Persamaan .

Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan:

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.

Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 = – 5

x1 x2 = 6

Jadi, persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0.

1. c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar

persamaan kuadrat lain

Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan

dengan akar-akar persamaan yang lain.

Contoh 1:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan

x2 – 2x + 3 = 0.

Jawab:

Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3.

Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3

p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3) p q = (x1 + 3) (x2 + 3)

= x1 + x2 + 6 = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9

= 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.

Contoh 2:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0.

Jawab:

Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan kuadrat

baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2

a + b = 2(x1 + x2) = 2

a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . = 2

Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:

x2 – (a + b)x + ab = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 3x + 2 = 0..

Latihan 4

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:

2. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah dan .

Tentukan persamaan kuadratnya!

3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 4x – 6 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan

kuadrat baru yang akar-akarnya:

4. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 2x + 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah

persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:

5. Diketahui persamaan 2x2 – 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang

akar-akarnya:

1. 1 dan 3

2. 2 dan -4

3. -1 dan -5

4. –Ö2 dan 2Ö2

5. (p + q) dan (p – q)

1. (a + 1) dan (b + 1)

2. (a– 3) dan (b– 3)

1. 4a dan 4b

2. –a dan –b

3. (2a + 1) dan (2b + 1)

4. a2 dan b2

1. berlawanan dengan akar-akar persamaan yang diketahui.

2. kebalikan akar persamaan yang diketahui.

C. Pertidaksamaan

1. Pertidaksamaan Linear

Berdasarkan penyelesaiannya, pertidaksamaan linear terbagi menjadi :

1. Pertidaksamaan biasa, yaitu pertidaksamaan yang memiliki himpunan

penyelesaian.

Contoh : 2 x + 3 < 5

1. Pertidaksamaan identik, yaitu pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai

peubah.

Contoh : x + 5 < 2x + 10

1. Pertidaksamaan palsu, yaitu pertidaksamaan yang tidak mempunyai himpunan

penyelesaian.

Contoh x + 8 < x + 4

Contoh 1 :

Tentukan nilai x yang memenuhi 2 x + 4 > x + 3 !

Jawab :

2 x + 4 > x + 3

2 x – x > 3 – 4

x > – 4

Contoh 2 :

Selesaikanlah 3 x + 5 < 5 x + 7 !

Jawab :

3 x + 5 < 5 x + 7

3 x – 5 x < 7 – 5

- 2 x < 2

x > –1 (Catatan : ruas kiri dan kanan dibagi dengan bilangan negatif,

tanda pertidaksamaan berubah)

Latihan 8

Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :

1. 4 x > 12 6. 2 x + 1 £ 5 x – 4

2. – 2 x < 7 7. – 8 x + 2 ³ 5 x – 10

3. 4 + 3 x ³ – 8 8.

4. 9 – 3 x £ 6 9.

5. 2 x + 3 £ x + 4 10.

Tentukan nilai-nilai x dengan kemungkinan-kemungkinannya !

1. p x – p < 0 13. p x + q x < p + q

2. a x £ a3 14. a x + 1 > x + a

Tentukan nilai x yang memenuhi:

1. 16

1. Pertidaksamaan Kuadrat

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dilakukan langkah-langkah berikut :

1. Jadikan ruas kanan nol.

2. Uraikan ruas kiri atas faktor linear

3. Tentukan nilai pembuat nol ruas kiri

4. Buat garis bilangan dan tempatkan nilai pembuat nol ruas kiri pada garis

bilangan

5. Tentukan tanda-tanda ruas kiri pada garis bilangan.

6. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.

Contoh 1 :

Selesaikan x2 – 2x – 8 ³ 0 !

Jawab :

x2 – 2 x – 8 ³ 0

(x – 4 ) (x + 2) ³ 0

Garis bilangan :

+ + + + + | – - – - – - | + + + +

–2 4

Nilai x yang memenuhi :

x £ –2 atau x ³ 4

Contoh 2 :

Selesaikan 3 x2 + 2 x < 3 – 6 x !

