Masalah Maksimum dan Minimum

1

2/13/2019

Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah

• DefinisiMisalkan (x0,y0) Df, maka• f(x0,y0) adalah nilai maksimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0)

f(x,y), (x,y) Df• f(x0,y0) adalah nilai minimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) f(x,y),

(x,y) Df• f(x0,y0) adalah nilai ekstrim global dari f pada Df, jika ia merupakan

nilai maksimum global atau nilai minimum global.

Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti denganlokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwapertidaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu daerah disekitar (x0, y0).

2/13/2019

Titik pelana

2/13/2019

Dimana nilai ekstrim muncul?

• Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrimdisebut titik kritis

• Titik kritis ada 3 (tiga), yaitu• Titik-titik batas Df

• Titik Stasioner→ (bidang singgung datar)

• Titik Singular → titik dalam S ketika f tidak dapatdidiferensialkan

0)y,x(f 00 =

2/13/2019

Uji Nilai Ekstrim

• Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilaiekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:

Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0) dan

Jika

0)y,x(f 00 =

maka

( )200xy00yy00xx00 )y,x(f)y,x(f.)y,x(f)y,x(DD −==

1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D > 0 dan 0)y,x(f 00xx

2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D > 0 dan 0)y,x(f 00xx

3. f(x0,y0) titik pelana jika D < 0

4. Jika D = 0, tidak dapat ditarik kesimpulan

2/13/2019

Contoh

1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari

f(x,y) = 2x4–x2+3y2

Jawab

fx(x,y) = 8x3 – 2x fy(x,y) = 6y

fxx(x,y) = 24x2 – 2 fyy(x,y) = 6

fxy(x,y) = 0

Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu

8x3 – 2x=0 2x (4x2 – 1)=0 x=0 , x =± ½

6y =0 y = 0

Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0)

2/13/2019

Contoh (lanjutan)

fxx fyy fxy D Keterangan

(0,0) – 2 6 0 –12 Titik pelana

(½, 0) 4 6 0 24 Titik Minimum

(-½, 0) 4 6 0 24 Titik Minimum

Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut:

Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana.

2/13/2019

Contoh

2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari

f(x,y) = x2 – y2 +1 pada S = {(x,y)| x2 + y2 1}

Jawab

fx(x,y) = 2x fy(x,y) = – 2y

fxx(x,y) = 2 fyy(x,y) = –2

fxy(x,y) = 0

Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu didapat (0,0)

Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)(→ terletak di dalam S), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0)

Untuk titik-titik batasnya, misalkan x = cos t dan y = sint(karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat

f(t)=cos2 t – sin2t +1

(untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S)

2/13/2019

Contoh (lanjutan)

Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu:

f’(t)= –2 cos t sint – 2 sint cost = 0 - 4 cos t sint = 0

Sin2t = 0

2t = 0, , 2, 3

t = 0, /2, , 3/2

Untuk t = 0 x = 1, y = 0 f(1, 0) = 2

Untuk t = /2 x = 0, y = 1 f(0, 1) = 0

Untuk t = x = -1, y = 0 f(-1, 0) = 2

Untuk t = 3/2 x = 0, y = -1 f(0, -1) = 0

Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),

Sedangkan nilai minimun global = 0 pada titik (0,1) dan (0,-1)

2/13/2019

Latihan

1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari

a. f(x,y) = x3+y3-6xy

b. f(x,y) = xy2 –6 x2 – 6y2

c. f(x,y) = x2 +4 y2 – 2x+8y – 1

d. f(x,y) = 3x3 +y2 – 9x + 4y

yxxyyxfe

42),(. ++=

)4( 22

),(. yyxeyxff −+−=

2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari

a. f(x,y) =x2–6x+y2–8y+7 pada S={(x,y)| x2 + y2 1}

b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0 x 1, –1 y 1}

Tugas: salahsatu dari no1

dan salah satudari no 2

2/13/2019

g (x, y) = 0

Metode Lagrange• Untuk mencari nilai ekstrim terkendala

Misalkan z =f(x,y)

dengan kendala g(x,y) = 0.

Akan dicari ekstrim f terhadap kendala g.

Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi

f (x,y) = 9 – x2 – y2 berikut :

Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) = 0 → sama dengan mencariperpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k ≥ f (x, y) untuk setiap x, y Df sepanjang g(x, y) = 0

Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung→ garistegak lurusnya sama karena kurva ketinggian

)y,x(g)y,x(f =

f⊥

dan kurva kendala, maka

2/13/2019

2/13/2019

Metode Lagrange

• Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendalag(x0,y0)=0, selesaikan

0)y,x(gdan)y,x(g)y,x(f 000000 ==

dengan (x0,y0) titik kritis, pengali langrange

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendalag(x0,y0)=0 dan h(x0,y0)=0, selesaikan

),(),(),( 000000 yxhyxgyxf +=

dengan (x0,y0) titik kritis, pengali Lagrange

, g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0

2/13/2019

Contoh

Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari

1. f(x,y) = x2 + 2y2 pada lingkaran x2 + y2 =1

Jawab:

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange berikut

),(),( yxgyxf =

0),( =yxgdan

yaitu:

2x = 2x ……. (1)

4y = 2y ……. (2)

x2 + y2 = 1 ……..(3)

ˆ ˆ( , ) 2 4f x y xi y j = + jyixyxg ˆ2ˆ2),( +=

2/13/2019

Contoh (lanjutan)

Untuk x 0 dari (1), didapat = 1, kemudian dari (2)di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2 =1 → x = ± 1

Untuk y 0 , dari (2), didapat = 2, maka dari (1), diperoleh x = 0, dan dari (3), that y2=1 → y = ± 1

Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)

f(1, 0) = 1,Untuk (1,0)

f(-1,0) = 1Untuk (-1,0)

f(0, 1) = 2,Untuk (0,1)

f(0,-1) = 2Untuk (0,-1)

Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (0,1) dan (0,-1),

Sedangkan nilai minimun global =1 pada titik (1,0) dan (-1,0)

2/13/2019

Contoh

2. f(x,y,z)= x + 2y + 3z pada elips yang merupakanperpotongan x2 + y2 = 2 dan bidang y + z = 1

Jawab:

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanLagrange berikut

),,(),,(),,( zyxhzyxgzyxf +=

0),,( =zyxg;

yaitu:1 = 2x …………….(1)

2 = 2y + ……. (2)

x2 + y2 = 2 ……..….. (4)

kjizyxf ˆ3ˆ2ˆ),,( ++=

jyixzyxg ˆ2ˆ2),,( +=

kjzyxh ˆˆ),,( +=

0),,( =zyxhdan

y + z = 1 ……..….. (5)

3 = ………………(3)

2/13/2019

Contoh (lanjutan)Dari (1), x = 1/(2), dari (2) dan (3), y = -1/(2). Jadi dari (4), didapat = ± ½.

Untuk = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2).

Untuk = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0).

Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2),

Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0)

2/13/2019

Latihan

Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari

1.f(x,y) = x2 + y2 pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0

2.f(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1

3.f(x,y) = 4x2 – 4xy+ y2 pada kendala x2+y2 = 1

4.f(x,y,z) = x2+y2+z2 pada kendala x + 3y – 2z = 12