ma1101 matematika 1a · 3.2 kemonotonan dan kecekungan 3.3 maksimum dan minimum lokal 3.4 masalah...

MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2019/2020

11 Oktober 2019

Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 3

3.1 Maksimum dan Minimum

3.2 Kemonotonan dan Kecekungan

3.3 Maksimum dan Minimum Lokal

3.4 Masalah Maksimum dan Minimum

3.5 Menggambar Grafik Fungsi dengan Cermat(Menggunakan Kalkulus)

3.6 Teorema Nilai Rata-Rata

3.7 Menyelesaikan Persamaan Secara Numerik

3.8 Anti-Turunan dan Integral Tak Tentu

3.9 Pengantar Persamaan Diferensial10/23/2013 2(c) Hendra Gunawan

Sasaran Kuliah Hari Ini

4.1 Luas Daerah di Bawah Kurva

Menghitung luas daerah di bawah suatu kurvasederhana (baik sebagai hampiran maupunsecara eksak).

4.2 Integral Tentu

Memahami konsep integral tentu dan meng-hitung integral tentu dari suatu fungsisederhana pada selang tertentu sebagai limit jumlah Riemann (regular).

10/23/2013 3(c) Hendra Gunawan

4.1 LUAS DAERAH DI BAWAH KURVAMA1101 MATEMATIKA 1A

10/23/2013 (c) Hendra Gunawan 4

Menghitung luas daerah di bawah suatu kurvasederhana (baik sebagai hampiran maupunsecara eksak).

Notasi Sigma

Penjumlahan deret n bilangan a1 + a2 + … + an

dilambangkan dengan notasi sigma

Sebagai contoh,

Teorema (Kelinearan Sigma)

n

i

ia1

5

1

222222 .54321i

i

n

i

n

i

ii akak1 1

;.

n

i

n

i

n

i

iiii baba1 1 1

.)(

(c) Hendra Gunawan

Beberapa deret khusus (dengan indeks i berjalan dari1 sampai dengan n), a.l.:

∑ i = 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.

∑ i2 = 12 + 22 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.

∑ i3 = 13 + 23 + … + n3 = n2(n + 1)2/4.

Deret pertama merupakan deret aritmetika n bilangandengan suku pertama 1 dan beda 1.

Bukti rumus deret kedua diberikan di papan tulis.Bukti rumus deret ketiga diserahkan sebagai latihan.10/23/2013 (c) Hendra Gunawan 6

Luas Daerah di Bawah Kurva

Misalkan kita ingin menghitungluas daerah di bawah kurva y = f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 1. Pertama,bagi selang [0,1] atas n selangbagian yang sama panjangnya.Lalu, luas daerah tersebut (L) kita hampiri dengan jumlah luasn persegi-panjang di bawah kurva,yakni


.)1(

...21

01

2

2

2

2

2

22

n

n

nnnL

11/n 2/n0

Perhatikan bahwa deret di ruas kanan dapat kita tulis-ulang sebagai

yang jumlahnya

Jadi, kita kita peroleh hampiran

Dari sini kita amati bahwa Ln ≈ 1/3 bila n cukup besar. Jadi, kita dapat menduga bahwa luas daerah yang sedang kita cari adalah 1/3. [Apakah luasnya = 1/3 ??]10/23/2013 (c) Hendra Gunawan 8

222

3)1(...21

1 n

n

.6

)12()1(3n

nnn

.:6

)12()1(3 nL

n

nnnL

Latihan

1. Taksirlah luas daerah di bawah kurva y = f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 1, dgn luas sejumlah persegi-panjangdi atas kurva. Dengan hasil ini dan hasil sebelum-nya, simpulkan bahwa luas daerah di bawahkurva tersebut mestilah sama dengan 1/3.

2. Tentukan luas daerah di bawah kurva y = g(x) = x3, 0 ≤ x ≤ 1, dengan terlebih dahulu menaksirnyadengan luas sejumlah persegi-panjang di bawahdan di atas kurva.


4.2 INTEGRAL TENTUMA1101 MATEMATIKA 1A


Memahami konsep integral tentu dan meng-hitung integral tentu dari suatu fungsisederhana pada selang tertentu sebagai limit jumlah Riemann (regular).