Jawab :

3 x2 + 2 x < 3 – 6 x

3 x2 + 2 x + 6 x – 3 < 0

3 x2 + 8 x – 3 < 0

(3 x – 1) (x + 3) < 0

Nilai pembuat nol : 3x – 1 = 0 dan x + 3 = 0

3x = 1 x = –3

x =

Garis bilangan

+ + + + | – - – - – - – - – | + + + + +

o o

–3

Karena permintaan adalah negatif, maka nilai x yang memenuhi adalah –3 < x <

Latihan 9

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :

1. x2 + x – 2 < 0 6. 15 – 7 x £ 2 x2

2. x2 – 16 < 0 7. 4 x2 – 2 x ³ 3 + 3 x – 4 x2

3. 9 – x2 > 0 8. 5 x2 + 15 x £ 2 (x + 3)

4. x2 – x < 3 x 9. 3 – 2 x £ 9 x – 6 x2

5. 2 x – x2 ³ 0 10. 2 x2 – 3 x – 5 ³ 0

Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat

Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

yaitu D = b2 – 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan

kuadrat.

Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :

1. jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

2. tanda-tanda fungsi kuadrat

3. garis dan parabola

1. a. Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan

kuadrat

Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

dapat menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat serta dapat menentukan

koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang meme-nuhi syarat tertentu.

Bagan berikut menunjukkan syarat-syarat yang harus dipebuhi oleh persamaan kuadrat

a x2 + b x + c = 0 , a ¹ 0 yang akar-akarnya x1 dan x2 .

a x2 + bx + c = 0

a ¹ 0

D < 0 D = b2 – 4 a c D = 0

Akar imajiner Akar

kembar

(x1 = x2)

x1 = 0 , x2 ¹ 0 x1 = – x2 x1 = x1 = + , x2 = + x1 = – , x2 = – x1 = – , x2 =

+

c = 0 berlawanan kebalikan a, c tanda sama a,b,c tanda

a, c tanda

b = 0 a = c b berbeda sama berbeda

Contoh 1 :

Tentukan nilai p agar x2 – 2 p x + 2p + 15 = 0 mempunyai :

1. akar kembar

2. kedua akar tandanya berlawanan

Jawab :

1. x2 – 2 p x + 2p + 15 = 0 b. Syarat kedua akar tandanya

berlawanan D > 0 ; x1 . x2 < 0

a = 1 , b = –2p dan c = 2p + 15 b2 – 4 a c > 0 x1 . x2 < 0

Agar kedua akar kembar, maka D = 0 (–2 p)2 – 4 . 1 . (2 p + 15) >

0 < 0

b2 – 4 a c = 0 4 p2 – 8 p – 60 > 0 2 p + 15 < 0

(–2 p)2 – 4 . 1 . (2 p + 15) = 0 p2 – 2 p – 15 > 0 2 p < –

15

4 p2 – 8 p – 50 = 0 (p – 5) (p + 3) > 0 p < –7

p2 – 2 p – 15 = 0 + + + + – - – - – - – - - + + + + +

(p – 5) (p + 3) = 0 o o

p = 5 atau p = –3 –3 5

Jadi nilai p adalah 5 dan –3 p < –3 atau p > 5

Dari syarat (1) dan (2) diperoleh :

o o

–3 5

o

–7

Jadi : p < –7

Latihan 10

1. Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai dua akar yang sama !

1. x2 + 2 p x + 4 = 0

2. x2 + px + p + 3 = 0

1. Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai akar akar real yang

berlainan !

1. x2 + p x + p = 0

2. x2 – (p + 3) x + 2 p + 2 = 0

3. p x2 + 3 x + p = 0

1. Tentukan nilai p agar (4 – p) x2 + 11 x + p + 6 = 0 mempunyai akar berkebalikan !

1. Persamaan x2 + (2 m – 1) x + m2 – 3 m – 4 = 0 mempunyai akar berlawanan.

Tentukan nilai m !

1. Tentukan nilai m agar x2 + 2 m x – m2 + 5 m – 6 = 0 mempunyai :

1. dua akar berlawanan

2. dua akar berlawanan tanda

3. dua akar positif

1. b. Tanda-tanda fungsi kuadrat

Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan

nilai diskriminan .

1. Berdasarkan tanda a

a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).

a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke

bawah).

1. Berdasarkan tanda D = b2 – 4 a c

D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan.

D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau

parabola menyinggung sumbu-X.

D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung

sumbu-X.

Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan

bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:

Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:

Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x2 + b x + c = 0 , a ¹ 0.

Untuk a > 0:

1) D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x1) (x – x2)

f(x) > 0 untuk x < x1 dan x > x2

f(x) < 0 untuk x1< x < x2

2) D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x1)2

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x) = 0

3) D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif.

