FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI

Relasi : aturan yang mengawankan 2 himpunan

Fungsi

Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, artinya :

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi (padanan) yang menghubungkan setiap objek x dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x), yang disebut daerah hasil

PENGERTIAN FUNGSI

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan

f : A ® B

yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut

daerah hasil (codomain) dari f.

Relasi di bawah ini merupakan fungsi

Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi :

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut

jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah

dari f adalah himpunan bagian dari B.

aiueo

12345

A Ba mempunyai 2 nilai

aiue

i

o

12345

∀ x1 , x2∈ A , jika x1=x2 , maka f (x1)=f (x2 )

Manakah yang merupakan fungsi

Macam-macam Fungsi

nnxaxaxaaxf ...2

210

0axf

xaaxf 10

2210 xaxaaxf

Fungsi konstan,

Fungsi linier,

Fungsi kuadrat,

1. Fungsi polinom xqxp

1

123

2

xx

xxf

2. Fungsi Rasional

p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0 contoh :

3. Fungsi harga/nilai mutlak 2213 xxxf

Bentuk umum :

Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :

a)

b)

c)

d)

aiue

i

o

1234

aue

i

o

12345

aiue

i

o

12345

aiue

i12345

CONTOH FUNGSI GENAP DAN GANJIL

1. f(x) = 3x6 – 2x4 + 11x2 -5

2. G(x) = x3 – 2x

1. Merupakan fungsi genap

2. merupakan fungsi ganjil

Tentukan apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi genap, ganjil, atau bukan keduanya

2xxf

xxf

xxf cos

xfxf

xxf sin

3xxf

Contoh :

6. Fungsi Ganjil simetris terhadap titik asal, contoh :Disebut fungsi ganjil jika dan grafiknya

x

1 nxnnx

55

32,3

4. Fungsi bilangan bulat terbesar = Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau

sama dengan x

xfxf 5. Fungsi Genap

dan grafiknya simetris Disebut fungsi genap jika terhadap sumbu y

22,1

f(x) = -4F(x) = 3xg(x) = 3x2 + 2x – 1

4.

5.

6.

7.

3

( )8ug u

2( )1

xg xx

( ) 1f w w

2 1( )1

zf zz

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI LINIER

y = ax + b

• Tentukan titik potong terhadap sumbu x, y = 0

• Tentukan titik potong terhadap sumbu y, x= 0

• Hubungkan antara kedua titik tersebut

CONTOH

Gambarlah grafik fungsi berikut

1. y = 2x + 4

2. y = 5x - 2

JAWAB

1. y = 2x + 4 2. y = 5x – 2

Menggambar gambar grafik fungsi kuadrat

y = ax2 + bx + c

1. Menentukan apakah grafik terbuka ke atas atau ke bawah

jika a > 0 maka grafik terbuka ke atas

jika a < 0 maka grafik terbuka ke bawah

2. Menetukan apakah mempunyai dua tiitk, satu titik, atau tidak mempunyai titik potong terhadap sumbu x

jika D > 0 maka grafik mempunyai 2 titik potong terhadap sumbu x

jika D = 0 maka grafik mempunyai 1 titik potong terhadap sumbu x

jika D < 0 maka grafik tidak mempunyai titik potong terhadap sumbu x

3. Tentukan titik potong terhadap sumbu x, y = 0

4. Tentukan titik potong terhadap sumbu y, x = 0

5. Tentukan titik maksimum atau minimum

6. Tentukan titik bantu

CONTOH

Gambar lah grafik fungsi berikut

1. y = -x2 + x + 2

2. y = 3x2 – 2x + 2

JAWAB

1. y = -x2 + x + 2 2. y = 3x2 – 2x + 2

Gambarlah grafik fungsi berikut ini

1. y = -2x + 3

2. y = 1 + 3x

3. y = 3x2 – 3x +12

4. y = x2 – 2x

JAWAB

1. y = -2x + 3 2. y = 1 + 3x

3.y = 3x2 – 3x +12 4.y = x2 – 2x

OPERSI PADA FUNGSI

Fungsi Komposisi

Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :

