MODULMATEMATIKA

KELAS X SEMESTER IBENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

Oleh :Fitrotul ‘Aini3214113074APRIL 2013

Kata pengantarحيم الر حمن الر الله بسم

Segala puji bagi Alloh Rabb. Terimakasih atas segala kebaikan, taufiq dan hidayahnya yang mengantarkan penulis hingga terselesaikannya Modul Matematika ini, Bab Akar, pangkat dan trigonometri merupakan salah satu Bab yang harus dikuasai oleh siswa kelas x semester I,agar dapat mempelajari Bab selanjutnya. Karena mempelajari matematika itu bersifat kontinu,harus berkesinambungan dan terurut.Isi dari modul ini terdiri atas 3 Sub Bab yaitu Akar,Pangkat dan Trigonometri dan di lengkapi dengan contoh soal dan latihan-latihan soal untuk aktivitas siswa. Di sisipkan pula Ulangan Harian untuk mengecek seberapa jauh pemahaman siswa. Dasar penyusunan modul ini adalah standar isi 2006 (KTSP) dan Standar Kompetensi Lulusan Pendidikan Dasar dan Menengah.Yang sempurna hanya milik Alloh dan segala kekurangan hanyalah milik kita, maka Penulis menyadari bahwa penyusunan modul ini masih banyak kekurangan yang perlu diperbaiki, oleh karenanya saran dan kritik yang bersifat konstruktif sangat diharapkan agar dapat dilakukan perbaikan dalam penyusunan modul yang akan datang. Dan semoga modul ini berguna dan bermanfaat bagi para pembaca khususnya para siswa kelas x semester I. Amiin!

Blitar, April 2013

Penulis

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMAStandar Kompetensi :

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat,akar, dan logaritma.Kompetensi Dasar :

1.1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma.1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat,akar dan logaritma.

Indikator : Mengubah bentuk pangkat negative ke pangkat positif dan sebaliknya. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional. Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya. Mengubah bentuk pangkat kebentuk logaritma dan sebaliknya.Tujuan pembelajaran :

Setelah selesai pembelajaran siswa di harapkan dapat :a. mengubah bentuk pangkat negative kebentuk pangkat positif dan sebaliknya.b. Mengubah bentuk akar kebentuk pangkat dan sebaliknya.c. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional.d. Mengubah bentuk pangkat kebentuk logaritma.e. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional

BAB IPENDAHULUANDeskripsiDalam modul ini siswa dapat mempelajari tentang bilangan pangkat bulat positif, negatif, rasional, bentuk akar, merasionalkan penyebut, menentukan persamaan pangkat, dan menentukan nilai logaritma.Prasyarat Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu siswa lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal menemui kesulitan,kembalilah mempelajari materi yang terkait.3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. jika mempunyai kesulitan yang tidak dapat dipecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.Tujuan akhirSetelah mempelajari modul ini diharapkan siswa dapat : Menghitung bilangan pangkat bulat positif dan negative Menghitung bilangan pangkat rasional Menentukan bentuk akar Merasionalkan penyebut Menentukan persamaan pangkat Menentukan nilai logaritma

BAB IIPEMBELAJARANA.PANGKAT BULAT POSITIF, BULAT NEGATIF, DAN NOL

Pangkat bulat positifApabila terdapat bilangan real a dan bilangan bulat positif, maka an (bisa dibaca a pangkat n) didefinisikan sebagai perkalian berulang sebanyak n faktor dari bilangan real a tersebut. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut :

Pada bilangan an: a = bilangan pokok

b = pangkat (eksponen)jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan bulat positif, maka berlaku sifat-sifat :1. a p×an=ap+n2. a p:an= a p−n3. (a¿¿ p)q=ap×q¿4. ¿

5. ( ab )p

=ap

bp,b≠0

an=a×a×a×….×a×a

n faktor

Pangkat bulat negatifMisalkan a ε Rdana≠0 ,maka a−madalah kebalikandariamatau sebaliknya1am

= a0

am=a0−m=a−m

Jadi a−m= 1

am atau

am= 1a−m

Contoh :1. Sederhanakan (a3b6c4)2 Jawab: (a3b6c4)2 = a3.2b6.2c4.2 = a6b12c82. Tentukan nilai x dari persamaan eksponen berikut:

( 12 )x+1= 64Jawab :

Catatan :

Jika n=1 maka an=a1=a

Jika n = 0 maka :

a0=1 ,untuk a≠0

a = 0, maka 00tidak terdefinisi

( 12 )x+1= 64

2−1 ( x+1 )=26 2−1 x−1=26

−x−1=6 x=−1−6=−7

3. Nyatakan dengan eksponen positif :

a. a−5= 1

a5

b. 12a−2

3b−5 =4 b5

a2

Latihan Soal!!!Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan jelas!