Untuk a < 0:

1) D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x1) (x – x2)

f(x) < 0 untuk x < x1 dan x > x2

f(x) > 0 untuk x1< x < x2

2) D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x1)2

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x) = 0

3) D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif.

Contoh 1:

Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x2 – 4 x – m + 2 definit positif.

Jawab:

f(x) = x2 – 4 x – m + 2

Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah a > 0 dan D < 0.

a = 1 bilangan positif

D = (–4)2 – 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8

= 4 m + 8

D < 0 « 4 m + 8 < 0

m < –2

Jadi, agar f(x) = x2 – 4 x – m + 2 definit positif, maka m < –2

Contoh 2:

Tentukan fungsi kuadrat yang hanya negatif bagi – 2 < x < 2 dan grafiknya melalui titik

(3, 10) !

Jawab:

Fungsi kuadrat y = f(x)

y < 0 untuk –2 < x < 2 berarti parabola terbuka ke atas.

y = a(x + 2) (x – 2), melalui titik (3, 10) berarti

10 = a(3 + 2) (3 – 2)

= 5a

a = 2

Jadi, y = 2(x + 2) (x – 2) atau y = 2x2 – 8.

Latihan 11

1. Tentukan batas-batas x supaya fungsi berikut ini negatif!

1. y = x2 – 7x + 10 b. y = 6x2 – 5x – 6 c. y = 2x2 + x – 6

1. Tentukan nilai x agar fungsi berikut ini positif!

1. y = x2 – x – 2 b. y = –x2 + 2x + 8 c. y = 2x2 – 9x – 5

1. Tentukan batas-batas m supaya y = x2 +6x + m positif untuk setiap nilai m !

1. Tentukan batas-batas nilai p supaya fungsi berikut ini definit positif !

1. y = x2 – 2px + 3p + 4 b. y = (p + 2)x2 – (2p + 1)x + (p – 2)

1. Tentukan nilai a supaya y = (a – 1)x2 + 2ax + a tidak positif untuk setiap harga x !

1. Tentukan fungsi kuadrat menjadi negatif untuk –2 < x < 4 dan mempunyai

minimum –6 !

1. Tentukan fungsi kuadrat yang hanya positif untuk –1 < x < 2 dan melalui titik (0,

2) !

1. Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan oleh f(x) = 3x2 + mx + 2m2 dan g(x) =

x2 + 2mx + m2. Jika grafik f(x) selalu di atas grafik g(x), tentukan batas-batas m !

1. c. Persamaan Garis Singgung pada Grafik Fungsi Parabola

Antara garis lurus dan grafik fungsi kuadrat terdapat tiga hubungan, yaitu:

v garis memotong grafik

v garis menyinggung grafik

v garis tidak memotong dan tidak menyinggung grafik.

Koordinat titik potong antara garis y = mx + n dan grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx+c

diperoleh dengan mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Garis lurus ® y = mx + n …(1)

Parabola ® y = ax2 + bx + c …(2)

Persamaan (1) disamakan dengan persamaan (2), maka diperoleh ax2 + (b – m)x + c – n,

merupakan persamaan kuadrat dalam x, sehingga terdapat kemungkinan sebagai

berikut:

1) D > 0 mempunyai dua akar real berlainan yang berarti terdapat dua titik potong

atau garis memotong parabola.

2) D = 0 mempunyai sebuah akar kembar, yang berarti mempunyai sebuah titik

persekutuan atau garis menyinggung parabola.

3) D < 0 tidak mempunyai akar real, yang berarti garis tidak memotong parabola.

Contoh 1:

Tentukan koordinat titik potong garis y = x + 5 dengan parabola y = x2 – 3x.

Jawab: y = x + 5 dan y = x2 – 3x disamakan

x + 5 = x2 – 3 x Untuk x = 5 maka y = 5 + 5 = 10

x2 – 4 x – 5 = 0 Untuk x = –1 maka y = –1 + 5 = 4

(x – 5) (x + 1) = 0

x = 5 dan x = –1

Jadi, koordinat titik potong antara garis y = x + 1 dan parabola y = x2 – 3x

adalah (5, 10) dan (–1, 4).

Contoh 2:

Tentukan nilai m, supaya garis y = x + m menyinggung parabola y = x2 – 2 .

Jawab: y = x + m dan y = x2 – 2 disamakan

x + m = x2 – 2

x2 – 2x – 2m – 2 = 0

Syarat supaya bersinggungan: D = 0.