CONTOH

3( )2

xf x ( )g x x

225. ( ) ( )f x f x

1. ( ) ( )f g x f x g x

2. ( ) ( )f g x f x g x

3. . ( ). ( )f g x f x g x

( )4.( )

f f xxg g x

32

x x

32

x x

32

x x

32x

x

22 332 4

xx

CONTOH

2. Misal y = x – 1 maka x = y + 1 karena f(x – 1) = x2 + 5x maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1) f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5 f(y) = y2 + 7y + 6

a. f(x) = x2 + 7x + 6 b. f(4) = (4)2 + 7(4) + 6 = 16 + 28 + 6 = 50 LATIHAN

1. Tuliskan sebagai suatu komposisi dari tiga fungsi dalam dua cara yang berbeda dan sebagai suatu komposisi dari empat fungsi

2. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120. Tentukan nilai p3. Diketahui f(x) = 3x – 1 dan (f o g)(x) = x2 + 5. Tentukan g(x)4. Diketahui f(x) = 2x + 1 dan (f o g)(x + 1)= -2x2 – 4x + 1. Tentukan nilai g(-2)

FUNGSI TRIGONOMETRI

Tentukan (g o f) (x) dan (f o g) (x)

3( )2

xf x

( )g x x

3 32 2

x xg f x g f x g

32

xf g x f g x f x

terpenuhi fg DR

Carilah f dan g sedemikian rupa sehingga p = f o ga) b)

Misal (f o g)(x) = x2 + 5x dan g(x) = x – 1. tentukan f(x) dan f(4)Penyelesaian :1. a)

b)

32

2( )1

p xx x

3( ) log 3p x x x

2( )f xx

32( ) 1g x x x

( ) logf x x 3( ) 3g x x x

1. Kedua fungsi sin t dan cos t berkisar dari -1 sampai 12. Kedua grafik berulang pada selang yang berdampingan sepanjang 2π 3. Grafik y = sin t simetris terhadap titik asal (merupakan fungsi ganjil), grafik y = cos t

simetris terhadap sumbu y (merupakan fungsi genap)4. Grafik y = sin t sama seperti y = cot tetapi digeser π/2 satuan ke kanan

Gambarlah grafik y = sin (2πt) dan y = cos (2t)

y = cos ty = sin t

t

P(x, y)

y x A(1, 0)

C

b r

θ A a B

Sin θ = cot θ =Cos θ = sec θTan θ = cosec θ

Periode dan amplitudo fungsi-fungsi trigonometri Sebuah fungsi f dikatakan periodik jika terdapat bilangan p sedemikian rupa sehingga

f(x + p) = f(x) untuk semua bilangan real x dalam daerah asal f. Bilangan p terkecil semacam itu disebut periode. Sin x mempunyai periode 2π karena sin (x + 2π) = sin x

Sin (at) mempunyai periode 2π/a

Amplitudo A adalah setengah jarak antara titik terendah dan titik tertinggi pada grafik C + A sin(a(t + b)) dan C + A cos(a(t + b)) memiliki periode 2π/a dan amplitudo A

Tentukan periode dan amplitudo dari

Identitas Ganjil-Genap

sin (-x) = - sin x

cos (-x) = cos x

tan (-x) = - tan x

Identitas Phytagoras

sin2x + cos2x = 1

1 + cot2x = cosec2x

1 + tan2x = sec2x

Perbandingan Trigonometri untuk sudut yang berkomplemen

sin (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = sin x

tan (90° - x) = cot x

Identitas jumlah

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x + y ) = cos x cos y – sin x sin y

cos (x – y ) = cos x cos y – sin x sin y

Identitas sudut ganda

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2x – sin2x = 1 – 2 sin2x = 2 cos2x – 1

Identitas jumlah dan selisih

Identitas Hasilkali

1 1sin sin 2sin cos2 2

x y x y x y

1 1sin sin 2cos sin2 2

x y x y x y

1 1cos cos 2sin sin2 2

x y x y x y

1 1cos cos 2cos cos2 2

x y x y x y

1sin sin cos cos2

x y x y x y

1cos cos cos cos2

x y x y x y

1sin cos sin sin2

x y x y x y

1cos sin sin sin2

x y x y x y

11)(

2

xxxf

3.1 Pengertian LimitPengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut

Teorema Limit

Andaikan n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta serta f dan g adalah fungsi yang memiliki limit di c, maka1. 2. 3. 4. 5. 6.