1. Sederhanakan :a. (a3 .b4 .c6 ) . (a.b3 .c2 )2

b. [( x5 y6

x3 y2 )3]5

c. 27 p5q−3

9 p6 q−4

d. (a2 b

−13

a−23 b−1 )

−32

2. Tentukan nilai dari :a. (64 )

13 (25 )

−12

b. 64

13 . 9

32

64−23 . 92

3. Sederhanakan dan nyatakan dalam pangkat positifa. x

−1+ y−2

x−2− y−1

b. a−2+a−1+a0

a−4+a−3+a−2

4. Hitunglah : 16

34+8.16

−12−5

2723−6.27

−13+3

B. BENTUK AKARBentuk akar adalah bilangan-bilangan dibawah akar yang hasilnya merupakan bilangan irasional.

Contoh : √3 ,√5 ,√8 , dsbSifat-sifat bentuk akar :

1. √ab=√a .√b

2. √ ab=√a√b

3. √a(√b±√c )=√ab±√ac

4. m√a±n√a=(m±n)√a

5. m√a±m√b=m(√a±√b)

6. √a .√a=a

7. n√am=a

mn

8. √a=a12

9. √a+√b=√ (a+b )+2√ab

10. √a−√b=√(a+b )−2√ab

Contoh :Sederhanakanlah :

1. 2√162=2√81 .2=2.9√2=18√2

2.√108+√48=√36 .3+√16 .3=6√3+4 √3=10√3

5. 4 √20−2√45=4√4 .5−2√9 .5=4 .2√5−2.3√5=8√5−6 √5

6. 4 √6(√3+5√2 )=4√18+20√12=4√9 .2+20√4 .3=12√2+40√3

7. (3√2+√6 )(3√2−√6 )=(3√2)2+3√12−3 √12−(√6)2

= 18−6=12

MERASIONALKAN PENYEBUTPECAHAN BENTUK AKAR1. Pecahan Bentuk a√b

Bentuk a√b dirasionalkan penyebutnya dengan cara baik pembilang maupun penyebut di kalikan dengan √b, sehingga diperoleh :

a√b

= a√bx √b√b

=a√bbContoh :

6√2

= 6√2. √2√2

=6√22

=3√2

2. Pecahan berbentuk a

b+√c dan a

b−√c

Pecahan bentuk a

b−√c dapat di rasionalkan penyebutnya yang masih

mengandung akar dengan mengalikan pembilang n penyebut dengan

sekawannya dari b+√c yaitu b−√c . Demikian bentuk a

b−√c dikalikan

dengan sekawannya b+√c

Contoh :

36+√3

= 3¿¿=6−√3¿ ¿

11

3. Pecahan Bentuk a

√b+√c dan a

√b−√c

Contoh :

6√5+√2

= 6√5+√2

. √5−√2√5−√2

=6 .(√5−√2)5−2

=6 .(√5−√2)

3=2 .(√5−√2)

PANGKAT PECAHAN1. Pangkat Pecahan Berbentuk a 1nUntuk a bilangan real dan n bilangan asli n≥2 ,maka berlaku:

a1n= n√aContoh :

513= 3√5

2. Pangkat pecahan berbentuk a pqPangkat pecahan berbentuk a pq dapat dinyatakan dengan bentuk akar yaitu sebagai berikut :

apq= q√apContoh :

743= 3√743. Mengubah pangkat pecahan negative menjadi pecahan positifPangkat bulat negative dapat di ubah menjadi pangkat positif dan bentuk akar.Contoh :

m 23 x n

−34 =m23

n34

=3√m24√n3

Latihan soal!!!1. Sederhanakan :

a. √288

b.√75+√50−√32

c. 2√18+3√12−√98

d. (√7+3√2)(√7−3√2)2. Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan

penyebutnya!

3. Diketahui a=√5+√3−√2 dan b=√2+√5−√3 Tentukan a .b

4. Carilah semua nilai x yang memenuhi persamaan-persamaan berikut

5. Sederhanakan dan tulis dalam bentuk akar :

a.

a−12 .b2

a−1 .b32

b.

x−23 . y

12

x−2 . y3

6. Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan AB = AC = 8√2 dan BC = 8.