D = (-2)2 – 4 . 1 (2m – 2) = 0

4 + 8m + 4 = 0

8m = –8

m = –1

Jadi, agar garis menyinggung parabola maka m = –1.

Latihan 12

1. Tentukan koordinat titik potong antara garis dengan parabola berikut ini :

1. y = x + 1 dan y = x2 – x – 2

2. y = 3x – 8 dan y = x2 – 3x

3. y = –2x + 9 dan y = 2x2 – 4x + 7

2. Tentukan nilai m supaya garis y = mx + 1 menyinggung parabola !

3. Tentukan persamaan garis yang melalui (0, -1) dan menyinggung parabola y =

x2 !

4. Ditentukan parabola dan garis y = x – 2 :

1. Tentukan koordinat titik potong antara garis dan parabola.

2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik potong itu.

5. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (1, 2) dan

menyinggung garis y = x !

6. Tentukan m supaya garis y = mx +2 menyinggung parabola y = mx2 + x + 4 !

1. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y = x2 + 2 yang sejajar

dengan garis x – 2y – 4 = 0 Tentukan pula koordinat titik singgungnya!

2. Fungsi kuadrat y = (m + 3)x2 – (3m + 3)x + (m – 5) grafiknya melalui titik

asal. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola itu yang melalui

titik asal !

3. Fungsi kuadrat y = x2 + (m + 2) x + 2 m – 4 grafiknya selalu melalui sebuah

titik yang tidak tergantung pada nilai m. Tentukanlah titik tersebut !

4. Tentukan dua buah titik tetap yang selalu dilalui fungsi kuadrat y = m x2

+(3 m – 2 ) x + 2 – 3 m !

1. Pertidaksamaan Pangkat Tinggi

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pertidaksamaan pangkat tinggi :

1. Jadikan ruas kanan nol.

2. Faktorkan ruas kiri

3. Bila terdapat definit positif, definit tersebut dapat dihilangkan begitu saja, tetapi

bila terdapat definit negatif, definit ini bisa dihilangkan apabila tanda

pertidaksamaan diubah menjadi lawan dari tanda mula-mula.

4. Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan ganjil, maka tidak ada pengaruh apa-

apa pada pertidaksamaan.

5. Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan genap, maka pada garis bilangan

akan terdapat pengulangan tanda (mengikuti tanda di sebelah kanannya)

Contoh 1 :

Tentukan nilai x yang memenuhi: (x – 1)2 (x + 2)3 (x – 3) > 0 !

Jawab : (x – 1)2 (x + 2)3 (x – 3) > 0

+ + + + + | – - – - – - - | – - – - - | + + + + +

–2 1 3

Jadi nilai x yang memenuhi adalah: x < – 2 atau x > 3

Contoh 2 :

Selesaikan : (2 – x)5 (x + 3) (x2 + x + 1) > 0 !

Jawab : x2 + x + 1 adalah definit positif

Sehingga pertidaksamaan itu dapat ditulis menjadi :

(2 – x)5 (x + 3) > 0

- – - – - – - | + + + + + | – - – - – -

–3 2

Nilai x yang memenuhi adalah : –3 < x < 2

Latihan 13

Tentukan nilai x yang memenuhi :

1. (x2 – 3 x + 5) (x + 2) (x – 1) < 0 6. (-2 + 3 x – 4 x2) (x + 4)

(x – 3) < 0

2. (x – 1) (x + 2) (x – 3) (x + 4) ³ 0 7. (x + 10)5 (x – 7)2 (x +

5)2 £ 0

3. (x + 1) (2 – x) (x + 3) £ 0 8. x4 – 13 x2 + 36 ³ 0

4. (x – 5) (x +1)2 (x + 3 > 0 9. x (x2 – x – 2) (15 – 2x –

x2) > 0

5. (2 – x)2 (x + 3)5 (x – 1) < 0 10. (x2 – 2 x – 3) (x2 + 4 x +

3) £ 0

1. Pertidaksamaan Pecahan

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan perlu diingat bahwa :

1. Hasil bagi dua bilangan mempunyai tanda yang sama dengan hasil kali bilangan

itu.

2. Penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol

3. Bila terdapat definit positif , definit positif dapat dihilangkan tanpa

mempengaruhi pertidaksamaan, tetapi jika terdapat definit negatif, definit

negatif dapat dihilangkan asalkan tanda pertidaksamaan

berubah menjadi lawan dari tanda pertidaksa-maan mula-mula

Contoh 1 :

Selesaikan !

