pengayaan matematika solusi geometri 6 | jejakseribupena.com, pengayaan geometri, 2018 solusi: (a)...

1 | jejakseribupena.com, Pengayaan Geometri, 2018

PENGAYAAN MATEMATIKA

SOLUSI GEOMETRI 6

1. COMC, 2001

Solusi:

Titik P dan Q terletak pada sisi-sisi segi enam

beraturan.

Jarak maksimum ruas garis PQ adalah 2.

2. COMC, 2001

Solusi:

Menurut Pythagoras:

2 214 48 2500 50PR 50

252

PM MR MQ

Karena PMQ sama kaki, dengan PM MQ , maka

MQP MPQ 14 7

cos cos50 25

MQP MPQ

3. COMC, 2001

P

Q R

M

25

25 14

48

A B

C

D E

F

1

1

1

2

1

1 3


Solusi:

(a) Koordinat titik potong garis 2x

dan 1y adalah 2,1 .

Koordinat titik potong garis 2x

dan 2 12x y adalah 2,5 .

Koordinat titik potong garis 1y

dan 2 12x y adalah 10,1 .

(b) Garis 8x y memotong garis 1y

di titik 7,1 .

Garis 8x y memotong garis 2x di titik 2,6 .

Garis 8x y memotong garis 2 12x y di titik 4, 4 .

(c) Luas segi empat Q Luasdaerah LuasdaerahT R 1 1 9 23

5 1 10 2 10 7 3 162 2 2 2

4. COMC, 2001

Solusi 1:

Misalnya ABP BCP dan PCA .

Karena ABC sama kaki, maka CBD .

Dalam APC siku-siku di P, 90CAP .

2BDA (sudut luar dari BDC ).

Dalam BPC , 180BPC , sehingga

360 180 90 90APB .

Misalnya AP k .

6

1y

X

Y

12O

2 12x y

2x

2,5

2,1 10,1

A

B C

P

D

5

6

5

2

90

90

k

6

1y

X

Y

12O

2 12x y

2x

2,5

2,1 10,1

2,6

7,1

4, 4

Q R


Dalam APC , sin5

k atau 5sink .... (1) 2

Menurut aturan Sinus dalam ABP ,

sin sin

AB AP

APB ABP

5

sin 90 sin

k

5

cos sin

k

5

cos sin

k

ABC

5

3 sin

5

k

25

sin 3

k

.... (2)

Catatan:

Karena ABC sama kaki, 5AB AC dan 6BC , maka 3

cos5

ABC dan 4

sin5

ABC .

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

5sin 25

sin 3

3sin 5sin

3sin 5sin ABC

3sin 5sin cos 5cos sinABC ABC

4 3

3sin 5 cos 5 sin5 5

3sin 4cos 3sin

6sin 4cos

2tan

3

Untuk menentukan perbandingan AD terhadap DC, kita menggunakan system koordinat Kartesis.

Misalnya titik B berkoordinat 0,0 dan titik C berkoordinat 6,0 . Selanjutnya, koordinat titik A

adalah 3, 4 .

Gradien garis BD adalah 2

tan3

BDm , sehingga persamaan garisnya adalah 2

3y x .

Gradien garis AC adalah 0 4 4

6 3 3ACm

, sehingga persamaan garis AC adalah

46

3y x .

Untuk menemukan koordinat titik D dengan cara menentukan titik potong garis 2

3y x dan

4

63

y x .

2 4

63 3

x x

2 12x x


3 12x 4x

2 84

3 3y

Koordinat titik D adalah 8

4,3

8 8 4 8: 4 : : 1: 2

3 3 3 3AD DC

Solusi 2: Menggunakan Sifat Kesebangunan

Tarik dari titik A ke sisi BC garis tegak lurus di M.

Karena ABC sama kaki dengan 5AB AC , maka

3BM CM , sehingga 4AM .

Misalnya ABP BCP dan PCA .

Karena ABC sama kaki, maka CBD .

Lingkaran dengan diameter AC tepat melalui

Titik-titik P dan M , karena 90APC AMC .

Karena menghadap busur PM yang sama, maka PAM PCM , sehingga

AMP .

Perhatikan MPA BPC , sehingga

4 2

6 3

PA MA

PC MC

2tan

3

PA

PC

Kita dapat menghitung panjang DC menggunakan aturan Sinus pada DBC

sin sin

DC BC

BDC

sin

sin 180

BCDC

DCB

6sin

sin DCB

6sin

sin cos cos sinDCB DCB

6

cos cot sinDCB DCB

6

3 3 4

5 2 5

60 60 10

6 12 18 3

160 55

3 3AD

Jadi, 5 10

: : 1: 23 3

AD DC

A

B C

P

D

5

3

5

M 3


5. COMC, 2002

Solusi:

Menurut Pythagoras:

2 213 5 169 25 144 12PF

2 212 9 144 81 225 15PQ

Jadi, keliling PQR 13 14 15 42

pengayaan matematika solusi geometri 6 | jejakseribupena.com, pengayaan geometri, 2018 solusi: (a)...

Documents