Jumlah Riemann

Misalkan f : [a,b] → R kontinukecuali di sejumlah terhinggatitik. Bagi selang [a,b] atas nselang bagian (tak perlu samapanjang), sebutlah titik-titikpembaginyaa = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b. Himpunan titik-titik ini disebutsebagai partisi dari [a,b]. Untuki = 1, …, n, tulis ∆xi = xi – xi-1(= lebar selang bagian ke-i).


a b

y=f(x)

a bx1 xn-1

Jumlah Riemann

Dari setiap selang bagian, pilih titik sampel ti є[xi-1, xi], sembarang. Lalu bentuk penjumlahanberikut

RP = ∑ f(ti).∆xi

dengan indeks i berjalan dari 1 hingga n.

Bentuk ini dikenal sebagai jumlah Riemann utkf terhadap partisi P = {a=x0, x1, …, xn-1, xn=b}dan titik-titik sampel ti.


Contoh

Misalkan f(x) = x2, x є [0,1],

P = {0, ⅓, ¾, 1}, dan

t1 = ⅓, t2 = ½, t3 = ⅞.

Maka jumlah Riemann untuk fterhadap partisi P dan titik-titiksampel ti adalahRP = f(⅓).⅓ + f(½).(¾ – ⅓) + f(⅞)(1 – ¾)

= 1/27 + 5/48 + 49/256.


1¾ 0 1/3 ½ 7/8

Latihan

1. Misalkan f(x) = x2, x є [0,1], P = {0, ¼, ½, ¾, 1}, dan t1 = 1/8, t2 = 1/3, t3 = ½, t4 = ⅞. Tentukanjumlah Riemann untuk f terhadap partisi Pdan titik-titik ti tersebut.

2. Misalkan f(x) = x2, x є [0,1], P = {0, ¼, ½, ¾, 1}, dan t1 = 1/8, t2 = 3/8, t3 = 5/8, t4 = ⅞. Tentukanjumlah Riemann untuk f terhadap partisi Pdan titik-titik ti tersebut.


Integral TentuJumlah Riemann untuk f merupakan hampiran untukluas daerah di bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Semakin‘halus’ partisinya, semakin baik hampiran tersebut. Jika

ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b] danintegral tentu f pada [a,b] didefinisikan sebagai


n

i

iiP

xtf1

0||).(lim

b

a

dxxf )(

n

i

iiP

xtf1

0||).(lim

Catatan. |P| = maks {∆xi : i = 1, …, n}. Jika ∆xi =(b-a)/n dan n ∞, maka |P|0.

Catatan

Dalam notasi , kita mengasumsikan bahwa

a < b. Jika a > b, maka kita definisikan

Jika a = b, maka kita definisikan

Catat pula bahwa


b

a

dxxf )(

b

a

a

b

dxxfdxxf .)()(

b

a

a

a

dxxfdxxf .0)()(

b

a

b

a

b

a

duufdttfdxxf .)()()(

TeoremaJika f terbatas dan kontinu kecuali di sejumlahterhingga titik pada [a,b], maka fungsi f ter-integralkan pada [a,b].


Akibat: Fungsi polinom, fungsi rasional, f(x) =|x|, g(x) = √x, s(x) = sin x, dan c(x) = cos x merupakan fungsi yang terintegralkan padasembarang selang terbatas yg termuat dalamdaerah asalnya.

Contoh

Diketahui f(x) = x2, x є [0, 1], kontinu; karena ituf terintegralkan pada [0, 1]. Integral tentu fpada [0, 1] dapat dihitung sebagai limit jumlahRiemann dengan partisi regular:


.3

1

6

)12)(1(lim

1lim

1lim)(lim)(

31

2

3

1 12

2

1

1

0

n

nnni

n

nn

ifdxxf

n

n

in

n

i

n

in

nni

n

Latihan

1. Fungsi g(x) = x3 terintegralkan pada [0, 1]. Nyatakan integral tentu g pada [0, 1] sebagailimit jumlah Riemann dengan partisi regular, danhitunglah nilainya.

2. Fungsi g(x) = x3 terintegralkan pada [0, b]. Nyatakan integral tentu g pada [0, b] sebagailimit jumlah Riemann dengan partisi regular, danhitunglah nilainya.

3. Menggunakan hasil di atas, hitung integral tentug(x) = x3 pada [a, b], dengan 0 < a < b.


ma1101 matematika 1a · 3.2 kemonotonan dan kecekungan 3.3 maksimum dan minimum lokal 3.4 masalah...

Documents