Jawab :

+ + + + – - – - – - – - – - + + + +

o o

–2 3

Nilai x yang memenuhi : x < –2 atau x > 3

Contoh 2 :

Selesaikan !

Jawab :

+ + + + + – - – - – - – - + + + +

o

–3 1

Harga x yang memenuhi adalah –3 < x £ 1 (ingat penyebut tidak boleh nol)

Contoh 3 :

Tentukan nilai x yang memenuhi: !

Jawab : Penyebut merupakan definit positif, jadi dapat diabaikan

x2 + 2x – 8 ³ 0

(x + 4) (x – 2) ³ 0 + + + + | – - – - – - – - | + + + +

–4 2 Nilai x yang memenuhi adalah : x £ –4 atau x ³ 2

Latihan 14


1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

1. Pertidaksamaan Irasional

Cara penyelesaian bentuk pertidaksamaan ini adalah :

1. Bentuk bilangan di bawah tanda akar selalu lebih besar atau sama dengan nol

2. Tanda akar dapat dihilangkan dengan mengkuadratkan

Contoh 1:

Selesaikan !

Jawab : Syarat :

kuadratkan 2 x – 1 ³ 0

2 x – 1 < 9 2 x ³ 1

2 x < 10 x ³ . . . . . (2)

x < 5 . . . . . .(1)

o

5 Jadi : £ x < 5

Contoh 2 :

Selesaikan

Jawab :

Syarat I Syarat II

kuadratkan 2 x – 10 > 0 2 – x ³ 0

2 x – 10 > 2 – x 2 x > 10 2 ³ x

2 x + x > 2 + 10 x > 5 x £ 2

3 x > 12

x > 4 2 4 5

Jadi tidak ada nilai x yang memenuhi.

Contoh 3 :

Tentukan nilai x yang memenuhi : !

Jawab :

Syarat I Syarat II

kuadratkan x + 3 > 0 12 – 2x ³ 0

x + 3 > 12 – 2 x x > –3 12 ³ 2x

x + 2 x > 12 – 3 x £ 6

3 x > 9

x > 3 –3 3 6

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas : 3 < x £ 6.

Contoh 4 :

Selesaikan

Jawab :

Syarat :

kuadratkan x2 + 2 x ³ 0

x2 + 2 x < x2 + 6 x + 9 x (x + 2) ³ 0

2 x – 6 x < 9 + + | – - – - – - -| + + +

–4 x < 9 –2 0

x >–2 x £ –2 atau x ³ 0 …2)

o

–2 –2 0

Hasil penyelesaian : –2 < x £ –2 atau x ³ 0

Latihan 15


1. < 3 6.

2. < 4 7. < x – 2

3. < 5 8. < 15 – x

4. 9.

5. 10.

1. Pertidaksamaan Nilai Mutlak.

Nilai mutlak dari bilangan a ditulis | a | dan mempunyai nilai sebagai :

| a | =

Contoh 1 :

| 70 | = 70 | – 70 | = – (– 70) = 70 | 0 | = 0

Pertidaksamaan dengan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan mengkuadratkan

Contoh 2 :

Carilah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ; | x | £ a , a positif !

Jawab : | x | £ a

kuadratkan

x2 £ a2

x2 – a2 £ 0

(x – a) (x + a) £0 + + + + – - – - – - – – + + + +

–a a

Jadi ; – a £ x £ + a

Contoh 3 :

Tentukan nilai x yang memenuhi | x | ³ a , a positif !

Jawab : | x | ³ a

kuadratkan

x2 ³ a2

x2 – a2 ³ 0

(x – a) (x + a) > 0

(x – a) (x + a) ³ 0 + + + + – - – - – - – – + + + +

– a a

Jadi x £ – a atau x ³ a

Contoh 4 :

Selesaikan | x – 4 | < 3

Jawab ;

Cara I Cara II

| x – 4 | < 3 Dari jawaban contoh 1, diperoleh:

kuadratkan | x – 4 | < 3

(x – 4)2 < 9 –3 < x – 4 < 3

x2 – 8 x + 16 < 9 Jadi 1 < x < 7

x2 – 8 x + 7 < 0

(x – 1) (x – 7) < 0

+ + + + o – - – - – - o + + + + +

1 7

Jadi 1 < x < 7

Contoh 5 :

Selesaikan : | x + 2 | > 5 !