Tentukan :

a. tinggi segitiga dari titik sudut A

b. Luas segitiga tersebut

C. LOGARITMA

Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jadi apabila diketahui

ax=b maka x dapat ditentukan dengan logaritma yang berbentuk x = a log b

a : bilangan pokok logaritma dengan a > 0, a ¿ 1

b : Numerus , b > 0

x : hasil penarikan logaritma

Contoh :

* 25 = 32 2 log 32 = 5

* 3-4 =

181 3 log

181 = - 4

Sifat-sifat logaritma

Bila a, b, c dan p bilangan real yang memiliki sifat a > 0, b > 0, p > 0 dan p ¿ 1,

maka berlaku :

1. p log b = x ,maka px = b

2. p log ab = p log a + p log b

3. p log

ab = p log a - p log b

4. p log an = n. p log a

5. p log a.a log b.b log c = p log c ; a¿ 1, b¿ 1

6. a log b =

p log bp log a

7. p log x =

1x log p ; x ¿ 1

8. aa log x=x

9.

am log bn= nm. a log b

10. plog 1 = 0

11. plog p = 1

12. plog pn = n

Contoh :

1. Sederhanakan :

a. 2log 4 – 2log 6 + 2log 12 = 2log

4 .126 = 2log 8 = 3

b. 3log 4. 2log 125. 5log 81 = 3log 22. 2log 53. 5log 34

= 2. 3log 2. 3.2log 5. 4. 5log 3

= 2.3.4. 3log 2. 2log 5. 5log 3

= 24. 3log 3

= 24

c. 366 log3= 36

36 log9=9

d. log 5+ 1

4 log10+ 125 log 100

=log 5+10 log 4+100 log25

= log 5 + log 4 + log 5

= log 100

= 10

2. Diketahui 2log 3 = a dan 3log 5 = b

Nyatakan dengan a dan b bentuk-bentuk berikut :

a. 16log 3 =

24 log 3=14. 2 log 3=1

4a

b. 9log 32 =

32 log 25=52.3 log 2=5

2. 12 log 3

= 52a

Latihan Soal!!!!!!!1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk logaritma! a.

b.c.

2. Tentukanlah nilai x dari setiap persamaan berikut!a.

b.

3. Hitunglah nilai dari:a.b.c.4. Tentukan/sederhanakan nilai logaritma berikut!

a.

b.c.d.

5. Jika , tentukan nilai logaritma berikut !a.b.

Ujian HarianPetunjuk!!

Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang benar!1. Bentuk sederhana dari 8a8b−3c

12

2a3b−2c32

adalah………..a. 4 a5b1 c−1b. 4 a5b−1 c−1c. 2a5b−1 c−1d. 2a5b−1 c1e. 4 a−5b−1c−1

2. Nilai dari adalah……… a. 12b. 18c. 1

4d. 2e. 16

3. Hasil dari adalah………… a. 33√2b. 33√3c. 33√6d. 33√7e. 33√8

4. Bentuk sederhana dari adalah………….. a. 59 √3+ 19 √21

b. 59 √3−19 √21

c. 19 √3+ 59 √21

d. 59 √21+ 19 √21

e. 59 √3+ 19 √3

5. Nilai dari a+b , jika √2−√3√2+√3

=a√6+b adalah………

a. -5b. -3c. 2d. 3e. 56. Penyelesaian dari adalah…………a. 4b. 2c. 6d. -6e. -47. Berapakah nilai x dari ………………………. a. 4b. 2c. -4d. 16e. -28. Bentuk logaritma dari 8 14=x adalah………

a. ❑14 log x=8

b. ❑x log 8=14

c. ❑14 log 8=x

d. ❑8 log x= 14

e. ❑8 log 14=x

9. Nilai x yang memenuhi adalah………..a. 3b. 3−2

c. −¿2d. 2−2e. 210. Nilai dari ❑27 log9+❑16 log2 adalah…………………a. 14b. 12c. 7

12

d. 812

e. 1112Petunjuk!!Kerjakan semua soal berikut dengan singkat dan jelas!!

11. Jika a=8danb=243 ,makanilai3 a13×2b 15=¿……………….12. Nilai dari 27×( 1

64)2

+(81)24=(27)

23 adalah……………..

13. Bentuk 4√3+√2 dapat disederhanakan menjadi………….

14. Hitunglah nilai dari …………………………15. Jika ,nyatakan logaritma berikut dalam p dan q.

Catatan Guru Nilai Paraf Guru Paraf Orang Tua

BAB IIIPENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, siswa berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah dipelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

DAFTAR PUSTAKASartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.Tim penyusun modul siswa, 2010. Aspirasi, Surakarta : PT Widya Duta Grafika.