limx c

k k®

limx c

x c®

lim ( ) lim ( )x c x c

kf x k f x® ®

Teorema Substitusi

Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka

asalkan f(c) terdefinisi. Dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol.contoh :cari limit dari

lim ( ) ( )x c

f x f c®

5 4

22

7 10 13 6lim3 6 8x

x x xx x®

Jika limit fungsi rasional berbentuk

0/0 maka untuk menyelesaikannya harus menyederhanakan hasil bagi secara aljabar (faktorisasi)Contoh

carilahlimit di atas berbentuk 0/0 sehingga untuk menyelesaikannya harus difaktorkan terlebih dahulu

2

21

2lim1x

x xx®

2

21 1 1

2 1 22 3lim lim lim1 1 1 1 2x x x

x x xx xx x x x® ® ®

Carilah limit di bawah ini

2

2

2

23

2

22

2 2

2 2

2

22

7 101. lim2

14 512. lim4 21

2 23. lim6

2 6 44. lim

2 65. lim

4 4

x

x

u

x

w

x xx

x xx x

u ux u xu u

x xx

w w w

w w

®

®

®

®

®

Carilah limit-limit di bawah ini jika

dan

lim ( ) 3x a

f x®

lim ( ) 1x a

g x®

2 2

3

4

1. lim ( ) ( )

2 ( ) 3 ( )2. lim( ) ( )

3. lim ( ) ( ) 3

4. lim ( ) 3

x a

x a

x a

x a

f x g x

f x g xf x g x

g x f x

f x

®

®

®

®

Limit Fungsi Trigonometri

Untuk setiap bilangan real c dalam daerah asal fungsi1. 2. 3.4.5. 6.

limsin sinx c

x c®

lim cos cosx c

x c®

lim tan tanx c

x c®

lim cot cotx c

x c®

limsec secx c

x c®

lim csc cscx c

x c®

Limit Fungsi Trigonometri1sinlim.1

0

® xx

x

1coslim.20

®

xx

1tanlim.30

® x

xx

Contoh

0

3 sin 4lim5 tan 2x

x xx x®

2.2

2tanlim5

4.4

4sinlim3

0

0

xx

xx

x

x

®

®

4 0

2 0

sin 43 4 lim74

tan 2 35 2 lim2

x

x

xx

xx

®

®

x 0 ekivalen dgn 4x 0

0

1 cos4. lim 0x

xx®

0

sin 43 .44lim tan 25 .22

x

xx

xx

®

0

sin 43lim

tan 25x

xxx

xxx

®

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak HinggaLimit Tak

Hinggamaka,0)(limdan0)(limMisal

®®xgLxf

axax

® )()(

limxgxf

ax

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arahi L g x atas ®

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arahii L g x bawah ®

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arahiii L g x bawah ®

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arahiv L g x atas ®

Ctt :g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif.

g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.

Contoh Hitung

11lim

2

1

® xx

xa. 11lim 2

2

1

® xx

xb.Jawab

a. 021lim 2

1

®x

x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatifSehingga

® 11lim

2

1 xx

x

b. 021lim 2

1

®x

x akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapibilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadratkan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positifSehingga

® 11lim 2

2

1 xx

x

Soal Latihan

tt

t sin1coslim

2

0 ®

ttt

t sec2sincotlim

0

®

tt

t 23tanlim

2

0®

tttt

t sec43sinlim

0

®

Hitung

1.

2.

3.

4.

xx

x 2sintanlim

0®5. c.0lim

®

x

x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arahbawah(arah nilai sinx negatif)

® x

xx sinlim

sehingga

Karena

Limit di Tak Hingga

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

Contoh Hitung

Lxfx

®

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

x

Contoh Hitung

4252lim 2

® xx

x

ASIMTOT

Garis x = c adalah asimtot tegak dari grafik y = f(x) jika salah satu dari empat pernyataan berikut ini benar

Garis y = b adalah asimtot mendatar dari y = f(x) jika atau

1. lim ( )x c

f x®

2. lim ( )x c

f x®