Jawab :

Cara I Cara II

| x + 2 | > 5 Dari jawaban contoh 2, diperoleh

kuadratkan | x + 2 | > 5

(x + 2)2 > 25 x + 2 < – 5 atau x + 2 > 5

x2 + 4 x + 4 > 25 x < –7 atau x > 3

x2 + 4 x – 21 > 0

(x + 7) (x – 3) > 0

+ + + + o - – - – - – o + + + + +

-7 3

Jadi x < -7 atau x > 3

Latihan 16

Selesaikan pertidaksamaan berikut :

1. | x | £ 4 6. | x2 – 5 | £ 4

2. | x + 1 | > 2 7. | x2 – x – 1 | £ 1

3. | x2 – 2 | > 1 8. | 2 x2 – 8 x – 1 | ³ 9

4. | x2 – 4 x | > 0 9. £ 1

5. | x2 – 1 | < 7 10. ³ 2

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat dalam variabel x mempunyai bentuk baku yaitu y = f(x) = ax 2 + bx + c ,

dengan a, b dan c bilangan real dan a ≠ 0. grafik fungsi kuadrat tersebut berbentuk

parabola. Berikut beberapa contoh fungsi kuadrat.

a. f(x) = x2 – 6 + 8 dengan nilai a = 1, b = -6 dan c = 8

b. f(x) = -2x2 + 3x + 5 dengan nilai a = -2, b = 3 dan c = 5

c. f(x) = x2 – 9x dengan nilai a = 1, b = -9 dan c = 0

d. f(x) = 2x2 + 1 dengan nilai a = 2, b = 0 dan c = 1

Maka dapat digambarkan kedalam grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c , dengan f(x) =

0.

a. Titik potong dengan sumbu x

- Jika D >0 maka grafiknya

a > 0 a < 0

Gambar 1. titik Potong dengan sumbu X a> 0

Gambar 2. titik Potong dengan sumbu X a< 0

- Jika D = 0 maka grafiknya

a > 0 a < 0



- Jika D < 0 maka grafiknya

a > 0 a < 0



Maka dapat digambarkan kedalam grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c , dengan nilai

x = 0,sehingga y = f(0) = a(0) 2 + b(0) + c . Y adalah titik (0,c)

b. titik potong dengan sumbu y

- Jika c > 0 dan D > 0 maka grafik memotong sumbu y positif

a > 0 a < 0



- Jika c < 0 dan D > 0 maka grafik memotong sumbu y positif

a > 0 a < 0



- Jika c = 0, D > 0 maka grafik melalui titik asal (0,0)

a > 0 a < 0



Rumus Fungsi Persamaan Kuadrat Matematika

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat seperti ini

, dan a, b, c,

Dimana :

x adalah variabel persamaan kuadrat

a adalah koefisien x kuadrat

b adalah koefisien x

c adalah konstanta

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

1) Mencari faktor

diuraikan menjadi

cara pemfaktoran akan lebih mudah bila a = 1

maka kita bisa menebak x1 dan x2 dengan cara

a = 1

b = x1+x2

c = x1.x2

2) Memakai Rumus Kuadrat atau Rumus abc

3) Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Bentuk umum persamaan kuadrat bebentuk kuadrat sempurna adalah :

dengan q > 0

Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat Jenis akar-akar persamaan kuadrat

ditentukan oleh nilai deskriminan :

a. D > 0 Kedua akar nyata dan berlainan,

b. D = 0

Kedua akar nyata dan sama,

c. D <> Kedua akar tidak nyata (imaginer)

d. dengan

bilangan kuadrat sempurna, kedua akar rasional.

Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat , dapat dicari

tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya.

Dari rumus dan

Dapat ditunjukkan bahwa:

Rumus-rumus Akar Persamaan Kuadrat hasil pengembangan, sering sekali muncul di

soal UAN SNMPTN atau SPMB

Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat Jika dan adalah akar-akar persamaan

kuadrat dengan

maka berlaku sifat-sifat berikut ini :

a. Syarat mempunyai Dua Akar Positif

b. Syarat mempunyai Dua Akar Negatif

c. Syarat mempunyai Dua Akar Berlainan Tanda

d. Syarat mempunyai Dua Akar Berlawanan

e. Syarat mempunyai kedua akar berkebalikan

Cara menyusun Persamaan kuadratdari akar-akar x1 dan x2 yang diketahui

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah :

misbahpati.files.wordpress.com€¦ · web viewnilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat. untuk...

Documents